MỘT SỐ DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ MENELAUS, CEVA TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ

(có kèm 36 đề thi HSG ở dưới )Những năm gần đây, trong các kỳ thi HSG lớp 9 cấp tỉnh và các kỳ thi tuyển sinh vào các lớp chuyên Toán, chuyên Tin của các trường THPT chuyên thường xuất hiện các bài toán hình học có nội dung áp dụng định lý Menelaus, định lý Ceva. Đây là dạng toán mới, đòi hỏi học sinh phải có tư duy linh hoạt và cái nhìn nhạy bén thì mới áp dụng được nội dung định lý. Ở cấp THCS thì định lý Menelaus và định lý Ceva được dùng chủ yếu cho việc chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy; chứng minh các tỉ số các đoạn thẳng, tỉ số diện tích bằng nhau…. khi mà các phương pháp khác ít áp dụng được.Trong chuyên đề này, tôi giới thiệu một số ứng dụng định lý Menelaus, định lý Ceva để giải toán hình học trong chương trình THCS

MỘT SỐ DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ MENELAUS, CEVA TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ

(có kèm 36 đề thi HSG ở dưới )

Những năm gần đây, trong các kỳ thi HSG lớp 9 cấp tỉnh và các kỳ thi tuyển sinh vào các lớp chuyên Toán, chuyên Tin của các trường THPT chuyên thường xuất hiện các bài toán hình học có nội dung áp dụng định lý Menelaus, định lý Ceva Đây là dạng toán mới, đòi hỏi học sinh phải có tư duy linh hoạt và cái nhìn nhạy bén thì mới áp dụng được nội dung định lý

Ở cấp THCS thì định lý Menelaus và định lý Ceva được dùng chủ yếu cho việc chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy; chứng minh các tỉ số các đoạn thẳng, tỉ số diện tích bằng nhau… khi mà các phương pháp khác ít áp dụng được.

Trong chuyên đề này, tôi giới thiệu một số ứng dụng định lý Menelaus, định

lý Ceva để giải toán hình học trong chương trình THCS.

I Nội dung kiến thức sử dụng trong chuyên đề:

1 Định lý Menelaus (Nhà toán học cổ Hy Lạp, thế kỷ I sau công nguyên)

Cho tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các đường thẳng

BC, CA, AB sao cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng 2 điểm thuộc các cạnh của tam giác ABC Khi đó A’, B’, C’ thẳng hàng khi và chỉ khi

* Trường hợp 1: Trong 3 điểm A’, B’, C’ có

đúng 2 điểm thuộc cạnh tam giác ABC Giả

 Gọi A’’ là giao của B’C’ với BC

Áp dụng định lý Menelaus (phần thuận) ta có A''B ' ' 1

'' ' '

B C C A

A C B A C B

1

Cho tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các đường thẳng BC,

CA, AB Khi đó AA’, BB’, CC’ đồng quy khi và chỉ khi A'B ' ' 1

B C C A

A C B A C B  .

Chứng minh

 Qua A kẻ đường thẳng song song

với BC cắt đường thẳng BB’, CC’ tại M, N.

 Gọi I là giao của BB’ và CC’

Giải sử AI cắt BC tại A’’, suy ra A’’ cũng thuộc BC

Theo định lý Ceva (phần thuận) ta có A''B ' ' 1

A C A C Từ đó suy ra A''A' Do đó AA’, BB’, CC’ đồng quy

3 Chú ý: HS cần nắm chắc các nội dung kiến thức hình học THCS Nhất là các

kiến thức:

- Định lý Ta-lét, tính chất đường phân giác của tam giác,…

- Tứ giác nội tiếp

- Các phương pháp chứng minh thẳng hàng, đồng quy,…

4 Một số ứng dụng của định lý Menelaus, Ceva trong toán THCS:

- Chứng minh các tỉ số đoạn thẳng, tỉ số diện tích bằng nhau

- Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy

- Áp dụng để giải các bài tập tổng hợp: Chứng minh song song, tính góc,…

2

II Bài tập minh họa:

Bài 1 Cho ABC có trung tuy n AM Trên AM l y I sao cho AI = 4MI ến AM Trên AM lấy I sao cho AI = 4MI Đường ấy I sao cho AI = 4MI Đường Đường ng

th ng BI c t AC t i P Ch ng minh r ng: PA = 2PC ẳng BI cắt AC tại P Chứng minh rằng: PA = 2PC ắt AC tại P Chứng minh rằng: PA = 2PC ại P Chứng minh rằng: PA = 2PC ứng minh rằng: PA = 2PC ằng: PA = 2PC

Nhận xét: Việc áp dụng định lí Menelaus cho bài

toán này dẫn đến lời giải hay và rất ngắn gọn.

