Áp dụng phương pháp phân hoạch để giải toán trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG BÙI NGUYÊN SƠN ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN HOẠCH ĐỂ GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG BÙI NGUYÊN SƠN ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN HOẠCH ĐỂ GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN Đà Nẵng - Năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Trịnh Đào Chiến, luận văn “Áp dụng phương pháp phân hoạch để giải toán trung học phổ thơng” hồn thành, khơng trùng với luận văn khác Trong trình làm luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Đà Nẵng, tháng năm 2016 Tác giả luận văn Bùi Nguyên Sơn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 SỐ STIRLING LOẠI I VÀ LOẠI II 1.1.1 Chu trình hốn vị 1.1.2 Số Stirling loại I 1.1.3 Số Stirling loại II 1.2 BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER 1.3 DÃY SỐ FIBONACCI CHƯƠNG PHÂN HOẠCH NGUYÊN 2.1 PHÂN HOẠCH NGUYÊN DẠNG “ HIỆN” 2.1.1 Phân hoạch tập số tự nhiên thành tập hợp có tổng phần tử 2.1.2 Phân hoạch dạng tổng 31 2.1.3 Định lý Beatty 35 2.1.4 Các toán chọn lọc khác 37 2.2 PHÂN HOẠCH NGUYÊN DẠNG “ ẨN ” 46 CHƯƠNG PHÂN HOẠCH TẬP HỢP 51 3.1 PHÂN HOẠCH TẬP HỢP DẠNG “ HIỆN ” 51 3.1.1 Các dạng phân hoạch tập hợp 51 3.1.2 Các toán chọn lọc 53 3.2 PHÂN HOẠCH TẬP HỢP DẠNG “ẨN” 55 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết mở đầu Phân hoạch tập hợp tỏ đơn giản, áp dụng phong phú Nhiều tốn khó đề thi chọn học sinh giỏi cấp Olympic Toán quốc tế giải nhanh gọn độc đáo nhờ vào việc áp dụng phương pháp phân hoạch tập hợp Mà phương pháp “bất quy tắc” Các tập hợp khác rỗng A1, A2 , , Ak gọi phân hoạch tập hợp A nếu:   A  A1  A2   Ak ;    Ai  Aj  , i, j  1, 2, , k, i  j Mỗi tập Ai gọi thành phần phân hoạch Trong lý thuyết phân hoạch tập hợp, việc phân hoạch tập rời rạc, đặc biệt tập số ngun đóng vai trị quan trọng Nhiều kết cổ điển xuất sắc đời từ lý thuyết Những kết độc đáo chỗ việc chứng minh chúng nhiều chủ yếu sử dụng số tính chất Số học với suy luận logic, mà áp dụng công cụ mạnh chẳng hạn Giải tích Đại số Có thể xem tốn phân hoạch tập hợp phận Toán Rời rạc, chủ yếu nghiên cứu bậc Đại học Sau đại học, chưa giới thiệu cách chương trình Tốn phổ thơng, đặc biệt hệ Chun Tốn Một cách hình thức, chia tốn theo dạng: - Dạng toán yêu cầu nêu phân hoạch tập hợp Đó tốn dạng “hiện”, mà phân hoạch tập hợp yêu cầu đề Chẳng hạn toán sau đây: “Giả sử c số hữu tỉ dương khác Chứng minh phân hoạch tập số nguyên dương thành hai tập khác A B cho x  c , với y x, y thuộc A thuộc B ” - Dạng tốn giải phương pháp phân hoạch tập hợp Đó toán dạng “ẩn”, mà ta phải áp dụng phương pháp phân hoạch tập hợp cách khéo léo giải Chẳng hạn toán sau đây: “ Cho p q hai số lẻ nguyên tố Chứng minh: p 1  iq  q 1  jp   