BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến kinh nghiệm PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ Vĩnh Phúc, năm 2020 1 skkn MỤC LỤC Trang BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤN[.]
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ Vĩnh Phúc, năm 2020 skkn MỤC LỤC BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Trang Lời giới thiệu Tên sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu Mô tả chất sáng kiến PHẦN NỘI DUNG 3 Một số ví dụ áp dụng PHẦN KẾT LUẬN Những thơng tin cần bảo mật Các điều kiện cần thiết để áp dụng sán kiến 17 17 17 Đánh giá lợi ích thu theo ý kiến tác giả 17 skkn BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Trong chơng trình giáo dục toán học trờng phổ thông trung học, phơng pháp toạ độ chiếm vị trí quan trọng Nói đến phơng pháp toạ độ, ngời thờng hay nghĩ đến toán khảo sát hàm số, vẽ đồ thị nh toán hình học giải tích Tuy nhiên nhiều ngời nghĩ phơng pháp toạ độ cho ta lời giải hay toán sơ cấp: Giải phơng trình - giải bất phơng trình - chứng minh bất đẳng thức - tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Thậm chí phơng pháp toạ độ giúp ta giải toán số học - Suy luận logíc - Hình học tổ hợp - Hình học tuý, mà đối tợng xa vời với phơng pháp toạ độ Cùng với phơng pháp khác, phơng pháp toạ độ phơng pháp hữu hiệu để giải nhiều toán sơ cấp Phơng pháp toạ độ dùng để giải toán chứa Cái hồn hình học mà nhiên ta cha nhìn thấy Do nên đa phơng pháp toạ độ vào giải toán sơ cấp chơng trình phổ thông trung học, nhằm trang bị thêm phơng pháp giải tập ứng dụng phơng pháp toạ độ Đó nhận thức ý tởng chọn đề tài nµy “Phương pháp tọa độ để giải số tốn cực trị” Do ®iỊu kiƯn thêi gian, ®Ị tài đa ra: Phơng pháp toạ độ với toán tìm giá trị lớn nhỏ hàm số - thông qua vài ví dụ Hy vọng rằng: Phơng pháp toạ độ đem lại cho bạn thoải mái - sáng - lý thú skkn Dĩ nhiên, trình nghiên cứu không tránh khỏi khuyết điểm Mong bạn đồng nghiệp góp ý bổ sung Tên sáng kiến: “Phương pháp tọa độ để giải số toán cực trị” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng toán học - Mục đích: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán cực trị Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu: Tháng 10/2017 Mô tả chất sáng kiến: Néi dung chÝnh cđa ®Ị tài Để giải toán tìm giá trị lớn nhỏ phơng pháp toạ độ, ngêi ta thêng sư dơng c¸c tÝnh chÊt sau: - Trong tất đờng gấp khúc nối hai điểm A B cho trớc đờng thẳng nối AB đờng thẳng có độ dài ngắn - Cho điểm M đờng thẳng d ( mặt phẳng (P)) cho trớc Khi đó, độ dài đờng vuông góc kẻ từ M xuống d ( xuống (P)) ngắn đờng xiên kẻ từ M xuống đờng thẳng (mặt phẳng) - Trong tam giác