Một số dạng của định lý stolz cesàro

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ STOLZ-CESÀRO VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ STOLZ-CESÀRO VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 84 60 113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Văn Thắng THÁI NGUYÊN - 2018 i Mục lục MỞ ĐẦU Chương Một số dạng định lý Stolz-Cesàro 1.1 1.2 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Dãy số 1.1.2 Chuỗi số 1.1.3 Hàm số Một số dạng định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 Một số dạng cổ điển định lý Stolz-Cesàro 1.2.2 Một số dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro 14 1.2.3 Một số dạng định lý Stolz-Cesàro 22 Chương Một số ứng dụng định lý Stolz-Cesàro 26 2.1 Tính giới hạn dãy số 26 2.2 Tổng lũy thừa với số mũ nguyên 46 2.3 Bài toán 11174 P P Dalyay 47 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU Các định lý Stolz-Cesàro cổ điển nhà toán học Otto Stolz (1842-1905) Ernesto Cesàro (1859- 1906) đưa Định lý đề cập tới an+1 − an an tồn giới hạn lim lim điều kiện n→∞ bn+1 − bn n→∞ bn để giới hạn Định lý xuất lần [11] kể từ đó, xuất lại nhiều tài liệu khác có chủ đề dãy số chuỗi số Định lý xem phiên rời rạc quy tắc L’Hopital giới hạn hàm số cho ta ∞ phương pháp hữu hiệu để tính giới hạn có dạng khơng xác định ∞ tốn tính giới hạn, đặc biệt tốn tính giới hạn liên quan tới tổng Gần đây, định lý sử dụng tính hệ số đa thức định nghĩa tổng lũy thừa số nguyên ([7]) nghiên cứu tính chất tuần hồn hàm số ([5]) Với ứng dụng kể trên, định lý Stolz-Cesàro ngày nhà toán học quan tâm mở rộng, phát biểu dạng khác có thêm ứng dụng mới, điển hình kết C Mortici ([8]), G Nagy ([9]) S Puspană ([10]) Luận văn tổng hợp trình bày số dạng cổ điển định lý Stolz-Cesàro; số dạng mở rộng G Nagy S Puspană; số dạng đưa C Mortici Tiếp theo, luận văn trình bày số ứng dụng định lý Stolz-Cesàro việc tính giới hạn dãy số, có tính giới hạn tổng, toán hay thường xuất đề thi toán dành cho học sinh sinh viên Một ứng dụng khác định lý Stolz-Cesàro tính tổng hữu hạn lũy thừa ngun chúng tơi trình bày luận văn Cuối cùng, sử dụng dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro G Nagy để nghiên cứu tính chất tuần hồn hàm số bàiỳ i=1 Trong phần này, ta trình bày ứng dụng định lý Stolz-Cesàro vào xác định hệ số đa thức Sk (n) Giả sử Sk (n) = 1k + 2k + + nk = ck+1 nk+1 + ck nk + + c1 n + c0 c0 = Để tính ck+1 , ta chia biểu thức cho nk+1 : 1k + 2k + + nk − ck nk − − c1 n n→∞ nk+1 ck+1 = lim Lấy giới hạn hai vế ta thu ck+1 1k + 2k + + nk = lim n→∞ nk+1 Áp dụng Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 ta có ck+1 nk = lim k+1 = n→∞ n − (n − 1)k+1 k+1 (2.4) 47 Với j = 1, 2, , k, Sk (n) − ck+1 nk+1 − ck nk − − cj+1 nj+1 − cj−1 nj−1 − c1 n − c0 cj = nj với n Cho n → +∞ ta Sk (n) − ck+1 nk+1 − ck nk − − cj+1 nj+1 n→∞ nj cj = lim Áp dụng Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 ta có cj = lim nk −ck+1 (nk+1 −(n−1)k+1 )−ck (nk −(n−1)k )− −cj+1 (nj+1 −(n−1)j+1 ) nj − (n − 1)j n→∞ (2.5) Bậc cao mẫu số jnj−1 Ta biết giới hạn tồn tại, đó, tất số hạng có bậc cao j − tử số phải triệt tiêu, tất số hạng có bậc nhỏ không ảnh hưởng đến giới hạn Mở rộng số hạng tử số rút gọn, ta thấy số hạng bậc (j − 1) j−1 j−1 nj−1 + (−1)k−j−1 ck Ckj−1 + + cj+1 Cj+1 (−1)k−j ck+1 Ck+1 Điều với (2.5) ta j−1 j−1 + (−1)k−j−1 ck Ckj−1 + + cj+1 Cj+1 (−1)k−j ck+1 Ck+1 cj = j (2.6) Bây áp dụng (2.4) (2.6) ta tính truy hồi ck+1 , ck , , c0 Ví dụ, k ck+1 ck ck−1 1 1 2 1 Sk (n) n 2n + 2n 3n + 2n + 6n n Như vậy, có cơng thức truy hồi tính tổng Sk (n) = ik i=1 với k nguyên dương 2.3 Bài toán 11174 P P Dalyay Trong phần này, chúng tơi trình bày lại lời giải E J Ionascu cho toán 11174 Bài toán đưa P P Dalyay [5] E 48 J Ionascu sử dụng định lý Stolz-Cesàro lời giải ([6]) Sau