p   q     ” 2   j 1     p     q    i 1   Cho đến nay, số tài liệu tham khảo chủ yếu từ nguồn internet, lý thuyết phương pháp phân hoạch tập hợp cịn tài liệu đề cập cách hệ thống Luận văn góp phần giới thiệu cách phương pháp phân hoạch tập hợp, với mục đích tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh, sinh viên, giáo viên phổ thông, đặc biệt hệ Chuyên Toán Mục tiêu nghiên cứu Luận văn đề cập đến lý thuyết số áp dụng phương pháp phân hoạch tập hợp việc giải số tốn khó phổ thơng, đặc biệt tốn Số học Luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh, sinh viên, giáo viên phổ thông, đặc biệt hệ Chuyên Toán Do đó, việc nghiên cứu luận văn cần thiết, có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp phân hoạch tập hợp nói chung tập số nguyên dương nói riêng 3.2 Phạm vi nghiên cứu Thuộc chuyên ngành Phương pháp tốn sơ cấp Luận văn khơng q sâu vào lý thuyết phân hoạch mà sơ cấp hóa nó, áp dụng phương pháp phân hoạch để giải số tốn khó tốn phổ thơng Phương pháp nghiên cứu Từ tài liệu sưu tầm được, luận văn đề cập ngắn gọn phân hoạch tập hợp áp dụng phương pháp phân hoạch để tìm tịi lời giải, với việc đề xuất số toán tương tự, phù hợp với toán phổ thơng, đặc biệt hệ Chun Tốn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Với mục đích nêu trên, việc nghiên cứu luận văn có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh bạn đọc quan tâm đến vấn đề Cấu trúc luận văn Với mục đích nêu trên, ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo theo quy định, nội dung luận văn chia thành chương sau đây: Chương Kiến thức sở Chương đề cập đến số kiến thức phân hoạch tập hợp số lý thuyết quan trọng liên quan đến phân hoạch dùng nhiều chứng minh chương sau số Stirling loại I, số Stirling loại II, Bài tốn chia kẹo Euler, thuật tốn “ba lơ”, thuật tốn “tham ăn”… Chương Phân hoạch nguyên Là phân hoạch tập số nguyên, với tập hợp xác định gồm số ngun đó, tốn cần phân hoạch tập hợp thành số tập hợp rời cho chúng thỏa mãn tính chất dạng tốn quen thuộc quan trọng Chẳng hạn, cần phân hoạch tập hợp số nguyên xác định thành hai tập hợp rời cho tổng số hai tập hợp Đây dạng tốn thường khó Chương đề cập đến việc phân hoạch tập số nguyên, giải số tốn khó dạng “ẩn” “hiện” Chương Phân hoạch tập hợp Chương đề cập đến phương pháp phân hoạch số cách phân hoạch tập hợp nói chung thỏa mãn vài tính chất cụ thể Đó tốn nêu rõ yêu cầu phân hoạch ( dạng “ hiện”) chẳng hạn tốn: “Tìm số phân hoạch tập hợp 1, 2, , n thành tập A1 , A2 , A3 (các tập rỗng) cho điều kiện sau thỏa mãn 1) Sau xếp phần tử A1 , A2 , A3 theo thứ tự tăng dần, phần tử liên tiếp ln có tính chẵn, lẻ khác 2) Nếu ba tập A1 , A2 , A3 khơng rỗng, có tập có số nhỏ số chẵn.” Cũng tốn khơng nêu rõ điều kiện để giải ta buộc phải phân hoạch theo điều kiện (dạng “ẩn”), ví dụ: “Khai