Các ứng dụng của định lý vi et trong giải một số bài toán

UBND QUẬN NGÔ QUYỀN TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN “ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ” Tác giả : NGUYỄN THỊ HƯƠNG HẢI Trình độ chun mơn : Đại học sư phạm Toán Chức vụ : Giáo viên Nơi công tác : Trường THCS Chu Văn An Ngày 10 tháng năm 2019 BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy mơn Tốn bậc THCS Tác giả: Họ tên: NGUYỄN THỊ HƯƠNG HẢI Ngày/tháng/năm sinh: 30/05/1986 Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Chu Văn An Điện thoại DĐ: 0936934459 Đồng tác giả: Khơng có Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THCS Chu Văn An Địa chỉ: 69 Chu Văn An – Lê Lợi – Ngơ Quyền – Hải Phịng Điện thoại: 02253.566199 I Mô tả giải pháp biết: - Hệ thức Viét nội dung quan trọng chương trình Đại số Trong kỳ thi vào lớp 10 THPT hay vào trường chuyên lớp chọn phần khơng thể thiếu q trình ơn thi Để giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng môn nên thân chn sỏng kin: Các ứng dụng định lý Vi-ét giải số toán Túm tt tỡnh trạng giải pháp biết: - Bài tập không chia dạng cụ thể, đưa nêu cách giải - Tất đối tượng học sinh làm phần tập với nội dung công việc giống * Ưu điểm: - Giáo viên không nhiều thời gian chuẩn bị giao việc cho học sinh - Học sinh làm sau giáo viên hướng dẫn, học sinh dễ nhớ, làm theo định hướng GV * Nhược điểm: - Một sè häc sinh yếu không làm tập mức độ vận dng dn n hc sinh chán nn thiếu tËp trung, không muốn học - Một số học sinh giỏi làm tập dễ dẫn đến chán nản, khơng phát triển lực, trí tuệ học sinh - Việc không chia dạng tập dẫn đến học sinh gặp dạng tương tự cách làm Học sinh dễ quên kiến thức, làm không logic… II Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến II.0 Nội dung giải pháp đề xuất Để giúp học sinh phát triển trí tuệ, rèn luyện trí nhớ tạo điều kiện cho học sinh học tập sáng tạo tích cực tơi đưa giải pháp GIẢI PHÁP 1: CỦNG CỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN - Học sinh khắc sâu kiến thức - Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết chương trình cho học sinh nắm định lý Vi-ét: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) −b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a −b + ∆ −b − ∆ −2b −b Suy : x1 + x2 = + = = 2a 2a 2a a có nghiệm : x1 = x1 x2 ( −b + ∆ ) ( −b − ∆ ) = b = 4a ( ) 2 − ∆ b − b − 4ac 4ac c = = = 2 4a 4a 4a a Đặt S P tổng tích hai nghiệm phương trình Vậy: S = x1 + x2 = −b a P = x1.x2 = c a GIẢI PHÁP 2: PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP - Giáo viên soạn dạng toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải Trong đề tài tơi trình bày nhóm ứng dụng sau:  Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn  Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai  Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng  Ứng dụng 4: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình  Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số  Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm  Ứng dụng 7: Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai  Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm Cụ thể sau: I Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn: Dạng đặc biệt: Xét phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (*) a/ Nếu cho x = thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = hay a + b + c = Như vậy: phương trình có nghiệm x1 = nghiệm x2 = c a b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*) , ta có : a.(-1)2 +b.(-1)+c = hay a - b + c = Như vậy: phương trình có nghiệm x1 = -1 nghiệm x2 = −c a Ví dụ: Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: a/ 2x2 + 5x + = (1) b/ 3x2 + 8x - 11 = (2) Giải: Phương trình (1) có dạng a - b + c = 0, nên có nghiệm x1 = -1 nghiệm x2 = Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0, nên có nghiệm x1 = nghiệm x2 = −3 −11 Cho phương trình, có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm lại hệ số phương trình: Ví dụ: a/ Phương trình x2 – 2px + = có nghiệm x1 = 2, tìm p nghiệm b/ Phương trình x2 – 7x + q = có hiệu hai nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình c/ Tìm q hai nghiệm phương trình : x –qx +50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm nghiệm lần nghiệm Giải: a/ Ta thay x1 = vào phương trình x2 – 2px + = , ta được: – 4p + = ⇒ p= 5 Theo hệ thức Vi-ét : x1 x2 = suy ra: x2 = x = b/ Vì vai trị x1 , x2 bình đẳng nên theo đề giả sử: x1 - x2 =11 theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = ta có hệ phương trình sau:  x1 − x2 = 11  x1 = ⇔   x1 + x2 =  x2 = −2 Suy ra: q = x1 x2 = 9.(-2)= -18 c/ Vì vai trị x1 , x2 bình đẳng nên theo đề giả sử: x1 = 2x2 theo hệ thức Vi-ét: x1 x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:  x1 = x2 x = ⇔ x2 = 50 ⇔ x2 = 52 ⇔    x1.x2 = 50  x2 = −5 Với x2 = x1 = 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = + 10 = 15 Với x2 = −5 x1 = −10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15 II Lập phương trình bậc hai : Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1, x2 Ví dụ: Cho x1= 3; x2= Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm  S = x1 + x2 =  P = x1.x2 = Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  Vậy x1; x2 nghiệm phương trình có dạng: x2 – Sx + P = ⇔ x2 – 5x + = 2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trìnhcho trước Ví dụ: Cho phương trình x2 – 3x + = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1 = x2 + x 1 y2 = x1 + x2 Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 1 1 x +x + x1 + = ( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) + = + = x1 x2 x1 x2  x1 x2   1 1 1 P = y1 y2 =  x2 + ÷  x1 + ÷ = x1.x2 + + + = +1+1+ = x1   x2  x1 x2 2  S = y1 + y2 = x2 + Vậy phương trình