Áp dụng phương pháp toạ độ để giải một số bài toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN ĐĂNG TRUNG ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG- NĂM 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN ĐĂNG TRUNG ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN SƠ CẤP Chun ngành : Phƣơng Pháp Tốn Sơ Cấp Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giáo viên hƣớng dẫn: TS LÊ HỒNG TRÍ ĐÀ NẴNG – NĂM 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Những nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn TS Lê Hồng Trí Mọi tài liệu luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Tác giả luận văn Nguyễn Đăng Trung MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu CHƢƠNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 HỆ TỌA ĐỘ PHẲNG 1.1.1 Khái niệm hệ trục tọa độ mặt phẳng 1.1.2 Tọa độ điểm Tọa độ vectơ 1.1.3 Phép toán vec tơ 1.1.4 Các công thức 1.2 HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 1.2.1 Khái niệm hệ tọa độ không gian 1.2.2 Tọa độ điểm Tọa độ vectơ 1.2.3 Các phép toán vectơ CHƢƠNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 13 2.1 CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC CHỨNG MINH, TÍNH TỐN 13 2.1.1 Phƣơng pháp giải 13 2.1.2 Các ví dụ 13 2.2 BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐƢỜNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH 19 2.2.1 Phƣơng pháp giải 19 2.2.2 Các ví dụ 20 2.3 BÀI TỐN QUỸ TÍCH 22 2.3.1 Phƣơng pháp giải 22 2.4 BÀI TỐN DỰNG HÌNH 26 2.4.1 Các ví dụ 26 2.5 BÀI TỐN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH 27 2.5.1 Phƣơng pháp giải 27 2.5.2 Các ví dụ 27 2.6 BÀI TỐN GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH 33 2.6.1 Phƣơng pháp giải 33 2.6.2 Các ví dụ 34 2.7 BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 37 2.7.1 Phƣơng pháp giải 37 2.7.2 Các ví dụ 37 2.8 BÀI TOÁN CỰC TRỊ 42 2.8.1 Phƣơng pháp giải 42 2.8.2 Các ví dụ 43 CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG 46 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao) MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bằng thực tiễn tốn học, lý luận khẳng định kiến thức vectơ, toạ độ cần thiết thiếu đƣợc chƣơng trình tốn THPT Phƣơng pháp toạ độ phƣơng pháp toán lớp 10, xong việc ứng dụng học sinh chƣa nhận thấy hết đƣợc Đến lớp 12 phƣơng pháp toạ độ cơng cụ hữu hiệu để giải tốn hình học Gần nhiều kì thi tuyển sinh Đại học, thi học sinh giỏi có nhiều tốn khơng liên quan đến hình học nhƣng đƣợc giải phƣơng pháp toạ độ Đó tốn giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình Hay toán chứng minh bất đẳng thức, tốn cực trị Với lý tơi chọn đề tài “Áp dụng phương pháp toạ độ để giải số tốn sơ cấp” Mục đích nghiên cứu Với lý nhƣ em chọn đề tài nhằm mục đích sau: - Hệ thống hóa cách chi tiết vấn đề lý thuyết phƣơng pháp tọa độ - Xây dựng hệ thống tập vận dụng, để từ thấy dƣợc tầm quan trọng tính thiết thực lý thuyết phƣơng pháp tọa độ dạng toán Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Lý thuyết phƣơng pháp tọa độ số toán sử dụng phƣơng pháp tọa độ để giải - Phạm vi nghiên cứu: Một số toán sơ cấp Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, giáo trình liên quan đến phƣơng pháp tọa độ để rút số dạng toán phƣơng pháp giải toán liên quan ứng dụng phƣơng pháp tọa độ Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Đọc giáo trình, tài liệu