ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

Với mong muốn tập hợp, phân loại đồng thời vận dụng các kỹ năng khảo sát hàm số, chứng minh bất đẳng thức và một số kỹ năng khác để giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức, và đặc biệt là giúp học sinh sau này trở thành những người lao động sáng tạo, có trình độ tay nghề cao, biết qui lạ về quen, quyết đoán trước các vấn đề mới mẻ, tình huống bất ngờ thường gặp trong cuộc sống trước hết cần rèn luyện cho học sinh khả năng suy luận logic, tư duy thuật toán, kỹ năng quan sát, phân tích, tổng hợp, … Giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức là một dạng bài tập giúp cho học sinh rèn luyện và nâng cao khả năng tư duy, thói quen suy luận trong học tập và lao động, đáp ứng được các yêu cầu nêu trên.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN LẠC

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

YÊN LẠC – THÁNG 10 NĂM 2015

A MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức là một dạng toán khá phổ

biến trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng trước đây và đề thi học sinh giỏicác cấp Đối với học sinh Trung học phổ thông nói chung và học sinh lớp 12A1trường Trung học phổ thông Yên Lạc – Yên Lạc – Vĩnh Phúc nói riêng, bài toán tìmgiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức được coi là bài toán khó, thậm chí làcâu khó nhất trong cấu trúc đề thi THPT Quốc gia

Rèn kỹ năng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức giúp cho họcsinh phát triển khả năng tư duy suy luận logic, tư duy thuật toán, đặc biệt hóa, kháiquát hóa,…

Qua quá trình giảng dạy học sinh ôn thi THPT Quốc gia và bồi dưỡng học sinhgiỏi nhiều năm, và đặc biệt là trong năm học 2015 – 2016, được giao nhiệm vụ giảngdạy và chủ nhiệm lớp 12A1, một lớp có nhiều học sinh khá và giỏi, phải trực tiếphướng dẫn học sinh bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức, tôithấy cần phải rèn cho học sinh thành thạo các kĩ năng giải các bài toán tìm giá trị lớnnhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức, chứng minh bất đẳng thức để phát triển tư duycho học sinh

Trong thực tế, các sách tham khảo, các tài liệu trên Internet viết nhiều về bất đẳng

thức, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nhưng số các tài liệu viết về Ứng dụng đạo hàm vàkhảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức hai biến hay babiến còn rất hạn chế Hơn nữa các bài toán thuộc dạng này nếu có, các tác giả chưachú ý tới việc phân tích, dẫn dắt học sinh cách vận dụng, suy luận logic khiến họcsinh càng có cảm giác bất ngờ, lúng túng trước các dạng bài tập này

2 Mục đích nghiên cứu:

Với mong muốn tập hợp, phân loại đồng thời vận dụng các kỹ năng khảo sát hàm

số, chứng minh bất đẳng thức và một số kỹ năng khác để giải các bài toán tìm giá trịlớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức, và đặc biệt là giúp học sinh sau này trởthành những người lao động sáng tạo, có trình độ tay nghề cao, biết qui lạ về quen,quyết đoán trước các vấn đề mới mẻ, tình huống bất ngờ thường gặp trong cuộc sốngtrước hết cần rèn luyện cho học sinh khả năng suy luận logic, tư duy thuật toán, kỹnăng quan sát, phân tích, tổng hợp, … Giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất của biểu thức là một dạng bài tập giúp cho học sinh rèn luyện và nâng caokhả năng tư duy, thói quen suy luận trong học tập và lao động, đáp ứng được các yêucầu nêu trên

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

b) Đối tượng áp dụng chuyên đề

Tôi đã nghiên cứu và hoàn thiện chuyên đề từ tháng 9 năm 2015 đến tháng 10 năm 2015 và áp dụng trong giảng dạy chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia và ôn thi

HSG cho học sinh lớp 12A1 trường Trung học phổ thông Yên Lạc – Huyện Yên Lạc – Tỉnh Vĩnh Phúc.