P I

M

A

Bài 2 Cho ABC Gọi D là trung điểm của BC, E và F lần lượt là hai điểm nằm

trên AB, AC sao cho AD, BF, CE đồng quy Chứng minh rằng EF // BC

Vậy theo định lí Ta-lét ta có: EF // BC

Nhận xét: Trong bài tập trên nếu dùng các dấu

hiệu nhận biết hai đường thẳng song song thông

thường dùng thì rất khó khăn trong chứng minh.

Ở đây ta dùng định lí Ceva sẽ dẫn đến tỉ số có lợi

là EA FA

EB FC và áp dụng định lí Ta-let để thu được

kết quả hay và ngắn gọn.

F O

D

B

C

A E

Bài 3 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q lần lượt là các

tiếp điểm của (O) với AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng: Các đường thẳng NP,

MQ, BD đồng quy.

3

Lời giải.

Gọi I là giao của QM và BD

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD

Bài 4 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường

tròn (O) MN là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B) Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D Gọi I là giao điểm của CO và BM Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng.

Ta có  EFB EBA   (cùng phụ với góc EAB);

 MEC MFC 90   0 Do đó: ME  EC (3)

Lại có MEN 90  0(chắn nửa đtròn)  ME  EN (4).

Từ (3) và (4) suy ra C, E, N thẳng hàng.

Bài 5 Cho tam giác nhọn ABC, AB AC Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ

từ A, B, C Gọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S Chứng minh:

a) Tứ giác BQCR nội tiếp.

b) PB DB

PC DC

và D là trung điểm của QS.

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC

(Trích Đề thi vào lớp Chuyên Toán, V nh Phúc 2013-2014) ĩnh Phúc 2013-2014)

Lời giải.

a) Do AB AC nên Q nằm trên tia đối

của tia BA và R nằm trong đoạn CA,

từ đó Q, C nằm về cùng một phía của

đường thẳng BR.

Do tứ giác BFEC nội tiếp nên AFE BCA ,

Do QR song song với EF nên AFE BQR

Từ đó suy ra BCA BQR  hay tứ giác BQCR nội

c) Gọi M là trung điểm của BC Ta sẽ chứng minh DP DM DQ DR .

Thật vậy, do tứ giác BQCR nội tiếp nên DQ DR DB DC  (4).

E F

H A

B

C

Tiếp theo ta chứng minh

a) Chứng minh rằng đường thẳng EF chia đôi góc AED

b) Chứng minh rằng BFE CED 

(Trích Đề thi vào lớp Chuyên Tin, Vĩnh Phúc 2011-2012)

Lấy I BC sao cho DI AB

Khi đó do hai tam giác FMB FDI, đồng dạng nên

FM BM

FD  DI

g

b a

a

g g

I

G

F M

GD FD EM DE BM ED điều phải chứng minh.

b) Đặt ABCACBb; DCE DEC  a; DEG GEA  g. Ta sẽ chứng minh

b  a g Thật vậy:

Trong tam giác BEC có CBE b, BCE  b a suy ra

6

 1800   1800 2

CEB  b b a   ba (1)

Do G E F, , thẳng hàng nên FEBg và do đó

 1800   1800  

CEB  CEG BEF   a g  g (2)

Từ (1) và (2) suy ra b  a g, điều phải chứng minh.

Bài 7 Cho tam giác ABC, g i M l chân ọ 2010-2011) à chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường đường ng vuông góc k t A xu ng ẻ từ A xuống đường ừ A xuống đường ống đường đường ng phân giác c a góc BCA, N v L l n l à chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường ần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và C ượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và C à chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường t l chân đường ng vuông góc k t A v C ẻ từ A xuống đường ừ A xuống đường à chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường

xu ng ống đường đường ng phân giác c a góc ABC G i F l giao c a MN v AC, E l giao ọ 2010-2011) à chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường à chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường à chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường

c a BF v CL, D l giao c a BL v AC Ch ng minh r ng DE song song v i MN à chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường à chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường à chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường ứng minh rằng: PA = 2PC ằng: PA = 2PC ới MN

Lời giải.

