Ứng dụng của số phức vào giải toán sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Tên đề tài: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP Giảng viên hướng dẫn : ThS Phan Thị Quản Sinh viên : Lê Minh Quân Lớp : 14ST Đà Nẵng, tháng 05 năm 2018 Ứng dụng số phức vào giải toán sơ cấp MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục tiêu đề tài III Phương pháp nghiên cứu IV Bố cục đề tài Chương I CƠ SỞ LÝ THUYẾT I Các lý thuyết số phức II Các lý thuyết đại số giải tích Chương II ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ, LƯỢNG GIÁC, GIẢI TÍCH I Các tốn hệ phương trình II Các toán bất đẳng thức 11 III Các toán lượng giác 13 IV Các toán nhị thức Newton 16 Chương III ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC 30 I Các tốn góc độ dài 30 II Các toán đường thẳng 36 III Các toán đường tròn 38 IV Các toán tam giác 46 KẾT LUẬN 51 DANH MỤC TÀI LIỆU 52 Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang Ứng dụng số phức vào giải toán sơ cấp LỜI CẢM ƠN Em xin cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán – Trường ĐH Sư phạm Đà Nẵng với tri thức tâm huyết để truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho em suốt thời gian học tập trường Con xin cám ơn gia đình bên cạnh giúp đỡ hết lịng, điều xảy Em xin gởi lời cảm ơn chân thành tri ân sâu sắc đối tới cô Phan Thị Quản nhiệt tình hướng dẫn em hồn thành tốt khóa luận Cuối cùng, xin cám ơn bạn Phạm Anh Khoa Trương Minh Hoàng giúp đỡ thời gian học tập thời gian nghiên cứu khóa luận Dù em cố gắng đầu tư nhiều thời gian, với trình độ cịn hạn chế, luận văn chắn khơng thể tránh khỏi sai sót, mong thầy, cô nhắc nhở để em rút kinh nghiệm sau Em xin chân thành cảm ơn! Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang Ứng dụng số phức vào giải toán sơ cấp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài I ố phức lần nhà toán học Ý R Bombelli (1526-1573) đưa định nghĩa (vào thời S điểm gọi số "khơng thể có" "số ảo") cơng trình Đại số (xuất Bologne năm 1572) ơng Nhà tốn học Thụy Sĩ L Euler (1707-1783) sau đưa ký hiệu i để bậc hai 1 Đến năm 1746 nhà toán học Pháp D’Alembert xác định dạng tổng quát a  bi số phức So với nhánh khác Tốn học, số phức xuất có phần muộn Tuy vậy, khơng riêng cơng trình nghiên cứu phương trình đại số, mà phát triển khoa học đại nói chung cho thấy ứng dụng thiếu số phức Trong việc giải tốn sơ cấp nói riêng, số phức, ta sáng tạo phương pháp lạ đầy hấp dẫn Tuy vậy, chương trình THPT nay, số phức chiếm thời lượng ít, kiến thức đưa vào giảng dạy học tập, dẫn đến việc vận dụng số phức để giải tốn cịn hạn chế Với lý nêu đây, chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp là: “Ứng dụng số phức vào giải toán sơ cấp” Mục tiêu đề tài II Đề tài tập trung vào việc nêu khái niệm quan trọng, phân loại dạng tốn giải số phức phương pháp giải dạng toán III Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sử dụng phương pháp lý luận IV Bố cục đề tài Chương Cơ sở lý thuyết Chương Ứng dụng số phức Đại số, Lượng giác, Giải tích Chương Ứng dụng số phức Hình học Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang Chương I Cơ sở lý thuyết Chương I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Các lý thuyết số phức I Dạng đại số số phức 1.1 Đơn vị ảo - Ta đưa