PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT NHỜ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Khi gặp các phương trình đại số đại số rất khó giải, khi đó chúng ta xem có thể thay đổi hình thức của bài toán (thường thông qua phương pháp ẩn phụ) để thu được những phương trình đơn giản hơn hay không!Trong một số trường hợp ta có thể chuyển phương trình đại số thành phương trình lượng giác thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biểu thức chứa ẩn có mặt trong PT và thông qua miền giá trị của chúng. I CÁC BIỂU THỨC THƯỜNG ĐƯỢC LƯỢNG GIÁC HÓA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ CÁCH CHỌN ẨN PHỤ 2 2 a x− sin ; 2 2 x a t t π π = − ≤ ≤ hoặc cos ;0x a t t π = ≤ ≤ 2 2 x a− ; sin a x t = { } ; \ 0 2 2 t π π ∈ − hoặc ; cos a x t = [ ] 0; \ 2 t π π ∈ 2 2 a x+ tan ; ; 2 2 x a t t π π = − < < hoặc cot ;0 ;x a gt t π = < < 2 2 ax 1 c bx c + = ÷ ÷ [ ] .sin ; 0 ; 2 .cos c t x a t c t y a π = ∀ ∈ = 3 4 3x x− (giống 3 4cos 3cost t− os3tc → ) cos ; 0x t t π = ≤ ≤ 2 2 1x − (giống 2 2cos 1t − os2tc→ ) cos ; 0x t t π = ≤ ≤ 2 2 1 x x− (giống 2 2 tan tan 2 1 tan t t t → − ) tan ; 2 2 x t t π π − = < < 2 2 1 x x+ (giống 2 2 tan n 2 1 tan t si t t → + ) tan ; 2 2 x t t π π − = < < II CÁC VÍ DỤ: 1 Nguyễn Công Mậu PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Ví dụ 1: Giải phương trình : ( ) ( ) 2 3 23 121 xxxx −=−+ Giải : + ĐK : →≤≤− 11 x ẩn phụ ϕ cos=x với πϕ ≤≤0 . + Khi đó 2 1 sinx ϕ − = ; sin 0 sin sin ϕ ϕ ϕ ≥ ⇒ = + Ta có phương trình : 3 3 os sin 2 sin . osc c ϕ ϕ ϕ ϕ + = ( ) ( ) sin os 1 sin . os 2 sin . osc c c ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ⇔ + − = + Đặt sin os = 2 sin 4 u c π ϕ ϕ ϕ = + + ÷ + Vì : 5 2 0 sin 1 4 4 4 2 4 π π π π ϕ π ϕ ϕ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ − ≤ + ≤ ÷ 1 2u⇒ − ≤ ≤ + Thu gọn phương trình theo ẩn u ta được : 2 ( 2)( 2 2 1) 0u u u− + + = (*) + PT (*) có các nghiệm là : 2 ; 2 1 ; 2 1 2u u u= = − + = − − < − (loại) + Với 2 2 ( ) 4 u k k Z π ϕ π = ⇔ = + ∈ 2 2 x⇒ = +Vơi 2 u 1 sin os =1- 2 sin . os = 1 2 2 u c c ϕ ϕ ϕ ϕ − = + ⇒ = − Vậy sin , osc ϕ ϕ là nghiệm PT : 2 2 1 ( 2 1)(3 2) (1 2) 1 2 0 2 t t t − + ± − + − − + − = ⇔ = + Vì - 2 1 ( 2 1)(3 2) sin 0 os = 2 c x ϕ ϕ + − − + ≥ ⇒ = Vậy PT đã cho có 2 nghiệm là : 2 2 x = và - 2 1 ( 2 1)(3 2) 2 x + − − + = Ví dụ 2: Giải phương trình : 2 2 1 1 1 2 2 x x a a a a + − − = ÷ ÷ với tham số ( ) 0;1a ∈ Giải : 2 2 1 1 1 2 2 x x a a a a + − − = ⇔ ÷ ÷ 2 2 1 1 1 2 2 x x a a a a + − = + ÷ ÷ + Chia cả hai vế của phương trình cho 2 1 2 x a a + ÷ , ta được : 2 2 2 2 1 1 1 1 x x a a a a − = + ÷ ÷ + + . + Vì ( ) 0;1a ∈ nên tồn tại góc 0; 2 π ϕ ∈ ÷ để cho tan 2 a ϕ = . + Thu được phương trình : 2 2 tan 2 1 1 tan x ϕ ϕ ÷ = ÷ + ÷ 2 2 1 tan 2 1 tan x ϕ ϕ − ÷ + ÷ + ÷ ( ) ( ) 1 sin cos x x ϕ ϕ ⇔ = + + Hàm số ( ) ( ) sin cos x x y ϕ ϕ = + là hàm nghịch biến và ta có : ( ) ( ) 2 2 (2) sin cos 1f ϕ ϕ = + = . + Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. 