Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một hàm số

Từ thực tế giảng dạy của mình, tôi thấy học sinh rất lúng túng khi gặp phải các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có hai hoặc ba biến số, đó lại thường là các bài toán hay và khó đối với mỗi học sinh. Để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức có rất nhiều phương pháp nhưng không có phương pháp nào là vạn năng, mỗi phương pháp chỉ phù hợp với một nhóm bài mà thôi. Một trong các phương pháp khá hiệu quả là dùng đạo hàm khảo sát sự biến thiên của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Chính vì thế tác giả đã chọn đề tài “Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức”. Trong đề tài, tác giả đã cố gắng đưa ra một số bài toán thường gặp, các bài toán trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng tương đối điển hình nhằm bước đầu tạo cho học sinh những cách suy luận, cách biến đổi để vận dụng một cách có hiệu quả phương pháp khảo sát hàm số vào bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến. Trong quá trình thực hiện đề tài này, mặc dù đã rất cố gắng nhưng không thể tránh được những hạn chế, thiếu sót. Tác giả rất mong muốn nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy giáo, cô giáo để đề tài này tốt hợn. Xin chân thành cảm ơn

Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Từ thực tế giảng dạy của mình, thấy học sinh rất lúng túng gặp phải các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có hai hoặc ba biến số, đó lại thường là các bài toán hay và khó đối với mỗi học sinh Để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức có rất nhiều phương pháp không có phương pháp nào là vạn năng, mỗi phương pháp phù hợp với một nhóm bài mà Một các phương pháp khá hiệu quả là dùng đạo hàm khảo sát sự biến thiên của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức Chính vì thế tác giả chọn đề tài “Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức” Trong đề tài, tác giả cố gắng đưa một số bài toán thường gặp, các bài toán các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng tương đối điển hình nhằm bước đầu tạo cho học sinh cách suy luận, cách biến đổi để vận dụng một cách có hiệu quả phương pháp khảo sát hàm số vào bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến Trong quá trình thực đề tài này, mặc dù rất cố gắng không thể tránh hạn chế, thiếu sót Tác giả rất mong muốn nhận sự đóng góp ý kiến của thầy giáo, cô giáo để đề tài này tốt hợn Xin chân thành cảm ơn! II ĐÔI TƯỢNG THỰC NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI 1) Đối tượng thực nghiệm: Trong năm học 2011-2011 tác giả chọn học sinh lớp 12A2 và 12A5 để thực nghiệm, học sinh lớp 12A2 học các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất dựa vào ứng dụng của đạo hàm theo hướng của đề tài và học sinh lớp 12A5 chọn làm đối chứng, thì kết quả cuối năm học 2011-2012 có 80 - 90% học sinh lớp Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức 12A2 giải quyết tốt các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức, đó có khoảng 30% học sinh lớp 12A5 làm tốt việc đó Trong năm học vừa qua, tác giả trao đổi đề tài với các đồng nghiệp tổ chuyên môn để áp dụng vào giảng dạy tại các lớp khối 12 và kết quả đạt rất tốt và đề tài đánh giá cao 2) Phương pháp nghiên cứu đề tài: Tác giả lựa chọn các phương pháp như: +) Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết +) Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm +) Phương pháp phân loại, hệ thống hóa Các phương pháp này đan xen lẫn nhau, bổ xung cho nhằm mục đích giúp tác giả hệ thớng hóa, tổng kết, phân tích, phân loại từ lý thuyết đến các dạng bài tập PHẦN NỘI DUNG I NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Để có thể giải tốt các bài toán phương pháp khảo sát hàm số yêu cầu trước tiên là học