Kéo dài AM cắt BC tại G, kéo dài AN cắt BC

tại I, kéo dài CL cắt AB tại J

Khi đó AM = MG AN = NI suy ra MN và BC

song song với nhau (1)

Vì AM = MG nên AF = FC

Gọi H là giao của LF và BC, ta có BH = CH.

Trong tam giác BLC có BE, LH, CD cắt

nhau tại F, theo định lý Ceva ta có

Từ (1) và (2) suy ra MM song song với DE.

Bài 8 Cho ABC lấy E, F, M thứ tự trên cạnh AC, AB sao cho EF//BC, MB =

M

Suy ra BF AF . MC BC .MI AI = BC AN .2 BM AN =1

Áp dụng định lý Menelaus cho ABM thì F, I, C

thẳng hàng.

Từ đó suy ra CF, BE , AM đồng quy.

Bài 9 Cho đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D,

E, F Chứng minh AD, BE, CF đồng quy

Áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra

AD, BE, CF đồng quy

Áp dụng định lí Menelaus cho ACD thì

AD, BE, CF đồng quy.

Bài 10 Cho tam giác ABC đường cao AH Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho

AH là phân giác góc DHE Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy.

D

F

A E

D I N

nên AM = AN

Ta có:

BH

MA BD

AD

AN

CH AE

CE

1

.

AN

CH CH

BH BH

MA AE

BC BH

Áp dụng định lí Menelaus cho ABH thì D, I, C

thẳng hàng Vậy AH, BE, CD đồng quy

Bài 11 Cho ABC vuông tại A, đường cao AK Dựng bên ngoài tam giác những

hình vuông ABEF và ACGH Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy.

(do AIB  CIG)

F

M O

Bài 1 Cho tứ giác ABCD có M, N là giao của các cặp cạnh đối AB và CD, AD và

BC Đường thẳng AC cắt BD, MN tại I, J Chứng minh rằng JA IA

JC IC

Bài 2 Cho 2 tam giác ABC và A’B’C’ sao cho AA’, BB’, CC’ đồng quy ở O Gọi

A1, B1, C1 lần lượt là giao điểm các cặp cạnh BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’ Chứng minh rằng A1, B1, C1 thẳng hàng.

Bài 3 Cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối AB và Cd, AD và BC cắt nhau tại M,

N Chứng minh rằng các trung điểm I, J, K của AC, BD, MN thẳng hàng.

Bài 4 Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) Các điểm A’, B’, C’ lần lượt

là giao điểm của các cặp AB và DE, BC và EF, CD và AF Chứng minh 3 điểm A’, B’, C’ thẳng hàng

Bài 5 Cho tam giác ABC có A’, B’, C’ là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Điểm

M nằm trong tam giác ABC các điểm A1, B1, C1 lần lượt là giao điểm của MA, MB,

MC với B’C’, C’A’, A’B’ Chứng minh rằng A’A1, B’B1, C’C1 đồng quy.

Bài 6 Cho tam giác ABC Một đường thẳng cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại

A1, B1, C1 Gọi A2, B2, C2 lần lượt là các điểm đối xứng của A1, B1, C1 qua trong điểm các cạnh BC, CA, AB Chứng minh 3 điểm A2, B2, C2 thẳng hàng.

Bài 7 Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác AM, BM, CM lần lượt

cắt các cạnh đối diện tại A1, B1, C1 Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C1

cắt các cạnh BC, CA, AB tại điểm thứ hai là A2, B2, C2 Chứng minh AA2, BB2, CC2

đường thẳng AC cắt (O2) tại điểm thứ hai là Q Gọi H là giao điểm của PQ với đường thẳng MC Chứng minh rằng: H là trung điểm của PQ.