khái niệm số i , gọi đơn vị ảo, nghiệm phương trình x   0, tức là: i  1 1.2 Dạng đại số biểu diễn hình học số phức - Mỗi biểu thức có dạng a  bi, a, b  i đơn vị ảo, gọi số phức Dạng biểu diễn z  a  bi gọi dạng đại số số phức Trong đó, a b gọi phần thực phần ảo số phức z , kí hiệu Re z Im z - Tập hợp số phức kí hiệu - Các số phức có phần ảo hiển nhiên số thực Các số phức có phần thực số ảo - Ta thấy rằng: z số thực  z  z  z số ảo  z  z  - Ta thấy số phức z  a  bi xác định cặp số thực  a; b  Như vậy, mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy vng góc, ta gọi điểm M  a; b  điểm biểu diễn số phức z  a  bi Độ dài vectơ OM gọi module số phức z kí hiệu z Ta thấy: z  OM  a  b2 - Các điểm trục hoành Ox trục tung Oy biểu diễn số thực số ảo Vì lí ta gọi Ox Oy tương ứng trục thực trục ảo 1.3 Số phức liên hợp - Ta gọi số phức z  a  bi số phức liên hợp số phức z  a  bi - Ta lưu ý Re z  zz zz , Im z  2 Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang Chương I Cơ sở lý thuyết 1.4 Số phức - Hai số phức phần thực phần ảo tương ứng chúng Tức a  a2 là: a1  b1i  a2  b2i   b1  b2 Các phép toán với hai số phức - Trong toàn phần này, ta cho trước hai số phức z1  a1  b1i z2  a2  b2i - Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia với hai số phức định nghĩa sau: 2.1 Phép cộng: z1  z2  (a1  a2 )  (b1  b2 )i 2.2 Phép trừ: z1  z2  (a1  a2 )  (b1  b2 )i 2.3 Phép nhân: z1.z2  (a1a2  b1b2 )  (a1b2  a2b1)i 2.4 Phép chia: Khi z2  0, ta có: z1 a1a2  b1b2 a1b2  a2b1   i z2 a22  b22 a2  b22 Dạng lượng giác số phức Công thức Moivre 3.1 Argument số phức - Cho số phức z  Gọi M điểm biểu diễn hình học z Số đo (đơn vị radian) góc lượng giác với tia đầu Ox tia cuối OM gọi argument z , kí hiệu arg z Các argument số phức sai khác lượng k 2 - Kí hiệu argument nằm khoảng  ;  z arg0 z, gọi argument z 3.2 Dạng lượng giác số phức - Với số phức z khác cho trước, ta biểu diễn z  z  cos   i sin   ,  argument z Dạng biểu diễn gọi dạng lượng giác số phức 3.3 Nhân chia số phức dạng lượng giác - Cho hai số phức khác biểu diễn dạng lượng giác z1  z1  cos 1  i sin 1   z1z2  z1 z2 cos 1  2   i sin 1  2    z2  z2  cos2  i sin 2  Khi ta có:  z z1 cos 1  2   i sin 1  2     z z 2  3.4 Công thức Moivre - Cho số phức z  z  cos   i sin    z  0 Công thức sau gọi công thức Moivre: zn  z Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân n  cos n  i sin n  Trang Chương I Cơ sở lý thuyết 3.5 Căn bậc n số phức - Cho số phức z  z  cos   i sin    z  0 Căn bậc n z định nghĩa số phức w cho   k 2   k 2   i sin  wn  z, số phức có dạng: wk  n z  cos n n    k   - Ta thấy số phức khác có n bậc n phân biệt Ví dụ, có n bậc n gồm 1,   cos  n  1 2  n  1 2 2 2 k 2 k 2  i sin , ,  k  cos  i sin , ,  n1  cos  i sin n n n n n n Các lý thuyết đại số giải tích II Phép chia lấy dư - Với hai số nguyên m, n, ta kí hiệu m mod n số dư phép chia m cho n Nhị thức Newton - Với số tự nhiên n bất kì, n  1, cơng thức sau gọi nhị thức Newton: n  x  y n   Cnk x nk y k k 0 Đạo hàm - Cho hàm số f  x  liên tục D  Đạo hàm f  x  a  D, kí hiệu f '  a  , giới hạn sau (nếu có): f '  a   lim xa f  x  f a xa - Hàm số f  x  gọi có đạo hàm D có đạo hàm điểm D Khi đó, hàm số định nghĩa sau: g:D x  f ' x  gọi đạo hàm hàm số f  x  D, kí hiệu f '  x  Nguyên hàm - Cho hàm số f  x  xác định D Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  D F '  x   f  x  với x  D - Ta kí hiệu F  x    f  x  dx Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang Chương I Cơ sở lý thuyết Bất đẳng thức 5.1 Bất đẳng thức Cauchy - Cho n số thực a1, a2 , , an không âm Khi ta ln có: a1  a2   an n  a1a2 an n - Dấu "  " xảy a1  a2   an 5.