triển f  x   1  x  x   x10  10 ta đa thức Tính f  x   a0  a1x  a2 x   a100 x100 S  a0  a1  a2   a10 ” 51 CHƯƠNG PHÂN HOẠCH TẬP HỢP Chương đề cập đến phương pháp phân hoạch số cách phân hoạch tập hợp nói chung thỏa mãn vài tính chất cụ thể 3.1 PHÂN HOẠCH TẬP HỢP DẠNG “ HIỆN ” Là phân hoạch tập hợp nói chung, mà đề tốn “hiện” rõ ý: yêu cầu đưa phân hoạch 3.1.1 Các dạng phân hoạch tập hợp Trong toán học, người ta tổng hợp toán phân hoạch tập hợp hay hình dung phân chia đồ vật phân thành 12 dạng với tên gọi tiếng “ Twelvefold Way” Dưới đây, ta xét toán chung là: Xác định tất số cách cho n bóng vào k hộp Các kiểu phân hoạch đặc trưng ánh xạ từ tập bóng đến hộp liệt kê đầy đủ đây, ý rằng:  Ánh xạ bất kỳ: việc phân chia tùy ý, ràng buộc (có thể hộp có nhiều bóng mà có hộp khơng có nào, tất nhiên bóng chia vào hộp)  Đơn ánh: hộp chứa nhiều bóng  Tồn ánh: hộp chứa bóng Ở khơng xét song ánh hộp chứa bóng tốn khơng nhiều ý nghĩa Quy ước Cba  với b  a Trường hợp 1: Các bóng đôi khác hộp đôi khác  Ánh xạ bất kỳ: bóng xếp vào hộp tùy ý Kết k n 52  Đơn ánh: Nếu n  k khơng có cách xếp thỏa mãn theo Nguyên lý Dirichlet, có hộp chứa nhiều bóng, kết Nếu n  k , ta thấy bóng đặt vào k hộp, thứ đặt vào k  hộp lại Kết k  k  1 k    k  n   Toàn ánh: Vấn đề tương tự việc phân hoạch tập hợp có n phần tử thành k tập khác rỗng, nhiên ý cần quan tâm đến thứ tự tập tương ứng Kết k !S  n, k  với S  n, k  số Stirling loại II Trường hợp 2: Các bóng giống hộp đơi khác  Ánh xạ bất kỳ: Do bóng giống nên ta xét có đưa vào hộp, tương ứng với tốn chia kẹo Euler trường hợp khơng thiết em có kẹo Kết Cnkk11  Đơn ánh: Tương tự trên, n  k kết Nếu n  k ta tính số cách chọn n hộp k hộp Kết Ckn  Toàn ánh: Số trường hợp tương ứng tốn chia kẹo Euler trường hợp em phải có kẹo Kết Cnk11 Trường hợp 3: Các bóng đơi khác hộp giống  Ánh xạ bất kỳ: Do bóng khác nên ta đánh số chúng từ dến n , dẫn đến toán phân hoạch tập hợp 1, 2, 3, , n thành không k tập Kết S  n, 1  S  n,    S  n, k  53  Đơn ánh: Tương tự trên, n  k kết Nếu n  k rõ ràng có cách xếp Kết  Toàn ánh: Hộp phải có bóng nên với tốn tính số Stirling loại II Kết S  n, k  Trường hợp 4: Các bóng giống hộp giống  Ánh xạ bất kỳ: Tương ứng với toán phân hoạch số n thành không k thành phần Kết p1  n   p2  n    pk  n   Đơn ánh: Tương tự trên, n  k kết Nếu n  k rõ ràng có cách xếp Kết  Tồn ánh: Tương ứng với tốn phân hoạch số n thành k thành phần Kết pk  n  3.1.2 Các toán chọn lọc Bài tốn 3.1 Tìm số phân hoạch tập hợp 1, 2, , n thành tập A1 , A2 , A3 (các tập rỗng ) cho điều kiện sau thỏa mãn: 1) Sau xếp phần tử A1 , A2 , A3 theo thứ tự tăng dần, phần tử liên tiếp ln có tính chẵn, lẻ khác 2) Nếu ba tập A1 , A2 , A3 khơng rỗng, có tập có số nhỏ số chẵn Giải Ta giả thiết thêm: 3)  A1 số nhỏ A2 bé số nhỏ A3 Ta xây dựng phân hoạch cách xếp