Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN    KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Giảng viên hướng dẫn : Th.S Nguyễn Thị Hà Phương Sinh viên thực : Lê Thị Diệp Lớp : 11CTUD1 Đà Nẵng, 05 năm 2015 Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trường ĐH Sư Phạm – Đà Nẵng nói chung, thầy giáo khoa Tốn nói riêng tận tình giảng dạy tơi suốt thời gian học tập trường Tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo hướng dẫn: Thạc sỹ Nguyễn Thị Hà Phương tận tình hướng dẫn, giúp đỡ bảo cho tơi suốt q trình hồn thành luận văn MỤC LỤC Phần I: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng, phạm vi nghiên cứu IV Nhiệm vụ nghiên cứu V Phương pháp nghiên cứu Phần II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương 1: NHỮNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Phương pháp tọa độ mặt phẳng 1.1.1 Tọa độ điểm, tọa độ véctơ xOy 1.1.2 Phương trình đường thẳng 1.1.3 Vị trí tương đối hai đường thẳng 1.1.4 Góc hai đường thẳng 1.1.5 Khoảng cách phương trình đường phân giác 1.1.6 Đường tròn 1.1.7 Phương trình đường Cơníc 1.2 Phương pháp tọa độ không gian 1.2.1 Khái niệm hệ trục tọa độ không gian 1.2.2 Tọa độ điểm véctơ khơng gian 1.2.3 Tích vô hướng độ dài 10 1.2.4 Tích có hướng hai véctơ 10 1.2.5 Các cơng thức tính diện tích thể tích 11 1.2.6 Phương trình mặt phẳng khơng gian 11 1.2.7 Phương trình đường thẳng khơng gian 12 1.2.8 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng không gian 13 1.2.9 Góc khoảng cách 14 1.2.10 Mặt cầu 15 Chương 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 18 2.1 Miền mặt phẳng tọa độ xác định bất phương trình hệ bất phương trình 18 2.1.1 Đường tròn 18 2.1.2 Đường thẳng 18 2.1.3 Đường cong y = f(x) 20 2.2 Phương pháp tọa độ để khảo sát phương trình bất phương trình 21 2.2.1 Phương trình f(x) = g(x) 21 2.2.2 Bất phương trình f(x) < g(x) 21 2.2.3 Bất phương trình ẩn số x với tham số m 22 2.3 Phương pháp tọa độ với toán bất đẳng thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 24 2.4 Phương pháp tọa độ toán tổng hiệu khoảng cách lớn nhỏ 26 2.4.1 Dạng 26 2.4.2 Dạng 27 2.4.3 Dạng 27 Chương 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 30 3.1 Các toán định lượng 30 3.2 Các toán định tính 44 Chương 4: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC, VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT 54 4.1 Chứng minh bất đẳng thức phương pháp tọa độ 54 4.2 Tìm giá trị lớn nhỏ phương pháp tọa độ 62 KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 Phần I: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Bằng thực tiễn toán học, lý luận khẳng định kiến thức véctơ, tọa độ mơn hình học giải tích cần thiết có hiệu giải mơt số dạng tốn sơ cấp Chính vậy, việc hiểu nắm vững mơn học điều cần thiết Hình học giải tích sáng lập nhà bác học người Pháp: Descartes (1956  1650) Fermar (1601 – 1655) Cốt lõi phương pháp xác lập tương ứng cặp số thực có thứ tự với véctơ, điểm mặt phẳng hay khơng gian; nhờ đó, xếp tương ứng kiện cố định toán giúp cho việc giải tốn hình học chuyển sang tính tốn cách định lượng Nói đến phương pháp tọa độ, người thường hay nghĩ đến toán khảo sát hàm số, vẽ đồ thị tốn hình học giải tích Suy nghĩ hoàn toàn tự nhiên đắn Tuy nhiên khơng có nhiều người nghĩ dùng phương pháp tọa độ cịn cho lời giải hay tốn khác, chí