Ứng dụng của hàng điểm điều hòa trong giải một số bài toán hình học sơ cấp

-1- ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN - - NGUYỄN THỊ THƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC SƠ CẤP KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP MỤC LỤC SVTH: Nguyễn Thị Thương -2- Mục lục………………………………………………………………………….1 Mở đầu………………………………………………………………………… Lời cảm ơn…………………………………………………………………… Chương I: Kiến thức tảng………………………………………………… Tỉ số kép tính chất tỉ số kép………………………………… Định lý Ceva định lý Menelauyt…………………………………… Tứ giác toàn phần…………………………………………………………6 Hàng điểm điều hòa………………………………………………………7 Chùm điều hòa……………………………………………………………9 Đường tròn trực giao…………………………………………………….13 Tứ giác điều hòa…………………………………………………………13 Cực đối cực………………………………………………………… 16 Chương II: Ứng dụng hàng điểm điều hòa giải số tốn hình học sơ cấp………………………………………………………………………22 Chương III: Khám phá ứng dụng cực đối cực………………………….43 Bài toán quan hệ vng góc hai đường thẳng………………… 43 Bài tốn chứng minh tính thẳng hàng đồng quy…………………… 46 Bài toán chứng minh đường thẳng qua điểm cố định………… 49 Một số toán khác………………………………………………….…51 Kết luận……………………………………………………………………… 54 Tài liệu tham khảo ………………………………………………………… …55 MỞ ĐẦU SVTH: Nguyễn Thị Thương -3- I Lý mục đích chọn đề tài: Trong chương trình Hình học năm học phổ thông, lượng lớn tập chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh đường thẳng đồng quy, toán quan hệ vng góc, song song hai đường thẳng, đường phân giác góc…Đơi việc giải tốn khó khăn, chưa xác định hướng giải Tuy nhiên sau học tỉ số kép, hàng điểm điều hòa số kết liên quan hàng điểm điều hịa việc giải số toán trở nên đơn giản, ngắn gọn nhiều Một mục tiêu giáo dục nhà trường Trung học phổ thông truyền thụ cho học sinh kiến thức, rèn luyện nhân cách mà dạy cho em biết cách học Nghĩa dạy cho em biết cách khai thác kiến thức cho hiệu có số phương pháp giải cho loại tốn Thích thú trước ứng dụng hay, bổ ích việc dùng hàng điểm điều hòa số toán chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh đường thẳng đồng quy, chứng minh đường thẳng vng góc, song song, hai góc nhau…và với mong muốn nghiên cứu sâu mảng kiến thức ứng dụng vào giải toán nhanh gọn để tích lũy kinh nghiệm cho cơng tác giảng dạy sau này, đồng thời mong muốn góp thêm chút tài liệu cho bạn sinh viên học sinh quan tâm đến Hình học phổ thơng, tơi chọn đề tài nghiên cứu: “ Ứng dụng hàng điểm điều hòa giải số tốn hình học sơ cấp” II Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu ứng dụng hàng điểm điều hòa số toán chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh đường thẳng đồng quy, đường thẳng vng góc, đường phân giác góc…Từ đưa số toán để thấy việc dùng hàng điểm điều hịa giải tốn hình học Phạm vi nghiên cứu chương trình tốn phổ thơng, tốn nâng cao phổ thơng Phương pháp nghiên cứu tìm đọc tài liệu hàng điểm điều hòa tính chất, tốn chứng minh tính thẳng hàng, đồng quy, vng góc, SVTH: Nguyễn Thị Thương -4- song song…, phân tích tài liệu, hệ thống hóa, khái quát hóa tài liệu kiểm chứng LỜI CẢM ƠN SVTH: Nguyễn Thị Thương -5- Việc thực đề tài