Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng (LV thạc sĩ)

Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng (LV thạc sĩ)Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng (LV thạc sĩ)Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng (LV thạc sĩ)Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng (LV thạc sĩ)Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng (LV thạc sĩ)Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng (LV thạc sĩ)Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng (LV thạc sĩ)Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng (LV thạc sĩ)Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng (LV thạc sĩ)Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng (LV thạc sĩ)Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng (LV thạc sĩ)Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng (LV thạc sĩ)Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng (LV thạc sĩ)

NGUYỄN THẾ NGHĨA

SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA

TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

NGUYỄN THẾ NGHĨA

SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA

TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN DANH NAM

THÁI NGUYÊN - 2016

Mục lục

Trang

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Tỉ số đơn, tỉ số kép và hàng điểm điều hòa 2

1.2 Chùm đường thẳng và tứ giác toàn phần 5

1.3 Đường tròn trực giao 9

1.4 Cực và đường đối cực 9

1.5 Cách xác định cực và đường đối cực 16

Chương 2: SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 19

2.1 Chứng minh hàng điểm điều hòa 19

2.2 Chứng minh vuông góc 25

2.3 Chứng minh song song 31

2.4 Chứng minh thẳng hàng 33

2.5 Chứng minh đồng quy 40

2.6 Chứng minh điểm cố định 46

2.7 Chứng minh đẳng thức 55

2.8 Một số bài toán khác 64

KẾT LUẬN 71

TÀI LIỆU THAM KHẢO 72

LỜI MỞ ĐẦU

Hình học phẳng là một chủ đề hấp dẫn trong các kì thi học sinh giỏi Một bài toán hình học phẳng luôn có thể được giải bằng nhiều cách khác nhau, trong đó áp dụng các khái niệm “hàng điểm điều hòa”, “cực và đường đối cực” được vận dụng

để giải các bài toán sẽ cho lời giải một cách ngắn gọn và đẹp mắt Đây là những công cụ mạnh và thú vị của hình học Kiến thức về chùm đường thẳng, phép chiếu xuyên tâm, đặc biệt là chùm đường thẳng điều hòa, tứ giác toàn phần cũng được sử dụng để tìm kiếm các hàng điểm điều hòa Khi xuất hiện các hàng điểm điều hòa, chúng ta dễ dàng sử dụng các kết quả liên quan như hệ thức Đề-các, hệ thức Niu-tơn và hệ thức Mácloranh trong giải bài toán hình học phẳng

Với hướng khai thác các hàng điểm điều hòa đơn giản và các hàng điểm điều hòa xuất hiện từ quan hệ giữa cực và đường đối cực của một điểm đối với một cặp đường thẳng cắt nhau hoặc đối với một đường tròn nào đó để giải các dạng toán hình học như: chứng minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứng minh song song, chứng minh vuông góc, chứng minh điểm cố định, chứng minh đẳng thức, bài toán quỹ tích và bài toán dựng hình Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm đến các bài toán có liên quan đến hàng điểm điều hòa xuất hiện trong các cuộc thi học sinh giỏi toán quốc gia và toán quốc tế Các bài toán về hàng điểm điều hòa trong luận văn đã được lựa chọn với lời giải của có tính độc đáo và thú vị hơn so với các phương pháp thường gặp Do vậy, có thể nói kết quả của luận văn cung cấp một công cụ mới cho học sinh trong việc tiếp cận và giải các bài toán hình học phẳng, đặc biệt là các bài toán xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Danh Nam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các GS, PGS, TS và các thầy cô giảng viên của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Tỉ số đơn, tỉ số kép và hàng điểm điều hòa

1.1.1 Độ dài đại số

Trên đường thẳng d chọn véctơ đơn vị e thì ta có trục d và hướng của e là

hướng của trục d

một số có giá trị tuyệt đối bằng AB và số đó dương nếu AB cùng hướng với e và

số đó âm nếu AB ngược hướng với e Kí hiệu:AB

điểm C sao cho (ABC) = k

1) Tỉ số kép của bốn điểm là không thay đổi trong các trường hợp sau:

+ Nếu hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối: (ABCD) = (CDAB)

+ Nếu đồng thời hoán vị hai điểm đầu và hai điểm cuối:

(ABCD) = (BADC)

+ Nếu viết chúng theo thứ tự ngược lại: (ABCD) = (DCBA)

2) Tỉ số kép của bốn điểm thay đổi trong các trường hợp:

+ Nếu hoán vị hai điểm đầu hoặc hai điểm cuối thì tỉ số kép của bốn điểm trở thành số đảo ngược của nó:

1.1.4 Hàng điểm điều hoà

Định nghĩa 1.4 [1] Nếu (ABCD) = -1 thì ta nói bốn điểm A, B, C, D lập

thành một hàng điểm điều hoà hay A, B chia điều hoà C, D hay A, B liên hợp điều hoà đối với C, D

3) Hệ thức Mácloranh: AC AD AB.AJ (trong đó J là trung điểm của đoạn thẳng CD)

Chứng minh Trên đường thẳng AB, chọn O làm gốc toạ độ

Chứng minh tương tự đối với hệ thức Mácloranh

Định lý 1.2 [1] Nếu AD, AE lần lượt là phân giác trong, phân giác ngoài của

tam giác ABC (D, E thuộc đường thẳng BC) thì (BCDE) = - 1

Hình 1.1

Định lý 1.3 [1] Cho tam giác ABC và điểm O không thuộc các đường thẳng

chứa ba cạnh của tam giác Các đường thẳng AO, BO, CO theo thứ tự cắt BC, CA,

AB tại M, N, P và BC cắt NP tại Q Khi đó ta có (BCMQ) = - 1

A

Hình 1.2

Định lý 1.4 [1] Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến SA,

SB tới (O) (A, B là các tiếp điểm ) Một đường thẳng đi qua S và cắt (O) lần lượt tại