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki - Cho số thực a, b, x, y Khi ta ln có:  a  b2   x  y    ax  by  - Dấu "  " xảy ay  bx Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang Chương II Ứng dụng số phức Đại số, Lượng giác, Giải tích Chương II ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ, LƯỢNG GIÁC, GIẢI TÍCH Các tốn hệ phương trình I  n     k k n 2 k k y  a 1    1 Cn x  k 0 Bài toán Giải hệ phương trình:    n1     k k 1 n2 k 1 k 1 y  b  2   1 Cn x  k 0 Phương pháp Lấy   nhân với i cộng vào 1 ta được: n     1 k 0  n   Cn2 k x n2k y 2k  i2  k 0  k k Cn2 k x n2 k y k  n    Cn2k x n2k  yi  k 0    n1      k     1 Cn2k 1x n2k 1 y 2k 1  i  a  bi  k 0  n  Cnk xnk  yi  k 0 k 2k  n1    k   i  Cn2k 1x n2k 1 y 2k 1i  a  bi k 0   n1     k 1 n2 k 1     Cn x  yi 2k 1   a  bi  k 0   a  bi   x  yi   a  bi  x  yi bậc n a  bi n Ta áp dụng phương pháp tổng quát vài trường hợp cụ thể, ví dụ hệ có dạng:  x3  3xy  a  x  x y  y  a  x  y  a      n  4 n  , n  ,    3 xy  b  3x y  y  b 4 x y  xy  b Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:   I   x  y    xy   x3  3xy   II   3x y  y  Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân  x  x y  y  16  III   3 4 x y  xy  Trang Chương II Ứng dụng số phức Đại số, Lượng giác, Giải tích  xy  3x  y  14   IV   2   x  y  10 x  y  16  Giải  x  yi   i  x  2, y   I   x  y  xyi   4i   x  yi 2   4i     x  yi  2  i  x  2, y  1  II   x3  3xy   3x y  y  i    x  yi 3   x  yi     x  yi       x  yi      x  1, y   3 i  x   , y    2  x   , y  i  2  III   x  x y  y   x3 y  xy  i  16   x  yi 4  16  x  yi   i  x  2, y     x  yi    i  x   2, y     x  yi    i  x   2, y    x  yi   i  x  2, y      IV   x  y  10 x  y  16  2i  xy  3x  y  14    x  y  xyi  10 x  10 yi  y  xi  16  28i    x  yi   10  6i   x  yi   16  28i   z   4i  z  10  6i  z  16  28i     z   2i Trong hệ phương trình  IV  ta áp dụng hai trường hợp n  n  px  qy    mx  x  y  a  Bài toán Giải hệ phương trình:  my  qx  py  b    x2  y Phương pháp Lấy   nhân với i cộng vào 1 lưu ý y  xi  i  x  yi  , ta được: mx  px  qy qx  py  x  yi   my  i  a  bi  m x  yi  p  qi  a  bi       x2  y  x2  y  x2  y Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang Chương III Ứng dụng số phức Hình học Bài tốn Chứng minh trung điểm cạnh đáy, giao hai đường chéo giao hai cạnh bên hình thang (khơng hình bình hành) thẳng hàng Giải Xét hình thang ABCD với đáy AB, CD Gọi M , N trung điểm AB, CD Gọi E  AD  BC, F  AC  BD Chọn hệ trục Oxy có O trùng E Theo định lý Thales ta có: AE BE ae be a b      DE CE d e ce d c Vì AE , DE phương BE , CE phương nên  Vì  b a số thực dương (theo I, 1.3.2.2) d c d   a a b với    0;   \ 1   c   b d c  M,N trung me m    ne n  điểm AB, CD nên ta thấy ngay:  m  a  b, n  a  b 2  E , M , N thẳng hàng   f  1a  1  1  c  1a  1  1  b F thuộc BD, AC nên 1, 2 cho    f  2b  1  2  d  2b  1  2   a  1  1  2    1a  1  1  b  2b  1  2   a   (vì