(SKKN 2022) sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải một số bài toán liên quan tới tích vô hướng của hai vectơ – hình học lớp 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN TỚI TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – HÌNH HỌC LỚP 10 Người thực hiện: Thịnh Thị Hồng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HÓA, NĂM 2022 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học mơn học khó, học sinh muốn học tốt cần phải hiểu chất vấn đề, biết định hướng khai thác tính chất đặc trưng toán để vận dụng giải tập Mặt khác tập toán đa dạng phong phú, phân phối chương trình số tiết ơn tập lại không nhiều so với nhu cầu luyện tập dạng tập cho học sinh Chính thế, giáo viên giảng dạy cần phải định hướng cho học sinh cách khai thác giả thiết cách tốt nhất, hiệu nhằm giúp em có định hướng việc giải tập Hướng dẫn cho học sinh định hướng khai thác giả thiết tạo cho học sinh có cảm giác giải tốn, tạo cho học sinh niềm say mê, hứng thú u thích mơn học Trong chương trình Hình học - lớp 10, chuyên đề vectơ chuyên đề tương đối khó với học sinh Các em thường khơng có hướng tiếp cận tốn vectơ để tìm định hướng giải, toán liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ Ngồi đề thi học sinh giỏi, thi khảo sát kiến thức cuối năm lớp 10 tốn liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ toán mức độ vận dụng vận dụng cao Gặp câu hỏi liên quan đến chủ đề học sinh thường lúng túng việc tìm cách tính tích vơ hướng hai vectơ tốn liên quan Bài tốn liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ thường có hai hướng giải quyết; sửa dụng định nghĩa tích vơ hướng; hai sử dụng biểu thức tọa độ tích vơ hướng hai vectơ Tuy nhiên hướng giải thứ hai học sinh hay dùng toán cho sẵn hệ tọa độ, làm theo cách học sinh cảm thấy việc tìm cách giải tốn dễ dàng Giúp học sinh việc chuyển từ toán tính tích vơ hướng hai vectơ theo định nghĩa sang toán sử dụng biểu thức tọa độ phương pháp giảng dạy hiệu giúp học sinh tự tìm tịi sáng tạo việc giải tập liên quan tới vấn đề Qua thực tế 15 năm giảng dạy trường trung học phổ thơng tơi tìm tịi nghiên cứu phương pháp tọa độ hóa để giải tốn liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ, việc chuyển sang hệ tọa độ nhằm giúp học sinh giải tập khó liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ q trình ơn tập cuối năm Vì tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm để nghiên cứu là: “Sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải số tốn liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ – Hình Học lớp 10” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài giúp em học sinh chuyển tốn tích tích vơ hướng hai vectơ theo định nghĩa, sang việc sử dụng biểu thức tọa độ tích vơ hướng, nhằm mục đích giải tốn có liên quan tới tích vơ hướng (như: tính tích vơ hướng hai vectơ; tìm độ lớn vectơ ; tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan tới độ dài vectơ) Từ em phân loại đưa phương pháp giải tập liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ cách nhanh nhất, xác đạt hiệu cao 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài “Sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải số tốn liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ – Hình Học lớp 10” tập trung nghiên cứu số kỹ chuyển tốn sang hệ tọa độ nhằm tìm định hướng giải số tốn tích vơ hướng hai vectơ số toán liên quan chương trình hình học lớp 10 THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Nghiên cứu lí luận -Nghiên cứu sở lí luận để làm sáng tỏ cách chuyển toán sang toán cho hệ tọa độ nhằm áp dụng để giải dạng tập liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ nói riêng tập tốn nói chung 5 1.4.2 Nghiên cứu thực tiễn - Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa tìm hiểu chương trình hình học lớp 10 THPT, nghiên cứu tài liệu tham khảo có liên quan để xác định dạng tập có liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ Từ xác định cách chuyển toán sang toán cho hệ tọa độ sử dụng kiến thức hệ tọa độ mặt phẳng để vận dụng giải tập nhanh xác 1.4.3 Thực nghiệm sư phạm - Tiến hành giảng dạy song song với việc tìm hiểu học sinh lớp 10 trường THPT Hoằng Hoá – Hoằng Hoá – Thanh Hố Trên sở phân tích định tính định lượng kết thu trình thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi tính hiệu biện pháp đề tài sáng kiến đưa - Thời gian tiến hành thực nghiệm sư phạm: Từ tháng năm 2020 đến tháng 06 năm 2022 - Địa điểm: Trường THPT Hoằng Hoá – Hoằng Hoá – Thanh Hoá 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm - Đề tài “Sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải số tốn liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ – Hình Học lớp 10” đưa số phân tích, định hướng cách nhìn việc sửa dụng phương pháp tọa độ hóa để giải số tốn liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ - Từ phân tích định hướng giúp em học sinh phân loại đưa phương pháp giải phù hợp để giải số dạng tập thường gặp tích vơ hướng hai vectơ đề thi cuối học kỳ kỳ thi học sinh giỏi lớp 10 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Việc dạy học tốn nhà trường phổ thơng khơng giúp học sinh hiểu sâu sắc đầy đủ kiến thức tốn học phổ thơng mà cịn giúp em vận dụng kiến thức giải nhiệm vụ tập tốn Để đạt điều đó, học sinh phải có định hướng đắn việc giải toán Kỹ biến đổi giả thiết để tìm định hướng giải tốn thước đo độ sâu sắc vững vàng kiến thức toán mà học sinh học 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế khảo sát học sinh lớp trực tiếp giảng dạy học sinh khối lớp trường tơi nhận thấy việc định hướng tìm lời giải học sinh , đặc biệt học sinh lớp 10 tương đối thụ động, phụ thuộc vào giáo viên giảng dạy, đặc biệt việc giải toán khó cịn hạn chế Khi gặp dạng tập tốn học sinh thường lúng túng q trình phân tích, phân loại dạng tập sử dụng kiến thức liên quan để giải tốn Các tài liệu tham khảo có thường giải số tập cụ thể, học sinh không áp dụng cho dạng tập dạng tương tự Các năm gần đây, để phân loại học sinh giỏi, đề thi thường xuyên xuất số câu hỏi khó liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ dùng phương pháp tọa độ hóa để giải Khi gặp dạng tập đòi hỏi học sinh phải sử dụng nhiều kỹ biến đổi vectơ, mà kỹ mà học sinh lớp 10 chưa thành thạo vận dụng chưa linh hoạt Tuy nhiên sửa dụng