SKKN ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC hóa vào GIẢI một số bài TOÁN đại số TRONG TRƯỜNG THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA VÀO GIẢI MÔṬ SỐ BAI TOÁN ĐẠI SỐ TRONG TRƯƠNG THPT Người thực hiện: Trịnh Đình Chiến Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn) : Toán MỤC LỤC Nội dung Trang Mục lục 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Cac ham sô bản………………… 2.1.2 Môṭsô biểu thưc lương giac bản vê miên gia tri 2.1.3 Phép đổi biến sô………… 2.2 Cơ sơ thực tiễn 2.3 Nôịdung nghiên cưu 2.3.1 Dạng 2.3.2 Dạng 2.3.3 Dạng 11 2.3.4 Dạng 13 2.4 Kết quả nghiên cưu của SKKN 15 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ…………………………………… 16 Tài liệu kham khảả̉o 18 1 MƠ ĐÂU 1.1 Lý chọn đề tài Là giáo viên dạạ̣y nhiều năm mơn tốn THPT, tơi gặp khơng trắc trở việc giảả̉ng dạạ̣y nhiều toán giảả̉i phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vơ tỉ, tich phân, sơ phưc Vì tốn có thểả̉ có nhiều cách giảả̉i khác nhau, cách giảả̉i thểả̉ khái niệm tốn học củả̉a Trong cách giảả̉i khác đó, có cách giảả̉i thểả̉ tính hợp lí dạạ̣y học, có cách giảả̉i thểả̉ tính sáng tạạ̣o củả̉a tốn học Phương phap lương giac hoa mang lại tinh sang tạo, ngăn gon, dễ hiểu cho hoc sinh xử li môṭsô bai toan kho Chinh vi vây chon đê tai của sang kiến kinh nghiêṃ la:”Ứng dung phương phap lương giac hoa để giải môṭsô bai toan đại sô trường THPT” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong đề tài muốn hướng dẫn học sinh giảả̉i số bai toan bằng “ mắt” củả̉a lượng giác Từ tốn khơng chứa ́ế́u tố lượng giác, bằằ̀ng phéế́p đởả̉i biếế́n ta chủả̉n tốn lượng giác, cách giảả̉i gọi phương pháp lượng giác hoá Qua phương phap giúp hoc sinh phat triển tư sang tạo, tư logic va tổng quat hoa bai toan 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài áp dụng phần giảả̉i phương trinh, hệ phương trinh vô ti, sô phưc Phương pháp dành cho học sinh ôn thi học sinh giỏi ôn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Ở tơi nêu phương pháp xây dựạ̣ng sở lí thuyếế́t thông qua số bai toan cu thể vê phương trình, có hệ phương trình, sơ phưc Trong ví dụ tơi cố gắng phân tích đểả̉ dẫn dắt ngườằ̀i đọc hiểả̉u áp dụng phương pháp lương giac hoa đểả̉ giảả̉i Bên cạạ̣nh tơi cịn nêu số tập đểả̉ ngườằ̀i đọc có thểả̉ rèn luyện thêm kiếế́n thức 2 NÔỊDUNG 2.1 Cơ sở li luân Việc giảả̉ng dạạ̣y ôn luyện giúế́p học sinh giảả̉i toán liên quan đếế́n lượng giác hố, địi hỏi ngườằ̀i giáo viên có phương pháp định hướng bảả̉n dạạ̣ng toán, sửả̉ dụng phương pháp logic, biếế́t phân biệt phương pháp ngộ nhận logic Vấn đề chỗ tốn thích hợp cho việc lượng giác hố Những kiếế́n thức liên quan: 2.1.1 Các hàà̀m số bản: *) Hàm số: y sin x , y cos x Miền xác định: R Miền giá trị: 1;1 Chu kì: *) Hàm số: y tan x