E, A, B không thẳng hàng kéo theo a, b  1  1    2 không phương)  1  2   1   f    2 f f e 2 a  b  m    1  1  m m  e 1  Suy E, M , F thẳng hàng Như E, F , M , N thẳng hàng III Các tốn đường trịn Lý thuyết 1.1 Phương trình tổng quát - Cho đường trịn  C  có tâm A, bán kính R Từ định nghĩa đường tròn, điều kiện cần đủ để điểm Z thuộc đường tròn  C  là: ZA  R  z  a  R  zz  az  az  aa  R  Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang 38 Chương III Ứng dụng số phức Hình học Từ ta định nghĩa z  a  R zz  az  az  b  với aa  b  phương trình tổng quát đường tròn mặt phẳng phức 1.2 Điều kiện để bốn điểm thuộc đường thẳng đường tròn - Cho điểm A, B, C, Z đôi phân biệt Điều kiện cần đủ để chúng thuộc đường thẳng đường tròn là:   AZB  ACB  arg   AZB  ACB        arg  AZB  ACB  2  za ca    arg z b c b za ca  arg    2 z b c b Lưu ý góc lượng giác  ZB, ZA ,  CB, CA dấu trường hợp 1 trái dấu trường hợp    arg  arg  za ca   arg 0 arg z b c b  za ca arg  arg    z b c b za ca : 0 za ca z b c b số thực  : za ca z b c b :   z b c b 1.3 Phương trình đường tròn qua điểm - Bằng cách coi đường thẳng mặt phẳng phức đường tròn có tâm vơ bán kính vơ lớn, ta nhận xét Z nằm đường thẳng qua điểm A, B, C thẳng hàng có nghĩa Z nằm đường trịn qua điểm Kết hợp với kết luận 1.2, ta thấy điều kiện cần đủ để điểm Z nằm đường tròn qua điểm A, B, C za ca số thực, tức là: : z b c b za ca za ca :  :   z  a   z  b   c  b  c  a    z  b   z  a  c  a  c  b   z b c b z b c b Phương trình phương trình đường trịn qua điểm A, B, C 1.4 Đường tròn đơn vị - Đường trịn đơn vị có tâm O bán kính nên có phương trình z z   z  z  a  cos   i sin  - Với A thuộc đường tròn đơn vị, suy  1 , a  cos   i sin   cos    i sin    cos   i sin          tức a  a Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang 39 Chương III Ứng dụng số phức Hình học - Cho dây cung AB thuộc đường tròn đơn vị Điều kiện cần đủ để điểm M thuộc AB mb mb b  a  b  m  abm   1 a b a b  a b m 1.4.1 Quan hệ song song vng góc hai dây cung - Xét hai dây cung A1 A2 , B1B2 đường tròn đơn vị Ta rút hai nhận xét: 1.4.1.1 A1 A2 //B1B2   a1  a2   b1  b2    a1  a2   b1  b2   1 1 1    a1  a2          b1  b2   s  b1 b2   a1 a2   a1a2  b1b2  1.4.1.2 A1 A2  B1B2   a1  a2   b1  b2    a1  a2   b1  b2   1 1 1    a1  a2          b1  b2    b1 b2   a1 a2   a1a2  b1b2  1.4.2 Giao điểm hai dây cung - Ta xét hai dây cung phân biệt không song song A1 A2 , B1B2 nằm đường tròn đơn vị Gọi M giao điểm hai dây cung Ta tìm m theo a1, a2 , b1, b2 Trước tiên ta thấy A1 A2 , B1B2 khơng song song nên a1a2  b1b2    M  A1 A2  a  a  b b   b1  b2  a1a2 * a  a  m  a1a2 m  m 2 Ta có:  b1b2  a1a2  M  B1B2  b1  b2  m  b1b2 m 1.4.3 Giao điểm hai tiếp tuyến Lưu ý phần 1.4.2, A1  A2 B1  B2 dây cung trở thành tiếp tuyến đường tròn Giả sử A1  A2 biểu diễn cho số phức a B1  B2 biểu diễn cho số phức b Khi M giao điểm 2ab tiếp tuyến A1, B1 Thay a1, a2 a b1, b2 b, từ * ta rút m  ab 1.4.4 Chân đường vuông góc dây cung - Cho dây cung AB điểm M đường tròn đơn vị, M  A, M  B Gọi H hình chiếu M hạ xuống AB Dễ thấy H  AB suy a  b  h  abh Mặt khác MH  AB   h  m   a  b    h  m   a  b   Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang 40 Chương III Ứng dụng số phức Hình học  a  b  h  abh Vậy h nghiệm hệ:    h  m   a  b    h  