Phương pháp Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, HPT, BPT

Chúng ta đã biết, bài toán giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình là các bài toán rèn luyện tư duy rất tốt cho học sinh và nó ứng dụng rất nhiều trong các môn khoa học khác nhau. Vì vậy dạng toán này học sinh được học trong tất cả các cấp học và nó xuất hiện thường xuyên trong các đề thi từ thi Đại học đến thi học sinh giỏi các cấp. Các phương pháp và kỹ thuật giải cũng rất đa dạng, phong phú. Tuy nhiên phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình thì đến lớp 12 học sinh mới được tiếp cận đến. Những bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình giải được bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số nói riêng ( PP sử dụng hàm số nói chung) xuất hiện với tần suất rất cao trong các đề thi trong nhưng năm gần đây đặt ra vấn đề là giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các kiến thức, kỹ năng cơ bản của phương pháp này.

MỞ ĐẦU Chúng ta biết, toán giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình toán rèn luyện tư tốt cho học sinh ứng dụng nhiều mơn khoa học khác Vì dạng tốn học sinh học tất cấp học xuất thường xuyên đề thi từ thi Đại học đến thi học sinh giỏi cấp Các phương pháp kỹ thuật giải đa dạng, phong phú Tuy nhiên phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình đến lớp 12 học sinh tiếp cận đến Những toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình giải phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số nói riêng ( PP sử dụng hàm số nói chung) xuất với tần suất cao đề thi năm gần đặt vấn đề giáo viên phải trang bị cho học sinh kiến thức, kỹ phương pháp Với mục đích trên, qua tham khảo nhiều tài liệu thực tế giảng dạy, mạnh dạn viết chuyên đề nhỏ để coi tài liệu dùng việc giảng dạy, hai là, muốn trao đổi, giao lưu học hỏi với đồng nghiệp Chúng biết chuyên đề nhiều người viết, chúng tơi muốn đóng góp thêm chút kiến thức để làm phong phú thêm phương pháp Trong thời gian hạn hẹp, với kiến thức có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý người Chúng xin chân thành cảm ơn Lập Thạch, tháng 11 năm 2015 Các tác giả PP Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải PT, HPT, BPT- Vũ Dỗn Tiến, Lăng Thị Hồng Anh Trang NỘI DUNG A MỘT SỐ TÍNH CHẤT Tính chất 1: Nếu hàm số f (x ) liên tục đơn điệu khoảng (a;b) phương trình f (x )  có nhiều nghiệm khoảng (a;b) Mở rộng: Nếu hàm số f (x ) liên tục có đạo hàm đổi dấu n lần khoảng (a;b) phương trình f (x )  có nhiều n  nghiệm khoảng (a;b) Tính chất 2: Nếu hàm số f (x ) liên tục đơn điệu khoảng (a;b) phương trình f (u)  f (v ) Û u  v với "u, v  (a;b) Tính chất 3: Nếu hàm số f liên tục đơn điệu tăng (a;b) f (x )  f (y ) Û x  y ( Nếu f đơn điệu giảm f (x )  f (y ) Û x < y ) với "x , y  (a;b) Việc chứng minh tính chất đơn giản áp dụng dụng tính chất học sinh chứng minh nên không đưa chứng minh Lưu ý 1: Để dễ hiểu nên tính chất trình