phương pháp “lượng giác hóa” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ – HUYỆN NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP “LƯỢNG GIÁC HĨA” ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC Người thực hiện: Mai Thị Hồng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Trần Phú SKKN Thuộc lĩnh vực mơn: Tốn học NĂM HỌC 2012 - 2013 PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Các tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khơng thể thiếu SGK tốn lớp 10, 11, 12 đề thi Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi ,ứng dụng vào đời sống mơn khoa học khác Những tốn khơng q khó hàm số đại số nhiều ẩn việc Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ công cụ đồ thị, đạo hàm hay bất đẳng thức côsi, Bunhiacopxki… quen thuộc tỏ khơng hiệu Địi hỏi tính kiên trì sáng tạo em học sinh Nhất em học sinh trung bình, yếu kém, ngại học, chán nản mà ý chí khơng phát huy tính tích cực sáng tạo học sinh Là giáo viên trực tiếp giảng dạy cho em học sinh đặt câu hỏi làm để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cách đơn giản nhất, dễ hiểu nhất? để giúp cho em học sinh hứng thú học tập, phát huy tính tích cực tự giác học tập mơn tốn Qua q trình giảng dạy thân tơi rút số kinh nghiệm việc dùng ẩn phụ “lượng giác hóa” để tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số phạm vi đề tài tơi có đề cập số phần nhỏ toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số chương trình tốn lớp 10, 12 tốn ơn thi Đại học, Cao đẳng thi học sinh giỏi Qua đề tài này, hy vọng phần giúp em học sinh giải toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cách nhanh gọn xác phát huy tốt tính tích cực tuu sáng tạo học sinh PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN Lý thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số SGK lớp 12 Trong SGK Giải tích 12 trình bày giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số a Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) xác định D: - Số M gọi GTLN hàm số y = f(x) tập D; f(x) ≤ M ∀x∈ D tồn x0 ∈ D cho f(x0) = M Ký hiệu M = Max f ( x ) D - Số m gọi GTNN hàm số y = f(x) tập D; f(x) ≥ m ∀x∈ D tìm x0 ∈ D cho f(x0) = m Ký hiệu m = f ( x ) D b Định lý: Mọi hàm số liên tục tập xác định D có Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tập D Bất đẳng thức bunhiacôpxki – SGK lớp 10: - Bất đẳng thức bunhiacôpxki cho số (x ; y) (a ; b) Ta có : (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) x y = Dấu “=” xảy ⇔ a b Một số tính chất cơng thức lượng giác SGK lớp 11 *) Các công thức lượng giác số tính chất + sin ϕ ≤1; cosϕ ≤1 2 + sin ϕ + cos ϕ =1 sin ϕ π và1+ tan ϕ = (ϕ ≠ + kπ ) + tan ϕ = cos ϕ cos ϕ cos ϕ và1+ cot 2ϕ = (ϕ ≠ kπ ) + cot ϕ = sin ϕ sin ϕ kπ (ϕ ≠ ) + cot ϕ = tan ϕ *) Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc + cos2ϕ = cos2ϕ - sin2ϕ = cos2ϕ - = – 2sin 2ϕ + sin2ϕ = 2sinϕ cosϕ + + tan ϕ − tan ϕ 1+ cos 2ϕ 1− cos 2ϕ cos 2ϕ = ; sin ϕ = 2 tan 2ϕ = π Chú ý rằng: sin ϕ + cosϕ ≤ sin ϕ + cos ϕ = sin(ϕ + ) PT: a sin ϕ + bcosϕ = c (a2 + b2 ≠ 0) có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 Ngoài để lượng giác hóa hàm số đại số, ta ghi nhớ dấu hiệu đây: + Nếu tốn có điều kiện u2 + v2 = ta chọn u = sin ϕ; v = cosϕ + Nếu tốn có a2 + x2 a + x ta chọn x = a tan ϕ; x = acotϕ; + Nếu tốn có a − x ta chọn x = |a| sin ϕ; x = |a| cos ϕ; Cần số toán dấu hiệu khơng xuất từ đầu Điều có nghĩa phải tìm cách biến đổi hàm số điều kiện cho để làm xuất dấu hiệu ẩn phụ II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Khi giải tốn Tìm giá trị