m   a  b   h 1 a  b  m  abm  2 Các ví dụ Bài tốn 10 Cho đường tròn phân biệt  C1  ,  C2  ,  C3  ,  C4  cho  C1  ,  C2  giao A1, B1,  C2  ,  C3  giao A2 , B2 ,  C3  ,  C4  giao A3 , B3 ,  C4  ,  C1  giao A4 , B4 Chứng minh A1, A2 , A3 , A4 thuộc đường thẳng đường trịn B1, B2 , B3 , B4 thuộc đường thẳng đường tròn Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy A1, B2 , A2 , B1 thuộc  C2  nên a1  a2 b2  a2 số thực : a1  b1 b2  b1 A2 , B3 , A3 , B2 thuộc  C3  nên a2  a3 b3  a3 số thực : a2  b2 b3  b2 A3 , B4 , A4 , B3 thuộc  C4  nên a3  a4 b4  a4 số thực : a3  b3 b4  b3 A4 , B1, A1, B4 thuộc  C1  nên a4  a1 b1  a1 số thực : a4  b4 b1  b4 a1  a2 b2  a2 a3  a4 b4  a4 : : a1  b1 b2  b1 a3  b3 b4  b3  a1  a2 a3  a2  b1  b2 b3  b2    : :  số thực a2  a3 b3  a3 a4  a1 b1  a1  a1  a4 a3  a4  b  b b  b  4  : : a2  b2 b3  b2 a4  b4 b1  b4 Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang 41 Chương III Ứng dụng số phức Hình học Theo đề A1, A2 , A3 , A4 thuộc đường thẳng đường tròn suy số thực, kéo theo a1  a2 a3  a2 : a1  a4 a3  a4 b1  b2 b3  b2 số thực, tức B1, B2 , B3 , B4 thuộc đường thẳng : b1  b4 b3  b4 đường trịn Bài tốn 11 Từ đỉnh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn bất kỳ, ta dựng tiếp tuyến với đường tròn chúng cắt tạo thành tứ giác PQRS Chứng minh trung điểm PR, QS tâm đường tròn thẳng hàng Giải Ta lấy đường tròn cho làm đường trịn đơn vị Theo 1.4.3, ta có: 2ab 2bc 2cd 2da ,q  ,r  ,s  ab bc cd d a ab cd  m  a  b  c  d  n  bc  da  bc d a abc  abd  acd  bcd  m   a  b  c  d   n  abc  abd  acd  bcd  b  c  d  a   p  m  b  c  d  a   n  a  b  c  d  1  1  a  b  c  d     m  b  c  d  a   b c  d a   b  c  d  a   m  m      n n  a  b  c  d   1  1   a  b  c  d  n    M , N , O thẳng hàng Bài tốn 12 Cho hình chữ nhật ABCD Từ điểm H đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật hạ đường thẳng vng góc xuống AB, BC, CD, DA P, Q, R, S Chứng minh PQ  RS PS  QR Giải Lấy đường trịn đơn vị đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang 42 Chương III Ứng dụng số phức Hình học a  c 0  c   a  Ta suy    b  d  d  b   Theo 1.4.4, ta có: 1    p  a  b  h  abh  q   b  c  h  bch    a  b  h  abh   2  r   c  d  k  cd h    a  b  k  abh   2  1  s   d  a  k  dah    a  b  k  abh  2  1 1  b a  b  h  abh    a  b  h  abh  pr a  abh  bh h  bh Suy ra:     q  s  a  b  h  abh    a  b  h  abh  a  abh 1  bh 1  b b  h 2 h 1  pr pr  p r   bh  bh b h hb số ảo  PQ  RS         qs qs  qs  bh bh  bh b h Và: 1 1  a a  b  h  abh    a  b  h  abh  ps b  abh  ah h  ah     q  r  a  b  h  abh    a  b  h  abh  b  abh 1  ah 1  a a  h 2 h 1  ps ps  ps ah ah a h ha số ảo  PS  QR         qr qr  qr  ah ah  ah a h Bài tốn 13 Trên đường trịn có hai cung không song song AB, CD Hai đường thẳng vuông góc với AB A vng góc với CD C cắt M Hai đường thẳng vng góc với AB B vng góc với CD D cắt N Chứng minh BC, AD cắt BC, AD, MN đồng quy BC / / AD BC / / AD / / MN Giải Lấy đường tròn cho làm đường tròn đơn vị Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang 43 Chương III Ứng dụng số phức Hình học m ma ma a AM  AB    1 a b a b  a b  a  b  m  abm  mc mc c CM  CD    1 cd cd  c d m  c  d  m  cd m  a  b  m  abm   m nghiệm hệ  c  d  m  cd m  m abc  bcd  cda  dab ab  cd Tương tự ta tìm n  Ta thấy abc  bcd  cda  dab