liên quan tới ứng dụng phƣơng pháp tọa độ để phân dạng hệ thống hóa tốn - Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm thân bạn bè, anh chị để tổng hợp hệ thống hóa kiến thức vấn đề nghiên cứu đầy đủ khoa học, kết hợp với đƣa vào ví dụ minh họa chi tiết - Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hƣớng dẫn giảng viên khác để hồn thiện mặt nội dung nhƣ hình CHƢƠNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 HỆ TỌA ĐỘ PHẲNG 1.1.1 Khái niệm hệ trục tọa độ mặt phẳng     Hệ tọa độ afin O;i;j ; có sở i; j gồm hai vectơ đơn vị vng góc với đƣợc gọi hệ tọa độ trực chuẩn (hay gọi hệ tọa độ Descartes vng góc) Kí hiệu: Oxy 1.1.2 Tọa độ điểm Tọa độ vectơ Trong hệ trục tọa độ Nếu a vectơ có a  xi  yj cặp số (x, y) đƣợc gọi tọa độ a Kí hiệu: a   x, y  Nếu điểm M mặt phẳng tọa độ thỏa mãn: OM  xi  yj tọa độ điểm M M(x, y) 1.1.3 Phép toán vec tơ Trong mặt phẳng Descartes cho vectơ:  a1  b1 a   a1,a  ;b   b1,b2  Ta có a  b   a  b a  b   a1  b1;a  b2  a  b   a1  b1;a  b2  ka   ka1,ka  a  a12  a 22 a b  a / /b  a  kb hay    0; a  b  a1b1  a 2b2   b1 b2    Nếu a,b  cos a,b  a1b1  a 2b a12  a 22 b12  b 22 Trong mặt phẳng Oxy với A(xA,yA), B(xB,yB) tọa độ vectơ AB AB = (xB - xA, yB - yA) 1.1.4 Các công thức a Công thức trung điểm, trọng tâm xA  xB   x I  Điểm I trung điểm đoạn AB    y  yA  yB  I xA  xB  xc  x  G  Điểm G trọng tâm tam giác ABC    y  yA  yB  yc  G x A  kx B  x  M  1 k Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k   MA  kMB    y  y A  ky B  M 1 k b Phương trình đường thẳng hệ tọa độ Oxy Đƣờng thẳng d qua M(x0, y0) nhận ⃗ làm vectơ phƣơng có  x  x  at phƣơng trình tham số là:  có phƣơng trình tắc là:  y  y0  bt x  x y  y0  ,  a,b   a b Phƣơng trình đƣờng thẳng qua hai điểm A(xA, yA), B(xB,yB) là: x  xA y  yA (Quy ƣớc mẫu tử 0)  x B  x A yB  yA Phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng mặt phẳng Oxy có dạng: Ax + By + C = 0, A2 + B2 ≠ Từ phƣơng trình tổng qt ta có vectơ phƣơng đƣờng thẳng u   B, A  vectơ pháp tuyến n   A,B Đƣờng thẳng d qua M(x0,y0) có hệ số góc k cho trƣớc là: y = k (x − x0) + y0 Phƣơng trình đƣờng thẳng qua A(a,0), B(0,b) (A,B ≠ O(0;0)) có phƣơng trình: x y   (cịn gọi phương trình đoạn chắn) a b Cho đƣờng thẳng d có phƣơng trình dạng: Ax+By+C = y = kx + m + Đƣờng thẳng song song với d có phƣơng trình dạng: Ax + By + M = y = kx + n + Đƣờng thẳng vng góc với d có phƣơng trình dạng: Bx − Ay + N = y   x  q , (k ≠ 0) k c Cơng thức tính góc hai đường thẳng + Công thức cosin: Cho hai đƣờng thẳng d1 : A1x + B1y + C2 = 0, d2 : A2x + B2y + C2 =  cos  d1 ,d   A1A  B1B2 A12  B12 A 22  B22 + Công thức tan: Cho hai đƣờng thẳng d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2x + b2  tan  d1 ,d   d Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong hệ tọa độ Descartes xét hai đƣờng thẳng: d1 : A1x + B1y + C1 = d2 : A2x + B2y + C2 = k  k1  k1k 62 Bài 12 Biện luận số nghiệm phương trình sau theo m: − x2 = mx + − m Lời giải: Ta xét đƣờng cong y   x (1) (x[−2; 2])và đƣờng thẳng y = mx + − m (2) Đƣờng cong:  y0 y   x2   2 x  y  (I)  (I) nửa phía trục Ox đƣờng trịn O(0; 0) bán kính R = có phƣơng trình: x2 + y2 = Xét: y = mx + – m (2) đƣờng thẳng (∆) có hệ số góc k = m với giá trị m đƣờng thẳng (∆) qua điểm A(1; 2) Vậy phƣơng trình cho có nghiệm đƣờng thẳng (∆): y = mx + − m cắt nửa đƣờng trịn tâm O(0; 0), bán kính R = với y Xét (d) tiếp tuyến qua A(1; 