luận văn đánh dấu bước ngoặt to lớn đời tôi: rời giảng đường Đại học Sư phạm để thực bước vào đời Bước ngoặt khiến cho tơi cảm nhận niềm hân hoan chào đón tương lai mẻ phía trước, vừa khiến cho lo lắng, hồi hộp luyến tiếc Trước tiên, muốn dành lời cảm ơn cho thầy trực tiếp giảng dạy dìu dắt suốt năm đại học Tôi biết ơn thầy cô truyền thụ cho kiến thức giáo dục đạo làm người Cầu chúc cho thầy gia đình sức khỏe, hạnh phúc Tơi xin cảm ơn thầy Tần Bình nhiệt tình hướng dẫn sữa chữa sai sót tơi trình thực đề tài luận văn Nhờ giúp đỡ tận tình lời động viên khích lệ kịp thời thầy mà tơi hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp Sau nữa, tơi muốn cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô nhân viên trường tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập trường Tơi xin cảm ơn gia đình tơi, bạn bè tơi cho tơi mượn tài liệu, giúp đỡ động viên suốt thời gian học tập làm đề tài luận văn Đà Nẵng, ngày 20 tháng năm 2012 Nguyễn Thị Thương CHƯƠNG I: KIẾN THỨC NỀN TẢNG SVTH: Nguyễn Thị Thương -6- Tỉ số kép tính chất tỉ số kép Định nghĩa: Cho tập hợp có thứ tự gồm điểm A, B, C, D phân biệt nằm đường thẳng định hướng Ta gọi tỉ số CA DA tỉ : CB DB số kép điểm A, B, C, D Kí hiệu (ABCD) CA DA = k  k  0,1 : CB DB Các tính chất tỉ số kép: Ta có  ABCD    CDAB   BADC    DCBA   ABCD  k   DCAB    ABDC   CDBA   BACD    CADB   BDAC    DBCA   ACBD   k   ACDB    DBAC    BDCA   CABD     k 1 k k  ADCB    DABC    BCDA   CBAD   k 1 k 1  DACB    ADBC    CBDA   BCAD   k Định lý Ceva định lý Menelauyt: Cho điểm A’, B’, C’ nằm cạnh BC, CA, AB ∆ABC 2.1 Định lý Menelauyt: điểm A’, B’, C’ thẳng hàng  C ' A A' B B 'C 1 C ' B A'C B ' A 2.2 Định lý Ceva: SVTH: Nguyễn Thị Thương -7- đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy song song  C ' A A' B B 'C  1 C ' B A'C B ' A Tứ giác toàn phần Định nghĩa: Tứ giác toàn phần hình tạo nên đường thẳng, đơi cắt khơng có đường đồng quy Định lý: Trong tứ giác toàn phần, trung điểm đường chéo thẳng hàng +Chứng minh: Hình -Trên hình 1, ta có tứ giác toàn phần với cạnh AC’, B’C’, CA, BC với đỉnh A, B, C, A’, B’, C’ đường chéo AA’, BB’, CC’ Ta cần SVTH: Nguyễn Thị Thương -8- chứng minh trung điểm A2 , B2 , C2 đường chéo AA’, BB’, CC’ nói thẳng hàng -Vì BC đường trung bình tam giác ABC nên A2 , B2 , C2 1 , C1 A1 , AB 1 thuộc BC 1 , C1 A1 , AB 1 ' A2 B1 AC  Do đó: A2C1 A' B B2C1 B' A  B2 A1 B'C C2 A1 C ' B  C2 B1 C ' A Nhân vế đẳng thức ta được: ' A2 B1 B2C1 C2 A1 AC B' A C ' B  A2C1 B2 A1 C2 B1 A' B B'C C ' A Vì A’, B’, C’ thẳng hàng nên theo định lý Menelauyt, vế phải Do đó: A2 B1 B2C1 C2 A1 1 A2C1 B2 A1 C2 B1 Hệ thức chứng tỏ ba điểm A2 , B2 , C2 thẳng hàng Hàng điểm điều hòa: Định nghĩa: Với điểm thẳng hàng A, B, C, D Nếu  ABCD   1 ta bảo chúng hàng điểm điều hòa ( A, B chia điều hòa CD A, B liên hợp điều hịa với CD) Ta có :  ABCD   1  CA DA :  1 CB DB Hay  ABCD  1  CA DA  CB DB SVTH: Nguyễn Thị Thương -9- Tính chất: -  ABCD    BADC   CDAB    DCBA  1 - Nếu  ABCD   1  1 , đó:  ABCD   BACD   ABDC   1 - Hệ thức Decac:  ABCD   1  1   AB AC AD + Chứng minh: AC BC BD BC    AD BD AD AC Ta có :  ABCD  1  BA  AD BA  AC      AB.   