2 Nguyễn Công Mậu PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Ví dụ 3: Giải phương trình : Giải : ( ) ( ) 2332 121111 xxxx −+= +−−−+ + ĐK : →≤≤− 11 x ẩn phụ ϕ cos=x với πϕ ≤≤0 + Khi đó 2 1 sinx ϕ − = ; sin 0 sin sin ϕ ϕ ϕ ≥ ⇒ = + Phương trình đã cho có dạng lượng giác là : ( ) ( ) 3 3 1 sin 1 os 1 os 2 sinc c ϕ ϕ ϕ ϕ + − − + = + (1) + Vì 2 1 sin sin os sin os 2 2 2 2 c c ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + = + = + ÷ (do πϕ ≤≤0 nên sin 0 & os 0 2 2 c ϕ ϕ ≥ ≥ ) + Biến đổi (1) được : ( ) 2 2 2 sin os 2 sin 2 sin 2 os =1 2 2 c c ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − + = + ⇔ − ÷ 1 2 os =- 2 2 c ϕ ⇔ = − Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : 2 os = - 2 x c ϕ = Ví dụ 4 : Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm : (1) Giải : Điều kiện : 3 1x− ≤ ≤ . + 3 3 4 1 1 (1) 4 3 3 1 1 x x m x x + + − + ⇔ = + + − + + Vì : ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 3 1 4 1 2 2 x x x x + − + + − = ⇔ + = ÷ ÷ ÷ ÷ ⇒ ∃ 0; 2 π ϕ ∈ sao cho : 2 2 3 2sin 2 1 t x t ϕ + = = + và 2 2 1 1 2cos 2 1 t x t ϕ − − = = + với [ ] tan ; 0;1 2 t t ϕ = ∈ 2 2 3 3 4 1 1 7 12 9 5 16 7 4 3 3 1 1 x x t t m m t t x x + + − + − + + = ⇔ = − + + + + − + + Xét hàm số : [ ] 2 2 7 12 9 ( ) ; 0;1 5 16 7 t t f t t t t − + + = ∈ − + + ( ) [ ] 2 2 2 52 8 60 '( ) 0, 0;1 5 16 7 t t f t t t t − − − = < ∀ ∈ − + + + ( )f t⇒ nghịch biến trên đoạn [ ] 0;1 và 9 7 (0) ; (1) 7 9 f f= = + Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm trên đoạn [ ] 0;1 khi và chỉ khi : 7 9 9 7 m≤ ≤ Ví dụ 5 : Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm : Phương trình (1) có nghiệm khi m>0 3 Nguyễn Công Mậu PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ (Nhận xét : ( ) ( ) 2 2 1 1x x+ − = để đặt ẩn phụ) + Đặt sin ; 1 cos x t x t = − = với 0; 2 t π ∈ + (1) sin cos 2 cos 4 t t m t m π ⇔ + = ⇔ − = ÷ cos 4 2 m t π ⇔ − = ÷ . + Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : 2 2m− ≤ ≤ + Do điều kiện m>0 ta có : 20 ≤< m Ví dụ 6 : Trên đoạn [ ] 0;1 phương trình sau có bao nhiêu nghiệm : ( ) ( ) 2 4 2 8 1 2 8 8 1 1x x x x− − + = Giải : + Vì [ ] 0;1x∈ nên tồn tại góc 0; 2 π α ∈ sao cho sinx α = + Ta có ph. trình: ( ) ( ) 2 4 2 8sin 1 2sin 8sin 8sin 1 1 α α α α − − + = 8sin .cos 2 .cos 4 1 α α α ⇔ = (*) + Nhận thấy cos 0 α = không là nghiệm của phương trình (*)nên nhân hai vế của phương trình cho cos 0 0; 2 π α α ≠ ⇒ ∈ ÷ ta được : 8sin .cos cos 2 .cos 4 cos sin8 cos sin8 sin 2 π α α α α α α α α α = ⇔ = ⇔ = − ÷ 8 2 2 8 2 2 k m π α α π π α π α π = − + = − − + ÷ 