M, N, và AB cắt MN tại I Khi đó (SIMN) = - 1

Hình 1.3

1.2 Chùm đường thẳng và tứ giác toàn phần

1.2.1 Chùm đường thẳng

Định nghĩa 1.5 [1] Trong mặt phẳng, cho tập hợp các đường thẳng đồng

quy tại điểm S thì chúng lập nên một chùm đường thẳng và S được gọi là tâm của

chùm

Tập hợp các đường thẳng nằm trong mặt phẳng và song song với nhau lập nên một chùm đường thẳng và có tâm tại vô tận

Định lý 1.5 [1] Một chùm bốn đường thẳng cắt một đường thẳng theo hàng

điểm có tỉ số kép không thay đổi

Chứng minh

* Trường hợp chùm đồng quy tại điểm S: Gọi l là đường thẳng cắt các đường

thẳng a, b, c, d lần lượt tại A, B, C, D và l’ là đường thẳng cắt các đường thẳng a, b,

c, d lần lượt tại A’, B’, C’, D’ Ta cần chứng minh đẳng thức (ABCD) = (A’B’C’D’)

Hình 1.4

Định nghĩa 1.6 [1] Trong mặt phẳng cho chùm bốn đường thẳng a, b, c, d

Một đường thẳng l bất kì cắt chùm đó tại A, B, C, D thì (ABCD) được gọi là tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng a, b, c, d Kí hiệu: (abcd) = (ABCD)

Nếu chùm đồng quy tại S thì ta kí hiệu:

S(abcd) = (ABCD)

Nếu (abcd) = - 1 thì ta có một chùm điều

hoà, hay a, b liên hợp điều hoà với c, d hay a, b

chia điều hoà c, d

Định lý 1.6 [1] Trong mặt phẳng cho

chùm bốn đường thẳng đồng quy Điều kiện cần

và đủ để chùm đó lập thành một chùm điều hoà

là: Một đường thẳng bất kì song song với một

trong bốn đường thẳng đó bị ba đường thẳng còn lại chia thành hai đoạn thẳng bằng nhau

Chứng minh Kẻ đường thẳng l song song với a và cắt b, c, d lần lượt tại M,

 B là trung điểm của đoạn thẳng MN hay MB = NB (Hình 1.5)

Hệ quả 1 Trong một chùm điều hoà nếu có hai đường liên hợp vuông góc

với nhau thì hai đường đó là các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường còn lại (Hình 1.6a)

Hệ quả 2 Hai đường phân giác của hai góc kề bù chia điều hoà hai cạnh của

góc đó (Hình 1.6b) Chùm đường thẳng gồm hai cạnh của một góc và hai đường phân giác của góc đó được gọi là chùm phân giác

Hình 1.6

Trong mặt phẳng, tập hợp các đường thẳng đồng quy tại một điểm S, được gọi là một chùm đường thẳng tâm S

Cho chùm bốn đường thẳng a, b, c, d Một đường thẳng  bất kỳ cắt a, b, c,

d thứ tự tại A, B, C, D Khi đó (ABCD) không phụ thuộc vào vị trí của .Giá trị

không đổi của tỉ số kép (ABCD) được gọi là tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng a,

b, c, d, ký hiệu (abcd) hay S(abcd) khi cần quan tâm đến tâm của chùm

1.2.2 Tứ giác toàn phần

Định nghĩa 1.7 [1] Trong mặt phẳng, cho bốn đường thẳng cắt nhau từng đôi

một và không có ba đường nào đồng quy thì chúng lập thành một tứ giác toàn phần

- Các đường thẳng là các cạnh (có bốn cạnh)

- Giao của hai cạnh là đỉnh (có sáu đỉnh)

- Hai đỉnh không thuộc một cạnh là hai đỉnh đối diện (có ba cặp đỉnh đối diện)

- Đường thẳng nối hai đỉnh đối diện là đường chéo (có ba đường chéo)

Cho tứ giác toàn phần ABCA’B’C’ Khi đó, ta có cặp đỉnh đối diện là (A, A’), (B, B’), (C, C’); ba đường chéo là AA’, BB’, CC’

Định lý 1.7 [1] Trong một tứ giác toàn phần, cặp đỉnh đối diện chia điều hoà

hai giao điểm của đường chéo nối cặp đỉnh đối diện đó với hai đường chéo còn lại

Chứng minh Gọi P = AA’BB’, Q = AA’CC’, R = BB’CC’

Vậy (AA’PQ) = - 1

Các tỉ số kép khác được chứng minh một cách tương tự

1.3 Đường tròn trực giao

Định nghĩa 1.8 [3] Hai đường tròn gọi là trực giao với nhau tại một điểm

chung của chúng nếu tại điểm đó hai tiếp tuyến của hai đường tròn vuông góc với nhau

Từ định nghĩa, ta dễ dàng suy ra được các kết quả sau:

Định lý 1.8 [3] Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao với

nhau là bình phương khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng bình phương các bán kính của chúng

Định lý 1.9 [3] Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao với nhau là

phương tích của tâm của một trong hai đường tròn đó đối với đường tròn thứ hai bằng bình phương bán kính của đường tròn thứ nhất

Định lý 1.10 [3] Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao với nhau là có

một đường kính nào đó của một trong hai đường tròn bị đường tròn kia chia điều hoà

Định nghĩa 1.9 [3] Người ta gọi chùm đường tròn là một tập hợp các đường

tròn kể từng đôi một, nhận một đường thẳng duy nhất làm trục đẳng phương

Đường thẳng đó gọi là trục đẳng phương của chùm

Từ định nghĩa trên ta thấy rằng, tâm các đường tròn của một chùm phải nằm

trên một đường thẳng gọi là đường chứa tâm của chùm và đường thẳng này vuông

góc với trục đẳng phương của chùm

B’