tốn số học, suy luận logic mà tiềm ẩn hồn hình học mà nhiên ta chưa nhìn Gần nhiều kỳ thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi hay tạp chí tốn học có nhiều tốn khơng liên quan đến hình học giải phương pháp tọa độ, tốn giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hay toán chứng minh bất đẳng thức, toán cực trị Với lí tơi chọn đề tài “Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất” làm luận văn tốt nghiệp II Mục đích nghiên cứu - Hệ thống hóa cách chi tiết vấn đề lý thuyết phương pháp tọa độ - Xây dựng hệ thống tập vận dụng để từ thấy tầm quan trọng tính thiết thực lý thuyết phương pháp tọa độ dạng toán III Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương pháp tọa độ số tập sử dụng phương pháp tọa độ để giải - Phạm vi nghiên cứu: toán sơ cấp IV Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, giáo trình, wed liên quan đến phương pháp tọa độ để rút số dạng toán phương pháp giải toán liên quan ứng dụng phương pháp tọa độ V Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc giáo trình, tài liệu liên quan đến ứng dụng phương pháp tọa độ để phân dạng hệ thống hóa tốn - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm thân bạn bè, anh chị để tổng hợp hệ thống hóa kiến thức vấn đề nghiên cứu đủ khoa học kết hợp với đưa vào ví dụ minh họa chi tiết - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn giảng viên khác để hồn thiện mặt nội dung hình thức khóa luận Phần II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương NHỮNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Phương pháp tọa độ mặt phẳng Hệ trục tọa độ Đề vng góc mặt phẳng x’Ox ⊥ y’Oy Véctơ đơn vị e1  x’Ox Véctơ đơn vị e  y’Oy 2 e1  e2  ; e1.e2  1.1.1 Tọa độ điểm, tọa độ véctơ xOy  Tọa độ điểm  Tọa độ điểm: M  x, y   OM   x, y   OM  x.e1  y.e2  Tọa độ điểm đặc biệt Cho A  x1 , y1  ; B  x , y2  , C  x , y3   x  x y1  y   Trung điểm AB có tọa độ là: I  ,    Điểm J chia AB với tỉ số k điểm thỏa mãn JA  k  tọa độ điểm J là: JB  x  kx y1  ky  J ,  1 k   1 k  x  x  x y1  y  y3  Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là: G  ,  3    Tọa độ véctơ Cho a   a1 ,a  , b   b1 , b2  Khi đó: a  a1.e1  a e2 , b  b1.e1  b2 e2 Nếu A  x1 , y1  , B  x , y2  AB   x  x1 , y2  y1  Phép toán: a  b   a1  b1 ,a  b2  , .a  .b   .a1  .b1, .a  .b2   Các công thức mặt phẳng    a.b  a b cos a, b  a.b  a1.b1  a b2  a  a12  a 2 , b  b12  b2  a1  b1    a  b2   ab   AB   x  x1    y2  y1  2  ab  a  b  ab  a  b  a.b  a b Dấu xảy a, b hai véctơ phương chiều có hai véctơ véctơ không  ab  a  b  ab  a  b    cos a, b     sin a, b  a1b1  a 2b a12  a 22 b12  b 22 a1b2  a b1 a12  a 22 b12  b 22  Sự thẳng hàng   det a, b  a1 a  a1b  a b1 b1 b   a / /b  det a, b    A, M, B thẳng hàng ⇔ det AB, AM   Diện tích tam giác A  x1 , y1  ;B  x , y2  ;C  x , y3  diện tích tam giác ABC là: SABC  1 x  x1 det AB, AC  2 x  x1   y2  y1 y3  y1 1.1.2 Phương trình đường thẳng  Phương trình tham số đường thẳng (Δ) qua M  x , y0  có véctơ phương u   a, b  có dạng:   x  x  at t     y  y0  bt   Phương trình tắc đường thẳng (Δ) qua M  x , y0  có véctơ phương u   a, b  có dạng: x  x y  y0  ,  a  0; b   a b  Phương trình hệ số góc đường thẳng (Δ) có hệ số góc a là: y = ax + b  Phương trình tổng quát đường thẳng (Δ) Ax + By + C = với A2 + B2 > Có véctơ pháp tuyến n   A,B véctơ phương