số 1, 2, , n vào A1 , A2 , A3 theo điều kiện 1), 2) 3) Ta có  A1 , cịn số có khả năng:  A1  A2 (do 3)) 54 Nếu A2 A3 cịn tập rỗng, số điều kiện 3) có cách xếp: vào A1 A2 Sau phần tử A2 xếp, số có cách xếp: vào A2 vào A3 (vì số có tính chẵn, lẻ với phần tử thuộc A1 lúc đó) Khi A3 cịn tập rỗng điều kiện 1) 2) số có cách xếp vào tập A1 , A2 , A3 Sau phần tử A3 xếp, ta chứng minh phép quy nạp rằng, số xếp vào tập A1 , A2 , A3 Thật vậy, giả sử đến bước đó, số k xếp vào tập Ai1 , Ai2 xếp vào Ai3 với (i1, i2 , i3 ) hốn vị 1, 2, 3 , nghĩa k khác tính chẵn, lẻ với số cuối Ai1 , Ai2 tính chẵn, lẻ với số cuối Ai3 lúc Giả sử xếp k vào Ai1 bước số k  xếp vào Ai1 Ai3 (do điều kiện 1)), nghĩa có khả xếp k  Tóm lại, với số tập 1, 2, , n , trừ số 1, ta có khả xếp Vậy có 2n1 phân hoạch tập 1, 2, , n vào tập A1 , A2 , A3 theo yêu cầu toán Bài toán 3.2 Cho tập M gồm n số dương a1 , a2 , , an Xét tất tập hợp Ti khác rỗng M Gọi si tổng số thuộc tập Ti nói Chứng minh chia tập hợp tất số si thành lập thành n tập hợp khác rỗng không giao cho tỉ số hai số thuộc tập hợp vừa phân chia không vượt 55 Giải Khơng tính tổng qt, giả sử a1  a2   an Đặt S0  0, Sm  a1  a2   am với  m  n Gọi P  si | Ti  M  Kí hiệu Pm  s  P | Sm1  s  Sm  , với m  1, 2, , n Ta chứng minh cách chia P thành tập Pm thỏa điều kiện toán Muốn vậy, ta cần chứng minh, b  Pm 2b  S m Thật vậy, b  Sm1  a1  a2   am1 h b   aik k 1 nên phải tồn ik (k  1, 2, , h) cho ik  m Vậy b  aik  am  Sm  Sm1  Sm  b hay 2b  S m (điều phải chứng minh) 3.2 PHÂN HOẠCH TẬP HỢP DẠNG “ẨN” Là phân hoạch tập hợp nói chung, mà đề tốn “ẩn” u cầu đưa phân hoạch thỏa mãn điều kiện đó, ta phải làm việc Bài tốn 3.3 Xác định số nghiệm phương trình sau a) x1  x2  x3   x20  2013 với xi  i, i  1, n b) x1  x2  x3   x51  2013 với xi , i  1, n số lẻ c) x1  x2  x3   x201  2013 với x1  2, x2  56 Giải Sử dụng công thức toán chia kẹo Euler kết hợp với xử lý điều kiện kèm Chẳng hạn câu a), ta cần đặt xi  yi  i để đưa y1  y2  y3   y20  1803 , với y  Bài toán 3.4 Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC Một điểm P nằm tam giác gọi điểm tốt ta tìm 27 tia chung gốc P cắt cạnh tam giác ABC chia tam giác thành 27 tam giác có diện tích Xác định tất điểm tốt tam giác ABC Giải Trước hết ta thấy PA, PB, PC phải tia 27 tia nêu đề Giả sử S ABC  27 diện tích tam giác nhỏ Đặt SPBC  x1, SPAC  x2 , SPAB  x3 với x1 , x2 , x3   thỏa mãn x1  x2  x3  27 (*) Ứng với  x1 , x2 , x3  thỏa điều kiện trên, ta có SPBC PA  SPAC PB  SPAB PC  Nên tồn điểm P thỏa mãn đề Suy cần đếm số nghiệm nguyên dương phương trình (*) Đây toán chia kẹo Euler quen thuộc, kết C262  325 Bài toán 3.5 Ở ngơi làng nọ, người ln nói thật ln nói dối Xét người làng xếp thành hàng người khách đến thăm làng hỏi người họ có người nói thật hàng Mỗi người cho khách số từ đến Hỏi có multiset