A’

P

Từ định nghĩa của chùm đường tròn, ta suy ra hai định lý sau đây:

Định lý 1.11 [3] Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đường tròn lập

thành một chùm là có hai điểm mà mỗi điểm đều có cùng phương tích đối với tất cả các đường tròn của tập hợp đó Trục đẳng phương của chùm là đường thẳng nối hai điểm nói trên

Định lý 1.12 [3] Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đường tròn có tâm

thẳng hàng lập thành một chùm là có một điểm có cùng phương tích đối với tất cả các đường tròn của tập hợp đó

Trục đẳng phương của chùm là đường thẳng đi qua điểm nói trên và vuông góc với đường chứa tâm

1.4 Cực và đường đối cực

1.4.1 Đường đối cực của một điểm đối với hai đường thẳng cắt nhau

Định nghĩa 1.10 [3] Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau đối với hai

đường thẳng đồng quy Ox, Oy nếu đường thẳng MN cắt hai đường thẳng đó tại hai điểm A, B sao cho (MNAB) = -1

Nếu (MNAB) = -1 thì ta cũng suy ra (ABMN) = -1 và khi đó hai điểm A và B cũng liên hợp với nhau đối với hai đường thẳng đồng quy OM, ON

Bài toán Cho một điểm M không thuộc hai đường thẳng Ox, Oy Hãy tìm tập

hợp các điểm N liên hợp với M đối với hai đường thẳng đã cho

Lời giải Qua M ta kẻ một đường thẳng lần lượt cắt Ox, Oy tại A, B Ta lấy

trên đường thẳng đó một điểm N sao cho (MNAB) = -1 (Hình 1.8)

Nếu kẻ đường thẳng Oz đi qua O và N thì ta có chùm (OM, Oz, Ox, Oy) là một chùm điều hoà Do đó, mọi điểm của đường thẳng Oz (trừ hai điểm P và Q) đều liên hợp với điểm M đối với hai đường thẳng đồng quy Ox, Oy (do hai điểm P và Q thuộc Oz mà MP // Ox và MQ // Oy ta phải loại ra vì lúc đó các đường thẳng MP và

MQ đều không cắt cả hai đường thẳng Ox và Oy)

Ngược lại, nếu N 1 là một điểm không thuộc đường thẳng Oz nói trên thì không liên hợp với M vì khi đó nếu đường thẳng MN 1 cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A’,

B’, N’ thì ta có: (MN’A’B’) = -1 còn (MN 1 A’B’)  (MN’A’B’) nên (MN 1 A’B’)  -1

Do đó, điểm N 1 không liên hợp với M đối với hai đường thẳng Ox và Oy

Vậy tập hợp các điểm N liên hợp với điểm M đối với hai đường thẳng Ox, Oy

là đường thẳng Oz loại trừ hai điểm P, Q nói trên

Định nghĩa 1.11 [3] Đường thẳng Oz trong bài toán trên gọi là đường đối

cực của điểm M đối với hai đường thẳng Ox, Oy Điểm M gọi là cực của đường thẳng Oz đối với hai đường thẳng đó

Nhận xét Muốn dựng đường đối cực của một điểm M đối với hai đường

thẳng Ox, Oy cho trước, dựa vào tính chất của hình tứ giác toàn phần ta tìm hai điểm P và Q phân biệt đều cùng liên hợp với M đối với Ox, Oy nói trên Ta có PQ

là đường đối cực của điểm M đối với Ox, Oy và PQ luôn đi qua điểm O (Hình 1.9a)

1.4.2 Đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn

Định nghĩa 1.12 [3] Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau đối với đường

tròn (O), nếu đường tròn đường kính MN trực giao với đường tròn (O) (Hình 1.9b)

Nếu đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B thì điều kiện cần và đủ để M và N liên hợp với nhau đối với đường tròn (O) cho trước là tỉ số kép (MNAB) = -1 Hai điểm M, N có thể liên hợp với nhau đối với đường tròn (O) mà đường thẳng MN không cắt đường tròn này

Bài toán Cho đường tròn (O) và một điểm M không trùng với tâm O của

đường tròn đó Hãy tìm tập hợp những điểm N liên hợp của M đối với đường tròn (O) đã cho

Lời giải Nếu N là điểm liên hợp của M đối với đường tròn (O) thì theo định

nghĩa, đường tròn đường kính MN trực giao với đường tròn (O) Khi đó, đường kính

AB đi qua M của đường tròn (O) bị đường tròn đường kính MN chia điều hoà Gọi

H là giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính MN với đường thẳng AB

Ta có (ABMH) = -1 (Hình 1.10) Trong hàng điểm điều hoà A, B, M và H, điểm H hoàn toàn được xác định vì ba điểm A, B, M đã được xác định Mặt khác, do

MN là đường kính nên MH  HN Nói cách

khác, điểm N nằm trên đường thẳng m vuông

góc với đường thẳng MO tại H

Ngược lại, nếu N’ là điểm bất kì của

đường thẳng m thì đường tròn đường kính

MN’ đi qua H và do (ABMH) = -1 nên đường

tròn đường kính MN’ trực giao với đường

tròn (O) Vậy điểm N’ liên hợp với M đối

với đường tròn (O)

Vậy tập hợp điểm N liên hợp với

điểm M đối với một đường tròn (O) cho trước là một đường thẳng m vuông góc với đường thẳng MO tại H với (MHAB) = -1, trong đó A, B là giao điểm của đường thẳng MO với đường tròn tâm O

Hình 1.10

N

Định nghĩa 1.13 [3] Đường thẳng m trong bài toán trên gọi là đường đối

cực của điểm M đối với đường tròn (O) Điểm M gọi là cực của đường thẳng m đối với đường tròn (O) nói trên