u   B,A  véctơ phương u   B, A   Phương trình đường thẳng (Δ) qua M  x , y0  với hệ số góc k là: y  k  x  x   y0  Phương trình tổng quát đường thẳng (Δ) qua M  x , y0  có véctơ pháp tuyến n   a, b  có dạng: 56 Giả sử BA' cắt đường thẳng nói M Ta ln có MA = MA' , MA  MB  MB  MA'  MA  MB  BA' (35) Dấu xảy  M  M0 Giả sử AA’ cắt đường thẳng x – 2y + = H Véctơ phương đường thẳng x – 2y + = u  (2, 1) Điểm H có tọa độ  2yH  2, yH  Vậy AH   2yH  5, yH  5 Do AH  u nên ta có  2yH  5  1 yH  5   yH  x H  Từ ta suy x A '  2x H  x A  5; yA '  2yH  yA   BA'  (36) Từ (35) (36) có MA  MB  điều phải chứng minh Vì M0  đường thẳng x – 2y + = mà x M0   y M0  Vậy dấu xảy  a  5, b  Bài 20: Cho bốn số thực thỏa mãn điều kiện c  d  6; a  b2  Chứng minh c2  d  2ac  2bd  18  Bài giải Trong hệ trục tọa độ Oxy Vẽ đường tròn x  y2  đường thẳng x  y  Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dạng: c  a   d  b   19  (do a  b2  ) c  a   d  b 2  1 (37) 57 Điểm M  c, d  ; N  a, b  với c, d, a, b thỏa mãn điều kiện đầu bài, tương ứng nằm đường thẳng x + y = đường tròn x  y2  Dễ thấy (37)  MN   (38) Từ O kẻ đường vng góc với đường thẳng x  y  Gọi M chân đường vng góc ấy, giả sử OM cắt đường tròn N Hiển nhiên ta có với M thuộc đường thẳng x  y  với N thuộc đường tròn x  y2  , ln có MN  M0 N0 y (39) M M0 x+y=6 N N0 -1 O Rõ ràng M0 N0  OM0  ON0   Từ (38) (39) suy (37) điều phải chứng minh Dấu xảy c  d  M  M    a  b   N  N  Bài 21: a) Chứng minh tam giác ABC, ta có cosA  cos B  cos C  b) Chứng minh tam giác ABC nhọn, ta có cos 2A  cos 2B  cos 2C  3 x 58 Bài giải a) Cách Phương pháp đại số Xét cos A  cos B  cos C   AB  AB 2C  2.cos    cos     2sin 2     C  AB 2C  2.sin cos     2sin 2   Đặt x  sin C  AB Xét tam thức f  x   2x  2cos   x     AB Có  '  cos2   1    Do  '  hệ số a  2  nên f  x    x Hay cos A  cos B  cos C  Cách Phương pháp tọa độ Lấy véc tơ e1 , e2 , e3 hình vẽ có độ dài 1: e1  e2  e3  e1 A B Hiển nhiên ta có  e1  e2  e3   e3 C e2 0        2cos e1 , e2  2cos e2 , e3  2cos e3 , e1    2  cos A  cosB  cosC   cos A  cosB  cosC  59 Dấu xảy  e1  e2  e3   ABC tam giác b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp, H trực tâm A •O H B C Ta có OA  OB  OC  OH  Hiển nhiên có OA  OB  OC          3R  2R cos OA,OB  cos OB,OC  cos OC,OA      3R  2R  cos2C  cos2A  cos2B    cos2A  cos2B  cos2C   Dấu xảy  OA  OB  OC   OH  HO  ABC tam giác Bài 22: Chứng minh x, y  ta có 4cox xcos y  sin  x  y   4sin x sin y  sin  x  y   Bài giải Xét hai véctơ sau u   2cosx cos y, sin  x  y   ; v   2sin x sin y, sin  x  y   Khi u  v   2cosx cos y  2sin x sin y, 2sin  x  y     2cos  x  y  , 2sin  x  y   Hiển nhiên ta có u  v  u  v 60  4cox xcos2 y  sin  x  y   4sin x sin y  sin  x  y   Dấu xảy thỏa mãn trường hợp sau:  Hoặc u     x  y  k x   m sin  x  y           cos x     m, n       y   n cos  x  y    cos y       Hoặc v  sin  x  y    x  k      k, m  sinxsiny  y  m        Hoặc u  kv với k  cosxcosy = ksinxsiny  sin  x  y   k sin  x  y   cosx cos y  sinxsiny  cos  x  y   xy   k  k   Vậy dấu xảy  x  Hoặc  y     m ,   n  x  k  , x  y   k   y  m Bài 23: Cho x1 , y1 , x , y2 số thỏa mãn điều kiện x12  y12  1; x 22  y22  Chứng minh  x  x   y1  y2  1 x  y  1 x  y  1         2 2 2 2 61 Bài giải Xét hệ tọa độ Oxyz, hình cầu đơn vị có tâm gốc tọa độ O Giả sử M1  x1 , y1  , M2  x , y2  hai điểm thuộc