biểu thức tọa độ học sinh đưa định hướng cách giải nhanh xác Xuất phát từ thực trạng tơi viết đề tài “Sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải số tốn liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ – Hình Học lớp 10” nhằm giúp học sinh có nhìn tổng quan dạng toán này, phân loại đưa phương pháp giải phù hợp với dạng tập, giúp học sinh khắc sâu kiến thức vận dụng để giải câu hỏi mức độ vận dụng vận dụng cao đề thi cuối kỳ thi học sinh giỏi kỳ thi TN THPT quốc gia 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1.[3] Các kiến thức trọng tâm phương pháp tọa độ hóa biểu thức tọa độ tích vơ hướng hai vectơ 7 Oxy Kết 1: Kỹ chọn hệ tọa độ Ox; Oy vng góc với điểm thích hợp, đảm bảo hai trục O , xác định tọa độ điểm liên Oxy quan tới toán hệ tọa độ Kết 2: Tọa độ vectơ Cho hai véctơ r r r r r a + b; a − b; k b r r a = ( x1; y1 ) ; b = ( x2 ; y2 ) : r r r r r a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ; a − b = ( x1 − x2 ; y1 − y2 ) ; k b = ( kx2 ; ky2 ) , k ∈ ¡ Oxy Kết 3: Trên mặt phẳng tọa độ , cho hai véc tơ r r rr a b a.b = x1 y1 + x2 y2 Khi tích vơ hướng Kết 4: Độ dài véc tơ r a = x12 + y12 r a = ( x1; y1 ) r r a = ( x1; y1 ) ; b = ( x2 ; y2 ) tính theo cơng thức: 2.3.2 Một số ví dụ việc sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải số tốn liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ Ví dụ 1.[9]: Cho D ABCD song song với AC hình vng cạnh M a Đường thẳng d Điểm di chuyển đường thẳng uuur uuur uuur T = MA + MB + MC nhỏ biểu thức ? Phân tích tốn: qua điểm d Tìm giá trị +) Vấn đề khó tốn cách giải phép biến đổi vectơ Oxy +) Khi sửa dụng phương pháp tọa độ hóa vấn đề nên chọn hệ tọa độ cho việc tìm tọa độ điểm phương trình đường thẳng AC nhanh Oxy Bài giải: Chọn hệ tọa độ Khi ta có A ( 0;0 ) ; B ( 0; a ) ; C ( a; a ) ; D ( a;0 ) song song với Do điểm Ta có M hình vẽ: AC có phương trình thuộc đường thẳng d Đường thẳng y = x − a nên gọi tọa độ điểm uuur uuur uuur MA + 2MB + MC = ( a − x;7a − x ) uuur uuur uuur T = MA + 2MB + MC = ( a − 4x ) + ( 7a − x ) suy = 32 ( x − 2ax + a ) + 18a ≥ 2a M d qua điểm M ( x; x − a ) D Đẳng thức xảy x=a hay điểm M ≡ D uuur uuur uuur T = MA + MB + MC Vậy giá trị nhỏ biểu thức Ví dụ 2.[9]: Cho tam giác ABC 2a a M tam giác cạnh , điểm di AC động đường thẳng Tìm giá trị nhỏ biểu thức uuur uuur uuur uuur uuur uuur T = MA + MB + MC + MA − MB + MC Phân tích tốn: Oxy +) Đối với tập trước hết ta chọn hệ tọa độ đường thẳng AC cho phương trình đơn giản +) Khi ta sử dụng phép toán tọa độ vectơ tọa độ điểm để tính giá trị biểu thức T +) Kết hợp với phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ để giải toán Oxy Bài giải: Chọn hệ tọa độ hình vẽ: 10 Khi ta có  a 3a  A ( 0;0 ) ; B  ; ÷; C ( a;0 ) 2   AC Phương trình đường thẳng Do điểm M thuộc đường thẳng y=0 AC nên gọi tọa độ điểm M M ( x;0 ) uuur uuur uuur  3a a  uuur uuur uuur  x a 3 MA + MB + MC =  −3x + ; ÷ MA − MB + MC =  − + a; − ÷ 2 2     Ta có , uuur uuur uuur uuur uuur uuur T = MA + MB + MC + MA − MB + MC Suy 2 2 3a   a  a  a 3   =  −3 x + ÷ +  ÷ +  −x + ÷ +  − ÷    2     2 2 a a 3 a  a 3 a a   T = 9 −x + ÷ +  + = 2a ÷ +  −x + ÷ +  − ÷ ≥ 2   2   2   x= Đẳng thức xảy a hay điểm M trung điểm AC uuur uuur uuur uuur uuur uuur T = MA + MB + MC + MA − MB + MC Vậy giá trị nhỏ biểu thức 3a Ví dụ 3.