sinh phải nắm vững và biến vận dụng các kiến thức ban đầu hàm sớ, quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm của một số hàm số thường gặp, quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số một biến phương pháp đạo hàm Ngoài học sinh cần nắm và biết vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo một số bất đẳng thức bản Quy tắc tính đạo hàm: Cho hàm số u  u ( x ) và v  v ( x ) có đạo hàm D Khi  u  v  '  u ' v '  u  v  '  u ' v '  uv  '  u ' v  v ' u ( ku ) '  k u '( k �R ) u � u 'v  v 'u �  (v �0) �� v� v2 � Đạo hàm số hàm số thường gặp: Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức  C '   x '  n  x  '  n.x n   x ' e 'e x  u  '  n.u n 1 n 1 u '  u  '  2u 'u  e  '  e u ' x u x ( x  0) x  s inx  '  cos x  ln x  '  u u' u  sinu  '  u '.cos u  ln u  '   u ( x)    cosx  '   s inx  cosu  '  u '.s inu   tan x  cos x �0  cos x 1  cosx  '   (1  cot x)  sin x �0  sin x  t anu  '   t anx  '  u'  u '   tan u  cos u u '  cosu  '   u '   cot u  sin u Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Cho hàm số y  f ( x ) xác định tập D +) Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x) D nếu f ( x ) �M với x �D và tồn tại x0 �D cho f ( x0 )  M f ( x) Kí hiệu: M  max D +) Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) D nếu f ( x ) �m với x �D và tồn tại x0 �D cho f ( x0 )  m f ( x) Kí hiệu: m  D Định lí: Mọi hàm sớ liên tục một đoạn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất đoạn đó Quy tắc tìm giá trị nhỏ lớn hàm số liên tục đoạn  a; b +) Tìm các điểm x1 , x2 , , xn thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f '( x) hoặc f '( x ) không xác định Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức +) Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f (b) +) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m các số f ( x) , m  f ( x) Khi đó: M  max D D Đối với việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số một khoảng thì ta khảo sát sự biến thiên của hàm sớ và dựa vào bảng biến thiên hoặc tính đơn điệu của hàm số, để kết luận Ngoài ra, ta sử dụng mợt sớ các kiến thức có liên quan bất đẳng thức Cauchy, các bất đẳng thức đúng IV MỢT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Trước hết, tác giả cho học sinh làm quen vận dụng cách nhuần nhuyễn toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số bằng phương pháp khảo sát hàm số Sau số ví dụ Ví dụ 1: ( Đề thi Đại học Khối D - 2011) x  3x  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: f ( x)   0; 2 x 1 Bài làm: 2x2  4x f '( x)  � x  x  � Ta có: f '( x)  ; ( x  1) Lại có f (0)  ; f (2)  x0 � � x  2(loai) � 17 f ( x)  f (0)  ; m ax f ( x)  f (2)  17 Suy :  0;2  0;2 Ví dụ 2: ( Đề thi Đại học Khối B - 2003) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f ( x)  x   x Bài làm: Tập xác định: D   2;2 Ta có f '( x)   (1) x  x2 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức �x �0 f '( x )  �  x  x � � �x 2  x  x � Bảng biến thiên: 2 x f '( x ) 2 + f ( x)  2 2 f ( x)  f ( 2)  2 Từ bảng biến thiên suy : min 2;2 m ax f ( x)  f ( 2)  2  2;2 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  2x  x2  khoảng  �; 2  Bài làm: Tập xác định: D   �; 2  � 2; � f '( x)  x  x 4   ;    f '( x)  � x  8 Bảng biến thiên: � t f '(t ) f (t ) + 8  2  15 � � -2 Từ bảng biến thiên suy :  max f ( x)  f (8)   �;2  �  15 Hàm số không có giá trị nhỏ nhất khoảng  �; 2  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức có hai biến Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức có hai biến, ta đưa vê tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức biến số bằng phương pháp thể, phương pháp đặt ẩn phụ khảo sát theo biến 2.1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức có hai biến phương pháp thể Ví dụ 1: Cho x, y  thỏa mãn: x  y  x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   