GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CÓ DẠNG ĐẶC BIỆTNHỜ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Khi gặp các phương trình đại số đại số rất khó giải, khi đó chúng ta xem có thể thay đổi hình thức của bài toán th
Trang 1GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT
NHỜ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
Khi gặp các phương trình đại số đại số rất khó giải, khi đó chúng ta xem có thể thay đổi hình thức của bài toán (thường thông qua phương pháp ẩn phụ) để thu được những phương trình đơn giản hơn hay không!Trong một số trường hợp ta có thể chuyển phương trình đại số thành phương trình lượng giác thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biểu thức chứa ẩn có
mặt trong PT và thông qua miền giá trị của chúng
I CÁC BIỂU THỨC THƯỜNG ĐƯỢC LƯỢNG GIÁC HÓA
2 2
xa t t hoặc xa cos ;0t t
2 2
x a
; sin
a x
t
2 2
t
cos
a x
t
0; \
2
t
2 2
xa t t hoặc xa cot ;0gt t ;
ax
1 c
bx c
.sin
.cos
x
y
a
3
4x 3x
(giống 4cos 3t 3cost cos3t)
cos ; 0
x t t
2
2x 1
(giống 2cos 2t 1 cos2t)
cos ; 0
x t t
2
2
1
x
x
1 tan
t
t
t
x t t
2
2
1
x
x
1 tan
t
si t
t
x t t
II CÁC VÍ DỤ:
Trang 2PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
Ví dụ 1: Giải phương trình : 3 23 2
1 2
Giải :
+ ĐK : 1 x 1 ẩn phụ x cos với 0
+ Khi đó 1 x2 sin ; sin 0 sin sin
+ Ta có phương trình : cos 3 sin 3 2 sin os c
sin cos 1 sin os c 2 sin os c
4
u c
1 u 2
+ Thu gọn phương trình theo ẩn u ta được : (u 2)(u2 2 2u 1) 0 (*)
+ PT (*) có các nghiệm là : u 2 ; u 2 1 ; u 2 1 2 (loại)
4
u k k Z 2
2
x
2
(1 2) 1 2 0
2
t t t
2
2
2
Ví dụ 2: Giải phương trình : 1 2 1 2 1
x x
với tham số a 0;1
x x
1
x x
+ Chia cả hai vế của phương trình cho 1 2
2
x
a a
x x
+ Vì a 0;1 nên tồn tại góc 0;
2
để cho tan
2 a
+ Thu được phương trình : 1 2 tan22
1 tan
x
2 2
1 tan
2
1 tan
x
1 sin x cos x
+ Hàm số ysin xcos x là hàm nghịch biến và ta có :
f(2) sin 2cos 2 1
+ Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Trang 3Ví dụ 3: Giải phương trình :
Giải :
1
1 x x x x
+ ĐK : 1 x 1 ẩn phụ x cos với 0
+ Khi đó 1 x2 sin ; sin 0 sin sin
+ Phương trình đã cho có dạng lượng giác là : 1 sin 1 cos 3 1 cos 3 2 sin
(1)
+ Vì
2
os
=-2 2
c
2
x c
Ví dụ 4 : Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm :
(1)
Giải : Điều kiện : 3 x 1
m
x x
2
sao cho :
3 2sin 2 2 2
1
t x
t
1
t x
t
với tan ; 0;1
2
t t
3 3 4 1 1 7 22 12 9
5 16 7