lớn nhỏ số biểu thức đa số học sinh lúng túng lựa chọn phương pháp cho thích hợp hầu hết tốn chưa có cách giải tổng quát cụ thể, học sinh ngại học III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN • Để thực đề tài lựa chọn số tốn tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sách giáo khoa lớp 10, lớp 12 số đề thi Đại học, Cao đẳng thi học sinh giỏi Phân tích việc “lượng giác hóa” biểu thức để đưa biểu thức chứa hàm số lượng giác vận dụng tính chất, cơng thức lượng giác để đưa giá trị lớn nhất, nhỏ cách đơn giản ngắn gọn Trong số toán có sử dụng so sánh với số phương pháp giải khác 1+ x Bài tốn : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = (1+ x ) Lời giải : Để giải tốn có nhiều cách : 1+ t Cách : Đặt x = t (t ≥ 0) ⇒ y = (1+ t ) 2 ⇔ y (1 + 2t + t2) – – t2 = ⇔ f(t) = (y – 1) t2 + 2yt + y -1 = (1) Sự tồn t ⇔ pt (1) có nghiệm t ≥ : y =1 t / m y =1 y ≠1 y ≠1 ∆ = 2y −1≥ ⇔ ⇔ ≤ y ≤1 y≥ (y −1)f (0) ≥ s ≤ y Max y = 1, Min y = Đáp số : Max y = 1, Min y = Cách : + TXĐ, D = R + tan ϕ + Đặt x = tanϕ ta y = (1+ tan ϕ ) sin ϕ ).cos 4ϕ = sin ϕ + cos 4ϕ = + cos4ϕ = (1 + cos ϕ 1 Do −1 ≤ cos4ϕ ≤ ⇔ ≤ y ≤ ⇒ Max y = 1, Min y = 2 Đáp số : Max y = 1, Min y = Kết luận : Rất nhiều học sinh nghĩ đến cách gặp toán tốn Vì dễ hình dung cách làm gặp khó khăn học sinh trung bình, yếu việc tìm điều kiện để tam thức f(t) có nghiệm t ≥ Do giáo viên hướng dẫn cho học sinh cách nhận dạng biểu thức + x để đặt x = tanϕ lời giải tốn đơn giản nhiều Bài tốn : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 2(xy + y ) P= với điều kiện x2 + y2 = 1+ 2x + 2xy Lời giải : Nhận xét x2 + y2 = ⇒ + x2 + 2xy = (x + y)2 + x2 > ∀x, y Và đặt = 2(sin ϕ.cos ϕ + cos 2ϕ ) x = sin ϕ y = cos ϕ ⇒ P = 1+ sin ϕ + 2sin ϕ.cosϕ sin 2ϕ + cos 2ϕ +1 sin 2ϕ − cos 2ϕ + ⇔ Psin 2ϕ − Pcos2ϕ + 2P = sin 2ϕ + cos 2ϕ +1 ⇔ (P −1)sin 2ϕ − (P + 1).cos2ϕ =1− 2P (2) Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm ϕ : (P – 1)2 + (P + 1) > (1-2P)2 ⇔ 2P − 4P −1≤ ⇔1− Max P = + 6 ≤ P ≤ 1+ 2 6 , Min P = − 2 6 ; Min P = − 2 Bài tốn : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức (x + y)(1− xy) P= (1+ x ) + (1+ y ) Lời giải : Vì có mặt + x + y2 ; tập xác định hàm số R nên ta đặt (tan α + tan β)(1 − tan α tan β) x = tan α ⇒P= y = tan β (1+ tan 2α )(1+ tan 2β) Đáp số : Max P = + = cos 2α.cos 2β sin(α + β) sin α.sin β (1 − ) cosα.cosβ cosα.cosβ = sin(α + β).(cosα.cosβ − sin α.sin β) = sin(α + β).cos(α + β) = sin(2α + 2β) Vì −1≤ sin(2α + 2β) ≤1 1 1 ⇔ − ≤ y ≤ Max y = ; Min y = − 2 2 1 Đáp số : Max y = ; Min y = − 2 Kết luận : Qua lời giải toán ta thấy giáo viên hướng dẫn cho học sinh cách nhận dạng cách đặt để «lượng giác hóa » ta thấy tốn trở nhẹ nhàng, sử dụng phần lớn công thức biến đổi lượng giác, cơng cụ giải tốn thật hay học sinh thích sử dụng nghĩ cách giải khác toán Bài toán : Giả sử x, y> thỏa mãn x + y = x y + Tìm GTNN biểu thức P = 1− x 1− y Lời giải : Đặt kπ x = sin ϕ ) (ϕ ≠ y = cos ϕ sin ϕ sin ϕ + cos3ϕ P= + = sin ϕ cosϕ − sin ϕ − cos 2ϕ = cos 2ϕ (sin ϕ + cosϕ)(1 − sin ϕ + cosϕ) sin ϕ cosϕ Đặt sin ϕ + cosϕ = u ( u ≤ 2) ⇒ sin ϕ cosϕ ≤ u −1 u −1 ) = 3u − u P= u −1 u −1 u4 + kπ ' < 0, ∀u ∈[ − 2; 2]\ { −1;1} ϕ ≠ Ta có P (u) = − 2 (u −1) u(1 − ⇒ M in P = P( 2) = −2 = 2 −1 Đáp số : Min P = Kết luận : Nếu dùng cách khác làm đáp án ta thấy cách làm đơn giản nhất, kể tốn sau có nhiều cách làm Bài tốn : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = 3y − 4xy x + y2 (x, y không đồng thời không) Lời giải : Cách : + Xét trường hợp + Xét trường hợp 3− P= 4x y x ( )2 + y y = => P = ta giả sử y ≠ (vì vai trị x , y nhau) x − 4u Đặt u = ⇒ P = y u +1 ⇔ P.u + 4u + P − = 0(1) P=0 P≠0 ∆ ' = − P(P − 3) ≥ Sự tồn P ⇔ pt (1) có nghiệm ⇔ P=0 ⇔ − 1≤ P ≤ P≠0 −1≤ P ≤ Gộp hai trường hợp ta có : Max P = ; Min P = -1 Đáp số : Max P = Min P = -1 Cách : Ta viết P = 3.