MỘT SỐ DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ MENELAUS, CEVA TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ

(có kèm 36 đề thi HSG ở dưới )Những năm gần đây, trong các kỳ thi HSG lớp 9 cấp tỉnh và các kỳ thi tuyển sinh vào các lớp chuyên Toán, chuyên Tin của các trường THPT chuyên thường xuất hiện các bài toán hình học có nội dung áp dụng định lý Menelaus, định lý Ceva. Đây là dạng toán mới, đòi hỏi học sinh phải có tư duy linh hoạt và cái nhìn nhạy bén thì mới áp dụng được nội dung định lý. Ở cấp THCS thì định lý Menelaus và định lý Ceva được dùng chủ yếu cho việc chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy; chứng minh các tỉ số các đoạn thẳng, tỉ số diện tích bằng nhau…. khi mà các phương pháp khác ít áp dụng được.Trong chuyên đề này, tôi giới thiệu một số ứng dụng định lý Menelaus, định lý Ceva để giải toán hình học trong chương trình THCS

MỘT SỐ DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ MENELAUS, CEVA TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ (có kèm 36 đề thi HSG ) Những năm gần đây, kỳ thi HSG lớp cấp tỉnh kỳ thi tuyển sinh vào lớp chuyên Toán, chuyên Tin trường THPT chuyên thường xuất toán hình học có nội dung áp dụng định lý Menelaus, định lý Ceva Đây dạng toán mới, đòi hỏi học sinh phải có tư linh hoạt nhìn nhạy bén áp dụng nội dung định lý Ở cấp THCS định lý Menelaus định lý Ceva dùng chủ yếu cho việc chứng minh điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy; chứng minh tỉ số đoạn thẳng, tỉ số diện tích nhau… mà phương pháp khác áp dụng Trong chuyên đề này, giới thiệu số ứng dụng định lý Menelaus, định lý Ceva để giải toán hình học chương trình THCS I Nội dung kiến thức sử dụng chuyên đề: Định lý Menelaus (Nhà toán học cổ Hy Lạp, kỷ I sau công nguyên) Cho tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ nằm đường thẳng BC, CA, AB cho chúng điểm nào, có điểm thuộc cạnh tam giác ABC Khi A’, B’, C’ thẳng hàng A'B B ' C C ' A =1 A 'C B ' A C ' B Chứng minh * Trường hợp 1: Trong điểm A’, B’, C’ có điểm thuộc cạnh tam giác ABC Giả sử B’, C’ ( ⇒ ) Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng B’C’ M Ta có: C'A AM B ' C A ' C A'B B ' C C ' A AM A ' C A ' B = ; = = =1 Vậy C ' B A ' B B ' A AM A ' C B ' A C ' B A ' B AM A ' C ( ⇐ ) Gọi A’’ giao B’C’ với BC Áp dụng định lý Menelaus (phần thuận) ta có A''B B ' C C ' A =1 A '' C B ' A C ' B mà A'B B ' C C ' A A''B A ' B = nên = Do B’, C’ thuộc cạnh CA, AB A 'C B ' A C ' B A '' C A ' C nên A’’ nằm cạnh BC Vậy A''B A ' B = A’, A’’ nằm cạnh BC suy A '' ≡ A ' Do A’, B’, C’ A '' C A ' C thẳng hàng * Trường hợp 2: Trong điểm A’, B’, C’ điểm thuộc cạnh tam giác ABC chứng minh tương tự Định lý Ceva (Nhà toán học Ý, 1647-1734) Cho tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ thuộc đường thẳng BC, CA, AB Khi AA’, BB’, CC’ đồng quy A'B B ' C C ' A = A 'C B ' A C ' B Chứng minh ( ⇒ ) Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng BB’, CC’ M, N Ta có: B ' C BC C'A AN A ' B AM = ; = ; = B ' A AM C ' B BC A ' C AN Vậy ta có A'B B ' C C ' A AM BC AN = =1 A ' C B ' A C ' B AN AM BC ( ⇐ ) Gọi I giao BB’ CC’ Giải sử AI cắt BC A’’, suy A’’ thuộc BC Theo định lý Ceva (phần thuận) ta có nên A''B B ' C C ' A A'B B ' C C ' A = mà =1 A '' C B ' A C ' B A 'C B ' A C ' B A'B A '' B = Từ suy A '' ≡ A ' Do AA’, BB’, CC’ đồng quy A ' C A '' C Chú ý: HS cần nắm nội dung kiến thức hình học THCS Nhất kiến thức: - Định lý Ta-lét, tính chất đường phân giác tam giác,… - Tứ giác nội tiếp - Các phương pháp chứng minh thẳng hàng, đồng quy,… Một số ứng dụng định lý Menelaus, Ceva toán THCS: - Chứng minh tỉ số đoạn thẳng, tỉ số diện tích - Chứng minh điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy - Áp dụng để giải tập tổng hợp: Chứng minh song song, tính góc,… II Bài tập minh họa: Bài Cho ∆ABC có