mặt phẳng Oxy Từ giả thuyết x12  y12  x 22  y22   M1 M nằm bên biên hình cầu nói Gọi N1 , N điểm giao đường vng góc với mặt phẳng (xOy) kẻ từ M1 , M với mặt cầu nói Khi đó, ta có: M1N1   x12  y12 ; M2 N2   x 22  y22 Gọi M trung điểm M1M (xOy) điểm M có tọa độ  x  x y1  y  M ,    x M1 M O N N’• • N • N2 M2 z O y Từ M kẻ đường vuông góc với (xOy) Đường thẳng cắt M1M N ' , cắt mặt cầu N Rõ ràng  x  x   y1  y  MN           2 (40) Vì MN' đường trung bình hình thang M1M2 N1N2 nên ta có: MN '  1  M1N1  M2 N2   2    x12  y12   x 22  y22 (41) Do MN  MN' nên từ (40) (41) ta suy điều phải chứng minh 62 Dấu xảy  M1 M trùng  x1  x ; y1  y2 4.2 Tìm giá trị lớn nhỏ phương pháp tọa độ Bài 24: (Đề thi OLYMPIC - 2007) Cho số thực a, b, x, y thỏa mãn điều kiện ax  by  Tìm giá trị nhỏ biểu thức F  a  b2  x  y2  bx  ay Bài giải F viết lại dạng sau: 2 b  a  F   x     y     a  b2  2  2  a  b Đặt M  x, y  , A   ,   2  Đường thẳng  D  : ax  by  2 b  a  Như ta có: MA   x     y   2  2  Mà M  (D) nên MA  d  A, D    a  b2 Đẳng thức xảy M hình chiếu A (D) Suy F     3 3 2  a  b  a  b2  2 2 a b a b Vậy F = đạt khi:  2 4  a b   ax  by   b  a   b  x    a  y           63   2 Chẳng hạn với  a, b, x, y    2, 0, ,  2   Bài 25: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f  x, y   cos2xcos2y 1  Trên miền D   x, y  sin x  sin y   2  Bài giải Đặt u = sin x, v = sin y Khi ta có: cos2x+cos2y    u  v2  Xét toán sau: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số F  x, y   u  v2 Xét miền 1  D1   u, v  ; u  1; v  1; u  v   2  Lúc ta có mối liên hệ sau: max f  x, y    2min F  u, v  (42) f  x, y    2max F  u, v  (43) D D D1 D1 Vẽ hệ trục Ouv Tập D1 đoạn thẳng AB phần đường thẳng u  v  hình vng 1    Dễ thấy A, B có tọa độ A   , 1 B 1,   2    Nếu M  u, v   D1 có u  v2  OM2 nằm 64 v A B 1 H -1  O  2 u B -1   Vậy max F  u, v   max OM  OA  OB2   D1 MAB  4 F  u, v   OM  OH  D1 MAB (vì OH đường cao tam giác vuông cân cạnh ) Theo (42) (43) suy max f  x, y     4 f  x, y     2 D D Bài 26: TÌm giá trị nhỏ hàm số f  x, y, z, t   z  t  2xz  2yt  z Trên miền D   x, y, z, t  x   y2  1, z  t   Bài giải Với  x, y, z, t   D , ta có f  x, y, z, t    x  z    y  t   x  y  2   x  z    y  t   2 (44) 65 v u = v2 + N(z,t) N0 M0 M(x,y) -1 O u -1 Mặt khác  x, y, z, t   D điểm M  x, y  nằm đường tròn đơn vị, điểm N  z, t  nằm parabol v  u  Ta có  x  z    y  t   MN 2 Rõ ràng MN2  M0 N0  , M0  M0  0,1 N0  N0  0,3 Từ (44) suy f  x, y, z, t     x, y, z, t   D Mặc khác x  0; y  1; z  0; t  f  0, 1, 0, 3  , mà  0, 1, 0, 3  D Vậy f  x, y, z, t   D Bài 27: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (x)  x   x Trên miền  x  Bài giải Viết lại f(x) dạng sau f (x)  x  2  x 66 x 2 2x  m Xét phương trình có tham số sau (45) Đặt u  x, v   x u  2v  m   (45)  u  v   u  0; v   (46) Hệ (46) có nghiệm đường thẳng u  2v  m cắt cung phần tư thứ AB đường tròn tâm gốc tọa độ, bán kính Đường thẳng d1: u  2v  m qua A   2, có dạng u  2v  Đường thẳng d 2: u  2v  m tiếp tuyến với AB có dạng u  2v  OC Ở OC  2  3 sin  1 : 2 v B 1/2 O   C d2 A u d1 Từ thấy hệ (46) có nghiệm  đường thẳng u  2v  m nằm hai đường thẳng nói trên, tức là: m3 Như ta có: max f  x   f  x   0 x 2 0 x 2 Bài 28: n n i 1 i 1 Cho x i , yi  i  1,2, ,n  2n số thực thỏa mãn  x i   yi  Tìm giá trị nhỏ biểu thức n A   x i2  yi2 i 1 67 Bài giải Trong mặt phẳng