4 Thực trạng vấn đề

Trong thực tiễn giảng dạy học sinh khá và giỏi, các bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến hầu như không xuất hiện trong sách giáokhoa và sách bài tập Chuẩn kiến thức, kĩ năng chỉ yêu cầu học sinh biết vận dụng cácqui tắc, các định lí để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số một biến Và nếu chỉ

có vậy thì học sinh không được nâng cao khả năng tư duy, không được rèn luyện tínhsáng tạo, các kỹ năng đánh giá, biến đổi biểu thức, không phát huy được tính chủđộng, tích cực, nhu cầu khám phá, khả năng sáng tạo của học sinh

Hơn nữa, nếu chỉ dừng lại ở các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm

số một biến thì nhiều kỹ năng biến đổi, đánh giá, làm trội,… rất cần trong lao động,sản xuất còn chưa được khai thác Các bài tập dạng này chỉ đánh giá được trí nhớ củahọc sinh mà không đánh giá được khả năng suy luận, tư duy sáng tạo của học sinh Bởi vậy trong hầu hết các đề thi học sinh giỏi, các đề thi Đại học, Cao đẳng trướcđây và đề thi THPT Quốc gia ngày nay, bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường

là tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức nhiều biến Do đó, nhu cầu thựctiễn nảy sinh là cần rèn luyện cho học sinh tiếp cận, làm quen, và nâng cao kĩ năngđánh giá, đưa các biểu thức nhiều biến đó về hàm số một biến quen thuộc

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1 Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số

1.1.1 Định nghĩa: Cho hàm số f x( ) xác định trên khoảng K Khi đó

*) f x( ) gọi là đồng biến trên K nếu với mọi x x1 , 2 K mà x1 x2 ta đều có

1.1.2 Định lý ( Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng)

Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên khoảng (a;b) Khi đó

*) Nếu f x( ) 0   x ( ; )a b (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì f x( ) đồngbiến trên ( ; )a b

*) Nếu f x( ) 0   x ( ; )a b (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì f x( ) nghịchbiến trên ( ; )a b

1.1.3 Điểm tới hạn của hàm số

Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số f x( ) nếu nó thuộc tập xác địnhcủa f x( ) và f x '( ) 0 0 hoặc f x'( ) 0 không xác định

Chú ý: Trên mỗi khoảng phân chia bởi hai điểm tới hạn kề nhau, đạo hàm của hàm

số giữ nguyên một dấu Một cách tổng quát, nếu phương trình ( ) 0 vô nghiệm

trên khoảng (a;b) thì f(x) không đổi dấu trên khoảng đó.

1.2 Cực trị của hàm số

1.2.1 Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên tập D, x0 D

*) x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm x 0 sao cho (a;b)D và f(x)<f(x 0 ), với mọi x(a;b)\{x 0 } Lúc đó, f(x 0) được gọi là giá trị

cực đại của f

*) x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm x 0 sao cho (a;b)D và f(x)>f(x 0 ), với mọi x(a;b)\{x 0 } Lúc đó, f(x 0) được gọi là giá trị

cực tiểu của f

- Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số

- Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị của hàm số

- Nếu x 0 là điểm cực trị của hàm số f thì điểm M(x 0 ; f(x 0)) được gọi là điểm cực trị

của đồ thị hàm số f.

1.2.2 Định lí 1 (Định lí Fecmart-Điều kiện cần để hàm số có cực trị)

Nếu hàm số f có đạo hàm và đạt cực trị tại điểm x 0 thì f’(x 0) = 0

1.2.3 Định lí 2 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 1)

Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên các

khoảng (a;x 0 ) và (x 0 ;b) Khi đó:

i) Nếu f’(x)<0,  x ( , )a x0 và f’(x) > 0  x ( , )x b0 thì f đạt cực tiểu tại điểm x 0

ii) Nếu f’(x)>0,  x ( , )a x0 và f’(x) < 0  x ( , )x b0 thì f đạt cực đại tại điểm x 0

Quy tắc 1

-Tìm tập xác định.

-Tính f’(x) Tìm các điểm tới hạn.