ab  cd mn   O trung điểm đoạn thẳng MN  M , N , O thẳng hàng 1 Nếu AD / / BC ad  bc (theo 1.4.1)  d  m abc  bc bc a bc bc bc  c .a  ab a 2c  bc  ac  abc ac  bc m ac  bc a a a     2 bc ac b  c  a  c  b  c  a c ab  c a 1 1  m ac  bc ac  bc ac  bc m     a c b c          b  c   a  c  b  c    a  c  b  c   1  1   a  c  b  c  b  c       a c  b c   MO / / BC  BC / / AD / / MN Nếu AD, BC giao E , ta suy e  Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân  a  d  bc   b  c  ad abc  bcd  cda  dab  bc  ad bc  ad Trang 44 Chương III Ứng dụng số phức Hình học  m bc  ad  e ab  cd 1 1  m bc  ad bc  ad     b c a d  bc  ad  m  m       e  e   ab  cd  ab  cd  ab  cd e a b c d  M , O, E thẳng hàng Kết hợp với 1  M , N , E thẳng hàng  BC, AD, MN đồng quy Bài toán 14 Cho điểm A, B, C, D nằm đường tròn, AB đường kính, CD  AB Gọi M giao điểm AC, BD, E giao điểm AD, BC Dựng tiếp tuyến đường tròn C , D, tiếp tuyến cắt N Chứng minh M , N , E thẳng hàng ME  AB Giải Lấy đường tròn cho làm đường tròn đơn vị A, B  Ox, a  1, b  1 Ta suy ra:  1  d  c  1  c  d 2cd  c  d   m  cd cd   1  c  d  1  d  c 2cd  c  d   e  c  d cd   2cd n  cd  c  d  mn  cd 1    c  d   c  d c d   c  d   m  n mn    1 cd  cd  cd  c d  arg0  m  n     MN  Ox  MN  AB Tương tự ta có arg0  e  n     EN  Ox  EN  AB Từ ta suy hai điều phải chứng minh Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang 45 Chương III Ứng dụng số phức Hình học IV Các toán tam giác - Đối với toán tam giác, ta chọn đường tròn ngoại tiếp tam giác làm đường tròn đơn vị Bằng kiến thức từ phần I, II III, ta chứng minh số tính chất, định lý điểm đặc biệt tam giác Bài toán 15 (Định lý đường thẳng Euler) Chứng minh tam giác, trực tâm H , trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng Hơn OG  OH Đường thẳng qua điểm gọi đường thẳng Euler Giải Gọi M chân đường cao hạ từ gốc tọa độ O xuống cạnh BC bc ac Ta có: g   a  b  c  , m  ,n  2 ha  ha   bc  bc      h ha ha a  ah  a  abch  bc    bc bc  b c AH / / OM  Tương tự ta suy bh  b2  abch  ca ah  a  abch  bc  h  abc Vậy h nghiệm hệ phương trình:  bh  b  abch  ca  1 a  b  c g 0 g     Ta suy h0 h abc  H , G, O thẳng hàng OG  OH Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang 46 Chương III Ứng dụng số phức Hình học Bài tốn 16 Chứng minh tam giác, điểm đối xứng trực tâm qua cạnh nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác Giải Từ Bài tốn 15, ta biết: h  a  b  c 1  a  a  b  c  abc     Theo III, 1.4.4, ta suy ra: b1   a  b  c  abc    c1   a  b  c  abc  Vì A1 trung điểm HA2  a1  h  a2  a2  2a1  h  a2  abc Tương tự ta có: b2  abc, c2  abc Suy ra: OA2  abc  1, OB2  abc  1, OC2  abc   A2 , B2 , C2 nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài toán 17 Chứng minh tam giác điểm đối xứng trực tâm qua trung điểm cạnh nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác Giải Từ Bài tốn 15, ta biết h  a  b  c a1  b1  bc , ca ab , c1  2 Vì A1 trung điểm HA2  a1  h  a2  a2  2a1  h  a2  a Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang 47 Chương III Ứng dụng số phức Hình học b  b Tương tự ta có:  c2  c Suy ra: OA2  a  1, OB2  b  1, OC2  c   A2 , B2 , C2 nằm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Bài tốn 18 Gọi G trọng tâm tam giác ABC , N chân đường cao hạ từ A Qua A dựng đường thẳng