Một số phương pháp tính tích phân

Tích phân là mảng kiến thức rất quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Các dạng bài tập tích phân ngày càng phong phú, đa dạng và là phần kiến thức không thể thiếu trong các kỳ thi THPT Quốc Gia. Vì vậy nó được quan tâm nhiều trong dạy học. Từ thực tế giảng dạy của mình, tôi thấy học sinh rất lúng túng khi gặp phải các bài toán tích phân, một dạng bài toán rất quen thuộc mà vẫn khó. Tại sao nhiều em học sinh vẫn lúng túng khi đứng trước bài toán Tích phân? Theo tôi, đó là do một số nguyên nhân sau: Thứ nhất, bài tập tích phân rất phong phú và rất nhiều dạng bài khó, đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng, tính suy luận logic cao và đôi khi có liên hệ với thực tế. Thứ hai, chủ đề tích phân được trình bày cụ thể, tuy nhiên bài tập về vấn đề này đã gây ra không ít khó khăn, vướng mắc cho người học, các tài liệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song sự phân loại chưa dựa trên cái gốc của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa có cái nhìn tổng quát về bài tập tích phân. Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài toán và linh hoạt trong việc giải quyết vấn đề vì thế người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các em. Đặc biệt từ năm học 20162017, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã có sự thay đổi trong cách thức thi THPT Quốc gia môn toán, từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan. Điều đó đặt ra một vấn đề rất lớn cho học sinh và chính bản thân các thầy cô giáo trong việc truyền tải kiến thức tới học sinh. Với học sinh việc giải bài tập về tích phân vốn đã khó và mất nhiều thời gian thì nay càng khó hơn. Giáo viên càng cần tập chung nhiều hơn nữa trong việc giúp học sinh nhận biết cách giải quyết bài toán nhanh và chính xác. Từ đó hình thành cho học sinh tác phong làm việc tập chung. Thiết nghĩ, nếu sắp xếp các bài tập tích phân có tính hệ thống thì sẽ giúp học sinh tự tin và thao tác làm bài nhanh hơn, chuẩn xác hơn khi giải bài tập tích phân, phù hợp với cách thức đánh giá kiến thức của học sinh trong giai đoạn hiện nay, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, tư duy độc lập, sáng tạo cho các em. Từ những lí do trên tôi chọn đề tài “ Một số phương pháp tính tích phân” trong quá trình dạy học nhằm giúp học sinh: + Có khả năng sáng tạo các bài toán tương tự và giải quyết các bài toán đó nhanh chóng, quy lạ về quen. + Rèn luyện tư duy độc lâp, rèn luyện tính linh hoạt và phê phán trong tư duy. + Có khả năng liên hệ giải quyết các bài toán thực tế từ đó tích cực hoạt động giải bài tập. + Có khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa…các yếu tố trên giả thiết bài toán. Trong đề tài, tác giả đã cố gắng đưa ra một số bài toán thường gặp, các bài toán tương đối điển hình trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, các đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường, các bài tập tự luận giúp các e củng cố và nắm chắc kiến thức cơ bản cách suy luận, cách biến đổi bài toán để vận dụng một cách có hiệu quả trong việc giải quyết các bài toàn. Các bài toán trắc nghiệm giúp học sinh giải quyết bài toán một cách nhanh chóng, hiệu quả và nhuần nhuyễn. Thông qua các việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần dần thích nghi một cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toán mới. Học sinh thường hiểu sâu và thích nghi và hứng thú khi học phần này Trong quá trình thực hiện đề tài này, mặc dù đã rất cố gắng nhưng không thể tránh được những hạn chế, thiếu sót. Tác giả rất mong muốn nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy giáo, cô giáo để đề tài này tốt hợn. Xin chân thành cảm ơn