2), đó:  m   d  O,  d     2  m 1  m0 2m Gọi điểm B(−2; 0) C(2; 0), hệ số góc đƣờng thẳng AB: k AB  63 , hệ số góc đƣờng thẳng AC: kAC = −2 Vậy: Phƣơng trình có hai nghiệm Phƣơng trình có nghiệm  m  ; 2  m   3 4  m  m  2  m   m  3 Bài 13 Giải bất phương trình: x   2x   50  3x  12 Lời giải:  50  Tập xác định: D   ;  2  Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz chọn: u   x  1; 2x  3; 50  3x  u  48  v  1;1;1  v  u.v  x   2x   50  3x u v  12 Kết hợp giả thiết tốn, ta có kết toán  50  Vậy bất phƣơng trình thỏa mãn với x   ;  2  Bài 14 Cho a1,a2, ,an;b1,b2, ,bn 2n số tùy ý Chứng minh: n  k 1 a k  bk 2  n   n    a k    b k   k 1   k 1  Lời giải: n Đặt O (0; 0), Mk (ak; bk), k =1, n Ta có: OM k 1 k có tọa độ (a1 + + an; 64 b1 + + bn) Theo tính chất vectơ, ta có: n OM n   OM k k k 1 k 1 Hay 2 n  n   n  2  a k    bk    a k  b k k 1  k 1   k 1  Bài 15 Cho ∆ABC có góc A, B, C Chứng minh: cos A  cos B  cosC  Dấu "=" xảy ∆ABC Lời giải: Chọn e1 ,e2 ,e3 lần lƣợt vectơ đơn vị hƣớng với vectơ AB,BC,CA  Ta có: e1 ,e2 ,e3 2  0   2 Hay e1  e2  e3  e1.e2  e2 e3  e3.e1  nhƣng e1  e2  e3  e1.e2  cos   B   cos B e2 e3  cos   C    cosC e3.e1  cos   A    cos A Vậy: − 2(cosA + cosB + cosC) ≥ hay cosA + cosB + cosC  2 Dấu "=" xảy e1  e2  e3  tức ∆ABC Bài 16 Chứng minh x ∈ R thì: 65 x  4x  13  x  2x   34 Lời giải: x  4x  13  x  2x   34 Ta biến đổi:   x  2  x  1  32   22  34 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: u   x  2;3  u  v   x  1;2   v   x  2  x  1 2  32  22 u  v   3;5  u  v  34 Áp dụng bđt: u  v  uv   x  2  32   x  1  22  34 (đpcm) Bài 17   Cho x  0;  chứng minh:  2 4cos2 x  sin 2x  sin x  4cos x  sin 2x  sin x  sin x Lời giải: Ta biến đổi biểu thức vế trái bất đẳng thức, ta đƣợc:     2 4cos x  sin 2x  sin x   2cos x  sin x    sin x          4cos x  sin 2x  sin x   2cos x  sin x    sin x      2 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:       u   2cos x  sin x; sin x   u   2cos x  sin x    sin x  2       66       v   2cos x  sin x; sin x   v   2cos x  sin x    sin x  2       u  v   sin x,0   u  v  sin x u  v  u  v  Bất đẳng thức đƣợc chứng minh Bài 18 Cho x,y  [0;1], chứng minh: 1  x 1  y   1  x 1  y   Lời giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: u    x;  x  u  u.v  u v  Dấu "=" xảy ra: Xét 1  x 1  y   1  x 1  y   1 x 1 x  (1) 1 y 1 y y = 1 u  v     x;  x ;   y;  y ;  u.v   x  Dấu "=" xảy  x = Xét y = −1 tƣơng tự x = −1 Xét y ±1 x = y Vậy đẳng thức xảy x = y Bài 19 Cho x2 + y2 = Tìm giá trị lớn biểu thức: A  x 1 y  y 1 x 2   đpcm  67 Lời giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: u   x, y   u  x  y2 v   y,  x   v  xy2   x  y2     A  u.v  x  y  y  x  u v  x  y    Dấu "=" xảy Vậy Amax = x y  xy 1 y 1 x  x = y = 2 Bài 20 Cho góc tam diện vng Oxyz Điểm N cố định nằm góc tam diện, mặt phẳng (P) qua N cắt Ox, Oy, Oz A, B, C Gọi khoảng cách từ N đến mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) a, b, c Tính OA, OB, OC để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ Tính OA, OB, OC để OA+OB+OC đạt giá trị nhỏ Lời giải: 68 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, theo giả thiết ta có: N(a,b,c) Khi phƣơng trình (P) qua N có dạng: (P) : m(x − a) + n(y − b) + k(z − c) = ( với m,n,k > 0) Theo giả thiết giao điểm (P) với Ox, Oy, Oz lần lƣợt A, B, C Ta có: ma  nb  kc  ma  nb  kc  A ;0;0   OA  m m   ma  nb  kc  ma  nb  kc  A  0; ;0   OB  n n   