sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình

Sỏng kiến kinh nghim Trịnh Hu Đi PHN 1: T VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình (PT, BPT, HPT, HBPT) chiếm lượng lớn chương trình phổ thơng, phương pháp giải tập sử dụng tính đơn điệu hàm số Về chất PT, BPT, HPT, HBPT hàm số có mối liên quan chặt chẽ Khi định nghĩa PT, BPT, ta dựa khái niệm hàm số, ta biết sử dụng hàm số để giải tập tốn đơn giản Chính tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: "Sử dụng tính đơn điệu hàm số giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình" II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: - Trang bị cho học sinh phương pháp giải PT, BPT, HPT, HBPT mang lại hiệu rõ nét - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: - Các dạng toán giải PT, BPT, HPT, HBPT nằm chương trình tốn phổ thơng - Phân loại dạng toán thường gặp phương pháp giải dạng IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Phương pháp chung dạng tập - Với PT, BPT, HPT, HBPT khơng chứa tham số, ta sử dụng tính chất tính đơn điệu hàm số để giải - Với PT, BPT, HPT, HBPT có chứa tham số, ta tìm cách lập tham số vế, đưa phương trình, bất phương trình dạng: f(x) = m f(x) > m ( f(x) < m; f(x) ≤ m; f(x) ≥ m ) Sau sử dụng tính chất tính đơn điệu hàm số để giải Trưêng THPT Ngọc LỈc Sỏng kiến kinh nghim Trịnh Hu Đi PHN 2: NI DUNG A SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CƠ SỞ: Tính chất 1: Cho phương trình: f(x) = g(x) xác định D Nếu hai hàm số f(x) g(x) hàm số đơn điệu, hàm lại hàm đơn điệu ngược với hàm phương trình có nghiệm nghiệm Tính chất 2: Cho phương trình f(x) = m xác định D Điều kiện cần đủ để phương trình có nghiệm m thuộc miền giá trị hàm số f(x) Tính chất 3: Cho phương trình f(x) = m xác định D Nếu f(x) hàm số liên tục đơn điệu D phương trình có khơng q nghiệm Tính chất 4: Cho bất phương trình: f(x) > m (hay f(x) < m ) i) Nếu f(x) hàm đơn điệu tăng D tồn x0 ∈ D có f(x0) = m tập nghiệm bất PT là: T = D ∩ (x0 ; + ∞ ) ( T = D ∩ (- ∞ ; x0 )) ii) Nếu f(x) hàm đơn điệu giảm D tồn x0 ∈ D có f(x0) = m tập nghiệm bất PT là: T = D ∩ (- ∞ ; x0 ) (T = D ∩ (x0 ; + ∞ ) ) Tính chất 5: Cho hàm số f(x) xác định D f(x) ≥ m , ∀ x ∈ D ⇔ m ≤ f (x ) f(x) ≤ m , ∀ x ∈ D ⇔ m ≥ max f ( x ) D D Trưêng THPT Ngọc LỈc Sỏng kiến kinh nghim Trịnh Hu Đi f(x) m có nghiệm x ∈ D ⇔ m ≤ max f ( x ) f(x) ≤ m có nghiệm x ∈ D ⇔ m ≥ f (x ) D D Nếu f(x) hàm số đơn điệu tăng D tồn u, v ∈ D Khi đó: f (u) > f ( v ) ⇒ u > v , f(u) = f(v) ⇒ u = v Nếu f(x) hàm số đơn điệu giảm D tồn u, v ∈ D Khi đó: f (u) > f ( v ) ⇒ u < v , f(u) = f(v) ⇒ u = v II Phương pháp Sử dụng tính đơn điệu hàm số giải phương trình Phương pháp : Dạng 1: Phương trình cho biến đổi dạng f (x) = g(x) (hoặc f (u) = g(u) ) u = u ( x) Bước 1: Biến đổi phương trình cho dạng f (x) = g(x) (hoặc f (u) = g(u) ) Bước 2: Xét hai hàm số y1 = f (x); y = g (x) D * Tính y1' , xét dấu y1' , kết luận tính đơn điệu hàm số y1 = f ( x ) D ' ' * Tính y2 , xét dấu y2 ,kết luận tính đơn điệu hàm số y2 = g ( x) D * Kết luận hai hàm số y = f (x); y = g (x) đơn điệu ngược nhau, hai hàm số hàm số * Tìm x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) (hoặc tìm u0 cho f (u0 ) = g (u0 ) ) Bước 3: Kết luận: * Phương trình cho có nghiệm x = x0 (hoặc u = u0 giải phương trình u = u0 ) * Kết luận nghiệm phương trình cho Dạng 2: PT cho biến đổi dạng f (u) = f ( v ) u = u ( x) , v = v( x) Bước 1: Biến đổi phương trình dạng f (u) = f ( v ) Trưêng THPT Ngọc LỈc Sáng kiÕn kinh nghiệm Trịnh Hu Đi Bc 2: Xột hm s y = f (x) D * Tính y ' , xét dấu y' * Kết luận hàm số y = f (x) hàm số đơn điệu D Bước 3: Kết luận: * Phương trình cho có nghiệm u = v , giải PT : u = v * Kết luận nghiệm phương trình cho Sử dụng tính đơn điệu hàm số giải bất phương trình Phương pháp : Dạng 1: BPT biến đổi dạng f (x) > g(x) (hoặc f (u) > g(u) ) u = u ( x) Bước 1: Biến đổi BPT cho dạng f (x) > g(x) (hoặc f (u) > g(u) ) Bước 2: Xét hai hàm số y1 = f (x); y = g (x) D * Tính y1' , xét dấu y1' , kết luận tính đơn điệu hàm số y1 = f ( x ) D ' ' * Tính y2 ,xét dấu y2 , kết luận tính đơn điệu hàm số y2 = g ( x) D * Tìm x0 cho f (x0 ) = g(x0 ) (hoặc tìm u0 cho f (u ) = g (u ) ) * Nếu f(x) đơn điệu tăng, g(x) đơn điệu giảm (hoặc hàm hằng) f (x) > g(x) ⇔ x > x , x ∈ D (hoặc f (u) > g(u) ⇔ u > u , x ∈ D ) Nếu f(x) đơn điệu giảm, g(x) đơn điệu tăng (hoặc hàm hằng) f (x) > g(x) ⇔ x < x , x ∈ D (hoặc f (u) > g(u) ⇔ u < u , x ∈ D ) Bước 3: Kết luận nghiệm bất phương trình cho Dạng 2: BPT biến đổi dạng f (u) > f ( v ) u = u ( x) , v = v( x) Bước 1: Biến đổi bất phương trình dạng f (u) > f ( v ) Bước 2: Xét hàm số y = f (x) D * Tính y ' , xét dấu y' Kết luận hàm số y = f (x) đơn điệu D Trưêng THPT Ngọc LỈc Sáng kiến kinh nghim Trịnh Hu Đi * Nu f(x) n điệu tăng thì: f (u) > f ( v ) ⇔ u > v, x ∈ D Nếu f(x) đơn điệu giảm thì: f (u) > f ( v ) ⇔ u < v, x ∈ D Bước 3: Kết luận nghiệm bất phương trình cho III CÁC VÍ DỤ Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, bpt, hpt, hbpt Bài 1: Giải phương trình sau: a b e x +1 + x + + x − = x −5 − e x −1 = 1 − 2x − x − c 8log2(x2 - x + 5) = 3(x2 - x + 5) d − x −x + x −1 = ( x − 1) Trước