trung tuyến AM Trên AM lấy I cho AI = 4MI Đường thẳng BI cắt AC P Chứng minh rằng: PA = 2PC Lời giải Áp dụng định lí Menelaus cho ∆AMC với cát tuyến BIP ta có: Suy ra: A PC IA BM =1 PA IM BC P PC IM BC = = nên PA = 2PC PA IA BM I C B M Nhận xét: Việc áp dụng định lí Menelaus cho toán dẫn đến lời giải hay ngắn gọn Bài Cho ∆ABC Gọi D trung điểm BC, E F hai điểm nằm AB, AC cho AD, BF, CE đồng quy Chứng minh EF // BC Lời giải Áp dụng định lí Ceva cho ∆ABC với đường đồng quy AD, BF CE ta có Vì BD = CD nên A AE BD CF =1 EB DC FA E F O AE CF EA FA = suy = EB FA EB FC Vậy theo định lí Ta-lét ta có: EF // BC B D C Nhận xét: Trong tập dùng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song thông thường dùng khó khăn chứng minh Ở ta dùng định lí Ceva dẫn đến tỉ số có lợi EA FA = áp dụng định lí Ta-let để thu EB FC kết hay ngắn gọn Bài Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q tiếp điểm (O) với AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng: Các đường thẳng NP, MQ, BD đồng quy Lời giải Gọi I giao QM BD Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD với điểm Q, M, I thẳng hàng ta có QA ID MB = mà MA = QA nên suy QD IB MA MB ID = QD IB Ta có MB = NB, DQ = DP, PC = NC nên NB ID PC ID NB =1⇒ = , theo DP IB PD IB NC định lý Menelaus I, N, P thẳng hàng Bài Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d đường tròn (O) MN đường kính thay đổi đường tròn (M không trùng với A, B) Các đường thẳng AM AN cắt đường thẳng d C D Gọi I giao điểm CO BM Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E, cắt đường thẳng d F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng (Trích Câu 5.d Đề HSG Phú Thọ 2010-2011) Lời giải Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác ACO với ba điểm thẳng hàng B, I, M ta có: OI MA = IC 2CM AB OI CM =1 ⇒ BO IC MA (1) Tương tự với tam giác BCO ba điểm thẳng hàng A, I, F ta có: OI FB = IC 2CF Từ (1) (2) ta có (2) MA FB = Do MF // AB (định lí Ta CM CF · lét đảo) mà AB ⊥ BC ⇒ MF ⊥ BC ⇒ MFC = 900 · · Ta có EFB (cùng phụ với góc EAB); = EBA · · (tứ giác AMEB nội tiếp) EBA = EMC · · ⇒ Tứ giác MEFC nội tiếp ⇒ EFB = EMC · · ⇒ MEC = MFC = 90 Do đó: ME ⊥ EC (3) · Lại có MEN = 900 (chắn nửa đtròn) ⇒ ME ⊥ EN (4) Từ (3) (4) suy C, E, N thẳng hàng Bài Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ A, B, C Gọi P giao điểm đường thẳng BC EF Đường thẳng qua D song song với EF cắt đường thẳng AB, AC, CF Q, R, S Chứng minh: a) Tứ giác BQCR nội tiếp PB DB = b) PC DC D trung điểm QS c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua trung điểm BC (Trích Đề thi vào lớp Chuyên Toán, Vĩnh Phúc 2013-2014) Lời giải A a) Do AB < AC nên Q nằm tia đối tia BA R nằm đoạn CA, E từ Q, C nằm phía F đường thẳng BR R H · · Do tứ giác BFEC nội tiếp nên AFE = BCA , S B · · P Do QR song song với EF nên AFE = BQR C D M Q · · Từ suy BCA = BQR hay tứ giác BQCR nội tiếp b) Tam giác DHB đồng dạng tam giác EHA nên Tam giác DHC đồng dạng tam giác FHA nên Từ hai tỷ số ta DB HB = AE HA DC HC = AF HA DB AE HB AE FB = = ( 1) DC AF HC AF EC Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến PEF ta được: PB EC FA PB AE FB =1⇔ = ( 2) PC EA FB PC AF EC Từ (1) (2) ta PB DB = ( 3) PC DC Do QR song song với EF nên theo định lí Thales DQ BD DS CD = , = PF BP PF CP Kết hợp với (3) ta DQ = DS hay D trung điểm QS c) Gọi M trung điểm BC Ta chứng minh DP.DM = DQ.DR Thật vậy, tứ giác BQCR nội tiếp nên DQ.DR = DB.DC (4) DC − DB  ÷ = DB.DC    Tiếp theo ta chứng minh DP.DM = DB.DC ⇔ DP  DP ( DC − DB ) = DB.DC ⇔ DB ( DP + DC ) = DC ( DP − DB ) ⇔ DB.PC = DC PB ⇔ PB DB = (đúng theo phần b) Do DP.DM = DB.DC ( ) PC DC Từ (4) (5) ta DP.DM = DQ.DR suy tứ giác PQMR nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua trung điểm BC Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Trên cạnh AB, AC lấy điểm E , D cho