Miền xác định: x R:x k ,k Z Miền giá trị: R Chu kì: *) Hàm số: y cot x Miền xác định: x R:x k ,k Z Miền giá trị: R Chu kì: 2.1.2 Một số biểu thức lượng giác vềà̀ miềà̀n giái trịị̣: uA sin x cos x cos(x ) sin(x ) *) Nếế́u C sin x cos x ta có ta có A C 2.1.3 Phép đổi biếế́n số: *) Nếế́u , (k x k 0) ta đặt *) Nếế́u x R ta đặt x x tan , *) Nếế́u x, y thoảả̉ mãn điều kiện a x x k sin , ; ; k cos ,0; b2 y c , (a, b, c 0) x ta đặt c sin , a yb c cos ,0;2 *) Nếế́u x, y, z thoảả̉ mãn x y z xyz xy yz zx ta có thểả̉ đặt x tan , 0; y tan , z tan với , , ; 2 ;2 *) Một số biểả̉u thức (dấu hiệu) thườằ̀ng gặp: Biểu thức x2 Cách đặt x a2 Miềà̀n giá trịị̣ biếế́n a tan (hoặc x a cot ) ; 2 (hoặc0; ) ; a2 x x2 2 a sin (hoặc x a cos ) (hoặc0; ) a x2 a x 0; \ cos a a x a x a x a x a \0 sin x a cos ; 2 R R x a (b a) sin ( x a)(b x) x y x y xy xtan ytan xy , ; 2 2.2 Cơ sở thưc tiễn Trong trườằ̀ng THPT có nhiều đối tượng học sinh, cơng việc giảả̉ng dạạ̣y cho đa số học sinh tiếế́p thu, hiểả̉u vận dụng giảả̉i tốn khơng phảả̉i cơng việc đơn giảả̉n củả̉a giáo viên Đểả̉ giảả̉ng dạạ̣y nâng cao kếế́t quảả̉ học tập củả̉a học sinh, thựạ̣c nhiều biện pháp từ giáo dục, động viên giúế́p đỡ khơng thểả̉ thiếế́u phương pháp giảả̉ng dạạ̣y khoa học lôgic, tạạ̣o động lựạ̣c đểả̉ học sinh say mê, tìm tịi, nghiên cứu, sở khoa học mà ngườằ̀i thầy gieo Trong biện pháp có vấn đề liên quan đếế́n đề tài mà trình bày đề tài có nhấn mạạ̣nh đếế́n số dạạ̣ng tổả̉ng quát dành cho học sinh giỏi, khơng phảả̉i đểả̉ dạạ̣y lớp có nhiều đối tượng học sinh Tuỳ thuộc vào yêu cầu rèn luyện, ôn tập cho học sinh mà ngườằ̀i thầy linh hoạạ̣t giảả̉i quyếế́t 2.3 Nôịdung nghiên cưu 2.3.1 DẠị̣NG 1: Trong có chứa biểả̉u thức dạạ̣ng Phương pháp: Ta đặt x , với a sin Ví dụ 1: Giảả̉i phương trình: 4x 3x ; a2 x2 (hoặc x Nhận xét: Trong phương trình có xuất dấu hiệu a cos , với0; ) x2 Giảả̉i: Điều kiện: x x Với điều kiện (*) ta đặt x a2 x2 với a (*) cos , 0; (**) Khi phương trình chủả̉n dạạ̣ng: (**) cos3 3cos cos2 cos sin cos sin cos cos k x cos k2 (**) 8 x cos k2 k x cos sin , ; Ví dụ 2: Giảả̉i phương trình: , x cos , x cos x(1 x2 ) x2 Nhận xét: Trong phương trình có xuất dấu hiệu a2 x2 với a Giảả̉i: Điều kiện: x x (*) Với điều kiện (*) ta đặt x sin , ; Khi phương trình chuyểả̉n dạạ̣ng: 1 sin 2 cos cos sin sin (1 sin 2 cos 2 (1 sin sin ) ) cos cos sin Lưu ý: Ta có thểả̉ đặt x cos Ví dụ 3: Giảả̉i bất phương trình: , x ) x x x 3x 1x x x 0; 1 x2 cos Vậy phương trình có nghiệm phân biệt ĐK: (1 2 Giảả̉i: sin 2sin cos x cos Vậy phương trình có nghiệm phân biệt Lưu ý: Ta có thểả̉ đặt x 1 Ta đặt x cos t, t 0; (**) Khi BPT chuyểả̉n dạạ̣ng: 3cost cos t ( cot t 3cot t cot t 2 cos t cot t cost 2sin t t4 2 Vậy tập nghiệm củả̉a BPT T1; Ví dụ 4: Giảả̉ i hệ phương trình 1x y x ;1 y