Như vậy, mỗi điểm M không trùng với điểm O của đường tròn tâm O có một đường đối cực xác định và ngược lại, mỗi đường thẳng không đi qua O có một điểm cực xác định đối với một đường tròn tâm O cho trước

Vì (ABMH) = -1 nên đường đối cực m của điểm M đối với đường tròn (O) sẽ cắt, không cắt hay tiếp xúc với đường tròn tâm O (Hình 1.11a,b,c)

Muốn dựng đường đối cực của một điểm M đối với một đường tròn tâm O cho trước, ta vẽ qua M hai cát tuyến MAB, MCD (Hình 1.12) Gọi P và Q lần lượt là các điểm liên hợp với M nghĩa là (ABMP) = -1 và (CDMQ) = -1

Ta suy ra PQ là đường đối cực của điểm M Ta có thể dựa vào tính chất của hình tứ giác toàn phần để tìm các điểm P và Q liên hợp với M đối với A, B và C, D

Đặc biệt, khi các cát tuyến đó trở

thành tiếp tuyến thì ba điểm P, A, B

trùng nhau và ba điểm C, Q, D cũng

trùng nhau

Do đó, muốn dựng đường đối

cực của một điểm M ta thường làm

- Nếu điểm M nằm ngoài đường tròn (O) thì từ M ta vẽ hai đường tiếp tuyến

MI, MK với đường tròn, trong đó I và K là hai tiếp điểm Khi đó, đường thẳng IK là

đường đối cực của điểm M cho trước (Hình 1.11a)

- Nếu điểm M nằm trong đường tròn thì ta vẽ đường thẳng vuông góc với

MO tại M Đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm R và S (Hình 1.11b) Các

tiếp tuyến của đường tròn tại R và S cắt nhau tại H Đường thẳng m vuông góc với đường thẳng MO tại H là đường đối cực của điểm M cho trước

- Nếu điểm M nằm trên đường tròn thì tiếp tuyến tại M của đường tròn chính

là đường đối cực của điểm M cho trước (Hình 1.11c)

1.4.3 Các tính chất của cực và đường đối cực đối với một đường tròn

1) Đối với một đường tròn cho trước, nếu đường đối cực của điểm A đi qua điểm B thì đường đối cực của điểm B đi qua điểm A

Chứng minh Nếu điểm B nằm trên đường đối cực a của điểm A thì A và B là

hai điểm liên hợp đối với đường tròn cho trước Mặt khác ta biết rằng, tập hợp các

điểm liên hợp của điểm B là đường đối cực

b của điểm B đó (Hình 1.13) Vậy điểm A

phải nằm trên đường đối cực b của điểm B

(vai trò của A và B là bình đẳng)

Ta có: B  a  A  b

Định nghĩa 1.14 [3] Hai đường

thẳng a, b được gọi là liên hợp với nhau

đối với một đường tròn cho trước nếu

đường này đi qua cực của đường kia

2) Đối với một đường tròn cho trước,

các đường đối cực của các điểm thẳng hàng

thì đồng quy và các cực của các đường thẳng đồng quy thì thẳng hàng

Chứng minh Theo tính chất 1, giả sử các điểm A 1 , A 2 …, A n nằm trên đường

thẳng b nghĩa là các điểm A i  b với i = 1, 2…, n thì điểm B thuộc các đường thẳng b

và a i là các đường đối cực của các điểm A i Vậy các đường đối cực của các điểm A i

đều đồng quy tại B

Phần còn lại chứng minh tương tự

1.4.4 Phép đối cực

Trên mặt phẳng cho một đường tròn cơ sở (C) Giả sử có một hình H gồm các điểm và các đường thẳng Với mỗi điểm của hình H đều có các đường đối cực của nó đối với đường tròn (C), với mỗi đường thẳng của hình H có các điểm là cực

của nó

Hình H' là tập hợp các đường thẳng (gồm các đường đối cực của các điểm thuộc hình H) và các điểm (gồm các cực của các đường thẳng thuộc hình H) Khi

đó, ta nói có một phép đối cực với đường tròn cơ sở (C) biến hình H thành hình H'

Rõ ràng muốn chứng minh tính thẳng hàng của các điểm trên hình H ta chỉ việc chứng minh tính đồng quy của các đường thẳng tương ứng trên hình H'

Ví dụ 1.1 [3] (Định lý Bri-ăng-xông) Ba đường thẳng nối các cặp đỉnh đối

diện của một lục giác ngoại tiếp một đường tròn đồng quy tại một điểm

Lời giải Giả sử ABCDEF là lục giác ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P,

Q, K, I lần lượt là các tiếp điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA với đường

tròn (C) Khi đó, theo định lý Pát-xcan:

MNKQ = 

QP IM =  , ,  thẳng hàng

PNIK = 

Hiển nhiên,  là cực của BE,  là cực của

AD,  là cực của CF Vì , ,  thẳng hàng nên BE,

AD, CF đồng quy tại một điểm Ta có phép đối cực

biến ba điểm , ,  thành ba đường thẳng BE, AD,

CF (Hình 1.14)

Định lý 1.13 [3] Phép đối cực bảo tồn tỉ số kép, nghĩa là qua phép đối cực,

một chùm bốn đường thẳng (đồng quy) biến thành bốn điểm và tỉ số kép của bốn điểm này bằng tỉ số kép của bốn đường thẳng đó

Hệ quả Phép đối cực biến một chùm đường thẳng điều hoà thành một hàng

điểm điều hoà và ngược lại

Như vậy, phép đối cực là một công cụ tương đối hiệu quả trong việc chuyển đổi hai dạng bài toán chứng minh đồng quy và chứng minh thẳng hàng, chuyển từ chùm đường thẳng điều hòa sang hàng điểm điều hòa và ngược lại

1.5 Cách xác định cực và đường đối cực

* Trường hợp 1: Khi cực S ở ngoài đường tròn (O) Ta có 2 cách dựng sau:

- Cách 1: Từ S kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA, SB (A, B là tiếp điểm) Khi đó

đường đối cực của S đối với (O) là AB

Hình 1.15

- Cách 2: Từ S kẻ tới (O) hai cát tuyến SAB, SCD Giả sử AD cắt BC ở F, AC

cắt BD ở E Khi đó đường đối cực của điểm S đối với (O) là đường thẳng EF

- Cách 1: Qua điểm S dựng đường vuông góc với OS, đường này cắt (O) tại

hai điểm A, B Tiếp tuyến của (O) tại A, B cắt nhau ở điểm P Khi đó đường đối cực của điểm S đối với đường tròn (O) là đường thẳng qua P vuông góc với OS

Hình 1.17

- Cách 2: Qua điểm S dựng hai dây cung AB và CD Giả sử AD cắt BC ở E,

AC cắt BD ở F Khi đó đường đối cực của điểm S đối với (O) là EF

Hình 1.18

* Trường hợp 3: Điểm S nằm trên đường tròn (O) Khi đó, tiếp tuyến của (O)

tại S chính là đường đối cực của S đối với (O)

Hình 1.19

Chương 1 của luận văn trình bày các khái niệm cơ bản như hàng điểm điều hòa, chùm đường thẳng, chùm đường thẳng điều hòa và tứ giác toàn phần Đây là những nội dung có liên quan đến hàng điểm điều hòa Chúng ta có thể chứng minh hàng điểm điều hòa dựa trên các tính chất của chùm đường thẳng điều hòa và tứ giác toàn phần Kiến thức về đường tròn trực giao, cực và đường đối cực đối với hai đường thẳng đồng quy và đối với đường tròn cũng như cách dựng đường đối cực của một điểm cho trước Với cực và đường đối cực ta có thể đưa ra cách nhìn xuyên suốt, nhất quán đối với một số dạng toán như chứng minh quan hệ vuông góc, chứng minh các điểm thẳng hàng, chứng minh quan hệ đồng quy, Các bài toán về cực và đường đối cực thường gặp ở bậc trung học phổ thông là cực và đường đối cực của một điểm đối với đường tròn hoặc đối với cặp đường thẳng cắt nhau Đặc biệt, phép đối cực được trình bày cho chúng ta một công cụ trong việc chuyển đổi bài toán chứng minh thẳng hàng và bài toán chứng minh đồng quy Trong chương 2 luận văn sẽ khai thác một số lớp bài toán sử dụng đến khái niệm cực và đường đối cực để chứng minh các điểm thẳng hàng, chứng minh các đường thẳng đồng quy và giải bài toán tìm điểm cố định

O

S

2.1 Chứng minh hàng điểm điều hòa

Để chứng minh bốn điểm lập thành hàng điểm điều hòa chúng ta có thể sử dụng định nghĩa, nghĩa là chứng minh tỉ số kép của bốn điểm bằng -1 Các định lý thường được áp dụng trong giải dạng toán này là định lý Xêva, định lý Mênêlauýt,

hệ thức Niu-tơn và hệ thức Đề-các về hàng điểm điều hòa

Ví dụ 2.1 [4] Cho tam giác ABC Lấy E trên BC, điểm F trên AC và điểm K

trên AB sao cho AE, BF, CK đồng quy tại một điểm Gọi T là giao điểm của FK với

BC Chứng minh rằng (TEBC) = -1

Giải Bài toán có giả thiết về các đường thẳng đồng quy trong tam giác, vì

vậy định lý Xêva, định lý Mênêlauýt được sử dụng trong bài toán này Thật vậy, trong ABC, áp dụng định lý Xêva với ba đường đồng quy AE, BF, CK ta có:

Nhân (1) và (2) vế theo vế suy ra: TB EB

TC  EC hay (TEBC) = -1

* Nhận xét: Nếu gọi I là điểm đồng quy của AE, BF, CK thì AIBC là một tứ

giác toàn phần với các đường chéo AI, FK và BC mà lời giải là một trong những

cách chứng minh cho định lý rất đẹp về hình tứ giác toàn phần: “Trong một hình tứ giác toàn phần, một đường chéo bị hai đường chéo còn lại chia điều hòa” Bài toán đơn giản này cho ta sử dụng tính chất một hình tứ giác toàn phần hay hàng điểm điều hòa cho một tam giác có ba đường thẳng đồng quy

Ví dụ 2.2 [4] Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O) Gọi M, N, P,

Q lần lượt là các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CD, DA với đường tròn Gọi K là

giao điểm của đường thẳng MQ với NP và I là giao điểm của đường thẳng MP với

QN Chứng minh rằng (DBIK) = -1

Giải Bài toán có giả thiết về các tiếp điểm của đường tròn với các cạnh của

tam giác, vì vậy định lý Mênêlauýt được sử dụng, từ đó xuất hiện các tỉ số giữa các đoạn thẳng và có thể được sử dụng để chứng minh hàng điểm điều hòa theo định

nghĩa Áp dụng định lý Mênêlauýt cho tam giác ABD với 3 điểm thẳng hàng K, M,

Từ (1) và (2) suy ra KB IB

KD ID (Hình 2.2) Vì I nằm trong đoạn thẳng BD và

K nằm ngoài đoạn thẳng BD nên ta suy ra KB IB

KD  ID Vậy (DBIK) = -1

AH Gọi E, F là hình chiếu của D trên AB, AC Kẻ đường thẳng EF cắt đường thẳng

BC tại điểm L Chứng minh rằng (HLBC) = -1

Giải Tương tự ví dụ 2.2, bài toán này sử dụng định lý Mênêlauýt như sau:

Từ  5 và  6 ta có HB LB 1

HC LC   hay (HLBC) = -1

Ví dụ 2.4 [4] Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Từ điểm A kẻ hai tiếp

tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (với B, C là hai tiếp điểm) Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại E, F và cắt cạnh BC tại điểm K Chứng minh rằng (AKEF) = -1

Giải Trong bài toán này, chúng ta nhận thấy xuất hiện các tam giác vuông

Do đó, ta có thể sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông Các hệ thức này có quan hệ với hệ thức Niu-tơn về hàng điểm điều hòa Đó cũng là một ý tưởng để chứng minh hàng điểm điều hòa

Ta có OB 2 = OK.OA (hệ thức lượng tam giác vuông) (1) Mặt khác ta lại có: OB 2 = OE 2 = OF 2 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: OE 2 = OF 2 = OK.OA Từ đó suy ra điều phải chứng minh

(Hình 2.4)

Hình 2.4

Ví dụ 2.5 [2] Cho hình vuông và một đường tròn tâm O nội tiếp hình vuông

Một tiếp tuyến bất kỳ của đường tròn cắt các cặp cạnh đối của hình vuông tại A, B

và C, D Chứng minh rằng (ABCD) = - 1

Giải Bài toán xuất hiện các đường phân giác của một góc Điều này gợi ý

cho việc sử dụng các chùm phân giác trong chứng minh hàng điểm điều hòa

* Cách 1: Ta có OD là phân giác của GOF, OC là phân giác của FOI mà

ta lại có GOF + FOI = 180o nên ODOC (1)

Ta có OA là phân giác của EOF, OD là phân giác của FOG Từ đó suy ra

rằng AOD = AOF + FOD = 1

2EOF + 1

2FOG = 450

Từ điều trên và (1) suy ra OA là phân giác của COD

Tương tự, ta chứng minh được OA  OB (Hình 2.5)

Như vậy: OA, OB, OC, OD là một chùm đường thẳng điều hòa

Từ đó suy ra (ABCD) = - 1

Hình 2.5

* Cách 2: Xét chùm đường thẳng FE, FI, FH, FG

Ta có: số đo cung EI = số đo cung IH  FI là phân giác EFH

số đo cung IH = số đo cung HG  FH là phân giác IFG

Suy ra FE, FI, FH, FG là chùm đường thẳng điều hòa

Mặt khác: FE  OA, FI  OC, FH  OB, FG  OD Từ đó suy ra các đường

thẳng OA, OB, OC, OD cũng là chùm phân giác nên nó là chùm đường thẳng điều hòa, suy ra (ABCD) = - 1

Ví dụ 2.6 [2] Cho đường tròn tâm O, điểm M nằm ngoài đường tròn Gọi

MA, MB là hai tiếp tuyến với đường tròn (A, B là các tiếp điểm) và cát truyến MCD

với đường tròn (C, D thuộc đường tròn tâm O) Chứng minh rằng AM, AB, AC, AD

là chùm đường thẳng điều hòa

Giải Gọi  I ABMO , OM cắt (O) tại C’, D’ (Hình 2.6)

Ta có MO  AB và cung AC’ = cung BC’

Gọi  H ABCD Ta có (NIC’D’) = - 1  D(NIC’D’) = - 1 Từ đó suy ra

DC’ là phân giác của MDI (vì C’D DD’) Vậy cung CC’ = cung C’K (với

 K DI( )O ) Như vậy, các điểm C, A đối xứng với K, B qua đường thẳng MO

Vì thế CIA = KIB, mà KIB = AID (hai góc đối đỉnh) nên CIA = AID hay

IA là phân giác của CID Mặt khác IM  IA Vậy IM, IA, IC, ID là chùm phân giác nên nó là chùm đường thẳng điều hòa Từ đó suy ra (MHCD) = -1 hay AM, AB,

AC, AD là chùm đường thẳng điều hòa

Hình 2.6

* Nhận xét: Từ bài toán trên, ta có kết quả sau đây: “Với mỗi cát tuyến MCD

cắt đường nối hai tiếp điểm A, B của đường tròn tại điểm H thì ta có hàng điểm điều hòa: (MHCD) = - 1”

(O) cắt nhau tại I Một đường thẳng d đi qua I cắt AC, BC lần lượt tại M và N, cắt đường tròn (O) tại P, Q Chứng minh rằng (MNPQ) = -1

Giải Bài toán xuất hiện các tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn, do đó sẽ

xuất hiện các đường đối cực của một điểm nào đó đối với đường tròn Chúng ta có thể khai thác yếu tố “cực” và “đường đối cực” trong bài toán này

Hình 2.7 Giải Dựng các tiếp tuyến MD, ME Giả sử N'DEBC Áp dụng định lý

Briăng-xông cho lục giác AEDDBC có: AEDBT ED, BCN', DDCAM

Khi đó M, N’, T thẳng hàng, từ đó suy ra PQ, BC, DE đồng quy

Mà PQBCNN N' Do đó N ED suy ra (MNPQ) = -1 (tính chất

“cát tuyến cắt đường nối hai tiếp điểm” với MD, ME là hai tiếp tuyến) Từ đó ta có

điều phải chứng minh

2.2 Chứng minh vuông góc

Cực và đường đối cực là một công cụ hiệu quả trong chứng minh quan hệ vuông góc trong mặt phẳng Dưới đây chúng tôi minh họa một số ví dụ về khai thác các tính chất của cực và đường đối cực trong giải bài toán chứng minh vuông góc

Ví dụ 2.8 [4] Giả sử đường tròn (O) với tâm O và bán kính R Qua điểm M

nằm trong đường tròn (M khác điểm O) vẽ hai dây cung CD và EF không đi qua tâm O Hai tiếp tuyến tại C, D của (O) cắt nhau tại điểm A, hai tiếp tuyến tại E, F của (O) cắt nhau tại điểm B Chứng minh rằng OM và AB vuông góc với nhau