AC AD  AC AD  1    AB AC AD - Hệ thức Newton:   ABCD   1  IA  IC.ID với I trung điểm AB + Chứng minh: Ta có:  ABCD   1   AC BC AI  IC BI  IC    AD BD AI  ID BI  ID AI  IC  AI  IC  (vì I trung điểm đoạn AB) AI  ID  AI  ID  IA2  IC.ID - Hệ thức Maclaurin:  CD.CI  ABCD   1  CACB với I trung điểm AB +Chứng minh: Áp dụng hệ thức Decac, ta có:  ABCD  1  1 CA  CB    CD CA CB CACB SVTH: Nguyễn Thị Thương -10-  CACB   CD CA  CB   CACB  CD.CI Chùm điều hòa: 5.1 Chùm đường thẳng: Xét mặt phẳng, ta có: a Định nghĩa: Một tập hợp đường thẳng đồng quy điểm gọi chùm đường thẳng Điểm đồng quy gọi tâm chùm -Mở rộng: Người ta coi tập hợp đường thẳng song song chùm đường thẳng có tâm vơ tận b Định lý: Một chùm bốn đường thẳng cắt cát tuyến thay đổi theo hàng điểm có tỉ số kép không đổi +Chứng minh: -Giả sử đường thẳng a, b, c, d tâm O cắt cát tuyến m, m’ khơng qua tâm O theo hàng điểm A, B, C, D A’, B’, C’, D’ Ta cần chứng minh (ABCD)=(A’B’C’D’) Qua điểm B ta dựng đường thẳng MBN song song với đường thẳng a cắt c d M N CA OA DA OA ,   CB MB DB NB Chia vế đẳng thức ta có: Ta có: CA DA NB CA DA mà :  :   ABCD  CB DB MB CB DB NB MB Tương tự, qua điểm B’ dựng đường thẳng B’M’N’ song song với a cắt c Nên  ABCD   d M’ N’ ta có  ABCD   SVTH: Nguyễn Thị Thương N 'B' M 'B' -42- Bài toán 12: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I D, E, F tiếp điểm (I) với BC, CA, AB Gọi X , Y, Z giao điểm AD với (I), BX với (I), CX với (I) AD, BE, CF đồng quy Chứng minh BZ, CY, AX đồng quy Giải: Tại X kẻ tiếp tuyến với (I) cắt BC K Trong tứ giác EDFX có AD, tiếp tuyến E, F đồng quy A  EDFX tứ giác điều hòa Mà XK, DK tiếp tuyến (I) X D  F, E, K thẳng hàng Mặt khác AD, BE, CF đồng quy nên  KDCB   1 (theo 6)  X  KDCB   1 uuur uuur sin XK , XC sin  uuur uuur : sin XK , XB sin         uuur uuur XD, XC uuur uuur  1 XD, XB · sin  ZXD     1  : · D sin  · XDY  sin  YX  · sin  · XDZ  sin  ZXD  1  : · D sin  · XDY  sin  YX  sin · XDZ  XZ ZD XZ YD : 1  1 XY YD XY ZD SVTH: Nguyễn Thị Thương (1) -43- Theo định lý Ceva BZ, CY, AX đồng quy  YB ZX DC  1 YX ZC DB  YB ZX DC  (do D  BC ,Y  BX , Z  XC ) YX ZC DB  YB DC ZX 1 BD ZC XY  YD XD ZX 1 XD DZ XY YD ZX 1 (luôn theo (1)) DZ XY Vậy BZ, CY, AX đồng quy (đpcm)  SVTH: Nguyễn Thị Thương -44- CHƯƠNG III: KHÁM PHÁ ỨNG DỤNG CỦA CỰC VÀ ĐỐI CỰC Bài tốn quan hệ vng góc hai đường thẳng: Bài tốn 13: Cho đường trịn tâm O điểm S không nằm (O) Từ S kẻ tới (O) hai cát tuyến SAB, SCD Giả sử AD cắt BC E, AC cắt BD F Chứng minh EF đường đối cực S (O) Giải: Giả sử EF cắt AB, CD M, N Xét tam giác FCD có FN, DA, CB đồng quy E A, B, N nằm cạnh FC, FD, DC nên áp dụng toán chương II suy  SNCD   1 (1) Tương tự xét tam giác FAB có FM, AD, BC đồng quy E M, D, C nằm cạnh AB, BF, FA nên suy  SMAB   1 (2) Từ (1)  N điểm liên hợp S (O) Từ (2)  M điểm liên hợp S (O)  MN đường đối cực S (O) hay EF đường đối cực S (O) (đpcm) Bài toán 14: (T7/362 tạp chí tốn học tuổi trẻ) Giả sử đường trịn (O) với tâm O bán kính R Qua M nằm (O) vẽ hai dây cung CD EF không qua tâm O Hai tiếp tuyến C, D (O) cắt SVTH: Nguyễn Thị Thương -45- A, hai tiếp tuyến