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Tích phân là mảng kiến thức rất quan trọng trong chương trình toán học phổthông Các dạng bài tập tích phân ngày càng phong phú, đa dạng và là phần kiếnthức không thể thiếu trong các kỳ thi THPT Quốc Gia Vì vậy nó được quan tâmnhiều trong dạy học

Từ thực tế giảng dạy của mình, tôi thấy học sinh rất lúng túng khi gặp phảicác bài toán tích phân, một dạng bài toán rất quen thuộc mà vẫn khó Tại saonhiều em học sinh vẫn lúng túng khi đứng trước bài toán Tích phân? Theo tôi, đó

là do một số nguyên nhân sau:

Thứ nhất, bài tập tích phân rất phong phú và rất nhiều dạng bài khó, đòi hỏingười học phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng, tính suy luận logic cao vàđôi khi có liên hệ với thực tế

Thứ hai, chủ đề tích phân được trình bày cụ thể, tuy nhiên bài tập về vấn đềnày đã gây ra không ít khó khăn, vướng mắc cho người học, các tài liệu thamkhảo đề cập đến phần này khá nhiều song sự phân loại chưa dựa trên cái gốc củabài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa có cái nhìntổng quát về bài tập tích phân

Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổngquát bài toán và linh hoạt trong việc giải quyết vấn đề vì thế người ra đề chỉ cầnthay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các em

Đặc biệt từ năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã có sự thay đổitrong cách thức thi THPT Quốc gia môn toán, từ hình thức thi tự luận sang thitrắc nghiệm khách quan Điều đó đặt ra một vấn đề rất lớn cho học sinh và chínhbản thân các thầy cô giáo trong việc truyền tải kiến thức tới học sinh Với họcsinh việc giải bài tập về tích phân vốn đã khó và mất nhiều thời gian thì nay càngkhó hơn Giáo viên càng cần tập chung nhiều hơn nữa trong việc giúp học sinhnhận biết cách giải quyết bài toán nhanh và chính xác Từ đó hình thành cho họcsinh tác phong làm việc tập chung

Thiết nghĩ, nếu sắp xếp các bài tập tích phân có tính hệ thống thì sẽ giúp học sinh tự tin và thao tác làm bài nhanh hơn, chuẩn xác hơn khi giải bài tập tíchphân, phù hợp với cách thức đánh giá kiến thức của học sinh trong giai đoạn hiệnnay, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, tư duy độc lập,sáng tạo cho các em

Từ những lí do trên tôi chọn đề tài “ Một số phương pháp tính tích phân”

trong quá trình dạy học nhằm giúp học sinh:

+ Có khả năng sáng tạo các bài toán tương tự và giải quyết các bài toán đó

nhanh chóng, quy lạ về quen.

+ Rèn luyện tư duy độc lâp, rèn luyện tính linh hoạt và phê phán trong tưduy

+ Có khả năng liên hệ giải quyết các bài toán thực tế từ đó tích cực hoạtđộng giải bài tập

+ Có khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa…các yếu tố trên giảthiết bài toán

Trong đề tài, tác giả đã cố gắng đưa ra một số bài toán thường gặp, các bàitoán tương đối điển hình trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, các

đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường, các bài tập tự luận giúp các e củng cố

và nắm chắc kiến thức cơ bản cách suy luận, cách biến đổi bài toán để vận dụngmột cách có hiệu quả trong việc giải quyết các bài toàn Các bài toán trắc nghiệmgiúp học sinh giải quyết bài toán một cách nhanh chóng, hiệu quả và nhuầnnhuyễn

Thông qua các việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần dần thích nghi một cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toánmới Học sinh thường hiểu sâu và thích nghi và hứng thú khi học phần này

Trong quá trình thực hiện đề tài này, mặc dù đã rất cố gắng nhưng khôngthể tránh được những hạn chế, thiếu sót Tác giả rất mong muốn nhận được sựđóng góp ý kiến của thầy giáo, cô giáo để đề tài này tốt hợn

Xin chân thành cảm ơn!

II ĐÔI TƯỢNG THỰC NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI.