Bài 9 Cho góc xOy, trên tia Ox lấy hai điểm C và A, trên tia Oy lấy hai điểm D và

B sao cho AD cắt BC tại E Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại K; tia OE cắt

Câu 3: ( 1.5 điểm) Cho phương trình: x2 +(2m + 1)x – n + 3 = 0 (m, n là tham số)

a) Xác định m, n để phương trình có hai nghiệm -3 và -2

b) Trong trường hợp m = 2, tìm số nguyên dương n bé nhất để phương trình đã cho cónghiệm dương

Câu 3: ( 2.0 điểm) Hưởng ứng phong trào thi đua”Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tíchcực”, lớp 9A trường THCS Hoa Hồng dự định trồng 300 cây xanh Đến ngày lao động, có 5 bạnđược Liên Đội triệu tập tham gia chiến dịch an toàn giao thông nên mỗi bạn còn lại phải trồngthêm 2 cây mới đảm bảo kế hoạch đặt ra Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh

Câu 4: ( 3,5 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) có cùng bán kính R cắt nhau tại hai điểm A, Bsao cho tâm O nằm trên đường tròn (O’) và tâm O’ nằm trên đường tròn (O) Đường nối tâm OO’

cắt AB tại H, cắt đường tròn (O’) tại giao điểm thứ hai là C Gọi F là điểm đối xứng của B qua

O’

a) Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của (O), và AC vuông góc BF

b) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AF Qua D kẽ đường thẳng vuông góc với

OC cắt OC tại K, Cắt AF tại G Gọi E là giao điểm của AC và BF Chứng minh các tứgiác AHO’E, ADKO là các tứ giác nội tiếp

c) Tứ giác AHKG là hình gì? Vì sao

d) Tính diện tích phần chung của hình (O) và hình tròn (O’) theo bán kính R

b) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn : x2 – 2y2 = 1

Bài 3 (2,0 điểm) Gải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km.Khi đi từ B trở về A người đó tăng thêmvận tốc 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút.Tính vận tốc xe đạpkhi đi từ A đến B

11

Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R), dây BC cố định (BC < 2R) và điểm A di động trên cunglớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắtnhau ở H.

a) Chứng minh rằng tứ giác ADHE nội tiếp

b) Giả sử BAC 600, hãy tính khoảng cách từ tâm O đến cạnh BC theo R.

c) Chứng minh rằng đường thẳng kẻ qua A và vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cốđịnh

d) Phân giác góc ABD cắt CE tại M, cắt AC tại P Phân giác góc ACE cắt BD tại N, cắt

AB tại Q Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?

Bài 5 (1,0 điểm) Cho biểu thức: P = xy x(  2)(y6) 12 x2 24x3y218y36 Chứng minh Pluôn dương với mọi giá trị x;y R

Đề 3

Bài 1: ( 3,0 điểm)

a) Rút gọn: A = ( 12  2 27  3 ) : 3 b) Giải phương trình : x2 - 4x+ 3 =0

y x

y x

Bài 2: ( 1,5 điểm) Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + a

Bài 4: ( 3,5 điểm) Trên đường tròn (O,R) cho trước,vẽ dây cung AB cố định không di qua

O.Điểm M bất kỳ trên tia BA sao cho M nằm ngoài đường tròn (O,R).từ M kẻ hai tiếp tuyến MC

và MD với đường tròn (O,R) (C,D là hai tiếp điểm)

a\ Chứng minh tứ giác OCMD nội tiếp

b\ Chứng minh MC2 = MA.MB

c\ Gọi H là trung diểm đoạn AB , F là giao điểm của CD và OH

Chứng minh F là điểm cố định khi M thay đổi

Bài 5: ( 0,5 điểm) Cho a và b là hai số thỏa mãn đẳng thức: a2 + b2 + 3ab -8a - 8b - 2 3ab+19 =

a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm giá của của x để biểu thức B = 3

Câu 3.(1,5 điểm) Cho hệ phương trình: 2 1 (1)

12

2) Tìm giá trị của m để hệ phương trình (1) có nghiệm (x ; y) sao cho biểu thức P = x2 + y2

đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 4.(3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao BD

và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm P;đường thẳng CE cắt đường tròn (O) tại điêm thứ hai Q Chứng minh rằng:

a) BEDC là tứ giác nội tiếp b) HQ.HC = HP.HB

c) Đường thẳng DE song song với đường thẳng PQ

d) Đường thẳng OA là đường trung trực của đoạn thẳng P

Câu 5 (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực tùy ý Chứng minh: x2 + y2 + z2 – yz – 4x – 3y  -7