nội tiếp đờng tròn, tam giác có chu vi vµ diƯn tÝch lín nhÊt NÕu b»ng mét phép biến đổi đó, toán quy kiện hình học nói trên, nên dùng phơng pháp toạ độ để giải Ngời ta sử dụng hai bất đẳng thức sau: skkn (Chú ý điều kiện xảy dấu véc tơ phơng, chiều có hai vectơ vectơ không) M Ngoài ý số kết sau (tự chứng minh) : Cho đoạn AB, M0 đoạn AB Ta có: = Max{M0A,M0B} Cho f(x) liên tục tập D tồn A M B Phơng trình có nghiệm Bất phơng trình có nghiệm Bất phơng trình có nghiệm skkn Sau vài ví dụ minh hoạ 1.1 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: f(x,y) = cos2x + cos2y Trên miền D = {(x, y: sinx + siny = } Lêi giải: Đặt u = sinx; v = siny Khi ta cã: cos2x + cos2y = - 2(u2 + v2) Xét toán mới: Tìm giá trị lớn vµ nhá nhÊt cđa hµm sè: F(u,v) = u2 + v2 trªn miỊn D1 = {(u, v): } A 1/ v H VÏ hƯ trơc Ouv B (2) =2-2 1/ (1) 1/ 1/ =2-2 u Lúc ta có mối liên hệ: Tập D1 đoạn thẳng AB (phần đờng thẳng u + v = nằm hình vuông) Dễ thấy A(- ; 1) & B(1; - ) NÕu M(u; v) D1 th× u2 + v2 = OM2 VËy = skkn = Theo (1) ta cã: = ; =- 1.2 Ví dụ 2: Tìm GTLN & NN hàm sè: f(x, y) = x + y2 trªn miỊn: D= x Lêi gi¶i: -2 -4 B A -2 x C O VÏ hƯ trơc Oxy -8 DƠ thấy điểm (x; y) thoả mÃn hệ toàn tam giác ABC Ta thấy x2 + y2 = OM2 ( Gäi D lµ miỊn dµng bc hƯ) Ta cã: = = Max {OA2, OB2, OC2} = 20 skkn = MinOH2 = = (vì ) Tóm lại: = 20 = 1.3 VÝ dơ 3:T×m GTNN cđa hµm sè: f(x, y, z, t) = z2 + t2 - 2xz - 2yt - z Trªn miỊn D = { (x, y, z, t): x2+ y2 = 1; z2- t + = 0} Lêi gi¶i: Víi (x, y, z, t) D, ta cã: f(x, y, z, t) = (x - z)2 + (y - t)2 - x2 - y2 - =(x - z)2 + (y - t)2 - (1) Khi (x, y, z, t) D điểm M(x; y) nằm đờng tròn đơn vị; điểm N(z, t) nằm Parabol: v = u2 + Ta cã: (x - z)2 + (y - t)2 = MN2 Râ rµng: MinMN2 = M0N02 = Trong M0(0; 1) N0(0; 3) Từ (1) suy ra: f(x, y, z, t) (x, y, z, t) D Mặt khác, x = 0, y = 1, z = 0, t = th× f(x, y, z, t) = 0, mµ (0, 1, 0, )D VËy = v N(z,t) 3N M1 skkn O M(x,y ) u 1.4 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ hàm số: với x R f(x) = Lời giải: Ta viÕt l¹i f(x) díi d¹ng: f(x) = (1) XÐt hƯ trơc Oxy víi ®iĨm A( ; ); B( ; ); C(x ; 0) Khi ®ã tõ (1) ta cã: f(x) = CA + CB AB Trong ®ã AB = Do đó: f(x) Mặt khác, giả sử AB cắt Ox tại C0 Ta có: C0A + C0B = AB Nh vậy, đặt x0 = OC0 th× f(x0) = = y C x A C0 B x VËy : skkn 1.5 VÝ dụ 5: Tìm GTLN & GTNN hàm số: f(x, y) = 4x + 3y Trªn miỊn: D = {(x, y): x2 + y2 + 16 = 8x + 6y} Lêi gi¶i: NÕu (x, y) D, ta cã: x2 + y2 = 8x + 6y (x - 4)2 + (y - 3)2 = NghÜa lµ: D lµ đờng tròn tâm O1(4; 3) bán kính R = (x, y) D, ta cã: f(x, y) = 4x + 3y = víi M(x; y) n»m trªn đờng tròn Nối OO1 cắt đờng tròn D điểm M1, M2, ta đợc: = OM1 = OO1 - M1O1 = - = 22 = 10 M O =8+ 82 = 40, =8+ y VËy: O M(x ,y) M x = OM2= OO1 +O1M2 =5 + = 1.6 VÝ dơ 6: T×m GTLN & GTNN cđa hµm sè: víi x R f(x) = Lời giải: 10 skkn Gọi m giá trị tuỳ ý hàm số f(x) Điều có nghĩa phơng trình sau (ẩn x) có nghiệm: = m (1) Đặt u = ; v = sinx y ®ã (1) B XÐt hƯ trơc Ouv: x O A DƠ thÊy (3), (4), (5) biĨu diƠn cung nhỏ, A(1; -1); B(1; 1) (u + v)2 + 2(u + v) - 2m - = Tõ (2) ta cã: u + v = -1 + (u + v) = -1 - loại (vì không cắt cung Từ nhận thấy (1) có nghiệm đờng thẳng : u + v = -1 + cắt cung tức -1 + 3 - m VËy = vµ = -1 11 skkn ) 1.7 VÝ dơ 7: Tìm GTLN & GTNN hàm số f(x) = đoạn [0; 2] Lời giải: Viết f(x) dới dạng: f(x) = (1) Xét phơng trình tham số: Đặt = u; = m (2) = v Khi ®ã: v (2) B XÐt hƯ trơc Ouv: A - u O - ThÊy hƯ (3), (4), (5) cã nghiƯm ®êng thẳng cắt cung phần t thứ AB đờng tròn tâm O báb kính Đờng thẳng qua A( Đờng thẳng ; 0) có dạng: tiếp tuyến cung , 12 skkn có dạng: Từ ®Êy thÊy hÖ (3), (4), (5) cã nghiÖm đờng thẳng nằm hai đờng thẳng nói Vậy = 1.8 Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ hàm số: f(x) = (p, q hai số cho trớc) Lời giải Xét : Trên mặt phẳng toạ độ xét điểm A(x - p; ) & B(x - q; ) Khi ®ã: f(x) = = OA + OB Râ rµng cã: OA + OB AB Mà AB = không đổi với vị trí A B Vậy ta có f(x) (1) y y=- y= O A B x DÊu = xảy A, O, B thẳng hàng Ta có: mà A, O, B thẳng hàng 13 skkn Do AB không đổi với vị trí A, B nªn ta cã: (2) XÐt ( p = q = 0) Lóc nµy f(x) = 2|x| Min f(x) = (3) Tãm l¹i, víi mäi trêng hợp ta có: 1.9 Ví dụ 9: Tìm GTLN & GTNN cđa hµm sè: f(x, y) = x - y Trên miền: D= Lời giải: Miền xác định D cần lấy giá trị lớn nhỏ hàm f(x, y) đợc biểu diễn miền gạch chÐo sau: y 14 skknA -2 O B C x Chú ý rằng: Đồ thị hàm sè x - y = suy tõ ®å thị hàm số x - y = lợng (- ) theo trục Oy Gọi () giá trị tuỳ ý f(x, y) D Điều cã nghÜa lµ hƯ sau Èn (, x, y) cã nghiệm: Giải hệ ta có: Suy toạ độ điểm A( ) Đờng thẳng x - y = qua A = - - §êng trßn (x - 6)2 + (y - 3)2 = 25 cắt trục hoành B(2; 0) & C(10; 0) Đờng th¼ng x - y = qua B = Khi ®ã: x-y=-4- & x - y = hai vị trí giới hạn mà đờng thẳng x - y = c¾t miỊn D 15 skkn Tõ ®ã suy ra: , 1.10 VÝ dơ 10: Cho a, b , c, h bốn số dơng cho tríc; x, y, z lµ ba sè thùc thay ®æi cho ax + by + cz = k (1) ( k số cố định cho trớc) Tìm giá trị nhỏ hàm số: f(x, y, z) = với (x, y, z) thoả mÃn điều kiện (1) Lêi gi¶i: XÐt hƯ trơc Ouv: A(ah, ax); B((a + b)h; ax + by); C((a + b + c)h; cã: OA = BC = ah 16 skkn ax + by O ax ax + by + cz = k v A (a+b)h Ta B C (a+b+c) h u ax + by + cz) ; AB = ; VËy f(x, y, z) = OA + OB + OC (2) & OA + AB + BC độ dài đờng gấp khúc OABC nối hai điểm cố định O(0; 0) & C((a+b+c)h; k) Ta cã: OC = Tõ (2) suy ra: f(x, y, z) OC = (3) DÊu = (3) sảy O, A, B, C