E, F (O) cắt B Chứng minh OM AB vng góc Giải: Xét cực đối cực đường trịn tâm O Vì hai tiếp tuyến C D cắt A  CD đường đối cực A Tương tự EF đường đối cực B CD qua M nên đường đối cực M qua A (theo định lý 1) EF qua M nên đường đối cực M qua B  AB đường đối cực M đường tròn (O)  AB  OM Bài toán 15: (định lý Brokard) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Giả sử AC cắt BD M, AB cắt CD N, AD cắt BC P Chứng minh O trực tâm tam giác MNP Giải: Xét cực đối cực đường tròn (O) Ta có PM đường đối cực N (theo 13)  PM  ON (1) SVTH: Nguyễn Thị Thương -46- Tương tự ta có MN đường đối cực P  MN  OP (2) Từ (1) (2) suy O trực tâm tam giác MNP Bài toán 16: Cho tam giác ABC cân A Hai đường thẳng d1, d2 qua A Các đường thẳng qua B, C tương ứng vng góc với d1, d2 cắt D Đường thẳng qua B vng góc với AB cắt d1 E Đường thẳng qua C vng góc với AC cắt d F Chứng minh AD vng góc với EF Giải: ABC cân A  AB  AC Vẽ đường trịn tâm A bán kính AB  B, C   A Gọi d đường thẳng qua B vng góc với d1 , d đường thẳng qua C vng góc với d Xét cực đối cực đường tròn tâm A Vì BE  AB, CF  AC  BE, CF hai tiếp tuyến B C đường tròn tâm A Nhận thấy:  Đường đối cực E qua B vng góc với AE  đường đối cực E d  Đường đối cực F qua C vng góc với AF  đường đối cực F d Lại có D  d3  đường đối cực D qua E D  d4  đường đối cực D qua F  EF đường đối cực D hay D cực EF đường tròn (A) Suy AD  EF (đpcm) SVTH: Nguyễn Thị Thương -47- Bài toán chứng minh tính thẳng hàng đồng quy: Bài tốn 17: Cho tam giác ABC với (I) đường tròn nội tiếp Tiếp điểm (I) BC, CA, AB D, E, F Gọi M, N, P điểm chung cặp đường thẳng (EF, BC), (DF, CA), (DE, AB) Chứng minh M, N, P thẳng hàng Giải: Xét cực đối cực (I) Ta có EF đường đối cực A Vì EF qua M  Đường đối cực M qua A (theo định lý 1) (1) Mặt khác, D tiếp điểm, M  DC (2)  Đường đối cực M qua D Từ (1) (2)  AD đường đối cực M Tương tự: ta chứng minh BE đường đối cực N CF đường đối cực P Xét tam giác ABC có E, F, D nằm AC, AB, BC FA DB EC  1 (vì AF=AE, BF=BD, CD=CE theo tính chất tiếp tuyến) FB DC EA Nên theo định luật Ceva  AD, BE, CF đồng quy  M, N, P thẳng hàng ( theo định lý 2) SVTH: Nguyễn Thị Thương -48- Bài toán 18: (Định lý Brianchon) Chứng minh hình lục giác ngoại tiếp đường tròn (các cạnh lục giác tiếp xúc với đường trịn) đường thẳng nối đỉnh đối diện lục giác đồng quy điểm ( điểm gọi điểm Brianchon) Giải: Giả sử ABCDEF lục giác ngoại tiếp đường tròn Các cạnh AB, BC,CD, DE, EF, FA tiếp xúc với đường tròn điểm A1, B1, C1, D1, E1, F1 Các đường thẳng A1B1, B1C1, C1D1, D1E1, E1F1, F1A1 theo thứ tự đường đối cực điểm B, C, D, E, F, A Theo định lý Pascal, lục giác A1B1C1D1E1F1 nội tiếp đường tròn nên có ba cặp cạnh đối diện A1B1 E1D1, B1C1 E1F1 , C1D1 F1A1 cắt theo giao điểm thẳng hàng Gọi O  AB 1  E1D1 , G  BC 1  E1F1 , H  C1D1  F1 A1 Ta có BE, CF, AD đường đối cực điểm O, G, H mà O, G, H cực nằm đường thẳng Do theo định lý suy AD, BE, CF đồng quy SVTH: Nguyễn Thị Thương -49- Bài toán 19: Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F Đường tròn nội tiếp tam giác DEF tiếp xúc với EF, FD, DE M, P, N Chứng minh AM, BP, CN đồng quy Giải: Gọi I, O tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF ABC Gọi H, K, L giao điểm cặp đường thẳng (NP, EF), (MN, FD), (MP, DE) Theo 17, ta có H, K, L thẳng hàng (*) Lại có DM, FN, EP đồng quy ( theo chứng minh 17) Nên  HMEF   1 (theo chương II) Do đó, M thuộc đường đối cực H (O) Mặt khác, EF đường đối cực A, H  EF  A thuộc đường đối cực H (O) (1)  MA đường đối cực H (O) Tương tự: BP đường đối cực K (O) (2) CN đường đối cực L (O) (3) Từ (1), (2), (3) (*)  AM, BP, CN đồng quy (theo định lý 2) SVTH: Nguyễn Thị Thương -50- Bài toán 20: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M, N trung điểm AB, CD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN cắt lại CD P, đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt lại AB Q Chứng minh AC, PQ, BD đồng quy Giải: Gọi S  AB  CD , d đường đối cực S (O), I  AC  BD Theo 13  I  d (1) Lại có :  SM SQ  SC.SD  SA.SB M trung điểm đoạn AB nên theo hệ thức Maclaurin suy  SQAB   1  S Q liên hợp (O)  Q nằm đường đối cực S hay Q  d (2)  SP.SN  SASB  SD.SC N trung điểm đoạn CD suy  SPDC   1  S P liên hợp (O)  P nằm đường đối cực S hay P  d (3) Từ (1), (2) (3)  Q, I, P thẳng hàng  AC, BD, QP đồng quy I (đpcm) Bài toán chứng minh đường thẳng qua điểm cố định: Bài tốn 21: Cho đường trịn tâm O đường thẳng d nằm (O) Một điểm S chạy d Từ S kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA, SB (A, B tiếp điểm) Chứng minh S chạy d AB ln qua điểm cố định Giải: Xét cực đối cực đường tròn tâm O Gọi I cực d Vì d cố định nên I cố định Mà S thuộc d nên đường đường đối cực S qua cực d hay đường đối cực S qua I SVTH: Nguyễn Thị Thương -51- Lại có AB đường đối cực S Suy AB qua điểm I cố định Bài tốn 22: (Trích thi học sinh giỏi Quốc gia Việt Nam bảng A năm học 2004-2005) Trong mặt phẳng cho đường trịn (O) cố định bán kính R Cho A, B hai điểm cố định nằm (O) cho điểm A, B, O không thẳng hàng Xét điểm C nằm đường tròn (O), C khơng trùng với A B Dựng đường trịn ( O1 ) qua A tiếp xúc với đường thẳng BC C, dựng đường tròn ( O2 ) qua B tiếp xúc với đường thẳng AC C Hai đường tròn cắt điểm thứ hai D khác C Chứng minh rằng: a, CD  R b, Đường thẳng CD qua điểm cố định điểm C di động đường trịn (O) cho C khơng trùng với A B Giải: a, Vì OC  CB, O2O  CB  OC PO2O 1 SVTH: Nguyễn Thị Thương -52- Tương tự O2C POO Suy OO1CO2 hình bình hành nên OO qua trung điểm OC Mà OO qua trung điểm CD nên OO 2 POD Lại có OO  CD · Nên ODC  900 Do CD  OC   R  (đpcm) b, Ta có:  DA, DB    DA, DC    DC, DB    O A, O C   O C, O B  1 2   CA, CB    OA, OB  mod    A, D, O, B thuộc đường tròn Ta thấy OD, AB, tiếp tuyến C (O) trục đẳng phương cặp đường tròn (ADOB) (COD), (O) (ADOB), (O) (COD) Do đường nói đồng quy điểm S Xét cực đối cực (O) Ta có đường đối cực S phải qua C vng góc với OS nên CD đường đối cực S Vì S thuộc AB cố định nên CD qua cực AB điểm cố định (đpcm) Một số toán khác: Bài toán 23: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) AC cắt BD I Gọi M, N giao điểm thứ hai cặp đường tròn: (AOB) (COD), (BOC) (AOD) Chứng minh O, I, M, N nằm đường tròn Giải: Xét cực đối cực đường tròn (O) Ta thấy AB, OM, CD trục đẳng phương