DE = DC Giả sử đường thẳng qua D trung điểm đoạn thẳng EB cắt đường thẳng BC F a) Chứng minh đường thẳng EF chia đôi góc ·AED · · b) Chứng minh BFE = CED (Trích Đề thi vào lớp Chuyên Tin, Vĩnh Phúc 2011-2012) Lời giải a) Gọi M trung điểm BE , G giao điểm đường thẳng EF , AC Ta chứng minh GA EA = × GD ED Áp dụng định lý Ménélaus cho ∆ADM với cát tuyến G, E , F ta có: GA FD EM GA FM EA × × =1⇒ = × GD FM EA GD FD EM Lấy I ∈ BC cho DI P AB Khi hai tam giác FMB, FDI đồng dạng nên FM BM = FD DI FM BM BM = = Do ∆ABC cân, DI P AB nên ∆DCI cân, hay DI = DC = DE suy ra: FD Do M trung điểm BE nên EM = MB Vậy DI DE EA EA = EM MB GA FM EA BM EA EA = × = × = điều phải chứng minh GD FD EM DE BM ED · · · · = DEC = α ; DEG = GEA = γ Ta chứng minh b) Đặt ·ABC = ·ACB = β ; DCE β = α + γ Thật vậy: · · = β , BCE = β − α suy Trong tam giác BEC có CBE · CEB = 1800 − β − ( β − α ) = 1800 − 2β + α (1) · = γ Do G, E , F thẳng hàng nên FEB · · · CEB = 1800 − CEG − BEF = 1800 − ( α + γ ) − γ (2) Từ (1) (2) suy β = α + γ , điều phải chứng minh Bài Cho tam giác ABC, gọi M chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường phân giác góc BCA, N L chân đường vuông góc kẻ từ A C xuống đường phân giác góc ABC Gọi F giao MN AC, E giao BF CL, D giao BL AC Chứng minh DE song song với MN Lời giải Kéo dài AM cắt BC G, kéo dài AN cắt BC I, kéo dài CL cắt AB J Khi AM = MG AN = NI suy MN BC song song với (1) Vì AM = MG nên AF = FC Gọi H giao LF BC, ta có BH = CH Trong tam giác BLC có BE, LH, CD cắt F, theo định lý Ceva ta có BH CE LD = HC EL DB Vì BH = CH nên CE DB = , suy DE BC EL LD song song với (2) Từ (1) (2) suy MM song song với DE Bài Cho ∆ABC lấy E, F, M thứ tự cạnh AC, AB cho EF//BC, MB = MC Chứng minh CF, BE , AM đồng quy Lời giải Cách 1: (Chứng minh đồng quy) Gọi AM ∩ EF = K Theo định lý Talét ta có: AF AK CE KM = = ; ; BF KM AE AK BM =1 CM Suy A AF BM CE =1 BF CM AE Áp dụng định lý Ceva cho ∆ABC ta có CF, BE , AM đồng quy Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng) B Suy E C M Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt BE N, AM ∩ BE = I Ta có K F A AF AN BC MI BM = ; =2; = BF BC MC AI AN N F AF BC MI AN BM = =1 BF MC AI BC AN E I Áp dụng định lý Menelaus cho ∆ABM F, I, C thẳng hàng Từ suy CF, BE , AM đồng quy B C M Bài Cho đường tròn nội tiếp ∆ABC tiếp xúc cạnh BC, CA, AB D, E, F Chứng minh AD, BE, CF đồng quy Lời giải Cách 1: (Chứng minh đồng quy) A Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: F AF = AE; BF = BD; CE = CD E Suy AF BD CE AE BD CE = =1 BF CD AE BD CE AE Áp dụng định lý Ceva cho ∆ABC suy AD, BE, CF đồng quy Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng) B N DA C F E I B D C Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF N AD ∩ CF = I Ta có : AE CB DI AF CB CD AF CB = = = CE DB AI CD BF AN BF AN AN CB =1 CB AN Áp dụng định lí Menelaus cho ∆ACD AD, BE, CF đồng quy Bài 10 Cho tam giác ABC đường cao AH Lấy D,E thứ tự AB, AC cho AH phân giác góc DHE Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy Lời giải M A N Cách 1: (Chứng minh đồng quy) E Từ A kẻ đt // BC cắt HE, HD M N D Vì HA phân giác góc A, HA đường cao nên AM = AN C B H AD MA CE CH = = Ta có: ; ⇒ BD BH AE AN AD BH CE MA BH CH = = BD CH AE BH CH AN Áp dụng định lý Ceva cho ∆ABC suy AH, BE, CD đồng quy Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đt // BC cắt HD, HE, BE M, M A N, K Gọi AH ∩ BE = I Ta có: ⇒ N K E AD MA AN HI BH = = = BD BH BH AI AK AD BH HI AN BC BH AN BC AE CE = = = BD CH AI BH HC AK HC AK CE AE D I B H C =1 Áp dụng định lí Menelaus cho ∆ABH D, I, C thẳng hàng Vậy AH, BE, CD đồng quy H Bài 11 Cho ∆ABC vuông A, đường cao AK Dựng bên tam giác G hình vuông ABEF ACGH Chứng minh: AK,FBG, CE đồng quy A Lời giải I Cách 1: (Chứng minh đồng quy) E D B K C Gọi D = AB ∩ CE, I = AC ∩ BG Đặt AB = c, AC = b Ta có