hết, ta nhận thấy phương trình khơng giải phương pháp thơng thường có giải khó khăn Ta tìm cách để sử dụng hàm số giải phương trình Giải: a x +1 + x + + x − = TXĐ: D = [ ; + ∞ ) Xét hàm số: f (x) = x + + x + + x − + TXĐ : D = [ ; + ∞ ) + Đạo hàm : f '( x) = 1 + + > 0, ∀x > 2 x +1 x + x − Do hàm số f ( x) đồng biến D, phương trình có nghiệm nghiệm Mặt khác ta có: f(3) = Vậy phương trình có nghiệm x = Trưêng THPT Ngọc LỈc Sáng kiÕn kinh nghiệm x −5 − e x = b e Trịnh Hu Đi 1 − 2x − x − 2 x − ≠  x ≠ / ⇔ Điều kiện:  x −1 ≠ x ≠ Viết lại phương trình dạng : e Xét hàm số f (t ) = e − t x −5 − 1 = e x−1 − 2x − x −1 (1) với t > t + Đạo hàm : f '(t) = et + > 0, ∀t > t2 ⇒ Hàm số f (t) đồng biến khoảng (0; +∞) Khi đó: phương trình (1) ⇔ f ( x − ) = f ( x − 1) ⇔ x − = x − 2x − = x − x = ⇔ ⇔ 2x − = − x +  x = Vậy phương trình có hai nghiệm x=2 x=4 c 8log2(x2 - x + 5) = 3(x2 - x + 5) (1) Với phương trình ta chưa thể có hàm số giống hai câu mà ta phải biến đổi để tìm hàm số mà ta muốn xét TXĐ: D = R Trên D (1) ⇔ log ( x − x + 5) = x2 − x + ( x − x + > e > ) Đặt t = x − x + với t > e, phương trình trở thành: Xét hàm số: f (t ) = log 2t = (2) t log 2t với t > e t Ta có f '(t ) = − ln t e t ln Từ đó, vế trái phương trình (2) hàm nghịch biến ∀ t > e; vế phải số Trưêng THPT Ngc Lặc Sỏng kiến kinh nghim Trịnh Hu Đi Do phương trình (2) có nghiệm nghiệm Mặt khác f (8) = ⇒ Phương trình (2) có nghiệm t = 8 Với t = ta có x − x + = ⇔ x= 1+ 13 − 13 ; x= 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1+ 13 − 13 ; x= 2 d − x − x + x −1 = ( x − 1) (1) Tương tự câu c) phương trình ta cần biến đổi để xuất hàm số cần xét TXĐ: D = R Trên D; (1) ⇔ − x −x + x −1 = x − x + ⇔ x −1 + x − = x −x + x2 − x t Xét hàm số f (t ) = + t với t ∈ R f ’(t ) = t ln2 + > ∀ t ∈ R ⇒ f(t) hàm số đồng biến R Mặt khác (1) ⇔ f(x - 1) = f(x2 - x) ⇔ x - = x2 - x ⇔ x2 - 2x + = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 2: Giải bất phương trình sau: a x + + x − − − x > 3 b x − ( x − x + 1) > x − x + 15 x − 14 c log x + + log x + > Giải: a x+6 + x−2 − 4−x >3 TXĐ: D = [ ; 4] Xét hàm số: f(x) = x + + x − − − x với x ∈ D Ta nhận thấy f(x) hàm số đồng biến D (vì f’(x) > ∀ x ∈ (2;4)) Trưêng THPT Ngọc LỈc Sỏng kiến kinh nghim Trịnh Hu Đi Li cú: f(3) = 3; đó, bất phương trình có nghiệm x x ∈ (3; +∞) Vậy tập nghiệm là: T = [ ; 4] ∩ ( ; + ∞ ) = ( ; 4] b x − ( x − x + 1) > x − x + 15 x − 14 (1) TXĐ: D = R, BPT (1) ⇔ x − (2 x − 1) + 3 > ( x − 2) + x −   ⇔ x − + x − > ( x − 2) + 3( x − 2) (2) Xét hàm số : f (x) = x + 3x hàm số đồng biến R Khi : (2) ⇔ f ( x − 1) > f ( x − 2) ⇔ x − > x − 2x − > x −  x > −1 ⇔ ⇔ ⇔ ∀x ∈ R 2x − < −x + x (1) Điều kiện : x>-1, hàm số f1 ( x) = log x + f ( x) = log x + hàm số đồng biến khoảng (−1; +∞) , nên hàm số f (x) = log x + + log x + hàm số đồng biến khoảng (−1; +∞) Mặt khác f (0) = (1) ⇔ f ( x) > f (0) ⇔ x > Vậy nghiệm bất phương trình x > Bài 3: Giải hệ phương trình hệ bất phương trình sau: log x − log x <  b  x  − 3x + x + > 3  + x2 + x = + y  a   + y2 + y = + x  Giải: a Điều kiện x ≥ 0, y ≥ Hệ cho trở thành:  + x2 + x = + y  ⇒ + x2 + x + = + y + y +  3 + x = + y + y  (1) Xét hàm số f (t ) = + t + t + + TXĐ: D = [ 0; +∞ ) Trưêng THPT Ngọc LỈc Sáng kiÕn kinh nghiệm + Đạo hàm f '(t) = Trịnh Hu Đi t + t2 + t > 0, ∀t > suy hàm số đồng biến D Vậy D, phương trình (1) viết dạng f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y  + x2 + x = + y    + x = − x (2) ⇔ Khi hệ cho trở thành  x = y x = y   Giải (2): Ta đoán x=1 nghiệm (2), mặt khác dễ nhận thấy phương trình (2) có vế trái hàm số đồng biến, vế phải hàm số nghịch biến Vậy x=1 nghiệm PT (2), Vậy hệ cho có nghiệm x=y=1 Nhận xét: Đối với hệ phương trình, hệ bất phương trình nhiều ẩn số ta tìm cách biến đổi làm xuất phương trình giải phương pháp hàm số để đưa mối quan hệ ẩn số đơn giản tuỳ trường hợp tìm cách giải tiếp log x − log x < (1)  b  x  − 3x + x + > (2) 3 x > x > x > ⇔ ⇔ ⇔ 1< x < Giải (1): (1) ⇔  log x − 2log x < 0 < log x < 1 < x <  x3 Giải (2): xét hàm số f (x) = − 3x + 5x + (1;4) Có f '( x) = x − x + , f '( x) = ⇔ x = 1; x = ⇒ f '( x) < 0, ∀x ∈ (1;4) Mặt khác f (4) = 7 , f ( x) > f (4) = > ⇒ f ( x) > 0, ∀∈ (1;4) 3 Vậy nghiệm hệ < x < Nhận xét: Đối với giải hệ phương trình, hệ bất phương trình có ẩn số ta dùng phương pháp hàm số để giải phương trình hay bất phương trình hệ kết hợp tập nghiệm tìm để đưa kết luận nghiệm cho hệ bất phương trình SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH Bài 4: Biện luận theo m số nghiệm phương trình sau: Trưêng THPT Ngọc LỈc Sáng kiÕn kinh nghiệm a x 4x + = Trịnh Hu Đi x +m 2 b 2m x +6 − 24 x +3m = (4 − m ) x + 3m − Giải: a x − 4x + = x +m (1) Nhận xét: Bài tập ta giải phương pháp thơng thường Tuy nhiên, giải phương pháp đó, ta phải kiểm tra điều kiện ẩn số phức tạp Ta giải cách sử dụng hàm số Giải: TXĐ: D = ( − ∞ ;1] ∪ [ 3; + ∞ ) Trên D; (1) ⇔ x − 4x + − x − 4x + − Xét hàm số f(x) = Ta có: f’(x) = x =m x−2 x − 4x + − x−2 Trên D ta có: f’(x) > ⇔ x − 4x + x−2 f’(x) < ⇔ x với x ∈ D x − 4x + − − > ⇔ x > 3; ; - Hệ (II) có nghiệm ⇔ m < − 28 27 m > Vậy hệ cho có nghiệm ⇔  m < − 28 27  Nhận xét: Trong số tập giải phương pháp đặt ẩn phụ, ta