Giải Bài toán có hai tiếp tuyến

với đường tròn với yêu cầu chứng

minh vuông góc Điều này giúp ta liên

tưởng đến đường đối cực của một điểm

đối với một đường tròn Ta thấy đường

đối cực của điểm A là đườngthẳng CD

đi qua M nên đường đối cực của điểm

M sẽ đi qua điểm A (Hình 2.8) Tương

tự, đường đối cực của điểm M đi qua

điểm B Vậy, đường thẳng AB chính là đường đối cực của điểm M Do đó, AB vuông góc với OM

điểm A Các đường thẳng đi qua B, C tương ứng vuông góc với d 1 , d 2 cắt nhau tại

D Đường thẳng đi qua B vuông góc với AB cắt d 1 tại E, đường thẳng đi qua C vuông góc với AC cắt d 2 tại F Chứng

minh rằng AD vuông góc với EF

Giải Bài toán này không xuất

hiện đường tròn nhưng ta để ý thấy yếu

tố “cân” trong tam giác ABC Vậy, có

đường tròn tâm A, bán kính AB đi qua B

và C (Hình 2.9)

Dễ nhận thấy BE, CF lần lượt là

các tiếp tuyến của đường tròn (A; AB)

Đường đối cực của điểm E sẽ đi qua

điểm B và vuông góc với AE hay d 3

Tương tự, đường đối cực của điểm F sẽ đi qua điểm C và vuông góc với CF hay d 4

Vậy, cực của đường thẳng EF đối với đường tròn (A; AB) chính là điểm D từ đó suy ra AD vuông góc với EF

Hình 2.8

Hình 2.9

Ví dụ 2.10 [4] Cho tam giác ABC với các đường cao BB’, CC’ Gọi E, F lần

lượt là trung điểm của AC, AB Đường thẳng EF cắt đường thẳng B’C’ tại điểm K Chứng minh rằng AK vuông góc với đường thẳng Ơle của tam giác ABC

Giải Ta xét cực và đường đối cực đối với đường tròn Ơle của tam giác ABC

(đường tròn tâm O 9 ) Gọi I là giao điểm của FB’ và EC’, G là giao điểm của CF và

BE, H là giao điểm của BB’ và CC’ Áp dụng định lý Pa-puýt cho hai bộ ba điểm

(F, C’, B) và (E, B’, C) ta suy ra ba điểm H, G, I thẳng hàng (Hình 2.10) Do đó, O 9 I

là đường thẳng Ơle của tam giác ABC (1)

Hình 2.10

Mặt khác, chú ý E, F, B’, C’ cùng nằm trên đường tròn (O 9 ) nên suy ra AK chính là đường đối cực của điểm I Vậy, O 9 I vuông góc với AK (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 2.11 [4] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường

phân giác trong BE, CF của các góc B, góc C cắt lại (O) lần lượt tại M, N Đường thẳng qua điểm M vuông góc với BM cắt đường thẳng đi qua N vuông góc với CN tại điểm S Chứng minh rằng SO vuông góc với EF

Giải Trước hết ta tìm đường đối cực của điểm S đối với đường tròn (O) và

chứng minh rằng nó song song với EF Các đường thẳng SN, SM cắt lại (O) lần lượt tại L, G Khi đó, ta dễ thấy C, O, G thẳng hàng và B, O, L thẳng hàng Tiếp tuyến tại

G và N của (O) cắt nhau tại điểm Q, tiếp tuyến của tại L và M của (O) cắt nhau tại

điểm P Đường thẳng OP cắt LM tại điểm H, đường thẳng OQ cắt NG tại điểm K

Ta thấy, đường đối cực của điểm Q là đường thẳng GN đi qua S nên đường đối cực của điểm S đi qua điểm Q Tương tự, đường đối cực của điểm S cũng đi qua điểm P Do đó, đường đối cực của điểm S là PQ (Hình 2.11)

Ta chứng minh PQ // EF Thật vậy, ta thấy IE // OP, IF // OQ nên để chứng minh PQ // EF ta chỉ ra góc lượng giác FI FE, (QO QP, )k2

sinsin

sin2

sinsin

Ta lại có IE // OH, IF // OK nên FI FE, (HK HO, )k2 (3)

Từ (2) và (3) suy ra tam giác IEF đồng dạng với tam giác OKH Do đó, (1)

đúng nên suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 2.12 [4] Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I) và nội tiếp

đường tròn (O) Tiếp điểm của đường tròn (I) trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q Chứng minh rằng MP vuông góc với NQ

Giải Trường hợp tứ giác ABCD có ít nhất một cặp cạnh song song thì đơn

giản Ta sẽ giải bài toán trong trường hợp còn lại

Hình 2.12

Xét cực và đường đối cực đối với đường tròn (I) (Hình 2.12) Đường thẳng

AB cắt đường thẳng CD tại điểm E, đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại điểm

F Ta thấy cực của đường thẳng MP là điểm E, cực của đường thẳng NQ là điểm F

Để giải bài toán ta chỉ cần chứng minh IE và IF vuông góc với nhau Thật vậy, IE,

IF lần lượt là phân giác của các góc AED, AFB Gọi giao điểm của IF với AB và

CD lần lượt là S, V thì ta cần chứng minh tam giác ESV cân tại điểm E

Ví dụ 2.13 [4] Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O) Gọi M, N,

P, Q lần lượt là các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CD, DA với đường tròn Gọi K

là giao điểm của MQ với NP Chứng minh rằng OK vuông góc với AC

Giải Bài toán xuất hiện các tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn, từ đó ta

dễ dàng nhận thấy đường thẳng AC là đường đối cực của điểm K và đường thẳng

QK là đường đối cực của điểm A Do đó, gọi E và F là hai giao điểm của AC với

đường tròn (O) Hai tiếp tuyến qua E và F với đường tròn (O) cắt nhau tại K’ Dễ dàng chứng minh được rằng các điểm K’, N, P thẳng hàng và K’, M, Q thẳng hàng (Hình 2.13) Từ đó suy ra K’ là giao điểm của MQ với NP hay K’  K Vậy KE, KF