bày ngắn gọn trên, tính đơn điệu hàm số tính chất mở rộng sau: Nếu hàm số f (x ) liên tục khoảng (a;b) đoạn [a;b ] nửa đoạn (a;b ], [a;b) có f '(x ) ³ ( f '(x )  ) ( với f '(x )  không xác định hữu hạn điểm) trên khoảng (a;b) hàm số f (x ) đơn điệu khoảng (a;b) ( đoạn [a;b ] nửa đoạn (a;b ], [a;b) ) B MỘT SỐ DẠNG TOÁN I ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Áp dụng tích chất Phương pháp: + Đưa phương trình dạng f (x )  f (x )   (  số) + Xét hàm số f (x ) , chứng minh hàm số đơn điệu + Nhẩm nghiệm suy nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình sau: 2x -  4x -  (1) Lời giải Điều kiện: x ³ Ta có phương trình (1) Û 2x -  4x - -  PP Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải PT, HPT, BPT- Vũ Doãn Tiến, Lăng Thị Hoàng Anh Trang Xét hàm số f (x )  2x -  4x - - 2, x ³ Vậy phương trình cho trở thành phương trình f (x )  Ta có f (x ) liên tục [ ; ¥) có f '(x )  Suy hàm số f (x ) đơn điệu tăng khoảng [ f (x )  có nhiều nghiệm [ 2x -  4x 4x -  0, "x  ( ; ¥) ; ¥) theo tính chất phương trình ; ¥) Mà f (1)  suy x  nghiệm phương trình cho Lưu ý : + Ta xét hàm f (x )  2x -  4x - số thay hàm số f (x )  2x -  4x - - + Ví dụ mang tính chất minh họa cho phương pháp, ta có cách giải khác ngắn gọn sử dụng PP liên hợp + Nhẩm nghiệm phương trình chứa dấu ta ưu tiên nhẩm giá trị ẩn làm cho biểu thức dấu phương ta dùng máy tính cẩm tay để tìm nghiệm x   3x -  5x   Ví dụ Giải phương trình Nhận xét : Ta thấy phương trình có loại bậc nên dùng phép biến đổi tương đương đặt ẩn phụ khó khăn, chí liên hợp cồng kềnh mặt khác ta dễ dàng nhìn thấy đơn điệu hàm số vế trái nên ta nghĩ đến dùng hàm số Lời giải Điều kiện: x ³ -1 Xét hàm số f (x )  x   3x -  5x  1, x  [ - ; ¥) Ta có: f '(x )  x 1  (3x - 1)2  ỉ  0, "x  - ; ¥ \ { } è  4 (5x  1)3 PP Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải PT, HPT, BPT- Vũ Dỗn Tiến, Lăng Thị Hồng Anh Trang  ö Vậy hàm số f (x ) liên tục đồng biến biến - ; ¥ nên phương trình f (x )  có     ö nhiều nghiệm - ; ¥ Mà f (3)  suy x  nghiệm    phương trình cho Lưu ý : Ở ta thấy f '(x )  x 1  (3x - 1)2  ỉ  0, "x  - ; ¥ \ { } hàm è  4 (5x  1)3  ö đơn điệu - ; ¥ lưu ý    5x -  2x -  x  Ví dụ Giải phương trình Nhận xét: Ta nhận thấy phương trình có bậc hai bậc 3, biểu thức thức lại có bậc khác nên dùng phép biến đổi tương đương đặt ẩn phụ khó khăn Nên ta nghĩ đến nhẩm nghiệm liên hợp sử dụng tính đơn điệu hàm số Lời giải Điều kiện: x ³  Xét hàm số f (x )  5x -  2x -  x tập  ; ¥) 3  Ta có hàm số Ta có f (x ) liên tục [ f '(x )  15x 2 5x -  3( 2x - 1)2 ; ¥) có   0, "x  ( Suy hàm số f (x ) đơn điệu tăng khoảng [ nghiệm [ 5 ; ¥) ; ¥) nên phương trình f (x )  có nhiều ; ¥) Mà f (1)  suy x  nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình x  24   x  15  2x (1) Lời giải Ta có phương trình (1) Û x  24  - x  15 - 2x  PP Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải PT, HPT, BPT- Vũ Dỗn Tiến, Lăng Thị Hồng Anh Trang Xét