xét hệ tọa độ vng góc xOy Gọi M k điểm có tọa độ k  k  M k   x i ,  yi  , k  1, 2, , n i 1  i1  n  n  Như điểm M n   x i ,  yi  nằm đường thẳng x + y = (vì theo giả i 1  i1  thuyết ta có n n i 1 i 1  xi   yi  ) Dễ thấy 2 k 1  k 1   k  k M k 1M k    x i   x i     yi   yi   x k2  yk2 ,  k  1, 2, , n  i 1 i 1  i1   i1  Từ suy A  OM1  M1M2   Mn 1Mn y Mk Mk-1 M1 Mn H x+y=1 O x Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng x  y   OH  Rõ ràng OM1  M1M   M n 1M n  OH  A  Dấu (47) xảy  O, M1 , M2 , , Mn thẳng hàng M n  H (47) 68  y1 y y    n  tg450  x1 x xn  x1  x   x n  y1  y   y n  Vậy A  2n 69 KẾT LUẬN Đề tài “Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhỏ, nhỏ nhất” đạt mục đích đề sau: Hệ thống hóa cách chi tiết vấn đề lý thuyết phương pháp tọa độ Tìm hiểu mối quan hệ phương pháp tọa độ với toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, tìm giá trị lớn nhỏ Tìm hiểu mối quan hệ phương pháp tọa độ với tốn tìm giá trị lớn nhỏ Đề tài chọn lọc trình bày cách khoa học tập ứng với dạng toán.Cụ thể đề tài đưa ví dụ, 28 tập đó: 17 tập giải phương trình; hệ phương trình; bất phương trình hệ bất phương trình, tập giải bất đẳng thức tập tìm giá trị lớn nhỏ Qua trình nghiên cứu tìm hiểu Đề tài giải số toán hay phương pháp tọa độ Đề tài làm tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên THPT, sinh viên chuyên ngành Toán Trong khuôn khổ luận văn tốt nghiệp với giới hạn thời gian nên kết đề tài đạt mức độ định Tơi hy vọng nội dung đề tài cịn tiếp tục hoàn thiện mở rộng 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G.S Phan Huy Khải (1996), Sáng tạo toán học Phương pháp tọa độ để giải toán sơ cấp, Nhà xuất Thành phố Hồ Chí Minh [2] Trần Phương – Bùi Minh Mẫn (2010), Tuyển tập chuyên đề hình học, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Phan Huy Khải (2010), Phương pháp giải toán trọng tâm giảng luyện thi Tốt nghiệp - Đại học – Cao đẳng giáo dục đào tạo, Nhà xuất Đại học Sư Phạm [4] Trần Phương (2009), Bài giảng trọng tâm ơn luyện mơn Tốn 2, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [5] Nguyễn Đình Thành Cơng - Nguyễn Phú Khánh (2014), Chinh phục bất đẳng thức đề thi Quốc Gia THPT, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [6] http://timtailieu.vn/tai-lieu/ung-dung-phuong-phap-toa-do-vao-giai-toan-so- cap-33130/ [7] http://diendantoanhoc.net/home/?start=5 [8] http://123doc.org/document/1094216-mot-so-kien-thuc-ve-hinh-hoc-phang- trong-cac-cuoc-thi-olympic-toan.htm [9] http://123doc.org/document/550093-tuyen-tap-cac-bai-toan-hinh-hoc-pp-giaitren-tap-chi-toan-hoc-tuoi-tre.htm [10] http://www.vnmath.com/2011/09/tong-hop-cac-chuyen-de-tap-chi-toan-hoctuoi-tre.html ... ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC, VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT 54 4.1 Chứng minh bất đẳng thức phương pháp tọa độ 54 4.2 Tìm giá trị lớn nhỏ phương pháp. .. tìm m để hệ có nghiệm từ đồ thị suy có hai giá trị cần tìm m = m = -4 2.3 Phương pháp tọa độ với toán bất đẳng thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ  Để giải toán chứng minh bất đẳng thức tìm giá. .. giải phương pháp tọa độ, tốn giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hay tốn chứng minh bất đẳng thức, toán cực trị Với lí tơi chọn đề tài ? ?Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số