phải tìm điều kiện ẩn phụ Tuy nhiên, việc tìm điều kiện gặp khơng khó khăn Nếu ta sử dụng hàm số việc tìm điều kiện đơn giản Ta xét ví dụ sau: Bài 7: Cho phương trình: x −x + 2 x −x +1 + m − = (1) (m - tham số)  3 Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ 0 ;   2 Giải: Trưêng THPT Ngc Lặc 13 Sỏng kiến kinh nghim Trịnh Hu Đi Đặt t = 2 x − x đây, điều kiện cần t > có điền kiện chưa đủ ta chưa giải Ta phải tìm điều kiện t cách xét hàm số  3 Xét hàm số y = 2x - x2 với x ∈ 0 ;   2 Ta có: y’(x) = - 2x y’(x) = ⇔ x=1 Ta có bảng biến thiên: x -∞ y’(x) + +∞ - y(x) Từ suy tập giá trị y y ∈ [ ;1] ⇒ 20 ≤ 22x−x ≤ 21 ⇔ ≤ t ≤ Với điều kiện t phương trình (1) trở thành: ⇔ t2 + 2t + m - =  m = -t2 - 2t + (2) 3 Phương trình (1) có nghiệm x ∈ 0 ;  ⇔ phương trình (2) có nghiệm ≤ t ≤  2 Xét hàm số: g(t) = -t2 - 2t + với t ∈ [1; 2] g’(t) = ⇔ t = -1 g’(t) = -2t - Từ ta có bảng biến thiên: x y’(x) y(x) -∞ +∞ -5 Trưêng THPT Ngọc LỈc 14 Sáng kiến kinh nghim Trịnh Hu Đi Da vo bng bin thiên ta có: phương trình (2) có nghiệm t ∈ [1; 2] ⇔ m ∈ [ − ; 0]  3 ⇔ m ∈ [ − ; 0] Vậy phương trình (1) có nghiệm x ∈ 0 ;   2 Bài 8: Cho bất phương trình: mx - x −3 ≤ m + (1) (m - tham số) a Tìm m để bất phương trình có nghiệm b Tìm m để bất phương trình nghiệm ∀ x ∈ [ 3; ] Giải: TXĐ: D = [ 3; + ∞ ) Trên D, (1) ⇔ m(x - 1) ≤ x −3 + ⇔ m ≤ x − +1 x −1 (vì: x ∈ D nên x - > 0) x − +1 với x ∈ D x −1 Đặt f(x) = Khi đó: f’(x) = 5−x−2 x−3 5−x−2 x−3 ⇔ = , f’(x) = x − 3( x − 1) x − 3( x − 1) ⇔ x = 7-2 Ta có bảng biến thiên: x -∞ f’(x) + 7-2 +∞ - - 1+ f(x) 2 Trưêng THPT Ngọc LỈc 15 Sáng kiÕn kinh nghim Trịnh Hu Đi Da vo bng bin thiờn ta có: max f ( x ) a Bất phương trình có nghiệm ⇔ m ≤ D ⇔ m ≤ 1+ b Bất phương trình nghiệm ∀ x ∈ [ ; ] ⇔ m ≤ f ( x ) ⇔ m ≤ [ 3; ] Bài 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: + 2sin2x = m(1 + cosx)2 (1) Giải: Trước hết ta nhận thấy: ∀ m , + cosx ≠ (vì + cosx = thì: vế trái PT (1) = 2 + sin x ⇔ m =  sin x + cos x   ÷ (1 + cos x )  + cos x  Khi (1) ⇔ m = Đặt t = tg x ; vô lý) π x  π  ∈  − + k.π ; + k.π ÷ , k ∈ ¢ 2   với 2t 1− t2 Khi đó: sinx = , cosx = 1+ t2 1+ t2 Theo (1) ta phương trình: ⇒ sin x + cos x + 2t − t = + cos x 2m = (1+2t-t2)2 (2) Khi PT (1) có nghiệm ⇔ PT (2) có nghiệm Xét hàm số: f(t) = (1+2t-t2)2 t =  f’(t) = 4(t - 1)( t2 - 2t - 1) , f’(t) = ⇔  t = + t = −  Ta có bảng biến thiên: t -∞ f’(t) - 1- +∞ + 1+ - f(t) Trưêng THPT Ngọc LỈc +∞ + + 16 Sỏng kiến kinh nghim Trịnh Hu Đi Từ bảng biến thiên ta suy ra: phương trình (2) có nghiệm ⇔ 2m ≥ ⇔ m ≥ Vậy phương trình (1) có nghiệm ⇔ m≥0 