hàm số f (x )  x  24  - x  15 - 2x R , Hàm số f (x ) liên tục R Ta có f '(x )  x x  24 - x x  15 -2 ỉ ư ỉ x x ư x - x  24 x  x  15   f '(x )   - 1 -   1  < 0, "x  R   è x  24  è x  15  x  24 x  15 ì x - x  24 < Vì  x  x  15  ỵ Suy hàm số f (x ) nghịch biến R nên phương trình f (x )  có nhiều nghiệm Mà f (1)  suy x  nghiệm phương trình cho x  3x   x  x  Ví dụ Giải phương trình Lời giải Điều kiện: x ³ Phương trình cho tương đương với phương trình sau: x  3x  - (x  x  1)  Xét hàm số f (x )  x  3x  - (x  x  1) [0; ¥) Hàm số f (x ) liên tục [0; ¥) Ta có: f '(x )  x  3x  Và  f '(x ) '  f ''(x )  - x3 - 2x - , Ta thấy f '(x ) hàm liên tục (0; ¥) - (3x  1)3 - < 0, "x  suy f '(x )  có nhiều nghiệm [0; ¥) ( hay f '(x ) đổi dấu nhiều lần (0; ¥) ) nên phương trình f (x )  có nhiều hai nghiệm [0; ¥) Mà f (0)  f (1)  suy phương trình cho có hai nghiệm x  0, x  Lưu ý : + Ví dụ ta sử dụng tích chất mở rộng tích chất + Bài ta sử dụng phương pháp hay dùng giải PT vơ tỉ liên hợp sau : x  3x   x  x  Û    x -x   3x  - (x  1)  x - x + x  nghiệm PT PP Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải PT, HPT, BPT- Vũ Doãn Tiến, Lăng Thị Hồng Anh Trang + x ¹ , Ta có :    x -x   3x  - (x  1)  x - x Û x - x2 x x x - x2  3x   (x  1)  (x - x )  x - x    Û x  1, x    1   3x   (x  1)  x  x Ta thấy ta biến đổi phương trình Û    x -x   x  3x   x  x  thành dạng 3x  - (x  1)  x - x để nhân liên hợp Vấn đề đặt ta biết biểu thức thêm bớt để liên hợp Để biến đổi ta làm nháp sau: Ta biết trước hai nghiệm phương trình x  x  ( Bằng cách nhẩm dùng MTCT) Khi phương trình có hai nghiệm việc thêm bớt số khơng khả thi nghiệm phương trình phức tạp ta liên hợp xong Ta để ý có hai nghiệm nên liên hợp xong, số hạng có thừa số x (x - 1) Do ta phải thêm bớt biểu thức dạng x  b sau: x  3x      x  (ax  b)   3x   (cx  d ) … ì    (a.0+b)=0 Ta tìm a, b thỏa mãn   a  -1, b     (a  b)   ỵ  ì  (c.0+d)=0  c, d thỏa mãn   c  -1, d  -1   (c.1  d )  ỵ Phương pháp thêm bớt biểu thức để liên hợp hữu ích phương trình vơ tỉ có hai nghiệm “ đẹp” Để hiểu rõ cách liên hợp mời bạn thực hành với sau: x   22 - 3x  x  Dạng 2: Áp dụng tích chất Dấu hiệu nhận biết: Phương trình chứa hai đại lượng có kết cấu tương đối giống hai vế phương trình ( đưa dạng f (u )  f (v ) ) Phương pháp: B1: Chuyển đại lượng giống vế phương trình đ ể hai vế có kết cấu giống Dựa vào vế đơn giản phương trình để tìm hàm đặc trưng PP Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải PT, HPT, BPT- Vũ Doãn Tiến, Lăng Thị Hoàng Anh Trang B2: Dựa vào hàm đặc trưng để biến đổi vế phức tạp phương trình dạng giống với hàm đặc trưng B3: Đưa phương trình dạng f (u )  f (v ) Xét hàm đặc trưng f (t ) f (t ) đơn điệu suy u v Ví dụ Giải phương trình sau x   x   2x   2x (*) Nhận xét: ta thấy biểu thức dấu hai vế có dạng giống là:   x   (x  1)  2x   2x  nên ta nghĩ đến đưa dạng f (u )  f (v ) Lời giải Xét hàm số f (x )  t  t  1, t  R Hàm f (x ) liên tục R có f '(x )  33 t2  3 (t  1)2  0, "t  R Nên phương trình (*) Û f (x  1)  f (2x ) Û x   2x ( tích chất hàm f đơn điệu) Û x  1, x  - Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x  1, x  - Ví dụ Giải phương trình sau: x (x  3)  (3x - 7) - 3x  (1) Lời giải Điều kiện : x  Ta có phương trình (1) Û x (x  3)  (4 - 3x )  3 - 3x Xét hàm số f (t )  t(t2  3)  t  3t, t  R Ta có f '(t )  3t   0, t  R , hàm f (t ) liên tục đồng biến R ì x ³ Phương trình (1) Û f (x )  f ( - 3x ) Û x  - 3x Û  Ûx 1   x  3x -   ỵ  Vậy phương trình có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình sau x  3x - 3 3x   - 3x PP Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải PT, HPT, BPT- Vũ Dỗn Tiến, Lăng Thị Hồng Anh Trang Lời giải Ta có x  3x - 3 3x   - 3x Û (x  1)3  3(x  1)  (3x  5)  3 (3x  5) (*) Xét hàm số f (t )  t  3t, t  R Ta có f '(t )  3t   0, "t  R suy hàm f (t ) đồng biến liên tục R Phương trình (*) Û f (x  1)  f ( 3x  5) Û x   (3x  5) ( f đơn điệu tăng R) Û (x  1)3  3x  Û x  3x -  Û (x - 1)(x  4x  4)  Û x  1, x  -2 Vậy phương trình có nghiệm x  1, x  -2 Lưu ý : + Bằng kinh nghiệm ta thấy phương trình cho đưa dạng f (u )  f (v ) + Làm để biến đổi phương trình cho dạng : (x  1)3  3(x  1)  (3x  5)  3 (3x  5) ? Ta thấy dạng hàm f (t ) bậc ( có lũy thừa bậc bậc 3) khơng có số hạng bậc tự ( khơng có biểu thức (3x  5)2 , tự rút gọn hai vế) Do f (t )  at  bt Lại thấy a  1, b  hệ số x hệ số (3x  5) Ví dụ Giải phương trình: 3x (2  9x  3)  (4x  2)(  x  x  1)  (1) Lời giải: Ta có phương trình (1) Û -3x (2  (-3x )2  3)  (2x  1)(2  (2x  1)2  3) (2) Ta thấy phương trình (2) có nghiệm (-3x ).(2x  1) ³ Û -  x  Xét hàm số f (t )  t(2  t  3)  2t  t  3t với t ³ hàm liên tục [0; ¥) Ta có f '(t )   2t  3t t  3t  "t   f (t) đồng biến (0; ¥) Phương trình (2) Û f (-3x )  f (2x  1) Û -3x  2x  Û x  Vậy x  - nghiệm phương trình PP Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải PT, HPT, BPT- Vũ Doãn Tiến, Lăng Thị Hồng Anh Trang Lưu ý: + Ở phương trình với u  -3x , v  2x   u, v  R Nếu ta xét hàm số f (t )  2t  t  3t , t  R hàm f (t ) không đơn điệu R nên không áp dụng tính chất Do đó, đơi ta phải thu nhỏ tập khảo sát đánh giá dựa điều kiện có nghiệm phương trình Như phương trình ta đánh giá đư ợc -  x  u, v ³ nên ta xét hàm số f (t )  2t  t  3t , t ³ + Phương trình dạng f (u )  f (v ) với u  D1, v  D2 ta phải xét hàm số f (t ) tập D chứa tập D1 D2 tức D1 È D2 Ì D , tất nhiên D1  D2 phải khác tập rỗng Ví dụ 10 Giải phương trình (4x  1)x  (x - 3) - 2x  Lời giải Điều kiện: x  Ta có phương trình : (4x  1)x  (x - 3) - 2x  Û (4x  1)(2x )  (5 - 2x )  1 - 2x (1) Xét hàm số f (t )  t(t  1)  t  t, t  R Hàm f liên tục R Và có f '(t )  3t   0, t  R , suy hàm số f (t ) đồng biến R Mà phương trình (1) Û f (2x )  f ( - 2x ) Û 2x  - 2x ì x ³ -1  21 Û Ûx    4x  2x -   ỵ Vậy phương trình cho có nghiệm x  Ví dụ 11 Giải phương trình -1  21 x  2x -  (x  1)( x  - 2) x - 2x  ( Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2015) Lời