cần lập có dạng: y − Sy + P = hay y − 9 y + = ⇔ y2 − y + = 2 III Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình : x2 – Sx + P = (đk: S2 - 4P ≥ 0) Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - tích P = a.b = - Giải: Vì: S = a + b = - tích P = a.b = - Nên a, b hai nghiệm phương trình: x2 + 3x – = giải phương trình ta x1= x2= - Vậy a = b = - a = - b = Bài tập áp dụng: Tìm hai số a, b biết tổng S tích P: a/ S = P = b/ S = -3 P = c/ S = P = 20 d/ S = 2x P = x2 – y2 Bài tập nâng cao: Tìm hai số a, b biết: a/ a + b = a2 + b2 = 41 b/ a - b = a.b = 36 2 c/ a + b =61 a.b = 30 IV Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình: Điều quan trọng toán dạng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S tích hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét tính giá trị biểu thức 1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 x1 x2 Ví dụ 1: a/ x12 + x2 = ( x12 + x1 x2 + x2 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 3 2 b/ x1 + x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2  c/ x14 + x2 = ( x12 ) + ( x2 ) = ( x12 + x2 ) − x12 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2  − x12 x2 2 2 x1 + x2 d/ x + x = x x 2 Ví dụ 2: x1 − x2 = ? 2 Ta biến đổi ( x1 − x2 ) = x12 − x1 x2 + x2 = ( x12 + x1 x2 + x2 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ⇒ x1 − x2 = ± ( x1 + x2 ) − x1 x2 Bài tập áp dụng: Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: 2 a/ x12 − x2 = ? ( HD x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) = ) 3 2 b/ x13 − x23 = ? (HD x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x1 x2 + x2 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  = ) c/ x16 + x26 = ? ( HD x16 + x26 = ( x12 ) + ( x2 ) = ( x12 + x2 ) ( x14 − x12 x2 + x2 ) = ) 2/ Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm Ví dụ : Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Khơng giải phương trình, tính: 3 b/ x + x a/ x12 + x2 Giải:  S = x1 + x2 =  P = x1.x2 = 15 Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:  a/ x12 + x2 = ( x12 + x1 x2 + x2 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 82 − 2.15 = 34 1 x1 + x2 b/ x + x = x x = 18 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Khơng giải phương trình, tính: a/ ( x12 + x2 ) x1 x2 (Đáp án: 46) 34 b/ x + x (Đáp án: ) 15 2/ Cho phương trình: 2x2 - 3x + = 0, Khơng giải phương trình, tính: a/ x12 + x2 x1 x2 − x1 − x2 (Đáp án: 1) b/ x + + x + 1 (Đáp án: ) c/ x + x (Đáp án: 3) d/ x + x (Đáp án: 1) 2 V Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số : Để làm toán dạng này, ta làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ≥ 0) - Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Ví dụ : Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - = có nghiệm x x2 Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho chúng khơng phụ thuộc vào m Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m ≠  m ≠ m − ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔   m − ( m − 1) ( m − ) ≥ ∆ ' ≥ 5m − ≥  m ≥ 2m    S = x1 + x2 = m − S = x1 + x2 = + m − (1) ⇔ Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:  m −  P = x x =  P = x x = − (2) 2   m −1 m −1 2 Rút m từ (1), ta có: m − = x1 + x2 − ⇔ m − = x + x − (3) 3 Rút m từ (2), ta có: m − = − x1 x2 ⇔ m − = − x x (4) Từ (3) (4), ta có: = ⇔ ( − x1 x2 ) = ( x1 + x2 − ) ⇔ ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = x1 + x2 − − x1 x2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có nghiệm x x2 Hãy lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho x1 x2 độc lập m Hướng dẫn: - Tính  ta được: = (m - 2)2 + > phương trình có nghiệm phân biệt - Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi : ( x1 + x2 ) − x1 x2 − = độc lập m 2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có nghiệm x x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho x1 x2 không phụ thuộc giá trị m VI Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ≥ 0) - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ : Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1 + x2 = x1 x2 Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì:  m ≠ m − ≠ m ≠ ⇔ ⇔    2 ∆ ' ≥ ∆ ' = m − 2m + − 9m + 27 ≥  ∆ ' = 3 ( m − 21)  − ( m − 3) m ≥ m ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ∆ ' = ( m − 1) ≥  m ≥ −1 6(m − 1)   S = x1 + x2 = m Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:   P = x x = 9( m − 3)  m Vì x1 + x2 = x1 x2 (giả thiết) 6(m − 1) 9( m − 3) = ⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 3m = 21 ⇔ m = ( thỏa mãn) Nên m m ( ) Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + =0 Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1 − x2 = 2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - =0 Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1 + 3x2 = Hướng dẫn: Đối với tập dạng ta thấy có điều khác so với tập VD1 VD2 chỗ: + Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm x1 + x2 tích nghiệm x1 x2 nên ta vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m + Cịn tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn vậy, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 + x2 tích nghiệm x1 x2 từ vận dụng tương tự cách làm trình bày VD1 VD2 VII Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm,… Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 ± trái dấu ± dấu dương + âm - x2 S = x + x2 P = x1 x2 P0 P>0 P>0 m ± + - S>0 S ≥0 ; P > ; S > ≥0 ; P > ; S < Ví dụ : Xác định tham số m cho phương trình: x – (3m + 1) x + m2 – m – = có nghiệm trái dấu Giải: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: ( )  ∆ = ( 3m + 1) − 4.2 m − m − ≥ ∆ = ( m − ) ≥ 0∀m ∆ ≥  ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m <  m2 − m − P < P =  P = ( m − 3) ( m + ) <