2 18 9 2 14 7 k m π π α π π α = + ⇔ = + ; ,k m Z∈ + Vì 0; 2 π α ∈ ÷ suy ra các nghiệm : sin 18 x π = ; 5 sin 18 x π = ; sin 14 x π = ; 5 sin 14 x π = Ví dụ 7 : Cho hai phương trình : ( ) ( ) 3 2 2 2 1 3 x x + = − + (1) và ( ) 2 1 2cos 9 x π + = (2) Giả sử x là nghiệm của ph.trình (1). Ch. minh rằng, khi đó x cũng là nghiệm của phương trình (2) . Giải : + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 2 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x + = − + ⇔ + = + + 4 Nguyễn Công Mậu PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ + Đặt ( ) 2 1 2 x t+ = với t > 0. Khi đó phương trình (1) trở thành : 2 3 1 1 4 3 4 3 2 2 t t t t = + ⇔ − = . + Xét ( ) 1;1t ∈ − , đặt ( ) cos , 0;t α α π = ∈ ta được 3 1 1 2 4cos 3cos cos3 2 2 9 3 k π π α α α α − = ⇔ = ⇔ = ± + + Vì ( ) 0; α π ∈ nên 5 7 ; ; 9 9 9 π π π α ∈ suy ra 1 2 3 5 7 cos ; cos ; cos 9 9 9 t t t π π π = = = +Vì phương trình bậc ba có đủ ba nghiệm nên ta không xét nghiệm ( ) 1;1t ∉ − . Mặt hác 2 5 cos 0 9 t π = < và 3 7 cos 0 9 t π = < do đó nghiệm của phương trình (1) là : 1 cos 9 t π = ⇒ ( ) 2 1 2cos 9 x π + = . + Vậy nếu x là nghiệm của phương trình (1) thì x cũng là nghiệm của phương trình (2) Ví dụ 8 : Giải phương trình : 2 2 2 1 x x x + = − Giải: Điều kiện: 1x > . Đặt 1 ; (0; ); cos 2 x π α α = ∈ Thu được PT mới có dạng LG như sau : 1 1 2 2 sin cos 2 2 sin cos cos sin α α α α α α + = ⇔ + = + Đặt : sin cos 2 cos 4 t π α α α = + = − ÷ + ĐK : 1 2;t≤ ≤ 2 1 sin .cos 2 t α α − ⇒ = + Ta có PT : 2 2 2t t t= − − ⇔ 2 2 2 2 0 2 1 2 t t t t t = − − = ⇔ ⇒ = − = + 2 0; 2. 4 2 t x π π α = ⇒ = ∈ ⇒ = ÷ Ví dụ 9 : Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm : 1x x m+ − = (1) Giải : ĐK : 0 1x≤ ≤ Phương trình (1) có nghiệm khi m>0 (Nhận xét : ( ) ( ) 2 2 1 1x x+ − = để đặt ẩn phụ) + Đặt sin ; 1 cos x t x t = − = với 0; 2 t π ∈ 5 Nguyễn Công Mậu PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ + (1) sin cos 2 cos 4 t t m t m π ⇔ + = ⇔ − = ÷ cos 4 2 m t π ⇔ − = ÷ . + Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : 2 2m− ≤ ≤ + Do điều kiện m>0 ta có : 20 ≤< m Ví dụ 10 : Giải phương trình : 2 2 2 1 x x x + = − Giải: Điều kiện: 1x > . Đặt 1 ; (0; ); cos 2 x π α α = ∈ Thu được PT mới có dạng LG như sau : 1 1 2 2 sin cos 2 2 sin cos cos sin α α α α α α + = ⇔ + = + Đặt : sin cos 2 cos 4 t π α α α = + = − ÷ + ĐK : 1 2;t≤ ≤ 2 1 sin .cos 2 t α α − ⇒ = + Ta có PT : 2 2 2t t t= − − ⇔ 2 2 2 2 0 2 1 2 t t t t t = − − = ⇔ ⇒ = − = + 2 0; 2. 