ma  nb  kc  ma  nb  kc  A  0;0;   OC  k k   1  ma  nb  kc  Ta có: VOABC = OA.OB.OC  6 m.n.k Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:  ma  nb  kc   3 m.a.n.b.k.c  3 a.b.c m.n.k m.n.k  ma  nb  kc  27   a.b.c  a.b.c m.n.k Vậy MinVOABC = OA  a.b.c m.a = n.b = k.c, đó: ma  nb  kc ma  nb  kc ma  nb  kc  3a; OB   3b; OC   3c m n k Theo ta có: OA  OB  OC  ma  nb  kc ma  nb  kc ma  nb  kc   m n k  nb ma   kc ma   kc nb  a bc       n  m k   n k  m 69 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: A  OB  OC  a  b  c  ab  ac  bc   a b c   nb ma m  n   kc ma Dấu "=" xảy khi:    b.n  a.m  c.k k m  kc nb  n  k Khi đó: OA = a  nb  kc a a  3a  a  b c  a  ab  ac m b c Tƣơng tự OB  b  ba  bc;OC  c  ca  cb Vậy Min(OA+ OB+ OC) =   a  b  c OA  a  ab  ac;OB  b  ba  bc;OC  c  ca  cb Bài 21 : Chứng minh với số thực x ta có: x  2x   x  6x  10  Lời giải: Ta có: x  2x   (x  1)2  4, x  6x  10  (x  3)  Nên mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes Oxy chọn: a(x  1;2),b(x  3;1) Ta có: ab  x  2x   x  6x  10  a  b    Đẳng thức xảy chi khi: x 1   x  x 3 Bài 22: Cho x, y số thực thay đổi Chứng minh 70 x  y2  2x   x  y2  2x   Lời giải: Bất đẳng thức đƣợc viết lại x  y  2x   x  y  2x    x  1   y2   x  1  y2  Vì mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy: Chọn a  x  1; y  ,b  x  1; y  suy a  b   2;0   x  1 Do  x  1  y2   y2  a  b  a  b   2  0 4 Bất đẳng thức đƣợc chứng minh Đẳng thức xảy x  2, y  Bài 23: ới a, b số thực tùy ý Chứng minh rằng: 10ab 13a 13a 15 2b  6b   2b     4a   (1) 9 13 2 Lời giải: Ta thấy : 2b2  6b   b2   b  3 10ab 13a 2b    13a  4a   b  a  2a    b      2a   a  2      Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes Oxy chọn: A(0; 3), B(2; 0)  2a  M  a;  , N  b;b  suy ra:   71 2a  2a    AN(b;b  3),MN  b  a;b   ,BM  a  2;      Khi đó: AN  2b2  6b   b2   b  3 , 10ab 13a   MN  2b  2a    b     b  a  13a  4a   BM   2a   a  2      2 Gọi M1 điểm xác định MM1   BM Suy M1 thuộc đƣờng thẳng d cố định có phƣơng trình 2x – 3y – = Gọi H hình chiếu vng góc A d  AH  d  A,d   15 , ta có: 13 AN  NM  MM  2b  6b   2b   AN  NM  MM  AM  AH  10ab 13a 13a    4a  9 15 13 Vậy bất đẳng thức (1) đƣợc chứng minh Đẳng thức xảy A, N, M, M1 thẳng hàng, đó: Do  2a  M  a;    3x  2y    a  thuộc đƣờng thẳng AB có phƣơng trình 18 13 N  b;b  thuộc đƣờng thẳng AB có phƣơng trình 3x  2y    b  Tóm lại đẳng thức xảy a  18 , b 13 72 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1.Cho tam giác ABC đƣờng tròn đƣờng kính BC cắt AB, Ac DG Chứng minh AM ⊥BC Bài Cho ∆ABC, AB =c, AC=b M nằm cạnh BC cho BAM   Chứng minh AM = bc c cos  b sin Bài Cho hình lập phƣơng ABCD.EFGH cạnh a xác định tính độ dài đƣờng vng góc AH DB Bài (TSĐH- khối A năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P lần lƣợt trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Bài Cho ∆ABC khơng cân có hai đỉnh B C cố định đỉnh A di động Qua b dựng đƣờng thẳng d vng góc với BC, d cắt trung tuyến AI tam giác ABC K Gọi H trục tâm ∆ABC Chứng minh IH//KC điểm A di động đƣờng cố định Bài Cho ba số dƣơng a, b, c ( cho trƣớc) ba số dƣơng x, y, z luôn thỏa mãn a b c    x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P =x + y + z  x  my  m  Bài Cho hệ phƣơng trình  m tham số x  y  x   Giải hệ m = Khi hệ có hai nghiệm (x1, y1) ; (x2, y2), tìm M để A = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 đạt giá trị lớn 73 Bài Tùy