c2 = BK.BC; b2 = CK.BC BK c AD b CI b ⇒ = = ; = CK b BD c AI c (do ∆AIB ∼ ∆CIG) AD BK CI b c b ⇒ = =1 BD CK AI c b c Áp dụng định lý Ceva cho ∆ABC AK, BG, CE đồng quy Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC H cắt BG M AK ∩ BG O Ta có AD b KO BK AD = ; = suy BD c AO AM BD BC KO b BC BK = CK AO c CK AM = b BC BK b CI c b b c = = =1 c AM CK c AI b c c b Áp dụng định lý Menelaus cho ∆ABK G F A E D B O M I C K D, O, C thẳng hàng Vậy AK, BG, CE đồng quy III Bài tập đề nghị: Bài Cho tứ giác ABCD có M, N giao cặp cạnh đối AB CD, AD BC Đường thẳng AC cắt BD, MN I, J Chứng minh JA IA = JC IC Bài Cho tam giác ABC A’B’C’ cho AA’, BB’, CC’ đồng quy O Gọi A1, B1, C1 giao điểm cặp cạnh BC B’C’, CA C’A’, AB A’B’ Chứng minh A1, B1, C1 thẳng hàng Bài Cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối AB Cd, AD BC cắt M, N Chứng minh trung điểm I, J, K AC, BD, MN thẳng hàng Bài Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) Các điểm A’, B’, C’ giao điểm cặp AB DE, BC EF, CD AF Chứng minh điểm A’, B’, C’ thẳng hàng 10 ( ) a) Rút gọn A = + 36 : b) Giải bất phương trình : 3x20110 x ≠ x −1 x − x b) Tìm giá trị x ∈ R cho x > Q có giá trị nguyên Câu (1,5điểm) Cho ba đường thẳng (l1), ( l2), (l3) (l1 ) : y = x − 1, (l2 ) : y = x, (l3 ) : y = mx + a) Tim tọa độ giao điểm B hai đường thẳng (l1) ( l2) b) Tìm m để ba đường thẳng (l1), ( l2), (l3) quy a) Thu gọn Q 18 Câu (1 điểm) cho x,y số dương 1 + =1 x y Chứng minh bất đẳng thức: x + y = x −1 + y −1 Câu ( 3,5 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính MN dây cung PQ vuông góc với MN Tại I ( khác M, N) cung nhỏ NP lấy điểm J (khác N, P) Nối M với J cắt PQ H a) Chứng minh: MJ phân giác góc ∠PJQ b) Chứng minh: tứ giác HINJ nội tiếp c) Gọi giao điểm PN với MJ G; JQ với MN K Chứng minh GK// PQ d) Chứng minh G tâm đường tròn nội tiếp VPKJ Đề 15 5a (1 − 4a + 4a ) , với a > o,5 2a − Bài 2: Không dùng máy tính cầm tay,hãy giải phương trình : 29x2 -6x -11 = o  2011x − 3y = Bài : Không dùng máy tính cầm tay,hãy giải hệ phương trình:  2011x + 2011y = Bài 4: Cho hàm số bậc y =f(x) = 2011x +2012 Cho x hai giá trị x1, x2 cho x1 < x2 a Hãy chứng minh f(x1) < f(x2) b Hàm số đồng biến hay nghịch biến R ? Bài : Qua đồ thị hàm số y = - 0,75x 2,hãy cho biết x tăng từ -2 đến giá trị nhỏ giá trị lớn y ? Bài 6: Hãy xếp tỷ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần ,giải thích ? Cos470, sin 780, Cos140, sin 470, Cos870 Bài 7: Cho tam giác có góc 45 Đường cao chia cạnh kề với góc thành phần 20cm 21cm Tính cạnh lớn hai cạnh lại Bài 8: Cho đường tròn O bán kính OA đường tròn đường kính OA a Xác định vị trí tương đối hai đường tròn b Dây AD đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ C.Chứng minh nrằng AC = CD Bài 9: Cho A,B,C, ba điểm đường tròn.Atlà tiếp tuyến đường tròn A đường thẳng song song với At cắt AB M cắt AC N Chứng minh : AB.AM =AC.AN Bài 1: Rút gọn biểu thức A = Đề 16 Câu (2 điểm): a Tính giá tri biểu thức: A = x + y + xy 25 + ; B = ( − 1)2 − Với x>0, y>0 x ≠ y x+ y x− y Tính giá trị biểu thức P x = 2012 y = 2011 Câu ((2điểm): Vẽ hệ trục tọa độ, đồ thị hàm số y = x y = 3x – Tính tọa độ giao điểm hai đồ b Rút gọn biểu thức: P = : 19 Câu (2 điểm): a) Tính độ dài cạnh hình chữ nhật, biết chiều dài chiều rộng m độ dài đường chéo hình chữ nhật m b) Tìm m để phương trinh x - x + m = có hai nghiệm phân biệt Câu (2 điểm) Cho đường tròn (O; R) điểm A nằm đường tròn Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C tiếp điểm) a Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp Nêu cách vẽ tiếp tuyến AB, AC b BD đường kính đường tròn (O; R) Chứng minh: CD//AO c Cho AO = 2R, tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu (2 điểm) Tìm số tự nhiên n biết: n + S(n) = 2011, S(n) tổng chữ số n Đề 17  x    + : + (x > 0;x ≠ 1) Câu 1: (1,5điểm) Cho biểu