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để đốn tìm hết tất nghiệm phương trình: Dạng thường sử dụng ta nhận thấy vế phương trình hàm đồng biến nghịch biến, đồng thời ta nhẩm hay nghiệm Dạng tập cho phép dự đốn chứng minh phương trình chó nghiệm mà ta dự đốn Ta xét ví dụ sau: Bài 10: Giải phương trình sau: a 2x + 3x = 3x + b log5(2x + 1) = log3(x+1) Nhận xét: hai ví dụ ta thấy hai vế phương trình hàm đồng biến Mặt khác ví dụ a) ta nhẩm nghiệm x = 0; x = ví dụ b) ta nhẩm đựoc nghiệm x = 0; x = Ngoài nghiệm ta chưa biết phương trình có cịn nghiệm khơng Ta tìm cách chứng minh phương trình khơng cịn nghiệm khác Giải: a 2x + 3x = 3x + (1) TXĐ: D = R Trên D (1) ⇔ 2x + 3x - 3x - = Xét hàm số: f(x) = 2x + 3x - 3x - với x ∈ D Ta có: f’(x) = 2xln2 + 3xln3 - f’’(x) = 2xln2x + 3xln2x > ∀ x ∈ ¡ ⇒ f’(x) hàm số đồng biến ¡ Mặt khác f’(x) hàm số liên tục ¡ Trưêng THPT Ngọc LỈc 17 Sáng kiÕn kinh nghim Trịnh Hu Đi M f(0) = ln2 + ln3 - < f’(1) = 2ln2 + 3ln3 - > ⇒ f’(0).f’(1) < ⇒ ∃ x0 ∈ (0;1) cho f’(x0) = ⇒ ∀ x ∈ ( − ∞ ; x ) f’(x) < ∀ x ∈ ( x0 ;+ ∞ ) f’(x) > Khi ta có bảng biến thiên: -∞ x f’(x) +∞ x0 - + + + f(x) f(x0) Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hồnh cắt nhiều điểm Do phương trình (1) có nhiều nghiệm Mặt khác ta nhẩm được: f(0) = ; f(1) = Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 0; x = b log5(2x + 1) = log3(x+1)     TXĐ: D =  − ; + ∞  Đặt log3(x+1) = t ⇒ x + = 3t ⇒ 2x + = 2(3t - 1) + = 2.3t - Khi ta có phương trình: log5(2.3t - 1) = t ⇔ 2.3t - = 5t ⇔ 2.3t - 5t - = Xét hàm số: f(t) = 2.3t - 5t - với t ∈ ¡ Ta có: f’(t) = 2.3t.ln3 - 5tln5 Trưêng THPT Ngọc LỈc 18 Sáng kiến kinh nghim Trịnh Hu Đi log (log 5) f’(t) = ⇔ 2.3t.ln3 - 5tln5 = ⇔ t = f’(t) > ⇔ t < log (log 5) ; f’(t) < ⇔ t > log (log 5) Ta có bảng biến thiên: log (log 5) -∞ t f’(t) +∞ + - f() f(t) - Số nghiệm PT số giao điểm đồ thị hàm số y = f(t) trục hoành Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình f(t) = có nghiệm có nhiều nghiệm Mặt khác ta có f(0) = 0; f(1) = Từ suy phương trình f(t) = có nghiệm t = 0; t = Với t = ta có: x + = 30 ⇒ x=0 Với t = ta có: x + = 31 ⇒ x=2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0; x = MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI: Bài 11: Giải phương trình sau: a log ( x +3) = x b 2log3(tgx) = log2(sinx) 1= x c x2 −2 1− x x2 = 1 − x x d 2x = + e x = cos x Bài 12: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x −1 + x +1 ≤ m2 +1 Trưêng THPT Ngọc Lặc 19 Sỏng kiến kinh nghim Trịnh Hu Đi Bi 13: Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin x + cos x = m.3 sin x