Áp dụng phương pháp xác suất để giải toán sơ cấp

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ∗∗∗∗∗∗⋄⋄⋄∗∗∗∗∗∗ PHAN QUỐC KHÁNH ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT ĐỂ GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà nẵng, 2020 LỜI CẢM ƠN Trước hết xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo TS Lê Văn Dũng, lời động viên, nhắc nhở Thầy suốt trình hướng dẫn khoa học cho tơi Thầy giúp tơi vượt qua khó khăn để hoàn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến quý Thầy - Cô giáo giảng dạy Lớp cao học Tốn Khóa 36 Trường Đại học Đà Nẵng tồn thể thầy Khoa Tốn trường Đại học Đà Nẵng giảng dạy tận tình quan tâm, động viên, khích lệ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy, bạn đọc để luận văn hồn thiện Cuối cùng, xin chia sẻ niềm vui lớn với bạn bè, người thân gia đình tôi, người sát cánh động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn! MỤC LỤC Mở đầu CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1 1.2 XÁC SUẤT VÀ CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 1.1.1 Không gian mẫu biến cố 1.1.2 Xác suất biến cố 11 1.1.3 Xác suất có điều kiện 13 1.1.4 Các biến cố độc lập 14 1.1.5 Cơng thức xác suất tồn phần cơng thức Bayes 14 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC SUẤT 15 1.2.1 Biến ngẫu nhiên 15 1.2.2 Hai loại biến ngẫu nhiên 15 1.2.3 Hàm phân phối xác suất 17 1.2.4 Kì vọng 18 1.2.5 Phương sai độ lệch chuẩn 18 1.2.6 Trung vị 19 1.2.7 Mốt 19 1.2.8 Biến ngẫu nhiên độc lập 20 1.2.9 Một số phân số xác suất quan trọng 20 1.2.10 Các định lí giới hạn 24 Chương ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT ĐỂ GIẢI TOÁN SƠ CẤP 2.1 26 Một số toán mở đầu 26 2.2 Áp dụng phương pháp xác suất để giải toán sơ cấp 30 2.3 Một số ví dụ tham khảo áp dụng 50 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xác suất phần tốn THPT nói chung Ứng dụng xác suất giải tốn THPT nội dung cịn mẻ, thú vị Hiện nay, việc áp dụng phương pháp xác suất để giải toán thuộc nhiều lĩnh vực nhiều lạ học sinh Việt Nam Tuy nhiên, phương pháp lại tỏ mạnh hữu ích cho việc giải tốn thuộc nhiều lĩnh vực, chí tốn Olympic Vì vậy, tơi chọn đề tài “Áp dụng phương pháp xác suất để giải toán sơ cấp” để giới thiệu ý tưởng phương pháp xác suất áp dụng vào toán thuộc nhiều lĩnh vực, tốn Olympic Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức xác suất - Áp dụng kiến thức xác suất để áp dụng vào toán thuộc nhiều lĩnh vực Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các kiến thức xác suất - Ứng dụng kiến thức xác suất để giải toán thuộc nhiều lĩnh vực - Ứng dụng kiến thức xác suất để giải toán Olympic Phương pháp nghiên cứu Với đề tài: “Áp dụng phương pháp xác suất giải tốn sơ cấp” tơi sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: + Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn + Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài luận văn + Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến người hướng dẫn, chuyên gia đồng nghiệp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có giá trị mặt lý thuyết.Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán,giáo viên phổ thông đối tượng quan tâm đến kiến thức xác suất Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn dự kiến chia thành hai chương: Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Chương 2:ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT ĐỂ GIẢI TOÁN SƠ CẤP Tài liệu tham khảo 49 Vì tất xác suất bị chặn 1, nên: n n ≥ P( Ei ) = i=1 i=1 P (Ei ) = n.p−r (1 − p)−s Hay n ≤ p−r (1 − p)−s (*) r Thay p := vào (*) ta được: r+s (r + s)r+s n≤ rr ss Ta có điều phải chứng minh Các tốn cho thấy phương pháp xác suất đơi mạnh phương pháp truyền thống Ta kết thúc phần ví dụ sau, sử dụng tính chất mang tính hiển nhiên xác suất, xác suất biến cố nằm Bài toán 29 Trong kỳ thi có n mơn thi, có đề tiếng Pháp đề tiếng Anh Thí sinh thi mơn tùy ý chọn hai ngôn ngữa cho môn thi Với hai mơn thi bất kỳ, tồn thí sinh thi hai môn ngôn ngữ khác Nếu mơn có nhiều 10 thí sinh dự thi, tìm giá trị lớn n Lời giải Đáp số 1024 Ví dụ sau cho thấy n = 1024 Giả sử 10 thí sinh (đánh số từ đến 10) tham dự tất 1024 môn thi (đánh số từ đến 1023) Với thí sinh i, mơn thi thứ j thi tiếng Pháp chữ số thứ i tính từ bên phải sang biểu diễn nhị phân j thi tiếng Anh trường hợp ngược lại Bằng cách dễ dàng kiểm tra điều kiện đươc thỏa mãn Để chứng minh 1024 số lớn nhất, ta gán ngẫu nhiên cho thí sinh "người Pháp" "người Anh" Gọi Ej biến cố "mọi thí sinh thi môn j thi đề với quốc tịch gán" Vì có 50 nhiều 10 thí sinh mơn, ta có xác suất P (Ej ) ≥ 2−10 Vì với hai mơn thi bất kỳ, tồn thí sinh thi hai môn hai ngôn ngữ khác nhau, nên khơng có hai Ej xảy đồng thời Từ suy ra: P(ít Ej xảy ra) = P (E1 ) + + P (En ) ≥ n 1024 Nhưng xác suất biến cố không vượt nên từ n hay n ≤ 1024 Đó đpcm ta suy ≥ 1024 2.3 Một số ví dụ tham khảo áp dụng Bài 1: (Hungarian MO 2001) Cho m n số nguyên Chứng minh m−1 (−1)k Cnk m ước n k=0 Bài 2: (Chinese MO 1998) Xác định tất số nguyên dương n ≥ cho 22000 chia hết cho + Cn1 + Cn2 + Cn3 Bài 3: (Gặp gỡ Toán học 2014) Cho p ≥ số nguyên tố m, k ∈ Z+ Chứng minh rằng: p−1 pk+2 |Cmp k −1 − Bài 4: (Putnam 1991) Cho p số nguyên tố lẻ Chứng minh rằng: p j=1 j Cpj Cp+j ≡ 2p + 1(mod p2 ) Bài 5: (Thi chọn đội tuyển VMO 2012, tỉnh Nghệ An) Cho p>3 số nguyên tố tập hợp M = {1; 2; ; p} Với số nguyên k thỏa mãn ≤ k ≤ p ta đặt Ek = {A ⊂ M : |A| = k}, xk = Chứng minh rằng: (minA + maxA) A∈Ek 51 p−1 k=1 xk Cpk ≡ 0(mod p3 ) Bài 6: (VMO 2017) Chứng minh rằng: a) b) 1008 k=1 504 k=1 k kC2017 ≡ (mod 20172 ) k ≡ 3(22016 − 1)(mod 20172 ) (j1)k C2017 Bài 7: Cho a (a1 , a2 , , an ) số thực dương Đặt P0 = 1, Pk = Pk (a)Er = Er (a Chứng minh rằng: Pk−1 Pk+1 ≤ Pk2 (k = 1, 2, , n − 1) (Nếu dương không đồng thời ta có dấu bất đẳng thức thực sự) Bài 8: Cho số > 0(i ∈ {1, 2, 3, , n}) không đồng thời Chứng minh bất đẳng thức: 1 P1 > P22 > P33 > > Pn3 Bài 9: Chứng minh n k hai số tự nhiên thỏa mãn ≤ k ≤ n thì: n n n C2n+k C2n−k ≤ (C2n ) Bài 10: Chứng minh rằng: Cn2 + 2Cn3 + + (n − 1)Cnn > (n − 2)2n−1 Bài 11: Chứng minh rằng: Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn < n! với n ∈ N, n > n Bài 12: (IMO 1971) Chứng minh với số nguyên dương m, tồn tập hữu hạn S điểm mặt phẳng với tính chất sau: Với điểm A S, có m điểm S có khoảng cách đến A 52 Bài 13: (China MO 1986) CHo z1 , z2 , zn số phức Chứng minh tồn tập S ⊆ {1, , n} cho: j∈S zj ≥ π n j=1 |zj | Bài 14: (IMO Shortlist 1987) Chứng minh ta tơ màu phần tử tập hợp {1, 2, , 1987} màu cho cấp số cộng 10 phần tử tập hợp không đơn sắc Bài 15: (Zarankiewicz) Chứng minh tồn cách