Câu 2: (1,5 điềm) Cho hàm số y = (2 – m)x – m + 3 (1)

a) Vẽ đồ thị (d) của hàm số khi m = 1 b) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1)đồng biến

Câu 3: (1 điềm) Giải hệ phương trình : 2 5

a) Phương trình x2 – x – 3 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 Tính giá trị: X = x1x2 + x2 x1 + 21

b) Một phòng họp dự định có 120 người dự họp, nhưng khi họp có 160 người tham dự nênphải kê thêm 2 dãy ghế, mỗi dãy phải kê thêm một ghế nữa thì vừa đủ Tính số dãy ghế dự địnhlúc đầu Biết rằng số dãy ghế lúc đầu trong phòng nhiều hơn 20 dãy ghế và số ghế trên mỗi dãy làbằng nhau

Câu 5: (1 điềm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Tính chu vi tam giác ABC biết:

AC = 5cm HC = 25

13 cm.

Câu 6: (2,5 điềm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB; Vẽ tiếp tuyến Ax, By với đườngtròn tâm O Lấy E trên nửa đường tròn, qua E vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt Ax tại D cắt By tạiC

a) Chứng minh: OADE nội tiếp được đường tròn

b) Nối AC cắt BD tại F Chứng minh: EF song song với AD

1 Cho phương trình x - 2m - (m + 4) = 02 2 (1), trong đó m là tham số

a) Chứng minh với mọi m phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt:

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm m để 2 2

1 2

x + x 20

2 Cho hàm số: y = mx + 1 (1), trong đó m là tham số

13

a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A (1;4) Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1)đồng biến hay nghịch biến trên R?

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y + 3 =0

Câu 3 (1,5 điểm): Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B dài 30 km Khi đi ngược trởlại từ B về A người đó tăng vận tốc thêm 3 (km/h) nên thời gia về ít hơn thời gian đi là 30 phút.Tính vận tốc của người đi xe đạp lúc đi từ A đến B

Câu 4 (2,5 điểm): Cho đường tròn tâm O, bán kính R Từ điểm A bên ngoài đường tròn, kẻ 2 tiếptuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Từ B, kẻ đường thẳng song song với ACcắt đường tròn tại D (D khác B) Nối AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K Nối BK cắt ACtại I

1 Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn

2 Chứng minh rằng : IC2 = IK.IB

3 Cho ·BAC 60 0 chứng minh ba điểm A, O, D thẳng hàng

Câu 5 (1,0 điểm): Cho ba số x, y, z thỏa mãn x, y, z  1: 3

Bài 2: (2điểm) Cho phương trình x22(m1)x m  4 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = -5

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c) Tìm m sao cho phương trình đã cho có hai nghiêm x1, x2 thỏa mãn hệ thức

2 2011

x x A

14

Câu 2 (2,5 điểm) 1) Cho hàm số bậc nhất ym– 2x m 3 (d)

Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trênđoạn thẳng AO lấy điểm M (M khác A và O) Tia CM cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là N

Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O; R) tại N Tiếp tuyến này cắt đường thẳng vuông góc với AB tại

5

1 3 2

y x y x

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình : 2x2 -5x+2=0

b) Tìm các giá trị tham số m để phương trình x2 –(2m-3)x+m(m-3)=0 có 2 nghiêm phânbiệt x1; x2 thỏa mãn điều kiện 2x1- x2=4

Câu 3 (1,5 điểm) Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi.Khi đi từ B đến A người

đó tăng vận tốc thêm 2 km/h so với lúc đi ,vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút tính vậntốc lúc đi từ A đến B ,biết quãng đường AB dài 30 km

Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R),M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA; MB với (O)

( A;B là tiếp điểm).Kẻ tia Mx nằm giữa MO và MA và cắt (O) tại C ;D.Gọi I là trung điểm CDđường thẳng OI cắt đường thẳng AB tại N;Giải sử H là giao của AB và MO

a) Chứng minh tứ giác MNIH nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh rằng tam giác OIH đồng dạng với tam giác OMN , từ đó suy raOI.ON=R2

c) Gỉa sử OM=2R ,chứng minh tam giác MAB đều

Câu 5 (1,0 điểm) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện: x 1  y y  y 1  x x

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3 2 2 8 5