là hai tiếp tuyến kẻ từ K với đường tròn (O) Từ đó suy ra KO  EF hay KO  AC

Hình 2.13

L = MN  QP, I = MP  QN Chứng minh rằng I là trực tâm của tam giác KOL

Giải Phân tích tương tự ví dụ 2.13 ta thấy xuất hiện các cực và đường đối

cực trong bài toán này, do đó sẽ có các điểm cùng nằm trên một đường thẳng

Kẻ bốn tiếp tuyến đi qua M, N, P, Q với đường tròn (O) Các tiếp tuyến này cắt nhau tại bốn điểm là A, B, C, D Dễ thấy I là giao điểm của AC với BD

Mặt khác, ta thấy BD  OL nên suy ra D, B, K thẳng hàng Suy ra KI  OL

và LI  KO hay I là trực tâm của KOL (Hình 2.14)

2.3 Chứng minh song song

Ví dụ 2.15 [4] Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp là (I) Tiếp điểm

của (I) trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt là D, E, F Đường thẳng AD cắt lại đường tròn (I) tại điểm M Đường thẳng đi qua M vuông góc với đường thẳng AD cắt EF tại điểm N Chứng minh rằng AN song song với BC

Giải Xét cực và đường đối cực đối với đường tròn (I) Gọi P là giao điểm

thứ hai của MN với (I) Dễ thấy D, P, I thẳng hàng Đường thẳng EF cắt IP, IA lần lượt tại điểm J, G

đi qua A (2)

Từ (1) và (2) suy ra đường đối cực của điểm J là đường thẳng AN Vậy IJ vuông góc với AN, mà IJ vuông góc với BC từ đó suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 2.16 [4] Cho hai đường thẳng a và a’ cắt nhau tại A và giả sử trên a ta

có bốn điểm A, B, C, D sao cho (ABCD) = -1 và trên a’ có bốn điểm A, B’, C’, D’ sao cho (AB’C’D’) = -1 Chứng minh rằng các đường thẳng BB’, CC’, DD’ hoặc

song song với nhau hoặc đồng quy

Giải Bài toán sử dụng đến các chùm đường thẳng song song hoặc chùm các

đường thẳng đồng quy Tỉ số kép không đổi của một chùm đường thẳng được khai thác trong ví dụ này

* Nếu BB’ và CC’ cắt nhau tại O, giả sử tia OD cắt đường thẳng a’ tại D’’

Vì (ABCD) = -1  O(ABCD) = -1  O(AB’C’D’) = -1  (AB’C’D’’) = -1

Hình 2.16

Mặt khác, theo giả thiết (AB’C’D’) = -1 nên D’ trùng với D’’

Vậy các đường thẳng BB’, CC’, DD’ đồng quy tại O

* Nếu BB’ và CC’ song song, từ A và D ta vẽ các đường thẳng song song với

CC’ và BB’ Đường thẳng song song đi qua D cắt AB’ tại D’’, ta chứng minh D’’

trùng với D’ Từ đó, ta suy ra các đường thẳng BB’, CC’, DD’ song song

2.4 Chứng minh thẳng hàng

Cực và đường đối cực là công cụ hữu hiệu trong chứng minh thẳng hàng Thật vậy, chúng ta có thể sử dụng tính chất “cực của các đường thẳng đồng quy thì thẳng hàng” hoặc quỹ tích các điểm liên hợp với một điểm cho trước để chỉ ra chúng cùng nằm trên đường đối cực của điểm đó

Ví dụ 2.17 [4] Cho một điểm A cố định và một đường thẳng d cố định không

đi qua A Gọi O là hình chiếu vuông góc của A trên d và I là trung điểm của đoạn thẳng AO Trên đường thẳng d ta lấy hai điểm thay đổi P và Q không trùng với O Dựng các đường thẳng Px và Qy vuông góc với d Đường thẳng QI cắt AP và Px lần lượt tại M và N Đường thẳng PI cắt AQ và Qy lần lượt tại M’ và N’

a) Chứng minh (QMIN) = -1, (PM’IN’) = -1

Giải Trong bài toán này, chúng ta cần chỉ ra các điểm N, A, N’ cùng nằm

trên đường đối cực của điểm I đối với hai đường thẳng đồng quy AP, AQ

a) Ta có chùm (PQ, PM, PI, PN) là một chùm điều hoà vì có cát tuyến AIO song song với PN và AI = IO Do đó (QMIN) = -1

Tương tự ta có chùm (QP, QM’, QI, QN’) là chùm điều hoà Suy ra, ta có (PM’IN’) = -1 (Hình 2.17)

b) Vì (QMIN) = -1 nên AN là đường đối cực của điểm I đối với hai đường thẳng cắt nhau AP và AQ.Tương tự (PM’IN’) = -1 nên AN’ là đường đối cực của điểm I đối với hai đường thẳng cắt nhau AP và AQ, từ đó suy ra các điểm N, A, N’ cùng thuộc đường đối cực của điểm I đối với hai đường thẳng AP và AQ hay ba điểm N, A, N’ thẳng hàng

Ví dụ 2.18 [4] Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Tiếp điểm của

đường tròn (I) trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt là D, E, F Gọi M, N, P lần lượt là điểm chung của các cặp đường thẳng (EF; BC), (DF; CA), (DE; AB) Chứng minh rằng các điểm M, N, P thẳng hàng

Giải Bài toán xuất hiện các đường tròn và các tiếp tuyến đến đường tròn

này Do vậy, tính chất của cực và các đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn sẽ được sử dụng trong chứng minh thẳng hàng Thật vậy, đường đối cực