1) Đối tượng thực nghiệm của đề tài:

Trong năm học 2017-2018 tác giả đã chọn học sinh lớp 12A2 và 12A6 đểthực nghiệm, học sinh lớp 12A2 được học phần khoảng cách theo hướng của đềtài và học sinh lớp 12A6 được chọn làm đối chứng, thì kết quả cuối năm học2017- 2018 qua các bài kiểm tra kiến thức, có 80 - 90% học sinh lớp 12A2 giảiquyết tốt các bài toán tích phân và thao tác làm bài trắc nghiệm rất nhanh vàchính xác, trong khi đó chỉ có khoảng 45-50% học sinh lớp 12A6 làm tốt việc đó Trong năm học vừa qua, tác giả đã trao đổi đề tài với các đồng nghiệp trong

tổ chuyên môn để áp dụng vào giảng dạy và ôn luyện cho học sinh các lớp khối

12 và kết quả đạt được đều rất tốt và đề tài được đánh giá cao

2) Phương pháp nghiên cứu của đề tài:

Tác giả đã lựa chọn các phương pháp như:

+) Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết

+) Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm

+) Phương pháp phân loại, hệ thống hóa.

Các phương pháp này đan xen lẫn nhau, bổ xung cho nhau nhằm mục đích giúptác giả hệ thống hóa, tổng kết, phân tích, phân loại từ lý thuyết đến các dạng bàitập

B PHẦN NỘI DUNG

I NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.

Để có thể giải tốt các bài toán tích phân yêu cầu trước tiên là học sinh phảinắm vững các khái niệm về nguyên hàm, một số tính chất cơ bản của Nguyênhàm, tích phân và các phương pháp tính tích phân Ngoài ra học sinh cần nắmchắc và biết vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo một số các bài toán điển hình

I.1 Nguyên hàm

1 Định nghĩa:

Hàm số f(x) xác định trên K ( K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng).Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x)=f(x), ∀x ∈ K

2 Định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với

mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x)trên K

Chú ý: Họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K được ký hiệu là

4 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp

( với u=u(x); du=u’dx)

0dx C=

∫

1

( 1) 1

du u C

∫

(0 1) ln

2

1

cotx sin x dx= − +C

1

tanu cos u du = +C

∫2

1

cotu sin u du= − +C

∫

I.2 Tích phân

1 Định nghĩa: Cho y=f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [ ]a b; Giả sử F(x)

là một nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn [ ]a b; Hiệu số F(b)- F(a) được gọi là

tích phân từ a đến b của hàm số f(x), ký hiệu là b ( ) ( ) b a ( ) ( )

* Phương pháp đổi biến số

Định lý 1: Giả sử hàm số x=ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α β; ]và

ϕ(α)=a; ϕ(β)=b; a≤ϕ(t)≤b, ∀ ∈t [α β; ] Khi đó b ( ) ( ( )) '( )

( ) ( )

u b b

f x dx= g u du

* Phương pháp tính tích phân từng phần.

Định lý: Nếu u=u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn

dv uv= − vdu

II NỘI DUNG

II.1 Tính tích phân sử dụng bảng nguyên hàm

Phương pháp giải: Để tính tích phân bằng phương pháp sử dụng bảng

nguyên hàm, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Biến đổi hàm số cần tính tích phân hành tổng, hiệu của các hàm số

cơ bản trong bảng nguyên hàm

Bước 2: Sử dụng bảng nguyên hàm và các tính chất của tích phân

1 2 0

2 2

0 0

Nhận xét: Đối với việc tính tích phân các hàm cơ bản bằng cách dùng bảng

nguyên hàm và các tính chất thì học sinh đã được luyện nhiều khi học nguyênhàm, hơn nữa với bài trắc nghiệm thì học sinh có thể sử dụng máy tính nên tác giảtập chung chủ yếu vào các bài toán mà học sinh phải tính toán cụ thể