câu trả lời mà người khách nhận được? (multiset tập mà phần tử xuất nhiều lần) 57 Giải Trước hết ta có bổ đề multi-sets Số multi-sets có n phần tử lấy từ tập hợp gồm k phần tử Cnk k 1 Trở lại tốn, ta chọn có dạng  a, b, c, d , e   a  b  c  d  e  cho tồn trường hợp thực tế thỏa mãn Ta xét trường hợp sau: 1) Nếu a, b, c, d , e số dương rõ ràng ln tồn trường hợp tất người nói dối Số C95  126 Nếu số a, b, c, d , e mà có số phải có người nói thật 2) Nếu a  b  c  d  e  khơng có trường hợp thỏa 3) Nếu a  b  c  d  0, e  có  0, 0, 0, 0, 1 thỏa với trường hợp người nói thật, người nói dối 4) Nếu a  b  c  0, d , e  ta xét trường hợp sau: + Nếu có người nói thật d  1, e  , ta có + Nếu có người nói thật d  e  , có Dễ thấy, khơng thể có nhiều người nói thật Do có thỏa mãn đề 5) Nếu a  b  0, c, d , e  ta xét: + Nếu có người nói thật c  1, d , e  nên có tất C22 41  10 + Nếu có người nói thật số c, d , e số cịn lại khác 2, có tất có trùng lại  0, 0, 2, 2, 1 nên xét + Nếu có người nói thật c  d  e  có Do đó, có tất 10    14 thỏa mãn 6) Nếu a  0, b, c, d , e  thì: 58 + Nếu có người nói thật b  c, d , e  , có C33 41  20 + Nếu có người nói thật số b, c, d , e hai số lại khác - Nếu số cịn lại lớn ta xét  0, 2, 2, d , e  với d , e  , có tất C2231  - Nếu hai số cịn lại, có số ta cần xét  0, 2, 2, 1, 1 cịn lại đếm Suy có   + Nếu có người nói thật số b, c, d , e số lại khác - Nếu số lại lớn ta xét  0, 3, 3, 3, e  , có thỏa mãn - Nếu số cịn lại bé ta có  0, 3, 3, 3, 1  0, 3, 3, 3,   0, 3, 3, 3, 1 đếm nên có thỏa Suy có   + Nếu có người nói thật b  c  d  e  có trường hợp Do có tất 20     31 Vậy có tất 126     14  31  177 Bài toán 3.6 Cho A tập hợp gồm 16 số nguyên dương Hãy tìm số ngun dương k nhỏ có tính chất: tập có k phần tử tập hợp A tồn hai số phân biệt a b cho a  b2 số nguyên tố Giải Giả sử k số nguyên dương cho tập có k phần tử tập hợp A tồn hai số phân biệt a b cho a  b2 số nguyên tố Xét tập T gồm tất số chẵn tập A Dễ thấy T có phần tử với a, b tùy ý thuộc T ta ln có a  b2 hợp số Từ suy k  59 Bằng cách tính kiểm tra trực tiếp tất tổng a  b2 , với a, b  A , ta phân hoạch gồm tập tập A mà tập gồm phần tử số có tổng bình phương số ngun tố: A= 1, 4  2, 3  5, 8  6, 11  7, 10  9, 16  12, 13  14, 15 Theo Nguyên lý Dirichlet, phần tử tùy ý tập A phải có phần tử thuộc tập phân hoạch nêu Nói cách khác, tập có phần tử tập A tồn hai số phân biệt a b cho a  b2 số nguyên tố Từ kết trên, ta suy k  Bài toán 3.7 Cho p q hai số nguyên tố lẻ Chứng minh p 1  iq  q 1  jp   p   q     2   j 1     p     q    i 1   Giải Giả sử p 1 q  1  A  (i; j ) |1  i  ,1  j   2   Khi  p   q   A       Ta phân hoạch A thành tập hợp: A1  (i; j ) | qi  pj , A2  (i; j ) | qi  pj , A3  (i; j ) | qi  pj Ta có A3  Mặt khác p 1 q 1  iq   jp  A1    , A2     i 1  p  j 1  q  60 Vì A  A1  A2 nên ta