chia tập hợp số nguyên dương thành hai tập cho tập không chứa cấp số cộng với vô số phần tử không chứa ba số nguyên liên tiếp Bài 16: Trong giải cờ vua có 40 kỳ thủ Có tổng cộng 80 ván đấu hai kỳ thủ đấu với nhiều lần Với số nguyên n, chứng minh tồn n kỳ thủ chưa đấu với (Tất nhiên số n lớn tốt) Bài 17: (Bay Area MO, 2004) Cho n số thực không đồng thời có tổng Chứng minh tồn cách đánh số a1 , a2 , , an số cho: a1 a2 + a2 a3 + + an−1 an + an a1 < Bài 18: (Mỹ TST, 2001) Với tập hợp S, ký hiệu|S| số phần tử S Cho A tập hợp số nguyên dương với |A|=2001 Chứng minh tồn tập B cho: (1) B ⊆ A; (2) |B| ≥ 668; (3) Với u, v ∈ B (khơng thiết phân biệt), ta có u + v ∈ B Bài 19: Cho số nguyên dương k ≥ Chứng minh tồn cách 53 tô màu xanh đỏ cạnh đồ thị có n = 2 đỉnh cho khơng k tồn k đỉnh mà tất cạnh nối k đỉnh tô màu Bài 20: Chứng minh hai số nguyên dương n k thỏa mãn n (1 − 2−k )n−k < ta định hướng cạnh đồ thị k đầy đủ với n đỉnh cho với k đỉnh ln có đỉnh khác đến k đỉnh Bài 21: Cho đồ thị G=(V, E) có n đỉnh cho bậc đỉnh không bé δ > Chứng minh ta chọn tập ổn + ln(δ + 1) định ngồi có số đỉnh khơng vượt q n δ+1 54 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau: Trình bày phần khái niệm lý thuyết xác suất, khái niệm xác suất, quy tắc tính xác suất, biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất Các đại lượng đặc trưng xác suất kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn, trung vị, mốt Trình bày tốn thường gặp xác suất áp dụng liên quan Trình bày tốn học sinh giỏi, thi Olympic ứng dụng xác suất để giải Do thời gian thực khơng nhiều khả cịn hạn chế nên luận văn đưa số dạng toán xác suất rời rạc ứng dụng tốn thi học sinh giỏi Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy, bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO I TIẾNG VIỆT Đào Hữu Hồ (1996), Xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Đào Hữu Hồ (2011), Hướng dẫn giải toán xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Văn Cao, Trần Thái Ninh (2006), Bài tập xác suất thống kê toán, Đại học Kinh tế Quốc dân Nguyễn Văn Mậu (2017), Tổ hợp dạng toán liên quan, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Trần Nam Dũng (2012, 2013), "Phương pháp xác suất", viết đăng lên trang TT Toán học, Hội Toán Học Việt Nam Trương Phước Nhân (2017), Định lý Ramsey ứng dụng, Định lý Turan hướng tiếp cận chứng minh, Đồ thị ngẫu nhiên II TIẾNG ANH Dusan Djukic, Vladimir Jankovic, Ivan Matic, Nikola Petrovic (2013), The IMO compendium, Spinger Kenneth H Rosen (2012), Discrete Mathematics and its Applications, Seventh Edition, Mc Graw Hill Titu Andreescu, Zuming Feng (2002), 102 combinatorial problems from the training of the USA IMO team 10 Paulo Ney de Sausa, Jorge - Nune Silva (1998), Berkeley Problems in Mathematics, Springer DAI HOC DA NANG TRtfONG DAI HOC str PHAM S6: ~/QD-DHSP CQNG HoAxA HQI can NGHlA VI¥T NAM Dqc I~p - T" - Hanh phuc EJaNgng, {JlI- (hang iL namo!Jlj QUYETDJNH V~ vi~c giao d~ tili va trach nhi~m huong diD IU~Dvan thac si HffiUTRtfONGTRtfONGDAIHOCSUPHAM Can c~ Nghi dinh s6 32/CP 04/411994 cua Chinh phu v~ vi~e l~p f)~i hoc Da Nang; Can c,u Thong nr s6 08/20!4/TT-BGDDT 20/3/2014 cua BQ Giao due va Dao tao ve viec ban hanh Quy che t6 chirc va hoar dong cua dai hoc vung va cac co sa giao due dai hoc vien; Can