+ Xét hàm số : ( ) 7 22 12 9; 0;1
5 16 7
2
2 2
52 8 60
5 16 7
+ f t( ) nghịch biến trên đoạn 0;1 và (0) 9; (1) 7
+ Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm trên đoạn 0;1 khi và chỉ khi : 7 9
9m7
Ví dụ 5 : Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm :
Phương trình (1) có nghiệm khi m>0
Trang 4PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
(Nhận xét : x 2 1 x2 1 để đặt ẩn phụ)
1 cos
2
t
4
m
t
+ Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : 2 m 2
+ Do điều kiện m>0 ta có : 0 m 2
Ví dụ 6 : Trên đoạn 0;1 phương trình sau có bao nhiêu nghiệm :
8 1 2x x2 8x4 8x2 1 1
Giải :
+ Vì x 0;1 nên tồn tại góc 0;
2
sao cho x sin
+ Ta có ph trình: 8sin 1 2sin 2 8sin 4 8sin 2 1 1 8sin cos 2 cos 4 1(*)
+ Nhận thấy cos 0 không là nghiệm của phương trình (*)nên nhân hai vế của phương trình cho
2
ta được : 8sin cos cos 2 cos 4 cos sin8 cos sin 8 sin
2
2
2
k m
2
18 9 2
14 7
k m
; k m Z,
2
suy ra các nghiệm : sin
18
x ; sin5
18
x ; sin
14
x ; sin5
14
Ví dụ 7 : Cho hai phương trình :
3 2 2 x 2 1 x 3 (1) và 2 1 2cos
9
x
(2) Giả sử x là nghiệm của ph.trình (1) Ch minh rằng, khi đó x cũng là nghiệm của phương trình (2)
Giải :
2 1
x
Trang 5+ Đặt 2 1 x 2t với t > 0 Khi đó phương trình (1) trở thành : 2 1 3 1
t
+ Xét t 1;1 , đặt t cos , 0; ta được
k
+ Vì 0; nên ;5 ;7
9 9 9
cos ; cos ; cos
+Vì phương trình bậc ba có đủ ba nghiệm nên ta không xét nghiệm t 1;1 Mặt hác
2
5
cos 0
9
và 3
7 cos 0
9
9
t 2 1 2cos
9
x
+ Vậy nếu x là nghiệm của phương trình (1) thì x cũng là nghiệm của phương trình (2)
Ví dụ 8 : Giải phương trình : 2 2 2
1
x x x
Giải: Điều kiện: x 1 Đặt 1 ; (0; );
2 2 sin cos 2 2 sin cos cos sin
4
t
+ ĐK : 1 t 2; sin cos 2 1
2
t
+ Ta có PT : t 2t2 t 2 2
2
2
t
t
t x
Ví dụ 9 : Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm : x 1 x m (1) Giải : ĐK :0 x 1
Phương trình (1) có nghiệm khi m>0
(Nhận xét : x 2 1 x2 1 để đặt ẩn phụ)
1 cos
2
t
Trang 6PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
4
m
t
+ Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : 2 m 2
+ Do điều kiện m>0 ta có : 0 m 2
Ví dụ 10 : Giải phương trình : 2 2 2
1
x x x
Giải: Điều kiện: x 1 Đặt 1 ; (0; );
2 2 sin cos 2 2 sin cos cos sin
4
t
+ ĐK : 1 t 2; sin cos 2 1
2
t
+ Ta có PT : t 2t2 t 2 2
2
2
t
t
t x
Ví dụ 11: Cho phương trình : 1 x 8 x (1 x)(8 x) m(1)
a) Giải PT (1) khi m= 3
b) Tìm m để PT (1) có nghiệm.