Giảả̉i: ĐK: Ta đặt x, y y , với sin ; xsin 2 Khi hệ đưa dạạ̣ng: sincos1 sincos1 sincos1 sincos1 sin() 0 x y x y Vậy hệ mcó nghiệm (0;0), (1;1) Ví dụ 5: Tìm đểả̉ hệ sau có nghiệm: 3mx y 5m (1) 1x y0 Giảả̉i: ĐK: x Ta đặt x cos t, t 0; Khi từ (1) có dạạ̣ng: 3m cos t cos2 t 5m 3cos Đểả̉ hệ (1) có nghiệm (3m) 2 (5m) 3m sin t 3m cost Vậy m 3sin t 5m (2) phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn sin t BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Giảả̉i PT, BPT, Hệ PT sau: 1) x3 x )3 (1 x2) x 2(1 ĐS: PT có nghiệm: x ; x 2 2 2) x (1 x)3 (1 x)3 3) 1 4) 5) x2 2 y x2 x2 x x2 x2 3x x 6) 22 2 ĐS: PT có nghiệm: x x 2x y 2.3.2 DẠị̣NG 2: Trong có chứa biểả̉u thức dạạ̣ng x2 a2 a Phương pháp: Ta đặt x , với 0; \ cos a (hoặc a , với sin Ví dụ 6: Giảả̉i phương trình ; ) \ x x x 2 Nhận xét: Trong phương trình có xuất dấu hiệu x2 a2 với a Giảả̉i: Điều kiện: x x1 x2 Với điều kiện (*) ta đặt (*) x , 0; cos Khi phương trình chuyểả̉n dạạ̣ng: cos cos cos2 2 1 cos sin 2 sin cos 2 sin cos Đặt u sin (điều kiện cos ), u ta có sin cos u2 u u2 (u 1) 2u u 2 u sin cos 2 sin( ) 24 k24 x Vậy phương trình có nghiệm: x , 0; sin x x Ví dụ 7: Giảả̉i bất phương trình x HD: 2 Lưu ý: Ta có thểả̉ đặt x Điều kiện: x (l) x (*) x Với điều kiện (*) ta đặt x Bất phương trình trở thành , t 0; cos t cos t cos t \ cos t sin t (2) Xéế́t hai trườằ̀ng hợp: TH1: t 0; Phương trình (2) có dạạ̣ng: cos t sin t Đặt u sin t cos t(u 2(sin t cos t) 2; ) sin t.cos t sin t.cos t (2’) u2 BPT (2’) trở thành: 2u u2 u 3 TH2: t ; Ví dụ 8: Giảả̉i bất phương trình HD: ĐK: x Ta đặt x cos t x 1 x , t 0; \ (**) Khi BPT có dạạ̣ng: cos t cos t sin t cos t Xéế́t hai trườằ̀ng hợp: TH1: t 0; TH2: t ; BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 1) Giảả̉i phương trình: x x x 35 12 x ĐS: Phương trình có nghiệm: 2) Giảả̉i bất phương trình: 5;x x x x 35 12 2.2.3 DẠị̣NG 3: Trong có chứa biểả̉u thức dạạ̣ng Phương pháp: Ta đặt x tan t , với a (hoặc x a cot t t Ví dụ 9: Giảả̉i phương trình ; , với t0; ) x2 a2 2 x2 x x Nhận xéế́t: Trong phương trình có xuất dấu hiệu x2 a2 với a Giảả̉i: 10 ĐK: x R Đặt x tan t , với t ; tan Phương trình cho trở thành: sin t 1(l) sin t sin t sin t 1t Với sin t Vậy phương trình có nghiệm tan t 1 x tan( ) 6 t tan t x x Ví dụ 10: Giảả̉i bất phương trình x 2 3x Giảả̉i: ĐK: x R x Đặt tan t , với 32 t ; Bất phương trình cho trở thành: tan t t sin t sin t tan t Vậy BPT có nghiệm đúế́ng tan t x 1 2sin tan t 32 đúế́ng R x 2a2 Ví dụ 11: Với a 0, giảả̉i bất phương trình x2 a2 x x2 a2 Nhận xét: Có dạạ̣ng củả̉a ví dụ 10 Giảả̉i: ĐK: x R t Đặt x a tan t , với ; 2 11 2a a2 tan2 t a2 Bất phương trình cho trở thành: 2 sin t sin t 1 sin t tan t a tan t x a Vậy BPT có nghiệm đứng a x a2 tan2 t a BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 