thẳng hàng Nh vËy: (4) Tõ (3) vµ (4) ta cã: Minf(x, y, z) = 1.11 VÝ dô 11: Cho xi, yj (i = 1,2, , n) lµ 2n sè thùc thoả mÃn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = Lời giải: Trong mặt phẳng xét hệ tọ độ Oxy: Gọi Mk điểm có toạ độ Nh vËy ®iĨm , k= 1, 2, , n sÏ n»m đờng thẳng x + y = (vì giả thiÕt x+ y =1) DÔ thÊy: (k = 1, 2, , n) y 17 skkn O x Mn H Mk Mk1 M1 Tõ ®ã suy ra: A = OM1 + M1M2 + M2M3 + + Mn-1Mn Gäi H chân đờng vuông góc kẻ từ O đến đờng thẳng x + y = 1, OH = Rõ rµng: OM1 + M1M2 + + Mn-1Mn OH, hay A (1) DÊu b»ng s¶y (1) O, M1, M2, , Mn thẳng hàng & Mn H x1 = x2 = = xn = y1 = y2 = = yn = VËy MinA = 18 skkn 19 skkn KÕt luËn Bài toán tìm giá trị lớn nhỏ hàm số loại toán phức tạp chơng trình THPT Cách giải phong phú - đa dạng Mặt khác, phơng pháp toạ độ phơng pháp học sinh - có phần trừu tợng Khi vận dụng phơng pháp toạ độ, học sinh cần nắm vững kiến thức toạ độ Có t lôgic khéo léo Vận dụng đợc phơng pháp gióp häc sinh ph¸t triĨn t - ý thøc rèn luyện kiến thức tạo say mê học tập, hứng thú học tập Thông qua vài ví dụ trên, nhằm giúp học sinh thấy đợc ý nghĩa phơng pháp vận dụng vào toán, giúp học sinh phần tự tin ý thức phơng pháp (kiến thức) toạ độ, mà có ví dụ với phơng pháp sơ cấp đơn không giải đợc phức tạp - Nhng phơng pháp toạ độ lời giải lại đơn giản, ngắn gọn dễ hiểu Do điều kiện thời gian nh tinh thần học hỏi, đa số ví dụ đơn giản trên, nhằm đạt đợc số yêu cầu mà Mong đóng góp chân tình bạn đồng nghiệp, nhằm hoàn thiện, thờng xuyên có t tởng nh suy nghĩ đến phơng pháp mà trớc ta nghÜ tíi Những thơng tin cần bảo mật Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến -Phương pháp áp dụng số toán cực trị -Áp dụng với đối tượng học sinh giỏi, học sinh khá, bồi dưỡng học sinh giỏi Đánh giá lợi ích thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả Giáo viên có cách sử lý linh hoạt, cách nhìn tinh tế số toán cực trị Học sinh có thêm phương pháp thật bổ ích để sử lí số tốn cực trị Từ em có niềm đam mê u thích mơn toán 20 skkn ...MỤC LỤC BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Trang Lời giới thiệu Tên sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu Mô tả chất sáng kiến PHẦN NỘI DUNG 3 Một số ví... ? ?Phương pháp tọa độ để giải số toán cực trị” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng tốn học - Mục đích: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán cực trị Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu: Tháng 10/2017... ứng dụng phơng pháp toạ độ Đó nhận thức ý tởng chọn đề tài Phng phỏp tọa độ để giải số toán cực trị” Do điều kiện thời gian, đề tài đa ra: Phơng pháp toạ độ với toán tìm giá trị lớn nhỏ hàm số