thức A =  ÷ ÷ ÷  x −1 x − x   x +1 x −1  a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x cho A 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = 4x − 3x + + 2011 4x Đề 22 Bài 1: (1,5đ): a) Rút gọn biểu thức: P = (4 − + 2) − b) Tìm toạ độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = x y = x − Bài 2: (1đ): Một công ty vận tải điều số xe tải đến kho hàng để chở 21 hàng Khi đến kho hàng có xe bị hỏng nên để chở hết lượng hàng đó, xe phải chở thêm 0,5 so với dự định ban đầu Hỏi lúc đầu công ty điều đến kho hàng xe Biết khối lượng hàng chở xe ( m − 1) x − my = 3m − 2 x − y = m + Bài 3: (1,5đ): Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) cho x − y < Bài 4: (3đ) Cho đường tròn tâm O bán kính R đường thẳng (d) cố định, (d) đường tròn (O; R) không giao Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng (d), M điểm thay đổi (d) (M không trùng với H) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn (A, B tiếp điểm) Dây cung AB cắt OH I a) Chứng minh điểm O, A, B, H, M nằm đường tròn b) Chứng minh IH.IO = IA.IB c) Chứng minh M thay đổi (d) tích IA.IB không đổi Bài 5: (1đ): Tìm giá trị lớn biểu thức y = −4( x − x + 1) + x − với – < x < Đề 23 x − y = Câu (2.0 điểm) Giải hệ phương trình   x − 2y + = Câu (1.5 điểm) Cho phương trình x – 2mx + m2 – =0 (x ẩn, m tham số) a) Giải phương trình với m = - b) Tìm tất giá trị m đê phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Tìm tât giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x , x2 cho tổng P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Câu (1.5 điểm) Một hình chữ nhật ban đầu có cho vi 2010 cm Biết nều tăng chiều dài hình chữ nhật thêm 20 cm tăng chiều rộng thêm 10 cm diện tích hình chữ nhật ban đầu tăng lên 13 300 cm2 Tính chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật ban đầu Câu (2.0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, không tam giác cân, AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BE Các đường cao AD BK tam giác ABC cắt điểm H Đường thẳng BK cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F Gọi I trung điểm cạnh AC Chứng minh rằng: a) Tứ giác AFEC hình thang cân 23 b) BH = 2OI điểm H đối xứng với F qua đường thẳng AC Câu 5.(2.0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn ab bc ca biểu thức: P = + + c + ab a + bc b + ca Đề 24 Bài 1: (2,0điểm) a/ Giải phương trình (2x + 1)(3 – x) + = b/ Giải hệ phương trình 3x - y = 5x + 3y = 11  − 5−  : + Bài 2: (1 đ) Rút gọn biểu thức Q =  −  −  −1 Bài 3: (2đ) Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = ( m tham số ) a/ Giải phương trình m = b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1;x2 khác thỏa điều kiện x12 =4x22 Bài 4: (1,5đ) Một hình chữ nhật có chu vi 28 cm đường chéo có độ dài 10cm Tìm độ dài cạnh hình chữ nhật Bài 5: (3,5đ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD Gọi M điểm di động cung nhỏ AB ( M không trùng với điểm A B) a/ Chứng minh MD đường phân giác góc BMC b/ Cho AD = 2R Tính diện tích tứ giác ABDC theo R c/ Gọi K giao điểm AB MD , H giao điểm AD MC Chứng minh ba đường thẳng AM,BD,HK đồng quy Đề 25 Bài 1: (2 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau:  5x + y = a) x − x − = b)  5 x − y = −8 c) x + x − 36 = d) x + x + − = Bài 2: (1,5 điểm) a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = − x đường thẳng (D): y = −2 x − hệ trục toạ độ b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (D) câu phép tính Bài 3: (1,5 điểm) Thu gọn biểu thức sau: x x − x + 28 x −4 x +8 3−4 3+4 ( x ≥ 0, x ≠ 16) B= − + + x −3 x − x +1 − x +1 5−2 Bài 4: (1,5 điểm) Cho phương trình x − 2mx − 4m − = (x ẩn số) a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với m 2 b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức A = x1 + x2 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính BC Lấy điểm A đường tròn (O) cho AB > AC Từ A, vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) Từ H, vẽ HE vuông góc với AB HF vuông góc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC) A= 24 a) Chứng minh AEHF hình chữ nhật OA vuông góc với EF b) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) P Q (E nằm P F) c) Chứng minh AP2 = AE.AB Suy APH Gọi I giao điểm KF BC Chứng minh IH2 = IC.ID tam giác cân d) Gọi D giao điểm PQ BC; K giao điểm cùa AD đường tròn (O) (K khác A) Chứng minh AEFK tứ giác nội tiếp Đề 26  + Câu 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức A =  x− x   : x −1 a) Nêu điều kiện xác định rút biểu thức A ( x +1 ) x −1 b) Tim giá trị x để A = c) Tìm giá trị lớn cua biểu thức P = A - x Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình bậc hai x2 – 2(m + 2)x + m2 + = (1) (m tham số) a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1x2 – 2(x1 + x2) = Câu 3: (1,5 điểm) Quãng đường AB dài 120 km Hi xe máy khởi hành lúc từ A đến B Vận tốc xe máy thứ lớn vận tốc xe máy thứ hai 10 km/h nên xe máy thứ đến B trước xe máy thứ hai Tính vận tóc xe ? Câu 4: (3,5 điểm) Cho điểm A nằm đường tròn (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE tới đường tròn (B, C hai tiếp điểm; D nằm A E) Gọi H giao điểm AO BC a) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AH.AO = AD.AE c) Tiếp tuyến D đường tròn (O) cắt AB, AC theo thứ tự I K Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt tia AB P cắt tia AC Q Chứng minh IP + KQ ≥ PQ Đề 27 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ 1 − );(a ≥ 1) Rút gọn P chứng tỏ P ≥ b) Cho biểu thức: P = a − ( a − a −1 a + a −1 Bài 1( điểm) a) Đơn giản biểu thức: A = Bài 2( điểm) 1) Cho phương trình bậc hai x + 5x + = có hai nghiệm x 1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm (x12 + ) ( x22 + 1) 2 x + y−2 =  2) Giải hệ phương trình  4 − =1  x y − Bài 3( điểm) Quãng đường từ A đến B dài 50km.Một người dự định xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi.Khi giờ,người dừng lại 30 phút để nghỉ.Muốn đến B thời gian định,người phải tăng vận tốc thêm km/h quãng đường lại.Tính vận tốc ban đầu người xe đạp Bài 4( điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn H trực tâm.Vẽ hình bình hành BHCD.Đường thẳng qua D song song BC cắt đường thẳng AH E 1) Chứng minh A,B,C,D,E thuộc đường tròn 25 2) Chứng minh ∠BAE = ∠DAC 3) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M trung điểm BC,đường thẳng AM cắt OH G.Chứng minh G trọng tâm tam giácABC 4) Giả sử OD = a.Hãy tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo a Đề 28 Câu (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức (không sử dụng máy tính cầm tay):  a  + a) M = 27 + 12 − b) N =  ÷: a − , với a > a −2  a +2 a ≠ Câu (1,5 điểm) Giải phương trình (không sử dụng máy tính cầm tay): x +1 = a) x − x + = b) x +3 Câu (1,0 điểm) a) Vẽ đồ thị (d) hàm số y = -x + 3; b) Tìm (d) điểm có hoành độ tung độ Câu (1,0 điểm) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x + 3x -5 = Tính giá trị biểu 2 thức x1 + x2 Câu (1,5 điểm) Giải toán cách lập hệ phương trình: Tính chu vi hình chữ nhật, biết tăng chiều hình chữ nhật thêm 4m diện tích hình chữ nhật tăng thêm 80m2 ; giảm chiều rộng 2m tăng chiều dài 5m diện tích hình chữ nhật diện tích ban đầu Câu (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn (O) đường kính AD Hai đường chéo AC BD cắt E Kẻ FE vuông góc với AD (F ∈ AD; F ≠ O) a) Chứng minh: Tứ giác ABEF nội tiếp được; b) Chứng minh: Tia CA tia phân giác góc BCF; c) Gọi M trung điểm DE Chứng minh: CM.DB = DF.DO Đề 29  2  x- + Câu (2 điểm) Cho biểu thức : A = 1÷ ÷:  x- x+  x - a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa ; b) Rút gọn biểu thức A Câu (2 điểm) Cho phương trình : x - mx - x - m - = (1), (m tham số) a) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x với giá trị m 2 b) Tìm giá trị m để biểu thức P = x1 + x - x1x + 3x1 + 3x đạt giá trị nhỏ Câu (2 điểm) Một canô xuôi dòng sông từ bến A đến bến B hết giờ, ngược dòng sông từ bến B bến A hết (Vận tốc dòng nước không thay đổi) a) Hỏi vận tốc canô nước yên lặng gấp lần vận tốc dòng nước chảy ? b) Nếu thả trôi bè nứa từ bến A đến bến B hết thời gian ? Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AB = 10cm Gọi H chân đường cao kẻ từ A xuống BC Biết HB = 6cm, tính độ dài cạnh huyền BC Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H trực tâm tam giác, AH cắt đường tròn (O) D (D khác A) Chứng minh tam giác HBD cân 26 Hãy nêu cách vẽ hình vuông ABCD biết tâm I hình vuông điểm M, N thuộc đường thẳng AB, CD (Ba điểm M, I, N không thẳng hàng)  x y2 - xy - = Câu (1 điểm) Giải hệ phương trình :  2 2  x + y = x y Đề 30 – Hà Tĩnh Câu 1: đ a) Tìm m để đường thẳng y = (2m – 1)x + song song với đường thẳng y = 3x -1  x + 2y = b) Giải hệ pt:  2 x − y = Câu 2: 1,5 đ    −  + 1 với a> , # Cho biểu thức: P =   − a + a  a  a) Rút gọn P b) Tìm a để P > /2 Câu 3: (2 đ) a) Tìm tọa độ giao điểm y = x2 y = -x + b) Xác định m để pt: x - x+1- m=0 có hai nghiệm x1,2 thỏa mãn 4( 1 + ) − x1 x + = x1 x Câu 4: (3,5 đ) Trên nửa đường tròn đường kính BC, lấy hai điểm M, N cho M thuộc cung BN Gọi A giao điểm BM CN H giao điểm BN CM a) CMR: tứ giác AMHN nội tiếp b) CM : ∆ ABN đồng dạng ∆ HCN c) Tính giá trị S = BM.BA + CN.CA a b c + + Câu 5: ( đ) Cho a, b, c > 9/4 Tìm GTNN Q = b −3 c −3 a −3 Đề 31 Câu I: 2, 5đ 1/ Giải PT 2x2 – 3x – = x + y = 2/ Giải HPT  2 x − y = 3/ Đơn giản biểu thức P = + 80 − 125 4/ Cho biết a + b = a − + b − (a ≥ 1; b ≥ 1) Chứng minh a + b = ab Câu II: 3,0đ Cho Parapol y = x2 (P), đường thẳng : y = 2(1 – m)x + (d), với m tham số 1/ Vẽ đồ thị (P) 2/ Chứng minh với giá trị m, parapol (P) đường thẳng (d) cắt hai điểm phân biệt 3/ Tìm giá trị m, để (P) (d) cắt điểm có tung độ y = Câu III: 3, 5đ Cho (O), dường kính AB = 2R, C điểm đường tròn ( khác A, B) Gọi M trung điểm cung nhỏ BC 1/ Chứng minh AM tia phân giác góc BAC 2/ Cho biết AC = R Tính BC, MB 3/ Giả sử BC cắt AM N Chứng minh MN MA = MC2 Câu IV: 1,0đ Chứng minh P= x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + ≥ , với giá trị x 27 Đề 32 Bài : ( 1,5 điểm ) Cho hai số : b1 = + Giải hệ phương trình ; b2 = m + n =  2m − n = −3 Tính b1 + b2 b −1 ): với b ≥ b ≠ b−4 b +2 b −2 b +2 1) Rút gọn biểu thức B 2) Tính giá trị B b = + 2 Bài ( 2,5 điểm ) Cho phương trình : x – ( 2n -1 )x + n (n- 1) = ( ) với n tham số Giải phương trình (1) với n = 2 CMR phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với n Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) ( vơí x1 < x2 Chứng minh : x12 – 2x2 + ≥ Bài : ( điểm ) Cho tam giác ∆ BCD có góc nhọn Các đường cao CE DF cắt H CM : Tứ giác BFHE nội tiếp đường tròn Chứng minh ∆ BFE ∆ BDC đồng dạng Kẻ tiếp tuyến Ey đường tròn tâm O đường kính CD cắt BH N CMR N trung điểmcủa BH Câu : ( điểm ) Cho số dương x, y , z Chứng minh bất đẳng thức : x y z + + >2 y+z x+z x+ y Bài ( 1,5 điểm ) Cho biểu thức B = ( b − b + Đề 33 Bài 1: (1.5 điểm) 1) Thực phép tính: + 16 2) Giải phương trình hệ phương trình sau:  x + y = 4023 a) x2 – 20x + 96 =  x − y = Bài 2: (2.5điểm) 1) Cho hàm số y = x có đồ thị (P) đường thẳng (d): y = x + a) Vẽ ( P ) ( d ) hệ toạ độ Oxy b) Bằng phép tính tìm toạ độ giao điểm ( P ) ( d ) 2) Trong hệ toạ độ Oxy cho điểm: A(2;4);B(-3;-1) C(-2;1) Chứng minh điểm A, B, C không thẳng hàng x 2x − x 3) Rút gọn biểu thức: M = + với x> x ≠ x −1 x−x Bài 3: (1.5điểm) Hai bến sông cách 15 km Thơì gian ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, bến B nghỉ 20 phút ngược dòng từ bến B trở bến A tổng cộng Tính vận tốc ca nô nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước km/h Bài 