Ví dụ 6: Cho

3 3 2 0

ln ( , , , )

2 1

dx c d a b c d N b

II.2 Tính tích phân sử dụng phương pháp đổi biến số

Có hai phương pháp đổi biến số

+ Đổi biến số dạng 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ ]a b; , để tính tích phân

có dạng b ( ( )).u'( )

a

f u x x dx

∫ , ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt t=u(x) và tính dt=u’(x)dx

Bước 2: Đổi cận: x=a ⇒t=u(a), x=b ⇒t=u(b)

Bước 3: Chuyển sang tích phân theo biến t ta được

( ) ( )

ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt x=u(t) và tính dx=u’(t)dt

Bước 2: Đổi cận: x=a ⇒ t=α, x=b ⇒ t=β

Bước 3: Chuyển sang tích phân theo biến t ta được

3 2

∫

Giải: Đặt t =1+ x2 ⇒ dt =2 xdx

2 2

Ví dụ 4: Tính

1 0

=∫ f x

1 2

( )d

∫ f x x

Giải: Ta có: 2 ( ) 3 (1f x + f − =x) 1 −x (1)

Đặt t = −1 x , ta có 2 (1f − +t) 3 ( )f t = t hay 2 (1f − +x) 3 ( )f x = x (2).Từ (1) & (2), ta được: ( ) 3 2 1

dx du

3 1 1 ( 1)

1

x dx

v x

1 0

1 1 (1 )

Xét

1

2018 1

II.4 Tính tích phân sử dụng tính chất của tích phân đặc biệt

Tính chất 1: Nếuf x( ) liên tục và là hàm lẻ trên [−a a; ] thì ( )d 0

x a

Ví dụ 1: Tính

1 2

1 2

1 osx.ln

sin 1

x

f x

x

= + là hàm số lẻ nên

1 2 1

sin

0 1

x dx x

−

= +

( )d

=∫

'( ) dx ( )

1 d

4 '( )

11

'( ) '( ) 2 0.

2 '( )

3 '

1 5

Ví dụ 7: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên đoạn 0;

1 cos2

II.5 Tính tích phân sử dụng bất đẳng thức tích phân

Nếu f x g x( ), ( ) liên tục trên đoạn [ ]a b; cùng với các bình phương của chúng thì thì

7 7

x

1

= Dấu " " = xảy ra khi f x′( ) =kx3 với k là hằng số

d = − 1

∫kx x suy ra k = − 7.Vậy f x′( ) = − 7x3 nên ( ) 7 4

4

f x x c mà f ( )1 = 0 nên ( ) 7( 4)

1 4

III MỘT SỐ BÀI TOÁN KIẾN NGHỊ

III 1 Các bài toán tự luận:

2 ( 1)(4 9)

.( 1)

tan x

cos x 1 cos x

π π

I=∫ e −x dx

2 /2

dxeI

3

2 1

∫

29

2

2 6

cos ln(1 sin ) sin

Câu 4: Cho tích phân 04 .sin cos 2 5.

2 1

Câu 13: Cho 2( 2 1 ln) 1 4 2

ln 2

e e

Câu 15: Tính 2017 ( )

2 2017

3 ln

(ln 3 1) ln ( 1)

2 0

Câu 23: Cho f x( ) là hàm liên tục trên R thỏa mãnf ( )1 = 1 và 1 ( )

0

1 dt 3

Câu 29: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ]0;1 thỏa mãn f ( )1 = 10,( )

d 16

39 [ '( )]

4

=

1 2 0

5 ( ) "( )

Câu 35: Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên [ ]1;8 và thỏa mãn

1 Những vấn đề quan trọng nhất được sáng kiến kinh nghiệm đề cập:

- Giúp học sinh có cái nhìn tổng quát và có hệ thống về dạng toán tính tích

phân, từ đó có kĩ năng giải thành thạo, nhanh và chính xác các bài toán thuộc chủ