theo m, biện luận số nghiệm phƣơng trình: logm2+2 (1 – x 2− m2) = logm2+2 [2(1 + x + m)] Bài Cho a,b,c ≥ Chứng minh: a  b3  c3  a bc  b2 ca  c2 ab Bài 10 Với a,b∈ R, chứng minh rằng:  a  b 1  ab  1  a 1  b  2  Bài 11 Cho a, b, c ba số thực dƣơng thỏa mãn ab  bc  ca  abc , chứng minh b2  2a c2  2b a  2c2    (trích đề thi ĐHQG Hà Nội ab bc ca năm 2000) Bài 12 Cho x, y, z ba số thực tùy ý Chứng minh x  xy  y2  x  xz  z  y2  yz  z Bài 13 Cho x số thực thỏa mãn x  Chứng minh x   x  4x   Bài 14 Cho a, b số thực thay đổi Chứng minh 5b2  8b   5b  8ab  5a  5b  4a   Bài 15 Cho x, y, z số thực thay đổi Chứng minh 10x  24x  16  13y  18xy  10x  13y  6yz  z  z  12z  40  74 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Qua toán trên, đủ để thấy hết ƣu điểm, nhƣợc điểm phƣơng pháp tọa độ Và tất nhiên, vừa đủ để thấy việc chọn hệ tọa độ nhƣ thích hợp Muốn giải toán phƣơng pháp tọa độ, ta cần chọn hệ trục tọa độ cho hình vẽ dễ quan sát tốt hệ trục đó, việc tính tốn đơn giản Để chọn đƣợc hệ trục tọa độ tốt, cần vào yếu tố cố định toán cho Tuy nhiên, chọn đƣợc hệ trục tọa độ tốt rồi, cần phải có phƣơng pháp tính kĩ tính tốt, việc giải tốn hình học phƣơng pháp tọa độ trở nên đẹp đẽ, ngắn gọn Thông qua khóa luận chứng tỏ đƣợc điều rằng:" phương pháp tọa độ làm vẻ đẹp hình học, mà phương pháp tọa độ làm tăng thêm vẻ quyến rũ hình học" Do trình độ cịn hạn chế thời gian nghiên cứu làm luận văn cịn nên viết khơng tránh khỏi sơ suất thiếu sót mong thầy bạn thơng cảm, đóng góp ý kiến Cuối cùng, lần em xin chân thành cảm ơn thầy Lê Hồng Trí thầy khoa Tốn trƣờng Đại Học Sƣ phạm Đà Nẵng tận tình hƣớng dẫn em để hồn thành luận văn dạy dỗ em suốt thời gian qua TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hồng Đức, Lê Đức Trí, (2010), Phương pháp giải tốn hình học giải tích khơng gian, NXB Hà Nội Lê Hồng Đức, Lê Đức Trí, (2012), Phương pháp giải tốn hình học mặt phẳng, NXB Hà Nội Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí, (12−2008), Phương pháp giải toán vectơ, NXB Hà Nội Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy( Chủ biên), Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên, (2006), Hình học 10, Hình học 12, NXB Giáo Dục Trần Văn Hạo (Chủ biên), Nguyễn Cam, Nguyễn Mộng Hy, Trần Đức Huyên, Cam Duy Lê, Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Vũ Thành, (2002), Chuyên đề luyện thi vào đại học Hình học giải tích, NXB Giáo Dục Nguyễn Văn Lộc, (5−2008), Phương pháp vectơ giải tốn hình học khơng gian, NXB Giáo Dục Trần Đình Thì,(2008), Dùng hình học giải tích để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức ,, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Các trang web: vnmath.com.vn; vuptnk.tk; pdanghai ; diễn đàn toán học.v.v ... VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN ĐĂNG TRUNG ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành : Phƣơng Pháp Toán Sơ Cấp Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giáo... phƣơng pháp tọa độ để giải - Phạm vi nghiên cứu: Một số toán sơ cấp Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, giáo trình liên quan đến phƣơng pháp tọa độ để rút số dạng toán phƣơng pháp giải toán. .. CHƢƠNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 2.1 CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC CHỨNG MINH, TÍNH TỐN 2.1.1 Phƣơng pháp giải Đối với tốn hình học muốn giải đƣợc phƣơng pháp tọa độ hóa bƣớc giải