1) Giảả̉i phương trình: x x5 x 11 31 ĐS: 2) Giảả̉i bất phương trình: 2(x x a ) 5a x2 a 2.2.4 DẠị̣NG 4: Nếu x,y thoa man điêu kiên a x x c b cos , c a sin , y b2 y c , (a, b, c 0) ta đặt 0;2 Ví dụ 12: Cho phương trình x x m (với m tham số) a) Tìm điều kiện củả̉a m đểả̉ phương trình (1) có nghiệm (1) m b) Giảả̉i phương trình Giảả̉i: ĐK: x 0 x x Ta thấy rằằ̀ng , nên ta đặt ( x) ( x) Khi phương trình trở thành: , với xcos t cos t sin t m x sin t cos(t ) m a) Điện đểả̉ (1) có nghiệm b) Khi m (1’) có nghiệm , phương trình cho trot thành: cos( t ) cos(t ) cos t t *) Với t x x (do t 0; t 0; (1’) m 1 m 2 ) 12 x *) Với t Vậy m x phương trình (1) có nghiệm x ,x Lưu ý: Bài tốn ta có thểả̉ giảả̉i bằằ̀ng phương pháp khác Ví dụ : Giảả̉i bất phương trình ĐK: x x 1 x x x x (*) Với điều kiện (*) ta đặt x cost , với t 0; Khi bất phương trình chủả̉n dạạ̣ng: cos t cost cost cos t cos( cos2 t cos t t ) t 2 x Vậy bất phương trình có nghiệm x Ví dụ 13 : Tìm a đểả̉ bất phương trình sau có nghiệm: a x a x a Giảả̉i: ĐK: a x a0 a0 (*) ax0 axa Với điều kiện (*) ta đặt x a cos t , với t (**) 0; Khi bất phương trình chuyểả̉n dạạ̣ng: a a cost a cost a a cost 2a (cos t Từ (**) ta được: 4 2 t t sin cos( ) a t ) a a ) a Vậy đểả̉ bất phương trình có nghiệm điều kiện là: Vi du 14: Cho số phức z thỏa mãn z 2i t cos( Tìm mơđun lớn củả̉a số phức z 2i A 17 26 17 B 26 Gọi z 2i z x yi; x x 12 C 26 17 Giai: ;y y 22 z 2i x D 26 17 y 2i Ta có: 13 Đặt x 3sin t; y 3cos t; t 0;2 z 2i 2 3sin t 26 17 z 2i 3cos t 26 17 26 17sin 26 sin t 4cos t z 2i max t ; 26 17 Chọn đáp án A Vi du 15: Cho số phức z thoảả̉ mãn z 4i nhỏ củả̉a biểả̉u thức w M mi B A w 2315 Đặt z x yi Gọi M m giá trị lớn giá trị P z 2 z i Tính mơđun củả̉a số phức C w Giai Ta có P x w 1258 y D x y 137 12 w 4x 2y 309 Mặt khác z 4i 5x y cos t Đặt x sin t , y Suy P sin t cos t 23 Ta có 10 sin t cos t 10 Do 13 P 33 M 33 , m 13 w 332 132 1258 Chon B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 1) Giảả̉i bất phương trình: 1x x x ĐS: x 2) Tìm a đểả̉ BPT sau có nghiệm: a x a x a ĐS: a 3) Cho số phức z thỏa mãn z 2i Tìm mơđun nhỏ củả̉a số phức z i ĐS: 2.3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Qua trình giảả̉ng dạạ̣y thấy học sinh giảả̉i quyếế́t toán thuộc dạạ̣ng cách nhanh hơn, linh hoạạ̣t bằằ̀ng phương pháp lượng giác hóa Thựạ̣c tếế́, nhiều năm liền may mắn giảả̉ng dạạ̣y lớp nâng cao có nhiều đối tượng học sinh khá, giỏi Vào tiếế́t luyện tập có việc lồng ghéế́p phương 14 pháp lượng giác háo đểả̉ học sinh giảả̉i tập nâng cao nhằằ̀m em thu thập thên kiếế́n thức kinh nghiệm đểả̉ áp dụng kì thi đạạ̣i học, cao đẳng Năm học 2018 – 2019 phân dạạ̣y mơn tốn lớp 12C6, 12C7 trường THPT Ham Rông (là lớp chọn theo khối A1 củả̉a nhà trườằ̀ng) Kếế́t quảả̉ kiểả̉m tra nhóm