cir Quyet dinh s6 6950IQD-DHDN 01112/2014 cua Giam d6c Dai hoc Da N~ng ban hanh Quy dinh nhiern vu, quyen han cua Dai hoc Da Nang, cac co sa giao due dai hoc vien va cac dan vi tn,rc thuQc; Can cu Thong tu s6 15/2014/TT-BGDDT 15/5/2014 cua BQ Giao dl,lC va DilOt~o v~ vi~c ban hfmh Quy ch~ Dao t~o trinh dQth~c si; Can Clr Quy~t dinh 1060IQD-DHSP 01111/2016 cua Hi~u tnrang Truang f)~i hQc Su ph~m - DHDN v~ vi~c ban hanh Quy dinh dao t~o trinh dQth~c sI; Xct dS nghi cua Ban chu nhi~m Khoa Toan ve vi~c Quy€t dinh giao d~ tai va traeh nhi~m huang d§n lu~n van th~c si; Xct d~ nghi cua ong Truang Ph6ng Dao t~o, QUYET !lJNH: Di~u 1: Giao eho hQc vien Phan QuAc Khanh, nganh Phuong pbap toan SO',cip d~t t~i dan vi ph6i hqp dao t~o Twang D~i hQc Quang Binh, khoa 36, thvc hi~n de tai lu~n van A.p d\lng phuO'og pbap xac suit d~ giii toaD SO'cip, duai S\I huang d§n eua TS Le Van Dung, TruOng D,i bQc Su ph,m - D,i bQc Da Ning Diiu 2: HQe vien cao hQe va nguai huang d§n co ten a Di~u duqc huang cae quy&n 19i va thvc hi~n nhi~m Vl,l dung theo Quy eh€ dao t~o trinh dQ th~c si BQ Giao d\le vi DilOt~o ban hanh va Quy dinh v~ dao t~o trinh dQth~c sTcua Twang D~i hQc Su ph~m f)~i hQc Da N~ng Diiu 3: Cae ong (bi) Truang Phong T6 chtl"c - Hanh ehinh, Dao t~o, K6 ho~eh Tii chinh Khoa Toan, nguaj huang d~n lu~n van va hQe vien co ten tren can Cll' Quy€t dinh thi hanhi Hlt,U TRUONG Nai nh~n: - Nhu f)i~u 3; - LUll: VT, DilO t~o PGS.TS LUU TRANG ceNG HoA xA ugr cHU Ncni.q vrT,T NAM DQc lflp - TU - H4nh phfc DAI Hec o,r xANc TRUONG DAI HQC SU PHAM BIf,N gAx HQP HQI EONG CHAM LUAN VAN TH4.C Si TOn AO tai Ap dung phuong ph6p xrlc su6t dC gi6i torin so c6p Ngdnh: Phuong ph6p to6n so c6p Theo Quy0t dinh thdnh 10p Hgi d6ng ch6m lufln vdn th4c si rO(e{Zqp-DHSP ngdy 04 thangffamZOZO ngayp)thdrr Ngdy hep HQi d6ng: ilU* ,OrO Danh s6ch c6c thdnh vi6n HQi d6ng: CUONG VI TRONG HQI DONG HQ VA TEN STT cht tich TS Phan Dric Tudn PGS.TS Truong C6ng Quj,nh J TS Phpm Quy Mudi Phin biQn PGS.TS TrAn D4o D6ng Phin biqn TS TrAn Dtc ki (' HOi d6ng b6o c6o b Thdnh vi6n ving m{t: qlltrinh Hgc vi6n cao hgc trinh bdy lupn v6n C5c phin biQn dgc nhpn x6t vd n6u cdu h6i (c6 vdn 10 tr6ldi Hqi d6ng hqp ri6ng bin kdm theo) c5c c6u hoi cria thdnh vi6n HQi d6ng OC Aanfr gia 11 Truong ban ki6m phi6u c6ng b6 CJ hgc tflp, nghi€n cr?u cira hoc vi€n cao hgc vd dgc ly lich khoa hgc (c6 vdn bdn kem theo) Hgc vi6n cao hoc Uv vi6n Thanh a Thdnh vi6n c6 mdt: Thu Thu ky ktit qud tZ.fet lu6n cira H6i d6ng a) Ktit lu6n chung: L,' I h ) L '( ) b) YCu cdu chinh, sua vd n6i dung: ) t ? I ) \ ( 11 ' cJrA4 r ,) ) ) ) ? ) I c) C6c j, kitln khrlc: d) DiOm dinh giil: Bing s6 13 T6c gi6 lupn 14 Chir tich , chfr': I v[n ph6t bi0u y kitin H6i d6ng tuy6n b6 rHU rY ugr ooNc L mac CHU TICH HOI DONG I e coNG uoe rA nor cnu xcuia vr!'r 'o"i1:lLttil1n NAM nno" nAx Nn4N xET LUAN vAN rulc si @tng cho phin biQn) Oe tai: Ap rlgng phu'o'ng phrip x6c su6t a6 giai torin so.c6p Clruy6n ngdnh: Phuo'ng phdp to(tn so cdp Irlo vd t6n hoc vi€n' Phan Quic l{hinh NgLlo'i nhin xdr: Phgn Qui,futui.i Dor vi c6ng tdc: Trtrdng DII &r Phant, Dri hoc Da it,iirg Mdngdnh: 8.46.01.13 NQI DUNG NHAN XET I Tinh cfp ttri6t ciia AO tei Li thuydt x6c str6t Id mQt nh6nh quan trong totin hoc hi6n dai Ngdy ndy Li thuyt5t xiic su6t vdlh6ng,l