[9]: Cho hình chữ nhật động đường thẳng BC ABCD AB = AD BC = a M có , điểm di Tìm giá trị nhỏ của biểu thức 11 uuur uuur uuur T = MA + MB + 3MC Phân tích tốn: +) Đây tốn tương tự ví dụ 1; ví dụ 2, giáo viên để học Oxy sinh tự định hướng việc chọn hệ tọa độ thích hợp +) Sau yêu cầu học sinh nhận xét kết ta thay đổi việc chọn hệ tọa độ, phân tích cách chọn hệ tọa độ tối ưu trường hợp Bài giải: Oxy Chọn hệ tọa độ Khi ta có x = 2a A ( 0;0 ) ; B ( 2a;0 ) ; C ( 2a; a ) , phương trình đường thẳng BC Do điểm Ta có hình vẽ: M thuộc đường thẳng BC nên gọi tọa độ điểm uuur uuur uuur MA + 2MB + 3MC = ( 4a; −6 y ) uuur uuur uuur ⇒ T = MA + MB + 3MC = 16a + 36 y ≥ 4a M M ( a; y ) 12 Đẳng thức xảy y=0 hay điểm M ≡ B uuur uuur uuur T = MA + MB + 3MC Vậy giá trị nhỏ biểu thức Ví dụ 4.[9]: Cho hai điểm nhỏ biểu thức A; B cho T = 3MA2 + MB AB = 4a Với điểm M 4a tùy ý, tìm giá trị Phân tích tốn: +) Đây tốn mà giả thiết cho đơn giản; việc chọn hệ tọa độ có vai trị định tốn +) Khi ta chọn hệ tọa độ cho việc xác định tọa độ hai điểm đơn giản Oxy Bài giải: Chọn hệ tọa độ Khi ta có A ( 0;0 ) ; B ( 4a;0 ) hình vẽ: Gọi tọa độ điểm M M ( x; y ) 2 T = 3MA2 + MB = ( x + y ) + ( 4a − x ) + ( − y )  Ta có = ( x − a ) + y + 12a ≥ 12a A; B 13 Đẳng thức xảy x = a; y = Vậy giá trị nhỏ biểu thức hay điểm M thuộc đoạn T = 3MA2 + MB AB BM = AM 12a a M I Ví dụ 5.[9]: Cho hình vng tâm cạnh điểm thỏa uuur uuur uuur uur uuu r uuur MA + MC + MB + IC = AB − AD mãn hệ thức Tìm khoảng cách lớn từ ABCD điểm M tới điểm D Phân tích tốn: +) Đây ví dụ khó, giáo viên phải định hướng cho học sinh trước hết phải tìm quỹ tích điểm M +) Ví dụ giải phương pháp tọa độ hóa học sinh dễ việc định hướng cách giải Oxy Bài giải: Chọn hệ tọa độ hình vẽ: a a A ( 0;0 ) ; B ( 0; a ) ; C ( a; a ) ; D ( a;0 ) ; I  ; ÷  2 Khi ta có Gọi tọa độ điểm M M ( x; y ) 14 uuur uuur Ta có uuur uur MA + MC + MB + IC = ( 2a − x;4a − y ) uuur uuur uuur uur , uuu r uuur AB − AD = ( − a; a ) uuu r uuur MA + MC + MB + IC = AB − AD Suy ⇔ ( 2a − x ) + ( 4a − y ) = a + a 2 a a2  ⇔  x − ÷ + ( y − a) = 2  Vậy điểm IK = Do M thuộc đường tròn a >R nên điểm I ( C) tâm thẳng hàng điểm MD = R + KD = Khi 5+ Vậy khoảng cách lớn từ R= bán kính nằm ngồi đường trịn M ; K; D điểm a  K  ;a ÷ 2  M K ( C) thuộc đoạn Do MD a MD lớn tới D BC = a 5+ Ví dụ 6.[9]: Cho tam giác ABC có Biết tập hợp điểm M cho uuur uuur 2MB + MB.MC = a đường trịn Tìm bán kính đường trịn Phân tích tốn: 15 +) Đây ví dụ hay xuất câu hỏi trắc nghiệm, phương pháp tọa độ hóa ưu việt thời gian định hướng tìm lời giải rút ngắn Oxy Bài giải: Chọn hệ tọa độ Khi ta có Ta có B ( 0;0 ) ; C ( a;0 ) hình vẽ: Gọi tọa độ điểm M M ( x; y ) uuur uuur 2MB + MB.MC = a ⇔ ( x + y ) + ( − x ) ( a − x ) + y  = a a a2 ⇔ x + y − ax − a = ⇔ x + y − x − = 3 2 2 2 Vậy tập hợp điểm M đường trịn có bán kính a 13 a a R=  ÷ + = 6 ABCD A B AB = Ví dụ 7.