4 2 t x π π α = ⇒ = ∈ ⇒ = ÷ Ví dụ 11: Cho phương trình : 1 8 (1 )(8 )x x x x m+ + − + + − = (1) a) Giải PT (1) khi m= 3 b) Tìm m để PT (1) có nghiệm. Giải : + Với điều kiện: [ ] 1;8x∈ − , ta đặt : 3 sin 1 3 cos 8 t x t x = + = − ; 0; 2 t π ∈ a) m = 3 ta có PT : 3sint+3cost+9sint.cost = 3 ⇔ sint+cost+3sint.cost = 1 (2) + Đặt : sin cos 2 sin ; 4 u t t t π = + = + ÷ ĐK : 1 2u≤ ≤ 2 1 3 2 5 0 5 3 1 1 8 u u u u u x x = ⇔ + − = ⇔ − = ⇒ = ⇒ = − ∨ = Ví dụ 12: Giải phương trình sau : ( ) ( ) 2 3 3 2 2 1 1 1 1 1 3 3 x x x x − + − + − − = + Giải: + Điều kiện : 1x ≤ 6 Nguyễn Công Mậu PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ + Với [ 1;0]x ∈ − : thì ( ) ( ) 3 3 1 1 0x x+ − − ≤ (ptvn) + [0;1]x ∈ ta đặt : cos , 0; 2 x t t π = ∈ . Khi đó phương trình trở thành: 1 1 2 6 cos 1 sin 2 sin cos 2 6 x t t t + = + ⇔ = ÷ vậy phương trình có nghiệm : 1 6 x = Ví dụ 13: Giải phương trình sau: 3 6 1 2x x+ = Giải: + Lập phương 2 vế ta được: 3 3 1 8 6 1 4 3 2 x x x x− = ⇔ − = + Xét : 1x ≤ , đặt [ ] cos , 0;x t t π = ∈ . Khi đó ta được 5 7 cos ;cos ;cos 9 9 9 S π π π = mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình. Ví dụ 14: Giải phương trình 2 2 1 1 1 x x + ÷ − =1 Giải: đk: 1x > , ta có thể đặt 1 , ; sin 2 2 x t t π π = ∈ − ÷ + Khi đó ptt: ( ) 2 cos 0 1 1 cot 1 1 sin sin 2 2 t t t t = + = ⇔ = − + Phương trình có nghiệm : ( ) 2 3 1x = − + Ví dụ 15: .Giải phương trình : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 x x x x x x + + + = + − Giải: đk 0, 1x x≠ ≠ ± + Ta có thể đặt : tan , ; 2 2 x t t π π = ∈ − ÷ + Khi đó ta có phương trình: ( ) 2 2sin cos2 cos2 1 0 sin 1 sin 2sin 0t t t t t t+ − = ⇔ − − = + Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm 1 3 x = Sau đây là xét mở rộng thêm ví dụ về lượng giác hóa để giải hệ phương trình : 7 Nguyễn Công Mậu PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Ví dụ 16: Xác định bộ 3 hệ số (x,y,z) thõa mãn hệ pt: =+ =+ =+ xxzz zzyy yyxx 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn: + ( 0,0,0 ) là một nghiệm của hệ ; nhận xét 1,, ±≠zyx → Hệ tương đương với − = − = − = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 z z x y y z x x y + Sự có mặt các vế phải của các pt → liên hệ đến công thức lượng giác → − = α α α 2 tan1 tan2 2tan đặt 24 tan 1 ππ αα k x x +≠ →= ±≠ ( ) 1tan/ 7 8tantan 8tan 4tan 2tan ±≠=⇔=⇒ = = = → αε π ααα α α α Znđk n x z y → Ngiệm của hệ là 7 4 tan, 7 2 tan, 7 tan πππ n z n y n x === Ví dụ 17: Giải hệ phương trình: =++ += += + 1 1 5 1 4 1 3 zxyzxy z z y y x x Hướng dẫn: + Lưu ý : ≠ dcùng,, 0,, zyx zyx và nếu x,y,z là 1 nghiệm thì (-x,-y,-z) cũng là nghiệm (do t/c đối xứng ) → xét x, y, z > 0 + Sự xuất hiện các biểu thức z z y y x x 1 , 1 , 1 +++ dạng chung là →+ u u 1 ẩn phụ : <<=== 2 ,,0:,tan,tan,tan π γβαγβα đkzyx + Sử dụng định lý hàm số sin Ví dụ 18: Tìm giá trị của tham số m dể hệ phương trình sau có nghiệm : Hướng dẫn: + Đk : →≤1x đặt x = cos ϕ → hệ pht : ( ) −=− = (*)32cossin sin mm y ϕϕ ϕ 8 Nguyễn Công Mậu PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ + Đk hệ đã cho có nghiệm (*) có nghiệm t/m đkiện sin ϕ > 0 III BÀI TẬP Bài 1 : Giải phương trình : 2 2 21 2 121 x xx −= −+ + ĐK: →≤≤− 11 x ẩn phụ πϕ ≤≤= 0,cos yx Bài 2 : Giải phương trình sau : 3 2 3 2 (1 ) 2(1 )x x x x+ − = − ( HDẫn : Đặt [ ] cos ; 0;x α α π = ∈ ) Bài 3 : Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm : ( H.Dẫn : Đặt ( ) cos ; 0;x α α π = ∈ ) Bài 4 : Giải và biện luận phương trình theo tham số a , ( a > 0 ) 2 2 4 x x a a+ − = (HDẫn : Lấy ĐK, sau đó đặt 2 cos x a α = ) Bài 5 : Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm : 3 2 4 3 1 ;x x x− = − ( HD: Đk: [ ] 1;1x ∈ − ; Đặt : cos ; ; 2 2 x t t π π − = ∈ ;) Bài 6: Giải phương trình sau : 2 2 2x x= + − + ( Đặt [ ] 2cos ; 0;x α α π = ∈ ) Bài 7: Giải phương trình : 2 2 5 1 2 1 x x x + = + + ( Đặt : tan ; ; ; 2 2 x π π α α − = ∈ ÷ ) Bài 8 : Tìm m để PT sau có nghiệm : Bài 9 : Cho đường tròn có phương trình: (C): ( ) ( ) 2 2 1 2 2x y− + − = Tìm M (x 0 ;y 0 ) thuộc ( C ) sao cho (x 0 +y 0 ) nhỏ nhất. HD : 2 2 1 2 (1) 1 2 2 x y− − ⇔ + = ÷ ÷ đặt : 1 sin ; 2 2 cos 2 x y α α − = − = Bài 10 : Cho phương trình : 3 3 1 0x x− + = Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm 1 2 3 ; ;x x x và thỏa điều kiện: 2 2 1 2 2 3 2 ; 2x x x x= + = + Bài 11 : Giải phương trình : 2 2 1 1 1 2 2 x x a a a a + − − = ÷ ÷ với tham số ( ) 0;1a ∈ Bài 12: Giải phương trình : 2 1 (1 ) 1 3 x x x x+ − = + − ( Đặt 2 cos ; 0; ; 2 x π α α = ∈ ) Bài 13 : Giải các hệ phương trình sau : 2 2 2 2 2 2 x y yx y z zy z x xz = − = − = − 9 Nguyễn Công Mậu 1)188)(21(8 24 =+−− xxxx PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ HD : Rút x; y; z và đặt tan ; 2 2 x π π α α − = < < ÷ Bài 14 : Giải các hệ phương trình sau : 2 2 1 3 ( )(1 4 ) 2 x y x y xy + = − + = HD : Đăt [ ] sin ; cos ; 0;2x y α α α π = = ∈ . (4 3) 3 (3 4) 1 1 0m x m x m− + + − − + − = Bài 15: Giải các phương trình sau : 1) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x − + − + + = + + − HD: vì 1 2cos tan 1 2cos x x x + = − nên đặt x=cost 2) ( ) 2 2 1 1 1 2 1x x x+ − = + − ĐS: 1 2 x = 3) 3 3 2x x x− = + HD: chứng minh 2x > vô nghiệm Tạm dừng 10 Nguyễn Công Mậu . PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT NHỜ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Khi gặp các phương trình đại số đại số rất khó giải, khi. có : ( ) ( ) 2 2 (2) sin cos 1f ϕ ϕ = + = . + Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. 2 Nguyễn Công Mậu PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Ví dụ 3: Giải phương trình. ) −=− = (*)32cossin sin mm y ϕϕ ϕ 8 Nguyễn Công Mậu PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ + Đk hệ đã cho có nghiệm (*) có nghiệm t/m đkiện sin ϕ > 0 III BÀI TẬP Bài 1 : Giải phương trình : 2 2 21 2 121 x xx −= −+ +