có điều phải chứng minh Bài toán 3.8 Đối với số tự nhiên n  , tìm số tự nhiên k  lớn thỏa mãn điều kiện: tập gồm n phần tử, chọn k tập khác mà hai tập tập có giao khác rỗng Giải Giả sử X  a1 , a2 , , an  1) Chứng minh k  2n1 : ta cố định phần tử a1 xét tập A1, A2 , , Ak có chứa a1 Khi số tập số tập tập a2 , a3 , , an  mà i, j (1  i, j  k ) có a1  Ai  Aj , nên k  2n1 2) Chứng minh k  2n1 Giả sử chọn k  2n1 tập tập X , mà giao tập tập chọn khác rỗng Chia tất 2n tập X thành 2n1 cặp cho cặp gồm tập phần bù Vì số tập chọn lớn 2n1 nên theo Ngun lý Dirichlet, phải có tập chọn lập thành cặp Do giao tập rỗng, mâu thuẫn với tính chất tập chọn Vậy k  2n1 Tóm lại, số tự nhiên k lớn thỏa mãn điều kiện k  2n1 Bài toán 3.9 Khai triển f  x   1  x  x   x10  ta đa thức 10 f  x   a0  a1x  a2 x   a100 x100 Tính S  a0  a1  a2   a10 Giải Trước hết ta chứng minh kết sau 61 Bổ đề 3.1 Cho hai số tự nhiên n, k Xét tập hợp: H n ,k  ( x0 , x1 , , xn ) | x0 , x1, , xn  , x0  x1   xn  k  Thế H n,k  Cnnk Chứng minh Ta chứng minh bổ đề phương pháp quy nạp theo n Khi n  H n,k  H 0,k  k , H 0,k   Ck0 Khẳng định Giả sử khẳng định đến n  1, n  Xét phân hoạch H n,k  B0  B1   Bk ( x0 , x1 , , xn )  B j xn  j , với j  0, 1, , k Theo quy nạp ta có: B j  H n1,k  j  Cnn11k  j , j  0, 1, , k Dùng công thức Cmi 1  Cmi  Cmi 1 , ta có k k j 0 j 0 H n ,k   B j   C n 1 n 1 k  j    Cnnk  j  Cnn1k  j   Cnnk k j 0 Do đó, ta có điều phải chứng minh Lưu ý: H n,k  Cnnk  Cnn1  Cnnk , với quy ước Cnn1  Trở lại với toán dạng tổng quát sau: Với m, n , khai triển f  x   1  x  x   x m  n 1 đa thức f  x   a0  a1 x  a2 x   am ( n1) x m ( n1) Viết cụ thể khai triển f  x  , ta có  H n,i  Cnni , i  0, 1, , m 62 (trong H n,i  , i  m  ) Nói riêng a0  a1   am   Cnni    Cnn11i  Cnni1   Cnn11 m m m i 0 i 0 10 Bài toán cho trường hợp n   m  10 Do S  C20 Bài tốn 3.10 Cho số nguyên n  Gọi S tập hợp gồm n phần tử Ai (1  i  m) tập khác gồm hai phần tử S cho từ quan hệ Ai  Aj  , Ai  Ak  , Aj  Ak   ta suy Ai  Aj  Ak   Chứng minh m  2n1  Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo n Hiển nhiên phát biểu n  Giả sử n  phát biểu với số nguyên bé n Ta xét trường hợp: Trường hợp 1: Không tồn i j để Ai  A j  S Ai  Aj  Gọi x phần tử tùy ý thuộc S Số tất tập Ai không chứa x lớn 2n2  theo giả thiết quy nạp Số tập chứa x S 2n1 Nếu x  Ai khơng có j Aj  (S \ Ai )  x , khơng phải có Ai  Aj  Do vậy, nửa tập chứa x S xuất dạng tập Ai Như thế, số lớn tập Ai 2n2   2n2  2n1  Trường hợp : Tồn phần tử x  S cho A1  A2  S Ai  Aj   x Đặt A1  r  1, A2  s  Khi r  s  n  63 Theo giả thiết quy nạp, số lớn tập Ai cho Ai  A2 2s  Nếu Ai tập A1 A2 A1  Ai  , A2  Ai   Vì A1  A2   nên A1  A2  Ai   Như ta có A1  A2  Ai   x Do Ai   x   Ai \ A1    Ai \ A2  Ngoài ra, tập khác rỗng Ai \ A1 Ai \ A2 chọn tương ứng theo 2s  2r  cách, nên