cặp đường tròn (AOB) (O), (AOB) (COD), (COD) (O) nên AB, CD, OM đồng quy điểm Gọi S điểm đồng quy SO cắt (O) E, F SVTH: Nguyễn Thị Thương -53- Ta thấy: SE.SF  SASB  SM SO , lại có O trung điểm EF   SMEF   1  M thuộc đường đối cực S Lại có I thuộc đường đối cực S (1) (2) ·  900 (3) Từ (1) (2)  IM đường đối cực S, IMO ·  900 (4) Tương tự có INO Từ (3) (4) suy điều phải chứng minh Bài toán 24: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) AB cắt CD E, AD cắt BC F, AC cắt BD · I, OI cắt EF H Chứng minh · AHD  BHC Giải: SVTH: Nguyễn Thị Thương -54- Xét cực đối cực (O) Ta có EF đường đối cực I  OI  EF Gọi J  AC  EF   JIAC   1 Vì OI  EF  H  OH  EF Do HI phân giác · AHC (1) Tương tự gọi K  BD  EF  KIDB   1 HK  HI nên suy HI · phân giác BHD (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh SVTH: Nguyễn Thị Thương -55- KẾT LUẬN Đề tài “Ứng dụng hàng điểm điều hịa giải số tốn hình học sơ cấp” đạt kết sau: - Nghiên cứu, vận dụng kiến thức hàng điểm điều hòa vào việc giải số tốn hình học chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh đường thẳng đồng quy, toán quan hệ vng góc, song song hai đường thẳng, toán xác định đường phân giác góc… số tốn trở nên dễ dàng ngắn gọn, dễ hiểu so với dùng phương pháp khác - Ngoài việc nêu ưu điểm việc sử dụng hàng điểm điều hòa số kết liên quan việc giải tốn hình học, đề tài cịn xếp toán thành chuỗi liên quan, giúp người đọc dễ dàng nắm vững kiến thức, qua rèn luyện kĩ nhìn hướng giải cho tốn nhanh chóng - Đề tài có ý nghĩa thực tiễn làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Toán cho học sinh giáo viên Trung học phổ thơng q trình dạy học mơn Hình học Tơi hy vọng ứng dụng hàng điểm điều hòa tiếp tục nghiên cứu, mở rộng để đưa nhiều phương pháp giải tốn hình học nhanh hơn, gọn nhẹ SVTH: Nguyễn Thị Thương -56- TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số toán dùng cực đối cực – Neverstop (dienđantoanhoc.net) Cực đối cực – Dương Bửu Lộc –THPT chuyên Trần Đại Nghĩa Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10 – Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình – NXB GD Các phép biến hình mặt phẳng – Nguyễn Mộng Hy – NXB GD Tạp chí tốn học tuổi trẻ - NXB GD http://forum.mathscope.org Các chuyên đề bồi dưỡng hình học học sinh giỏi toán Trung học sở - Trần Văn Tấn Tứ giác điều hòa – Phan Nguyễn Văn Trường, Lục Đình Khánh, Bùi Hà Đăng Quang – Lớp 10 Tốn Trường phổ thông Năng Khiếu Tỉ số kép hàng điểm áp dụng – Nguyễn Đình Thành Cơng, Nguyễn Phương Mai SVTH: Nguyễn Thị Thương ... Thị Thương -23- CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC SƠ CẤP Bài tốn 1: Cho điểm A, B, C, D lập thành hàng điểm điều hòa Chứng minh: a, 1 1    0 AC... cứu: “ Ứng dụng hàng điểm điều hịa giải số tốn hình học sơ cấp? ?? II Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu ứng dụng hàng điểm điều hịa số tốn chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh... giác điều hòa? ??………………………………………………………13 Cực đối cực………………………………………………………… 16 Chương II: Ứng dụng hàng điểm điều hòa giải số tốn hình học sơ cấp? ??……………………………………………………………………22 Chương III: Khám phá ứng