Bài 14: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x ∈ R: 2 ( m − 1)4cos x + 2.2cos x + m + > ( x − 3)( x + 1) + 4( x − 3) Bài 15: Cho phương trình: x +1 =m x −3 a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình có nghiệm c Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [ ; + ∞ ) d Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [ ; ] Bài 16: Cho bất phương trình: m.9 x − (2m + 1).6 −x 2x2 −x + m.4 x −x ≥0 Tìm m để bất phương trình nghiệm với x thoả mãn x ≥ Bài 17: Cho phương trình: ( x − 2) log ( x −8) = m ( x − 2) a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn: Bài 18: Cho bất phương trình: ≤ x1 ≤ x ≤ log ( x − x + m) > −3 Tìm m để bất phương trình có nghiệm mà nghiệm bất phương trình khơng thuộc tập xác định hàm số: y = log x ( x + 1) log x +1 x − PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ I - KẾT LUẬN: - Hàm số có nhiều ứng dụng ứng dụng sử dụng việc giải phương trình bất phương trình - Đề tài nêu phương pháp chung cho dạng minh họa toán cụ thể, đồng thời đưa cho dạng số tập với mức độ khác - Tuy vậy, mục tiêu đề tài mà tác giả chưa đưa hệ thống tốn khó dùng hàm số để giải chưa thống kê tốn giải Trưêng THPT Ngọc LỈc 20 Sỏng kiến kinh nghim Trịnh Hu Đi bng phng phỏp đề ĐH qua năm Rất mong nhận góp ý bổ sung Hội đồng khoa học trường THPT Ngọc Lặc, Hội đồng khoa học Sở GD & ĐT Tỉnh Thanh Hóa Xin chân thành cảm ơn ! II - KIẾN NGHỊ: - Như trình bày PT, HPT, BPT, HBPT có mối liện hệ mật thiết với hàm số Khi định nghĩa PT, BPT, ta dựa khái niệm hàm số, ta biết sử dụng hàm số để giải tập tốn đơn giản Đặc biệt, đạo hàm cơng cụ hữu ích, sắc bén - Chính lẽ đó, tơi hi vọng đề tài đóng góp phần nhỏ bé vào việc giải dạng toán nêu trên; tài liệu tham khảo cho em học sinh trình học tốn ơn thi tốt nghiệp thi vào trường Đại học, Cao đẳng Trung học chuyên nghiệp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 04 năm 2013 Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép người khác Trưêng THPT Ngọc LỈc 21 Sỏng kiến kinh nghim Trịnh Hu Đi Trờng THPT Ngọc LỈc 22 ... PHN 2: NI DUNG A SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CƠ SỞ: Tính chất 1: Cho phương trình: f(x) = g(x)... ∀∈ (1;4) 3 Vậy nghiệm hệ < x < Nhận xét: Đối với giải hệ phương trình, hệ bất phương trình có ẩn số ta dùng phương pháp hàm số để giải phương trình hay bất phương trình hệ kết hợp tập nghiệm... Vậy hệ cho có nghiệm x=y=1 Nhận xét: Đối với hệ phương trình, hệ bất phương trình nhiều ẩn số ta tìm cách biến đổi làm xuất phương trình giải phương pháp hàm số để đưa mối quan hệ ẩn số đơn giản