đề này và hơn thế học sinh không còn cảm giác e sợ khi gặp các bài toán mà phảilàm theo hình thức tự luận

- Tạo cho học sinh có thói quen biết quy lạ về quen, đưa các bài khó tínhtoán về các bài toán đơn giản hơn, tìm ra cách tính toán nhanh nhất, hiệu quảnhất

- Thông qua việc giải các dạng bài toán tính tích phân nhằm phát triển chohọc sinh tư duy bài toán, dần dần hình thành cho các em khả năng làm việc độclập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thầnphương pháp mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo Điều quan trọng là tạo cho các emniềm tin, hứng thú khi học tập bộ môn

2 Kết quả thu được:

Trong quá trình thực hiện đề tài, năm học 2017 – 2018 tác giả đã vận dụngvào các tiết tự chọn nâng cao của lớp 12A2 và học sinh lớp 12A6 làm đối chứngthì thấy có sự khác nhau rõ rệt Học sinh được học theo hướng của đề tài, các emkhông những nắm vững được phương pháp, biết cách vận dụng vào các bài toán

cụ thể một cách nhanh chóng, chính xác đạt hiệu quả cao, không những thế màcòn tạo cho học sinh hứng thú khi học tập Khi học trên lớp và qua các lần thikiểm tra kiến thức 85 đến 90% học sinh làm tốt các bài toán tính tích phân, trong

đó chỉ có 50 đến 60% học sinh lớp 12A6 giải được các bài toán này Đề tài cũngđược phổ biến đến tổ chuyên môn và vận dụng vào giảng dạy ôn tập cho học sinhlớp 12 chuẩn bị vào kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018, đề tài đã được đồng nghiệpđánh giá cao

Với tinh thần như vậy và theo hướng này các thày cô giáo và các em họcsinh có thể tìm ra được nhiều kinh nghiệm hay với nhiều đề tài khác nhau Chẳnghạn, các bài toán về hàm số, các bài toán về tổ hợp – xác suất, các bài toán vềphương pháp tọa độ trong mặt phẳng, trong không gian

Cuối cùng xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ và góp ýkiến cho tôi hoàn thành đề tài sáng kiến kinh nghiệm này

Hà Nội, ngày 18 tháng 5 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phương pháp Giải toán Giải tích 12- Đỗ Thanh Sơn- Nhà xuất bản Giáodục

2 Phương pháp Giải bài tập trắc nghiệm Toán tích phân - Huỳnh Công Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội

Thái-3 Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn Toán 12- Lê Hồng Đức, VươngNgọc, Nguyễn Tuấn Phong - Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội

4 Báo Toán học và tuổi trẻ, các đề thi Đại học và đề thi thử THPT Quốc gianăm 2017, 2018

5 Ba thập kỉ đề thi toán vào các trường Đại học Việt Nam – Trần Nhà xuất bản Đaị học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Phương-MỤC LỤC

A Phần mở đầu

I Lý do và mục đích chọn đề tài

II Đối tượng thực nghiệm và phương pháp nghiên cứu của đề tài

1 Đối tượng thực nghiệm của đề tài

2 Phương pháp nghiên cứu của đề tài

B Phần nội dung

I Những kiến thức chuẩn bị

I.1 Nguyên hàm

I.2 Tích phân

II Nội dung

II.1 Tính tích phân sử dụng bảng nguyên hàm

II.2 Tính tích phân sử dụng phương pháp đổi biến số

II.3 Tính tích phân sử dụng phương pháp tính tích phân từngphần II.4 Tính tích phân sử dụng tính chất của tích phân đặc biệt

II.5 Tính tích phân sử dụng bất đẳng thức tích phân

III Một số bài toán kiến nghị

Trang 1 1 2 2 2 3 3 3 4 5 5 6 11 15 18 20 20 21 26

III 1 Các bài toán tự luận

III 2 Các bài toán trắc nghiệm

C Kết quả và khuyến

nghị

D Tài liệu tham khảo

28