( y Đặt x + y2 x x + y2 y x2 + y x x2 + y y x + y2 = sin ϕ = cos ϕ (sin ϕ + cos ϕ =1) ⇔ P = 3.sin ϕ − 4sin ϕ cosϕ = Vì ) − −3 cos2ϕ − 2sin 2ϕ + 2 2 −5 −3  3  −3 = −  ÷ + (−2) ≤ cos2ϕ − 2sin 2ϕ ≤  ÷ + (−2) =  2  2 2 −1 ≤ => Max P = 4, −5 −3 + ≤ P= cos2ϕ − 2sin 2ϕ + ≤ + = 2 2 2 Min P = -1 Đáp số : Max P = Min P = -1 Kết luận : Nếu học sinh giải theo cách gặp sai lầm không xét trường hợp y = 0, y ≠ 0, lời giải chưa lời giải cách hay nhiều tương tự ta có lời giải cho toán sau : Bài toán : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = x 1+ y + y 1+ x với điều kiện x2 + y2 = Lời giải : Với điều kiện x2 + y2 = cho phép ta đặt x = sin ϕ y = cos ϕ ⇒ P = sin ϕ + cos ϕ + cosϕ + cos ϕ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có P = (sin ϕ + cos ϕ + cosϕ + cos ϕ ) ≤ (sin ϕ + cos 2ϕ)(2 + sin ϕ + cosϕ) π = + sin (ϕ + ) π Do −1≤ sin (ϕ + ) ≤1⇔ − ≤ P ≤ + ⇔ − ≤ P ≤ + => Max P = 2+ Min P = 2− Đáp số : Max P = 2+ Min P = 2− • Bài tập áp dụng : Bài : Cho x ≥ ; y ≥ 0, x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = x y + + y 1+ x x2 Bài : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = 1+ x (x − y )(1− x y ) Bài : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = (1+ x ) (1+ y ) Bài : Tìm a b để hàm số y = ax + b đạt giá trị lớn giá trị nhỏ 1+ x -1 Bài : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = y – 2x + biết : 36x2 + 16y2 = IV KẾT LUẬN Bản thân giao nhiệm vụ giảng dạy mơn Tốn, năm 2012 – 2013, kinh nghiệm áp dụng cho lớp 12 Qua trình áp dụng em học sinh hiểu tốt, tiếp thu nhanh, vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo vào toán cụ thể phát huy tính tích cực học sinh, học sinh giỏi, làm tăng tỷ lệ học sinh giỏi so với năm học trước Qua q trình dạy học mơn Tốn, q trình thực nghiệm tơi thấy tạo cho em say mê, thích thú việc học tập, nhiều học sinh trước ngại học có ý thức học tập tốt hơn, học sinh say sưa sáng tạo học tập, kết nâng lên rõ rệt Kết thực nghiệm : - Năm học 2011 – 2012 chưa thực phương pháp - Năm học 2012 – 2013 thực phương pháp Năm học Tổng số học sinh Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm Yếu SL % SL % SL % SL % 2011 - 2012 92 1,1 28 30.4 41 44.6 22 23.9 2012 - 2013 96 31 32.3 37 38.5 19 19.8 9.4 Trên suy nghĩ cách rèn luyện cho học sinh mà rút áp dụng trình giảng dạy, nhằm giúp em học sinh có biện pháp hữu hiệu học tập mơn tốn Do thời gian có hạn, khơng tránh khỏi sai sót, 10 mong đồng chí trao đổi, góp ý kiến để bổ sung vào đề tài nhằm hoàn thiện đề tài tốt hơn, phong phú Tơi xin chân thành cảm ơn ! Thanh Hóa, ngày 22 tháng 05 năm 2013 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết khơng chép nội dung người khác Người viết Mai Thị Hồng 11 ... y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = x y + + y 1+ x x2 Bài : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = 1+ x (x − y )(1− x y ) Bài : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức. .. nhỏ biểu thức P = (1+ x ) (1+ y ) Bài : Tìm a b để hàm số y = ax + b đạt giá trị lớn giá trị nhỏ 1+ x -1 Bài : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = y – 2x + biết : 36x2 + 16y2 = IV... biểu thức để đưa biểu thức chứa hàm số lượng giác vận dụng tính chất, cơng thức lượng giác để đưa giá trị lớn nhất, nhỏ cách đơn giản ngắn gọn Trong số tốn có sử dụng so sánh với số phương pháp