4: (3.5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO ( C khác A C khác O ) Đường thẳng qua điểm C vuông góc với AO cắt nửa đường tròn cho D Trên cung BD lấy điểm M ( với M khác B M khác D) Tiếp tuyến nửa đường tròn cho M cắt đường thẳng CD E Gọi F giao điểm AM CD Chứng minh : BCFM tứ giác nội tiếp đường tròn Chứng minh EM = EF Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM Chứng minh D, I, B thẳng hàng; từ suy góc ABI có số đo không đổi M thay đổi cung BD 28 Bài 5:(1.0 điểm) Cho phương trình ( ẩn x ) : x – (2m + 3)x + m = Gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình cho Tìm giá trị m để biểu thức x12 + x22 có giá trị nhỏ Đề 34 Bài 1: (1đ) Tính M = 15x − x 15 + 16 , x= 15 Bài (2đ) 1) Vẽ đồ thị hàm số sau mặt phẳng toạ độ: y = 2x – (d) ; y = -x + (d’) Và tìm toạ độ giao điểm A (d) (d’) cách giải hệ phương trình 2) Tìm m để (P): y = mx2 qua điểm có toạ độ (3;2) Bài 3(2đ) 1) Giải phương trình : x2 + 7x + 10 = 2) Giải phương trình : x4 - 13x2 + 36 = Bài 4(2đ) 1) Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật có chu vi 33m diện tích 252m2 2) Cho phương trình : x2 – 2(m + 2)x + 2m + = (1) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt lớn 0,5 Bài (3đ) Cho đường tròn (C) tâm O Từ điểm A (C) vẽ tiếp tuyến AB, AC với (C) (B,C tiếp điểm) Vẽ đường thẳng (d) qua C vuông góc với AB, (d) cắt đường thẳng AB H cắt (C) E, C cắt đường thẳng OA D 1) Chứng minh CH // OB tam giác OCD cân 2) Chứng minh tứ giác OBDC hình thoi 3) M trung điểm EC, tiếp tuyến (C) E cắt đường thẳng AC K chứng minh O, M, K thẳng hàng Đề 35 x2 − x x −x + Câu 1.(1,5 điểm): Cho biểu thức : P = (với x ≥ x ≠ ) x + x +1 x −1 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm x biết P = Câu 2.(1,5 điểm): Cho phương trình x − x − 2m = (với m tham số) 1) Giải phương trình với m = 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x thỏa mãn x1 + x1x = 1  + =4 Câu 3.(1,0 điểm): Giải hệ phương trình:  x y  x(1 + 4y) + y =  Câu 4.(3,0 điểm): Cho nửa đường tròn (O)đường kính AB Điểm C thuộc nửa đường tròn (O) ( CB < CA, C khác B ) Gọi D điểm cung AC, E giao điểm AD BC 1) Chứng minh tam giác ABE cân B 2) Gọi F điểm thuộc đường thẳng AC cho C trung điểm AF Chứng minh · · EFA = EBD 3) Gọi H giao điểm AC BD, EH cắt AB K, KC cắt đoạn EF I Chứng minh rằng: HF EI EK = + a) Tứ giác EIBK nội tiếp b) BC BI BK Câu 5.(1,0 điểm): Giải phương trình : x 3x − + − 2x = x + x + x + 29 Đề 36  1−  + P =  ÷ ÷:  + +  45 2/ Giải PT : x −3 x + x =0 Bài 2: (2 đ ) Cho hàm số y = - 8x2 có đồ thị (P) Bài 1: ( đ) 1/ Rút gọn: a/ Tìm toạ độ điểm A, B đồ thị (P) có hoành độ -1 b/ Viết phương trình đường thẳng AB Bài 3: (2 đ) 1/ Tìm giá trị x thoả mãn: 1 499 + + + = 2012 16 17 +68 17 18 +18 17 x x +1 +( x +1) x 2/ Cho x, y số không âm thoả mãn : x+y = Tìm giá trị nhỏ , giá trị lớn biểu thức P = x y +xy +x +y −5( x +y ) +14 x y −58 xy +6 Bài ( đ) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) AD đường kính Gọi I điểm cung nhỏ BC; đường thẳng AI cắt dây cung BC đường thẳng DC E,M ; đường thẳng DI cắt dây cung BC đường thẳng AB F, N a / C/m hai tam giác IAN IDM đồng dạng b / C/m tứ giác ANMD tứ giác nội tiếp c / C/m đẳng thức: IE.IA = IF.ID d / C/m OI vuông góc với MN 30 ... giải Áp dụng định lí Menelaus cho ∆AMC với cát tuyến BIP ta có: Suy ra: A PC IA BM =1 PA IM BC P PC IM BC = = nên PA = 2PC PA IA BM I C B M Nhận xét: Việc áp dụng định lí Menelaus cho toán dẫn... - Tứ giác nội tiếp - Các phương pháp chứng minh thẳng hàng, đồng quy,… Một số ứng dụng định lý Menelaus, Ceva toán THCS: - Chứng minh tỉ số đoạn thẳng, tỉ số diện tích - Chứng minh điểm thẳng... Chứng minh rằng: Các đường thẳng NP, MQ, BD đồng quy Lời giải Gọi I giao QM BD Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD với điểm Q, M, I thẳng hàng ta có QA ID MB = mà MA = QA nên suy QD IB