[9]: Cho hình thang vng Biết uuu r uuur uuu r uuu r CB.CD = CA.CB = CD , Tính độ dài cạnh Phân tích tốn: +) Đây ví dụ khó, khó vấn đề khai thác giả thiết uuu r uuu r CA.CB = uuu r uuur CB.CD = , 16 +) Khi sử dụng phương pháp tọa độ hóa toán trở nên dễ dàng nhiều Oxy Bài giải: Chọn hệ tọa độ Khi ta có hình vẽ: A ( 0;0 ) ; B ( 0;2 ) C; D Gọi tọa độ điểm Ta có Do C ( c;2 ) ; D ( d ;0 ) ,(c > 0; d > 0) uuu r uuu r uuur CA = ( −c; −2 ) ; CB = ( −c;0 ) ; CD = ( d − c; −2 ) uuu r uuur CB.CD = d = −c ( d − c ) = ⇔ ⇔ r uuu r  uuu c = c = CA.CB = C; D Vậy tọa độ điểm C ( 3;2 ) ; D ( 1;0 ) ⇒ CD = 2 Ví dụ 8.[9]: Cho hình thang vng AB = a, CD = b tuyến AM ABCD Tìm hệ thức liên hệ tam giác Phân tích toán: ABC đường cao a, b, h để AD = h BD , cạnh đáy vng góc với trung 17 +) Đây ví dụ tương tự ví dụ 7; giáo viên u cầu học sinh tự tìm tịi đưa cách giải cho toán Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất tích vơ hướng hai vectơ +) để khai thác giả thiết hai đường thẳng vng góc Bài giải: Oxy Chọn hệ tọa độ hình vẽ: D Khi ta có A ( 0;0 ) ; B ( a;0 ) ; C ( b; h ) ; D ( 0; h ) uuuu r a+b h  a + b h  uuur M ; ÷ BD = ( −a; h ) ; AM =  ; ÷  2  2 BC Ta có trung điểm điểm ; Do BD vng góc với AM suy uuur uuuu r a+b h BD AM = ⇔ −a + h = ⇔ h = a + ab 2 Ví dụ 9.[9]: Cho tứ giác kỳ đường thẳng Phân tích tốn: IJ IAJB có góc Chứng minh rằng: A, B vuông, IA > IB M điểm bất JA MA IA ≤ ≤ JB MB IB 18 +) Đây tốn tương đối khó, sử dụng phương pháp vectơ theo định nghĩa phức tạp +) Đối với tốn ngồi việc chọn hệ tọa độ thích hợp, giáo viên cung cấp cho học sinh thêm kỹ chuẩn hóa tốn (một kỹ quan trọng toán trắc nghiệm) Bài giải: Khơng tính tổng qt, giả sử IJ = Oxy Chọn hệ tọa độ Khi ta có hình vẽ: I ( −1;0 ) ; J ( 1;0 ) Gọi tọa độ điểm Do góc A, B suy M ( xM ;0 ) ; A ( xA ; y A ) ; B ( xB ; yB ) A; B vng suy điểm thuộc đường trịn tâm O bán kính xA2 + yA2 = xB2 + yB2 = Ta có MA IA  MA   IA  2 2 ≤ ⇔ ÷ ≤  ÷ ⇔ IA MB ≥ IB MA MB IB  MB   IB  2 2 ⇔ ( xA + 1) + y A2  ( xB − xM ) + yB2  ≥ ( xB + 1) + yB2  ( x A − xM ) + y A2  19 ⇔ ( x A + ) ( xM2 − xB xM + 1) ≥ ( xB + ) ( xM2 − xA xM + 1) ⇔ x A xM2 + x A − xB xM ≥ xB xM2 + xB − x A xM ⇔ ( xA − xB ) ( xM + 1) ≥ (*) Do IA > IB suy x A > xB (*) Dấu xảy điểm M trùng với điểm Chứng minh trương tự ta có Ví dụ 10.[9]: Cho hình vng cho uuur uuur AF = AD · EFM = 900 ln đúng, chứng tỏ , ta có J MA IA ≤ MB IB JA MA ≤ JB MB ABCD E AB F ; trung điểm , điểm Xác định vị trí điểm M đường thẳng BC cho góc Phân tích tốn: +) Đây ví dụ tương tự ví dụ 9, giáo viên hướng dẫn học sinh chọn hệ tọa độ chuẩn hóa cạnh hình vng, giúp cho việc tính tốn trở nên dễ dàng +) Ý tưởng chuẩn hóa thường gặp tốn mà đáp số khơng phụ thuộc vào độ dài cạnh hình vng (như: xác định vị trí điểm; tính số đo góc…) Bài giải: Khơng tính tổng qt, giả sử cạnh hình vng Oxy Chọn hệ tọa độ hình vẽ: 20 Khi ta có D ( 0;0 ) ; C ( 1;0 ) ; A ( 0;1) ; B ( 1;1) Phương trình đường thẳng Do điểm M ( 1; y ) Ta có Do M BC x =1 , suy 1   2 E  ;1÷; F  0; ÷ 2   3 di chuyển đường thẳng BC nên gọi tọa độ điểm M uuu r  1  uuuu r  2 FE =  ; ÷; FM = 1; y − ÷ 3  3  uuu r uuuu r 1 2 FE ⊥ FM ⇔ FE FM = ⇔ +  y − ÷ = ⇔ y = − 3 3  5 M 1; − ÷  6 BC C M Khi , suy điểm nằm phần kéo dài phía cho CM = BC 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 