4y Với toán cho điêu kiện ta rút x theo y hoặc y theo x thế vào biểu P ta sẽ có biểu thức với biến số Đặc biệt lưu ý phải tìm điêu kiện biến cần khảo sát Bài làm: Từ giả thiết x  y  Do x, y  và x  y  Xét hàm số f ( x)  Ta có 5 nên  x, y  4 � 5� 0; �  � � 4� x  4x f '( x)  � x    4x  5 � y   x Khi đó P   4 x  4x 4  x2   x  f '( x)  � 4  0 x2   x  x0 � �� � x   l � Bảng biến thiên: x f '( x) f ( x) + � - � Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức Từ bảng biến thiên suy : f ( x)  f (1)  � 5� 0; � � � 4� Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là x  1, y  Ví dụ 2: Cho x, y �R thỏa mãn: y �0 và x  x  y  12 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  xy  x  y Rõ ràng với toán cho điêu kiện ta nên rút y theo x Bài làm: Từ giả thiết x  x  y  12 � y  x  x  12 Do y �0 nên x  x  12 �0 � 4 �x �3 Khi đó P  x  3x  x  24 Xét hàm số f ( x )  x  x  x  24  4;3 x  3 � f '( x)  � � x 1 � Ta có f '( x)  x  x  suy Bảng biến thiên: x -4 f '( x) f ( x) + -3 - + -4 -29 f ( x)  f (1)  29 Từ bảng biến thiên suy : min 4;3 m ax f ( x)  f (3)  f (3)   4;3 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là -29 x  1, y  10 P đạt giá trị lớn nhất là x  3, y  hoặc x  3, y  Ví dụ 3: Cho x, y  thỏa mãn: x  y  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x y  1 x 1 y Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức Do vai trò x y toán nên ta rút y theo x hoặc ngược lại Bài làm: x 1 x  1 x x Từ giả thiết x  y  � y   x Khi đó P  Do x, y  và x  y  nên  x, y  x 1 x   0;1 1 x x Xét hàm số f ( x)  Ta có f '( x )  2 x 1 x  2(1  x)  x x x f '( x )  � 2 x 1 x  0� x 2(1  x)  x x x Bảng biến thiên: x f '( x) f ( x) - � + � �1 � Từ bảng biến thiên suy : f ( x)  f � �  0;1 �2 � Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là x  y  2.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đối xứng có hai biến phương pháp đặt ẩn phụ Với tốn có biểu thức đối xứng với hai biến ta thường đặt ẩn phụ t  x  y hoặc t  xy , nhiên phải vào giả thiết đê cho, để tìm điêu kiện biến Ví dụ 1: Cho x, y �R thỏa mãn: x  y  x  y Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  x3  y  x y  xy Đặt t  x  y Từ giả thiết Bài làm: 2x2  y2  x  y 1 � xy  ( x  y )  ( x  y )  2t  t 4  Lại có: ( x  y ) �2( x  y )  x  y hay t � t  t t2 Khi đó P  ( x  y )  xy ( x  y )  Do �t �1 nên �t �1 � �x  y  �x  � � Vậy P đạt giá trị lớn nhất là t  � � �� xy  � �y  � � �x  y  �x  �� P đạt giá trị nhỏ nhất là t  � � �xy  �y  Ví dụ 2: Cho x, y �R thỏa mãn: x  y2     x  y    x  3x y Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  x  y  x y Nhận xét: Thoạt nhìn thấy biểu thức P khơng đối xứng, xong nhìn vào giả thiết ta thấy biểu thúc P hồn tồn đưa vê biểu thức đối xứng, Hơn nữa lại tốn có biểu thức đối xứng với hai biến với x y nên ta đặt ẩn phụ t  x  y để làm giảm bậc biểu thức Bài làm: Đặt t  x  y  Do giả thiết x  y     x  y    x  3x y nên t �  3� t t Khi đó P  ( x  x y )  2( x  y )  t  t  Xét hàm số f (t )  t  t   1;2 Ta có f '(t )  2t  1; f '(t )  t � 1;2 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức f (t )  f (1)  ; max f (t )  f (2)  Suy :  1;2  1;2 Vậy P đạt giá trị lớn nhất là t  � x  0; y  � P đạt giá trị nhỏ nhất là t  � x  0; y  �1 Ví dụ 3: Cho x, y �R thỏa mãn: x  y �1 và x  y  xy  x  y  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  xy x  y 1 Bài làm: Đặt t  x  y Từ giả thiết x  y  xy  x  y  � ( x  y )  xy  ( x  y )  � xy  t  t  Lại có: ( x  y ) �0 � ( x  y )2 �4 xy suy 3t  4t  �0 �  �t �2 �2 � t2  t 1 t2  t 1  ;2 � Khi đó P  Xét hàm số f (t )  � � � t 1 t 1 t  2t Ta có f '(t )  (t  1) t0 � � f '(t )  � � t  2(l ) � Bảng biến thiên: t f '(t ) f (t ) 2 - + 3 -1 Suy ra: f (t )  f (0)  1 �2 �  ;2 � �3 � � � 2� m ax f ( t )  f   f (2)  � � ; �2 � � 3�  ;2 � � �3 � �x  y  �x  �� Vậy : MinP  1 t  � � hoặc �xy  1 �y  1 �x  1 � �y  10 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức Đặt t  x2  y2  z Khi đó P �t  t xy  yz  zx y 2� z2 Lại có x  xy Xét hàm số f (t )  t  yz zx t  1;� t 2t  Ta có f '(t )  2t   ; f '(t )  � t  t t2 Bảng biến thiên t  f '(t ) f (t ) � + � 1 Từ bảng biến thiên suy P �f (t ) �6 Dấu xảy x=0; y=z hoặc y=0, x=z hoặc z=0, x=y Vậy biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất là Ví dụ 3: Cho a, b, c là cạnh của một tam giác thỏa mãn: a  b  c    2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a  b  c  4abc Bài làm: Do vai trò của a,b,c là nên khơng mất tính tổng quát giả sử  a �b �c bc Do a  b   c mà a �  c  2 2 Ta có: P  a  b  c  4abc   a  b   6ab  3c  4abc P    c   3c  2ab(2c  3) 2 2 �3  c � �a  b � �3  c � Do ab �� � � � và c  nên ab(2c  3) �� �(2c  3) � � �2 � �2 � 23 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức Suy P �3   c  2 27 �3  c �  3c  � �(2c  3)  c  c  2 �2 � 27 �3� 1; Xét hàm số f (c)  c  c  � �2� � 2 � f '(c)  � c  1; c  0(l ) Ta có f '(c)  3c  3c Bảng biến thiên: x f '( x) f ( x) + 27 13 Từ bảng biến thiên suy : P �f  c  �f  1  13 Dấu xảy a  b  c  Vậy MinP  13 a  b  c  Ví dụ 4: Cho x, y , z �0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1  x  y  z  (1  x )(1  y )(1  z ) Bài làm: Đặt t  x  y  z , t �0 Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai và ba số không âm, ta có x  y  z �xy  yz  zx và x  y  z �3 xyz �  x  y  z  �3( xy  yz  zx ) và  x  y  z  �27 xyz P 1 1 27  �    x  y  z  xyz  xy  yz  zx  ( x  y  z )  t  t t  (t  3)3 t   t 1 27 Xét hàm số f (t )  27   0;� t  (t  3)3 24 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức Ta có f '(t )  1 81  ; f '(t )  � t  0; t  (t  1) (t  3) t � f '(t ) f (t ) + - 0 �1 27 � lim f (t )  lim �  0 3� t �� t � � t  ( t  3) � � Vậy MaxP  m ax f (t )  f (3)   0; � x  y  z  Nhận xét: Đôi thay bằng việc yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức ta yêu cầu chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 5: Cho x, y, z �0 thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: �xy  yz  zx  xyz � 27 Bài làm: Đặt P  xy  yz  zx  xyz �0 *) Do giả thiết nên xy  yz  zx  xyz  xy (1  z )  yz (1  x )  zx �0 x  1; y  z  � � Suy ra: P  xy  yz  zx  xyz �0 Dấu xảy y  1; x  z  � � z  1; x  y  � *) Không mất tính tổng quát giả sử x �y, z Do giả thiết nên �x � , y  z   x Lại có:  y  z  �4 yz ( y  z )2 P  xy  yz  zx  xyz  x ( y  z )  yz (1  x ) �x (1  x )  (1  x ) 25 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức (1  x) � P  x(1  x)  (1  x)  3x  x  4  Xét hàm số f ( x)   � 1� 0; � 3 x3  x  � 3� �   Ta có f '( x)   x  x ; f '( x )  � x  0; x  2 x 0 f '( x) f ( x) + 27 Từ bảng biến thiên suy P � Dấu xảy x  y  z  27 ( điều phải chứng minh) 27 Vậy �xy  yz  zx  xyz � Nhận xét: Trong toán tác giả đã chọn biến đại diện , tìm điêu kiện biến còn lại đánh giá biểu thức thơng qua biến đại diện Ví dụ 6: Cho  x, y, z  thỏa mãn xy  yz  zx  Tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài làm: x y z    x2  y  z x2 y2 z2 P   x  x2 y  y2 z 1 z2  Xét hàm số f (t )  Ta có f '(t )       (0;1) t 1 t2   3t   t2 1 t  2 ; f '(t )  � x   1 ;x  3 Bảng biến thiên: 26 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức t f '(t ) f (t ) - + � � 3 3 Từ bảng biến thiên suy f (t ) � với t �(0;1) Dấu xảy t  z2 3 x2 3 y2 3 � x � y � z Khi đó suy ra: , , 2 x  x2 y  y2 z 1 z2    3 P � x 2  Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là y2 z2  3  xy  yz   zx  3 3 x  y  z  Nhận xét: Trong số trường hợp ta khảo sát lần lượt từng biến một, bằng cách chọn biến tham số biến thiên biến còn lại coi hằng số ví dụ sau đây: Ví dụ 7: ( Đề thi Đại học Khối A - 2011) Cho x, y, z �R thỏa mãn: x, y , z � 1;4 và x �y , x �z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x y z   2x  3y y  z z  x Bài làm: Nếu x  y thì P  Nếu x  y Xét hàm số f ( z )  Ta có f '( z )  y  x x y z    1;4 2x  y y  z z  x   ( x  y) z  xy   y  z  z  x  y  z  z  x � f '( z )  � z  xy 27 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức Bảng biến thiên: z xy  f '( z ) f ( z) + y x  2x  y x y x y x y    Suy : P � 2x  3y x  y x 3 x 1 y y Đặt t  x Do x, y � 1;4 ; x  y nên  t y Xét hàm số g (t )  �2 t2  2t   t 2 � 4t (t  1)  3(2t  t  3) � � � g '(t )  với t � 1;2 2 2t   t  1   Suy hàm số nghịch biến  1;2  g (t ) Suy P �g (t ) �g (2)  g (2) 34 33 34 33 �z  xy � � x  4, y  1, z  Dấu “=” xảy � x  � �y Vậy MinP  34 x  4, y  1, z  33 Ví dụ 8: Cho a, b, c  thỏa mãn: 21ab  2bc  8ca �12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P    a b c 28 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức Bài làm: Đặt x  , y  ; z  ( x, y, z  0) a b c 21 12   � � x  y  21z �12 xyz c a b abc Do 21ab  2bc  8ca �12 nên  z 2x  y và x � 12 xy  21 4y Ta có P  x  y  z �x  y  Xét hàm số f ( x )  x  y  2x  y �7 � � ; �� xy  �4 y � 14  32 y Ta có f '( x)    xy   2x  y xy  7  32 y  14 � f '( x)  � x  x0  4y Bảng biến thiên: x  32 y  14 4y 4y f '( x) f ( x) - � + f  x0  Từ bảng biến thiên suy : P �f  x0  32 y  14  2y   4y 2y 32 y  14 Xét hàm số: g ( y )  y   4y 2y g '( y )  (8 y  9) 32 y  14  28 y 32 y  14 Đặt t  32 y  14 g '( y )  � t  50t  122  � t  � y  29 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức y f '( y ) f ( y) - � + 15 Từ bảng biến thiên suy : 32 y  14 15 P �g ( y )  y   � 4y 2y Dấu xảy x  3, y  , z  Vậy MinP  � a  ,b  ,c  3 15 a  , b  , c  V Mét sè bµi tËp kiÕn nghị Bài 1: Cho x, y �0 thỏa mãn: x  y  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  x y  y 1 x 1 Bài 2: Cho x, y �R thỏa mãn: x  y  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y  3( x  y )  3( x  y ) Bài 3: Cho 3 �x, y �2 thỏa mãn: x  y  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  x  y Bài ( Đề thi Đại học Khối A- 2006) Cho hai số thực khác không x, y thay đổi và thỏa mãn ( x  y ) xy  x  y  xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 1  x3 y3 Bài ( Đề thi Đại học Khối D- 2008) 30 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức Cho hai số thực x, y không âm thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P ( x  y )(1  xy ) (1  x) (1  y ) Bài ( Đề thi Đại học Khối B- 2011) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a  b )  ab  (a  b)( ab  2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức �a b3 � �a b � P  �  � �  � a � �b a � �b Bài 7: Cho x, y �R thỏa mãn: x  y  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  2( x3  y )  3xy Bài ( Đề thi Đại học Khối B- 2012) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x  y  z  và x  y  z  Tìm giá trị lớn nhất của P  x  y  z Bài 9: Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn x y  xy  x  y  3xy Tìm (1  xy )  giá trị nhỏ nhất của P  x  y  xy 2 Bài 10: Cho x, y là các số thực không âm và thỏa mãn x  y  Chứng minh x y ( x  y ) � 32 Bài 11: Cho x, y, z  thỏa mãn: x  y  z  và xyz  Chứng minh rằng: 183  165 �x  y  z �18 Bài 12: Cho x, y là các số thực tùy ý cho: x  y  2( xy  y ) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  xy  x  Bài 13: Cho x, y �R thỏa mãn: x  y  z  và xy.( x  y )  x  y  xy Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  x  y  z  xyz 31 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức Bài 14: Cho x, y, z �0 thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: x3  y  z  15 xyz � 4 Bài 15: Cho x, y là các số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x3  y  xy ( x  y ) xy x  y Bài 16: Cho x, y, z  thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y z   1 x 1 y 1 z Bài 17: Cho x, y, z là các số thực không âm và có tổng Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x  y  z  xyz Bài 