-Lập Bảng biến thiên

-Kết luận

1.2.4 Định lí 3 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 2)

Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a;b) chứa điểm x 0 đồng thời

f’(x 0 ) = 0 và f’’(x 0)0 Khi đó

i) Nếu f’’(x 0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x 0

ii) Nếu f’’(x 0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x 0

Quy tắc 2

-Tìm tập xác định

-Tính f’(x) Tìm các nghiệm x i của phương trình f’(x) = 0

-Tính f’’(x) và suy ra f’’(x i)

o Nếu f’’(x i ) < 0 thì f đạt cực đại tại x i

o Nếu f’’(x i ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x i

Chú ý: Khi áp dụng qui tắc 2, ta chỉ tìm được các điểm cực trị là nghiệm của

phương trình f’(x)=0, hơn nữa f’’(x) phải khác 0 Ngoài các trường hợp trên, ta phải

sử dụng qui tắc 1.

1.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và biểu thức

1.3.1 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

<1>Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D Khi đó

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện

- Dựa vào Bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

<3> Các bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]:

- Tính đạo hàm

- Tìm các điểm tới hạn x i và tính các giá trị f a f b f x( ), ( ), ( ).i

- Kết luận max ( ) max[ ; ]a b f x   f a f b f x( ); ( ); ( ) ;min ( ) mini  [ ; ]a b f x   f a f b f x( ); ( ); ( )i 

1.3.2 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Cho biểu thức n biến Pf x x( ; ; ; ) 1 2 x n xác định trên D D D 1  2   D n, tức là

, 1,

x D  i n Khi đó

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của P trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

- Trường hợp 3 số: Với mọi x, y, z không âm, ta đều có: x y z   3 3 xyz.

Bất đẳng thức Cô si được vận dụng nhiều trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏnhất cũng như các bài toán chứng minh bất đẳng thức Ta có thể khai thác, sử dụngcác dạng thức khác nhau của bất đẳng thức này, chẳng hạn trường hợp ba số dương,

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a a a1 : 2 : 3 b b b1 : 2 : 3.

1.4.3 Các bất đẳng thức suy ra từ bình phương một biểu thức

1.5 Các bước lập Bảng biến thiên của hàm số

Việc lập Bảng biến thiên của hàm số là một khâu quan trọng trong quá trình giảibài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số một biến trên khoảng hay nửakhoảng Kỹ năng này học sinh đã được rèn luyện nhiều trong quá trình học lý thuyết,

vì thời gian không nhiều nên trong đề tài này tôi chỉ đề cập tới kĩ năng chuyển bàitoán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến thành bài toán tìm giá trịlớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (một biến) và đưa ra bảng biến thiên để suy ra kết luậncuối cùng mà không trình bày chi tiết từng bước, đặc biệt là bỏ qua việc tìm giới hạn.Trong giảng dạy, yêu cầu học sinh phải lập bảng biến thiên với những bài toán tìm

giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng, còn với

đoạn thì ta không cần lập bảng biến thiên Các bước cơ bản để lập Bảng biến thiên

bao gồm: Tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìm các điểm tới hạn, các giới hạn cần thiếtrồi hoàn thiện Bảng biến thiên

2 MỘT SỐ KĨ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

Để ứng dụng đạo hàm, một khâu rất cơ bản là ta phải biến đổi, đánh giá, đưa biểuthức cần tìm GTLN, NN có nhiều biến về hàm một biến thông qua một dãy bất đẳngthức cùng chiều

- Để tìm GTLN của biểu thức P, ta phải đánh giá: P P 1 P2   P n

- Để tìm GTNN của biểu thức P, ta phải đánh giá: P P 1 P2   P n

Trong qua trình đánh giá, luôn luôn chú điều kiện xảy ra đẳng thức phải thỏa mãn,

thống nhất xuyên suốt cả quá trình Cuối cùng ta đưa biểu thức phức tạp (P) ban đầu

về biểu thức đối xứng hai biến hoặc ba biến (P n) Tiếp theo ta đặt biến mới theo các

đa thức đối xứng đơn giản, chẳng hạn:

- Với trường hợp hai biến x, y, ta thường đặt t x y t, xy t,  xy t, x2 y2 ,

- Với trường hợp ba biến x, y, z, ta thường đặt

2.1 Sử dụng các bất đẳng thức Cô si, Bunhia-Copxki

Sử dụng bất đẳng thức Cô si để biến đổi qua lại giữa một tích, một tổng, một tíchnghịch đảo hay tổng nghịch đảo của hai hoặc ba biến là một kĩ năng sáng tạo, đòi hỏihọc sinh phải có cách nhìn khái quát, đôi khi phải kết hợp với biểu thức cần tìm giátrị lớn nhất, nhỏ nhất và giả thiết của bài toán để đưa biểu thức đó về hàm một biến.Bất đẳng thức Cô si còn được vận dụng để đánh giá, tìm điều kiện xác định cho hàm

số mới Ta xét các bài toán sau:

Bài 2.1.1 Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

 



Xét hàm số 3

2 54 ( )

Ở bài toán này, dựa vào tính đối xứng của biểu thức P ta khéo léo áp dụng Bất

đẳng thức Cô si để đưa về hàm số một biến

Bài 2.1.2 Cho các số thực dương x y, thỏa mãn: x y   1 3xy Tìm giá trị lớn nhất

( 1) ( 1)

0

+ -

1 0

3 2



+∞

t f’

f

0

+ -

1 0

3 2



t f’

f

0

+ -

1 0

3 2

Lời giải:

0

3 2

  Dấu bằng xảy ra khi a b c   2.

Bài 2.1.6 Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn

(a b c b c a c a b  )(   )(   ) 1  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

cho là tam giác đều Ta sẽ chứng minh  

Từ các kết quả trên ta suy ra Pmin   3 a b c   1.

Bài 2.1.7 Cho x, y, z là ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



+∞

x y’

Nhiều bất đẳng thức đơn giản, hiển nhiên nhưng trong một số trường hợp cụ thể,

nếu biết vận dụng sáng tạo thì đó lại là một công cụ hữu hiệu trong kĩ thuật đánh giá.Chẳng hạn như các bài toán sau

Bài 2.2.1 Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x2 y2 z2  2. Tìm GTLN của biểu thức

2 2

1

Bài 2.2.2 Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (4x2  3 )(4y y2  3 ) 25 x  xy

Biểu thức P đối xứng hai biến, vậy ta tìm cách đánh giá P đưa về biểu thức chỉ chứa

x y và xy Nếu qui đồng trực tiếp thì biểu thức thu được quá phức tạp Để nghiệm

của tam thức bậc hai, ta có

P  , chẳng hạn khi

1, 2.

Bài 2.3.2 Cho các số thực x y, thỏa mãn x y  1  2x 4  y 1 Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S (x y)2 9 x y 1

min

1 33 2 5

2 4

Đặt t x y   3  t 0. Khi đó ta có hệ 2

2

3 3

9 945 27

9 945 27

x y

s  ) Khi đó x, y là các nghiệm của phương trình X2  sX p 0, nên để x, y tồn

t

  Bảng biến thiên

số trên một đoạn, ta được max

1 6 5

3

t P

2.4 Sử dụng các hàm số trung gian (Khảo sát theo từng biến)

Bài 2.4.1 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức P 4 a64 b62 2 4 b64 c62 2 4 c64 a62 2

Cũng có khi trong một bài toán chúng ta phải xét nhiều hàm số, chẳng hạn như bài dưới đây:

Bài 2.4.3 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 1,y 1;3(x y ) 4  xy Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3

3 3

1 1 3

1; 3 9

Từ bảng biến thiên ta suy ra: ( ) 2 3 2 2

2 3 1

x y

3 b

Bài 2.5.1 Cho hai số x, y khác 0 thỏa mãn: 2 2

(x y xy x )  y  xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3

2

2 1 ( )

Vì tử số và mẫu số của biểu thức P là các đa thức đẳng cấp bậc hai đối với x, y

nên ta xét hai trường hợp sau:

-Nếu y = 0 

2 2

1 0

+∞

t P’

3

2 3 2 

1 2

+∞

t P’

3

2 3 2 

1 2

t P’

3

2 3 2 

1 2

  Biểu thức chỉ còn lại đối xứng hai biến

Với hai số dương m, n cho trước, ta có

Theo giả thiết

2.6 Bài tập cho học sinh rèn luyện

Bài 2.6.1 Cho các số dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 2.6.10 Cho các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện x2 y2 xy 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x 4 y4  4xy x y 3 3

Bài 2.6.11 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x2 y2 z2  1. Tìm GTLN của biểu thức P 6(y z x  ) 27  xyz.

Bài 2.6.12 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 Tìm giá

trị lớn nhất của biểu thứcP 3a2 b2 c2 4abc

Bài 2.6.13 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x y z   1. Tìm GTNN của biểu thức