21 Khi áp dụng đề tài trình giảng dạy mơn tốn trường trung học phổ thơng Hoằng Hố 4, tơi thấy học sinh nắm bắt vận dụng nhanh phương pháp tọa độ hóa, vận dụng linh hoạt kiến thức tọa độ vectơ tọa độ điểm để áp dụng vào toán liên qua tới tích vơ hướng hai vectơ Ngồi học sinh vận dụng phương pháp tọa độ hóa để giải số tốn hình học phẳng Kết năm trực tiếp giảng dạy chương trình Hình học lớp 10 cụ thể sau: 2.4.1.Trước thực sáng kiến kinh nghiệm * Kết đạt năm học 2019 - 2020 sau: - Kết tổng kết cuối năm lớp giảng dạy Lớp Sĩ số Kết học tập mơn Tốn Giỏi 10A5 41 10 Khá 24% 21 52% Trung bình Yếu 10 24% 0% 2.4.2.Sau thực sáng kiến kinh nghiệm * Kết đạt năm học 2020-2021 sau: - Kết tổng kết cuối năm lớp giảng dạy Lớp Sĩ số Kết học tập mơn Tốn Giỏi 10A3 43 32 Khá 76% 11 24% Trung bình Yếu 0 0% 0% KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trong đề tài với khả hạn chế thời gian khơng cho phép, tơi đưa số ví dụ điển hình dạng tập, số lượng tập chưa nhiều phong phú Qua thực tế giảng dạy, thấy giới thiệu đề tài 22 cho học sinh em tự tin việc giải số toán khó liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ, tìm định hướng giải nhanh cho kết xác 3.2 Kiến nghị Đề tài phát triển bổ sung thêm ứng dụng phương pháp tọa độ hóa để giải tốn hình học phẳng, mở rộng cho phương pháp tọa độ hóa hình học khơng gian chương trình tốn học phổ thông năm Tuy có nhiều cố gắng kinh nghiệm giảng dạy cịn hạn chế nên tơi tin đề tài cịn có thiếu sót Tơi mong nhận xét góp ý chân thành hội đồng khoa học ngành, đồng chí đồng nghiệp em học sinh để đề tài hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa, ngày 21 tháng 05 năm 2022 HIỆU TRƯỞNG Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Thịnh Thị Hồng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Hình học 10 (Trần Văn Hạo) [2] Sách tập Hình Học 10 (Nguyễn Mộng Hy) [3] Tài liệu chun tốn Hình Học 10 (Đồn Quỳnh) [4] Tài liệu chun tốn tập Hình học 10 (Đồn Quỳnh) [5] Rèn luyện luyện tư qua việc giải tập tốn (Nguyễn Thái Hịe) [6] Sáng tạo tốn học (G.POLYA) [7] Tốn học suy luận có lý (G.POLYA) [8] Giải toán (G.POLYA) [9] Các đề thi cuối kỳ đề khảo sát chất lượng lớp 10 trường THPT Sở GD & ĐT CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC CÔNG NHẬN Năm học Tên sáng kiến kinh nghiệm “Khai thác tính chất hàm đặc 2019-2020 trưng để giải số toán liên quan tới lũy thừa lơgarit – Giải tích lớp 12” Số định 2088/QĐ-SGDĐT ngày 22/12/2020 Xếp loại: C ... tính tích vơ hướng hai vectơ tốn liên quan Bài tốn liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ thường có hai hướng giải quyết; sửa dụng định nghĩa tích vơ hướng; hai sử dụng biểu thức tọa độ tích vơ hướng. .. tài ? ?Sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải số tốn liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ – Hình Học lớp 10? ?? nhằm giúp học sinh có nhìn tổng quan dạng toán này, phân loại đưa phương pháp giải. .. Hoá – Hoằng Hoá – Thanh Hoá 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm - Đề tài ? ?Sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải số tốn liên quan tới tích vơ hướng hai vectơ – Hình Học lớp 10? ?? đưa số phân tích,