đây, phát biểu bài toán 11174 Bài toán 11174 Cho f g hàm liên tục, khác hằng, ánh xạ R vào R thỏa mãn điều kiện sau: f tuần hoàn Tồn dãy {xn }n≥1 cho lim xn = ∞ lim n→∞ n→∞ g(xn ) = ∞ xn f ◦ g khác R Kiểm tra tính tuần hồn h = f ◦ g Để giải toán trên, E J Ionascu chứng minh định lý sau Định lý 2.3.1 Cho f g hàm liên tục khác hằng, từ R vào R thỏa mãn điều sau: (i) f tuần hoàn (ii) Tồn dãy {xn }n≥1 {yn }n≥1 cho inf |xn − yn | > lim n n→∞ g(xn ) − g(yn ) = ∞ xn − yn Dưới giả thiết hàm h = f ◦ g khơng thể tuần hồn Chứng minh Để chứng minh h = f ◦ g khơng thể tuần hồn, áp dụng hệ 1.1.23, ta chứng minh h không liên tục Ta bắt đầu với f g thỏa mãn (i) (ii) định lý Bởi g liên tục theo tính chất (ii) ta thấy đoạn In := g([xn , yn ]) (hoặc In := g([yn , xn ])), với n đủ lớn, phải đoạn có độ dài lớn chu kỳ tuần hồn T f Do miền giá trị f với miền giá trị h = f ◦ g Vì f khác nên h khác Cho nên, ta chọn α β cho f (g(α)) = f (g(β)) đặt ε0 = |f (g(α)) − f (g(β))| > Ta muốn định nghĩa hàm liên tục không thỏa mãn với ε0 Ta cố định n ∈ N đủ lớn để đảm bảo |In | > 2T ký hiệu #(g(α)) số giá trị nguyên k cho g(α) + kT thuộc In Khi đó, dễ thấy #(g(α)) > |g(xn ) − g(yn )| − > T 49 Tương tự, ký hiệu #g(β) số số nguyên k cho g(β) + kT thuộc In |g(xn ) − g(yn )| Một lần nữa, ta có #(g(β)) > − > T Rõ ràng giá trị g(α) + kT (k ∈ Z) xen kẽ với giá trị g(β) + kT (k ∈ Z) Do g liên tục, áp dụng liên tiếp Định lý giá trị trung gian 1.1.24, ta tìm hai dãy uk vk khoảng [xn , yn ] (hoặc [yn , xn ]) tăng xen kẽ cho g(uk ) = g(α) + lk T g(vk ) = g(β) + sk T với lk , sk ∈ Z Số đoạn có dạng [uk , vk ) (hoặc [vk , uk ), [vk , uk+1 ),v.v ) M := min{2(#(g(α) − 1)), 2(#(g(β) − 1))} ≥ Các đoạn tạo thành phân hoạch đoạn Jn := [xn , yn ] (hoặc Jn := [yn , xn ]) có độ dài |xn − yn | Suy |xn − yn | đoạn có độ dài nhỏ M Ta ký hiệu đoạn [ζn , ηn ] ý |ζn −ηn | ≤ |xn − yn | |xn − yn | < |g(x )−g(y )| = M n T n −4 |g(xn )−g(yn )| T |xn −yn | − |xn −yn | → n → ∞, (2.7) |f (g(ζn )) − f (g(ηn ))| = ε0 Với δ > tùy ý cố định, ta chọn n cho |ζn − ηn | < δ Do có (2.7) nên ta chọn n Với n này, ta có |h(ζn ) − h(ηn )| ≥ ε0 , điều chứng minh h không liên tục Sau đây, lời giải Bài toán 11174 Trong lời giải sử dụng mở rộng G Nagy Định lý 2.3.1 Giả sử f, g {xn } thỏa mãn điều kiện 1-3 Bài tốn 11174 Ta tìm dãy {xnk } xn cho xnk+1 − xnk ≥ với k g(xnk ) g(xnk ) lim = ∞ lim = −∞ Không giảm tính tổng qt, k→∞ xnk k→∞ xnk ta giả sử xảy trường hợp trường hợp thứ hai suy từ trường hợp cách đổi g −g Áp dụng 50 Định lý 1.2.11 cho hai dãy {g(xnk )} {xnk }, ta có lim sup k→∞ g(xnk+1 ) − g(xnk ) = ∞ xnk+1 − xnk Điều chứng minh tồn hai dãy (ii) Định lý 2.3.1 Do đó, ta áp dụng Định lý 2.3.1 cho f g thu h = f ◦ g không tuần hồn 51 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số nội dung sau: - Tổng hợp số khái niệm, định lý dãy số, hàm số chuỗi số - Trình bày số dạng cổ điển, dạng mở rộng số dạng định lý Stolz-Cesàro - Đưa số toán ứng dụng trực tiếp định lý Stolz-Cesàro việc tính giới hạn dãy số, xét hội tụ chuỗi số - Đề cập tới ứng dụng khác định lý Stolz-Cesàro như: tính tổng hữu hạn lũy thừa nguyên, sử dụng định lý Stolz-Cesàro để nghiên cứu tính chất tuần hồn hàm số toán 11147 P P Dalyay ... Một số dạng định lý Stolz- Cesàro 1.2.1 Một số dạng cổ điển định lý Stolz- Cesàro 1.2.2 Một số dạng mở rộng định lý Stolz- Cesàro 14 1.2.3 Một số dạng định lý Stolz- Cesàro. .. bày số nội dung sau: - Tổng hợp số khái niệm, định lý dãy số, hàm số chuỗi số - Trình bày số dạng cổ điển, dạng mở rộng số dạng định lý Stolz- Cesàro - Đưa số toán ứng dụng trực tiếp định lý Stolz- Cesàro. .. trình bày số dạng cổ điển định lý Stolz- Cesàro; số dạng mở rộng G Nagy S Puspană; số dạng đưa C Mortici Tiếp theo, luận văn trình bày số ứng dụng định lý Stolz- Cesàro việc tính giới hạn dãy số, có