18: Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn x+y+z=1 Tìm giá trị nhỏ    3 2 nhất của P  x  y  z  x  y  z  Bài 19: Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn x  y  xy  Tìm giá trị lớn nhất của P  3x 3y xy    x2  y y 1 x 1 x  y   Bài 21: Cho x, y , z là các số thực dương và thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn nhất của P  7( xy  yz  zx )  xyz PHẦN THỨ BA: KẾT QUẢ VÀ KHUYẾN NGHỊ Thông qua đề tài sáng kiến kinh nghiệm ” Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức” tác giả rút một số ý kiến sau: 32 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức +) Trước tiên phải làm cho học sinh nắm thật các kiến thức đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, mợt số các bất đẳng thức quen thuộc, các quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số +) Nên tạo điều kiện cho học sinh tiếp xúc với các bài toán hay và khó với nhiều hướng giải nhằm phát huy hết lực sáng tạo của học sinh giải toán +) Trong quá trình thực đề tài, năm học 2011 – 2012 tác giả vận dụng vào các tiết tự chọn nâng cao của lớp 12A2 và học sinh lớp 12A5 làm đối chứng thì thấy có sự khác rõ rệt Học sinh học theo hướng của đề tài, có từ 80 đến 90% học sinh làm tốt các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức, đó có 30 đến 35% học sinh lớp 12A5 giải các bài toán này Thường Tín, ngày 19 tháng năm 2013 Tác giả Đỗ Thị Phương Thỏa PHẦN THỨ TƯ: TÀI LIỆU THAM KHẢO Sáng tạo Bất đẳng thức – Phạm Kim Hùng – Nhà xuất bản Hà Nội Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp- Phan Đức Chính, Nguyễn Văn Mậu, Đỡ Thanh Sơn- Nhà xuất bản Giáo dục 33 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức Chuyên đề Bất đẳng thức- Võ Giang Giai - Nhà xuất bản Thành phố Hờ Chí Minh Ba thập kỉ đề thi toán vào các trường Đại học Việt Nam – Trần Phương- Nhà xuất bản Đaị học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Ứng dụng đạo hàm để giải toán sơ cấp- Nguyễn Phụ Hy – Tạ Ngọc Trí – Nguyễn Thị Trang- Nhà xuất bản Giáo dục 34 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG Chủ tịch hội đồng 35 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức MỤC LỤC Trang Phần thứ nhất: Sơ yếu lý lịch Phần thứ hai: Nội dung đê tài I Lý và mục đích chọn đề tài II Đối tượng thực nghiệm và phương pháp nghiên cứu của đề tài Đối tượng thực nghiệm của đề tài 2 Phương pháp nghiên cứu của đề tài III Những kiến thức chuẩn bị IV Một số bài toán điển hình Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có hai biến 2.1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có hai biến phương pháp thế 2.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có hai biến phương pháp đặt ẩn phụ 2.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đẳng cấp 19 với hai biến phương pháp đặt ẩn phụ 22 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có ba biến 31 V Một số bài tập kiến nghị 34 Phần thứ ba: Kết quả khuyến nghị 35 Phần thứ tư: Tài liệu tham 36 khảo Nhận xét đánh giá hội đồng khoa học cấp trường 36 Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2013 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VI Tôi xin cam đoan là SKKN của mình viết, không chép nội dung của người khác Đỗ Thị Phương Thỏa 37 ... Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức có hai biến Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức có hai biến, ta đưa vê tốn tìm giá. .. vê tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức biến số bằng phương pháp thể, phương pháp đặt ẩn phụ khảo sát theo biến 2.1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức có hai biến phương pháp thể Ví dụ... � 2� Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức có ba biến Trong phần tác giả muốn trình bày số tốn tìm giá trị lớn nhỏ số biểu thức chứa ba biến bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoặc phương pháp