giải Điều kiện: x ³ -2 PP Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải PT, HPT, BPT- Vũ Dỗn Tiến, Lăng Thị Hồng Anh Trang Phương trình cho tương đương với (x - 2)(x  4)  (x - 2x  3)(x  1)(x - 2) x 2 2 x   Û  (x  1)(x - 2x  3) ( x  4)  (2)  ( x   2)  Ta có (2) Û ( x   2)(x  4)  (x  1)(x - 2x  3)     Û ( x   2) ( x  2)2   (x - 1)  2 (x - 1)2  Xét hàm số f (t )  (t  2)(t  2)  t  2t  2t  4, t  R Có f (t )  3t  4t   0, t  R suy hàm số f (t ) liên tục đồng biến R Do ì x ³ phương trình (2) Û f ( x  2)  f (x - 1) Û x   x - Û    x - 3x -   ỵ  ìx ³   x  - 13  13 Û  Û  x    13 x   ỵ Vậy phương trình có hai nghiệm x  2, x   13 Ví dụ 12 Giải phương trình x  3x  4x   (3x  2) 3x  (1) Lời giải ĐK: 3x  ³ Û x ³ - Ta có phương trình (1) Û (x  1)3  (x  1)  (3x  1)  1 3x  Û (x  1)3  (x  1)  (3x  1)3  3x  (2) Xét hàm số f (t )  t  t, t  R Có f '(t )  3t   0, "t  R suy hàm số f (t ) đồng biến liên tục R PP Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải PT, HPT, BPT- Vũ Dỗn Tiến, Lăng Thị Hồng Anh Trang 10 Bài tập tương tự: Giải phương trình sau 15 - x  - x  x  x - - 3x   - 4x  - 2x  2x -  x   x -  3x - - 4x  - x 3x -  2x    12 - x 2x   x x   (x  1) x  2x   x  15  3x -  x  x - 24 - x   x -2  -x  x -1  x 1 (HSG 12 Vinh Phúc năm 2015-2016) 10 x - 2x - 3x -   11 8x  12x  11x   3 x  12 2x -  27x - 27x  13x - 13 2x - x  2x - 3x   3x   x  14 x - 1 x - 2x   2x  - x x  15 (8x  2)x  (x - 6) - x  16 x - 3x - 2x - - 3x  3x   PP Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải PT, HPT, BPT- Vũ Dỗn Tiến, Lăng Thị Hồng Anh Trang 12 II ỨNG DỤNG TRONG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ Giải bất phương trình sau x  - - x ³ (1) Nhận xét: BPT giải bình phương hai lần, ta dễ dàng nhận thấy hàm số vế trái đơn điệu nhẩm dấu x  nên ta sử dụng tính chất để giải ngắn gọn Lời giải: Điều kiện: -6  x  (*) Xét hàm số f (x )  x  - - x , x  [ - 6;7] Có f '(x )    "x  (-6;7) suy hàm số f (x ) đồng biến liên tục x 6 -x [-6;7] Ta thấy f (3)  nên bất phương trình (1) Û f (x ) ³ f (3) Û x ³ Kết hợp với điều kiện (*) ta có tập nghiệm (1) [3;7] Lưu ý: Ta hiểu để giải BPT f (x )  (a;b) ta giải phương trình f (x )  chia tập (a;b) thành khoảng giả sử (a; x ) , (x 1; x ) … (x n ; b) ( x < x < < x n nghiệm f (x )  ) khoảng f (x ) có loại dấu, ta việc chọn khoảng cho f (x )  lấy làm tập nghiệm Ở ta sử dụng tính đơn điệu hàm số để chọn khoảng nghiệm BPT Ví dụ Giải bất phương trình sau x   2x  < Lời giải: Điều kiện: x ³ (*) Xét hàm số f (x )  x   2x  3, x ³ Có f '(x )  x 5  2x  3  "x  - suy hàm số f (x ) đồng biến liên tục [ - ; ¥) Ta thấy f (11)  nên bất phương trình (1) Û f (x ) < f (11) Û x < 11 Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm (1) - Ví dụ Giải bất phương trình sau:  x < 11  < (1) 3-x 2-x PP Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải PT, HPT, BPT- Vũ Dỗn Tiến, Lăng Thị Hồng Anh Trang 13 Lời giải Điều kiện: x < Xét hàm số f (x )   ,x