Giải :
+ Với điều kiện: x 1;8, ta đặt : 3 sin 1
3 cos 8
2
t
a) m = 3 ta có PT : 3sint+3cost+9sint.cost = 3 sint+cost+3sint.cost = 1 (2)
4
u t t t
2
1
3
u
u
Ví dụ 12: Giải phương trình sau :
2
3 3
x
Giải:
+ Điều kiện : x 1
Trang 7+ Với x [ 1;0]: thì 3 3
1 x 1 x 0 (ptvn) + x [0;1] ta đặt : cos , 0;
2
x t t Khi đó phương trình trở thành:
2 6 cos 1 1sin 2 sin cos 1
x t t t
6
x
Ví dụ 13: Giải phương trình sau: 3 6x 1 2x
Giải:
2
x x x x
+ Xét : x 1, đặt x cos ,t t0; Khi đó ta được cos ;cos5 ;cos7
S
phương trình
bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình
Ví dụ 14: Giải phương trình 2 1 12
1
x
x
Giải: đk: x 1, ta có thể đặt 1 , ;
t
cos 0 1
2
t t
+ Phương trình có nghiệm : x 2 3 1
Ví dụ 15: Giải phương trình :
2 2 2
2
2
1 1
1
x x
x
Giải: đk x 0,x 1
2 2
x t t
+ Khi đó ta có phương trình:2sin cos 2t t cos 2t 1 0 sin 1 sint t 2sin 2t 0
3
x
Sau đây là xét mở rộng thêm ví dụ về lượng giác hóa để giải hệ phương trình :
Ví dụ 16: Xác định bộ 3 hệ số (x,y,z) thõa mãn hệ pt:
x x
z z
z z
y y
y y
x x
2 2
2 2
Hướng dẫn:
+ ( 0,0,0 ) là một nghiệm của hệ ; nhận xét x,y,z 1
Trang 8PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
Hệ tương đương với
2 2 2
1 2 1 2 1 2
z x
y z
x y
+ Sự có mặt các vế phải của các pt liên hệ đến công thức lượng giác
tan 1
tan 2 2
2 4 tan 1
/ tan 1
7 8 tan tan 8 tan 4 tan 2 tan
Z n đk n x
y
7
2 tan ,
7
Ví dụ 17: Giải hệ phương trình:
1
1 5 1 4
1 3
zx yz xy
z z y
y x
x
Hướng dẫn:
+ Lưu ý :
d cùng ,
,
0 , ,
z y x z y x
và nếu x,y,z là 1 nghiệm thì (-x,-y,-z) cũng là nghiệm (do t/c đối xứng )
xét x, y, z > 0
y
y x
x1, 1, 1dạng chung là
u
u 1 ẩn phụ :
2 , , 0 : , tan , tan ,
x
+ Sử dụng định lý hàm số sin
Ví dụ 18: Tìm giá trị của tham số m dể hệ phương trình sau có nghiệm :
Hướng dẫn:
+ Đk : x 1 đặt x = cos hệ pht :
(*) 3 2 cos sin sin
m m
y
+ Đk hệ đã cho có nghiệm (*) có nghiệm t/m đkiện sin > 0
III BÀI TẬP
Bài 1 : Giải phương trình : 2 1 2 2
2
1 2
+ ĐK: 1 x 1 ẩn phụ xcos y, 0
Bài 2 : Giải phương trình sau :
x3 (1 x2 3 ) x 2(1 x2 ) ( HDẫn : Đặt x cos ; 0; )
Bài 3 : Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm :
Bài 4 : Giải và biện luận phương trình theo tham số a , ( a > 0 )
2x a2 4x a (HDẫn : Lấy ĐK, sau đó đặt 2x acos )
Bài 5 : Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm : 4x3 3x 1 x2 ;
( HD: Đk: x 1;1 ; Đặt : cos ; ;
2 2
x t t
;)
1 )
1 8
8 )(
2 1
(
x
Trang 9Bài 6: Giải phương trình sau : x 2 2 2x ( Đặt x 2cos ; 0; )
Bài 7: Giải phương trình : 2 1 52
x
2 2
x
Bài 8 : Tìm m để PT sau có nghiệm :
Bài 9 : Cho đường tròn có phương trình: (C): x 12y 22 2
Tìm M (x0;y0) thuộc ( C ) sao cho (x0+y0) nhỏ nhất
HD :
1 sin ; 2
2 cos 2
x
y
Bài 10 : Cho phương trình : 3
3 1 0
x x Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm x x x1 ; ; 2 3 và thỏa điều kiện:
1 2 2 ; 2 2 3
x x x x
Bài 11 : Giải phương trình :
x x
2
x
)
Bài 13 : Giải các hệ phương trình sau :
2 2 2
2 2 2
x y yx
y z zy
z x xz
HD : Rút x; y; z và đặt tan ;
x
Bài 14 : Giải các hệ phương trình sau :
2 2 1
3 ( )(1 4 )
2
HD : Đăt x sin ; y cos ; 0; 2
(4m 3) x 3 (3m 4) 1 x m 1 0
Bài 15: Giải các phương trình sau :
1 2cos
x x
x
1 1 x x 1 2 1 x ĐS: 1
2
x
3) 3
x x x HD: chứng minh x 2 vô nghiệm
-Tạm