số lớn tập  2s  1 2r  1 Cộng thêm kết riêng vào, ta nhận số lớn tập Ai 2n1  64 KẾT LUẬN Dưới hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Trịnh Đào Chiến, sau thời gian nghiên cứu, tìm tịi học hỏi dựa tài liệu thầy cung cấp, tơi hồn thành đề tài Luận văn “Áp dụng phương pháp phân hoạch để giải tốn trung học phổ thơng” đạt kết sau: Trình bày số khái niệm phân hoạch tập hợp Nêu số tính chất, kết liên quan đến việc áp dụng phương pháp phân hoạch vào giải tốn Trình bày việc áp dụng phương pháp phân hoạch để phân hoạch tập hợp số nguyên giải số dạng toán tổng hợp dạng ẩn tập Trình bày áp dụng phương pháp phân hoạch để tìm cách phân hoạch số cách phân hoạch tập hợp nói chung để giải số dạng số học, toán tính tổng tổ hợp, tốn đếm tổ hợp số toán tổng hợp khác Kết luận văn có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh bạn đọc quan tâm đến vấn đề Mặc dù thân cố gắng nhiều trình làm luận văn, nhiên thời gian lực cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót luận văn Rất mong q thầy bạn đọc góp ý để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trịnh Đào Chiến (2012), Một số áp dụng phương pháp phân hoạch tập hợp, Kỷ yếu hội thảo khoa học “Các phương pháp giải toán qua kỳ thi Olympic toán học”, Quảng Ninh, 6-7/10/2012 [2] Trịnh Đào Chiến (2016), Một số dạng toán Số học đề thi chọn học sinh giỏi năm gần đây, Kỷ yếu hội thảo khoa học “Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Tốn Trung học phổ thơng”, Sở Giáo dục Đào tạo Ninh Thuận, 18-19/3/2016 [3] Nguyễn Văn Lợi, Nguyễn Hải Đăng, Nguyễn Thành Khang (2015), “Về phân hoạch tập số tự nhiên thành hai tập hợp có tổng phần tử nhau”, Tạp chí Epsilon (Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán), số 5-2015, pdf, nguồn: internet [4] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hịa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng (2008), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp Toán rời rạc, Nhà xuất Giáo dục [5] W Sierpinski (Khánh Nguyễn dịch) (2012), Lý thuyết sơ cấp số, trang 21 - 67, pdf, nguồn: internet [6] P Erdos, G Abraham and Z Abraham (1961), Theorem in additive number Theory, Bull Research Council, Israel, 10F; 41-43; 1961 20 ... nó, áp dụng phương pháp phân hoạch để giải số tốn khó tốn phổ thơng Phương pháp nghiên cứu Từ tài liệu sưu tầm được, luận văn đề cập ngắn gọn phân hoạch tập hợp áp dụng phương pháp phân hoạch để. .. ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG BÙI NGUYÊN SƠN ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN HOẠCH ĐỂ GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng... minh phân hoạch tập số nguyên dương thành hai tập khác A B cho x  c , với y x, y thuộc A thuộc B ” - Dạng toán giải phương pháp phân hoạch tập hợp Đó tốn dạng “ẩn”, mà ta phải áp dụng phương pháp