học sinh (có học lực từ TB trở lên) cuối năm lớp 12 chủả̉ đề: Giảả̉i phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vơ tỉ, tim gia tri lơn nhât, gia tri nho nhât của mô-đun sô phưc thu kếế́t quảả̉ sau: Nhóm Sĩ số Giỏi SL TL% Khá SL TL% Trung bình SL TL% Yếế́u SL TL% Nhóm1 20 35,0% 10 50,0% 10,0% 5,0% Nhóm 20 10,0% 45,0% 35,0% 10,0% Nhóm 1(Đươc dạy phương phap lương giac hóa): la cac hoc sinh của lơp 12C6 Nhóm 2(không đươc dạy phương phap lương giac hóa): la hoc sinh của lơp 12C7 KẾT LUẬN-KIÊN NGHI 3.1 Kết luân Với kếế́t quảả̉ nghiên cứu đạạ̣t được, thành công việc hướng dẫn, bồi dưỡng đối tượng hoc sinh khá, giỏi Tuy nhiên , đểả̉ giảả̉i quyếế́t tốn bằằ̀ng phương pháp lượng giác hóa en học sinh cần phảả̉i nắm vững công thức LG giảả̉i phương trình, BPT lượng giác 3.2 Kiến nghị: Trong thờằ̀i gian tới, nếế́u có điều kiện mở rộng nghiên đề tài Trên phương phap giảả̉i phương trình, BPT, hệ phương trình vơ tỉ, tim GTLN, GTNN của mơ-đun sơ phưc bằằ̀ng phương pháp lượng giác hóa việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Tuy nhiên, đề tài khơng tránh khỏi thiếế́u sót cần bởả̉ sung Tơi mong sựạ̣ góp ý quý đồng nghiệp đểả̉ SKKN củả̉a tơi hồn thiện Xin trân thành cảả̉m ơn! 15 XÁế́C NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Thanh hóa, ngày 25 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN củả̉a viếế́t, khơng chéế́p nội dung củả̉a ngườằ̀i khác Ngườằ̀i viếế́t Trinh Đinh Chiến TÀI LỆU THAM KHẢO Phương pháp giảả̉i toán – Lê Hồng Đức (chủả̉ biên) Phương trình bất phương trình – Phan Huy Khảả̉i Giảả̉i tích đạạ̣i – Vũ Tuấn (3 tập) Một số số báo “ Tốn học t̉ả̉i trẻ” 16 DANH MỤC CÁế́C ĐỀ TÀI SÁế́NG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢị̣C HỘI ĐỒNG ĐÁế́NH GIÁế́ XẾP LOẠị̣I Họ tên tác giảả̉: Trịnh Đình Chiến Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên TT Tên đềà̀ tàà̀i SKKN Cấp đánh giá Kếế́t đánh giá Năm họị̣c đánh giá xếế́p loạị̣i xếế́p loạị̣i xếế́p loạị̣i (A, B, C) Phat hiên va sửa chưa sai Sở giáo dục đào C 2013-2014 17 lâm của hoc sinh giải bai toan tổ hơp tạạ̣o hóa Mơṭsơ phương phap giải toan hinh hoc không gian trường Sở giáo dục đào tạạ̣o hóa B 2015-2016 THPT 18 ... ngườằ̀i giáo viên có phương pháp định hướng bảả̉n dạạ̣ng toán, sửả̉ dụng phương pháp logic, biếế́t phân biệt phương pháp ngộ nhận logic Vấn đề chỗ toán thích hợp cho việc lượng giác hố Những kiếế́n... dụng phần giảả̉i phương trinh, hệ phương trinh vô ti, sô phưc Phương pháp dành cho học sinh ôn thi học sinh giỏi ôn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Ở nêu phương pháp xây dựạ̣ng... đểả̉ giảả̉i quyếế́t tốn bằằ̀ng phương pháp lượng giác hóa en học sinh cần phảả̉i nắm vững công thức LG giảả̉i phương trình, BPT lượng giác 3.2 Kiến nghị: Trong thờằ̀i gian tới, nếế́u có