song song BC cắt đường tròn P Chứng minh N , G, P thẳng hàng NG  NP Giải 1 Ta có g   a  b  c  , n   a  b  c  abc  Mặt khác AP / / BC  ap  bc  p  bc  abc a 1 a  b  c   abc gp  1 ng a  b  c  abc    a  b  c  1 a  b  c   abc   2 1  a  b  c  abc  N , G, P thẳng hàng NG  NP Bài toán 19 Cho H , K chân đường cao hạ từ đỉnh tam giác ABC O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh HK  CO Giải Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang 48 Chương III Ứng dụng số phức Hình học 1   h  a  b  c  abc Ta có:  k   a  b  c  abc    hk 1  ab  ab  c hk  1    ab  ab   c   1 hk hk số ảo  ab  ab    c c  HK  OC Bài toán 20 (Định lý đường tròn Euler) điểm gồm: chân đường cao hạ từ đỉnh, trung điểm cạnh trung điểm đoạn nối đỉnh với trực tâm tam giác nằm đường trịn Hơn nữa, bán kính đường trịn nửa bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Đường tròn qua điểm gọi đường trịn Euler hay đường trịn chín điểm Giải Từ Bài tốn 15, ta có: h  a1  a2  a3 m1  Như vậy: p1  a1  a2  a3 a a a a , m2  , m3  2 2 a a2 a3 a a a  , p2   a2  , p2    a3 2 2 2 Theo III, 1.4.4, ta suy ra: n1  1 a1  a2  a3  a1a2a3  , n2   a1  a2  a3  a1 a2a3  n3   a1  a2  a3  a1a2 a3   2 Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang 49 Chương III Ứng dụng số phức Hình học Gọi J trung điểm M1P1  j a1  a2  a3 m2  p2 m3  p3   2  J trung điểm M P2 , M 3P3  a1  JM1  j  m1     a Mặt khác:  JM  j  m2   2   a3   JM1  j  m3  2   a1a2 a3   JN1  j  n1  2   aa a Và:  JN  j  n2   2   aa a  JN3  j  n3    2  JM1  JM  JM  JN1  JN2  JN3  JP1  JP2  JP3  Đường trịn tâm J bán kính qua điểm M1, M , M , N1, N2 , N3 , P1, P2 , P3  Điều phải chứng minh Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang 50 Ứng dụng số phức vào giải toán sơ cấp KẾT LUẬN Qua luận văn này, em đã: - Trình bày kiến thức sở số phức phần liên quan Đại số, Lượng giác, Giải tích mà số phức có ứng dụng vào - Trình bày dạng toán ứng dụng số phức vào Đại số, Lượng giác, Giải tích - Nghiên cứu kết hợp lý thuyết số phức vào Hình học trình bày dạng tốn giải phương pháp Do thời gian trình độ kiến thức cịn hạn chế, nên cịn nhiều dạng tốn sơ cấp giải cách dùng số phức mà em chưa thể trình bày luận văn Sau thời gian thực luận văn, em rút được: - Số phức có ứng dụng sâu rộng giải tốn sơ cấp Ứng dụng số phức tìm thấy Đại số, Lượng giác, Giải tích Hình học - Hầu với toán, dạng toán xuất luận văn giải phương pháp ngắn gọn đơn giản nhiều so với phương pháp giải truyền thống không dùng số phức Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang 51 Ứng dụng số phức vào giải toán sơ cấp DANH MỤC TÀI LIỆU “Ứng dụng số phức tốn sơ cấp”, Nguyễn Minh Hồng, 2016 “Bồi dưỡng lực ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng lượng giác cho học sinh giỏi trung học phổ thông”, Phạm Xuân Thám, 2008 Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp, Hà Duy Nghĩa, 2010 Complex Number from A to…Z, Titu Andreescu, Dorin Andrica, 2005 Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Lê Minh Quân Trang 52 ... Trang Ứng dụng số phức vào giải toán sơ cấp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài I ố phức lần nhà toán học Ý R Bombelli (1526-1573) đưa định nghĩa (vào thời S điểm gọi số "khơng thể có" "số ảo") cơng trình Đại số. .. đến việc vận dụng số phức để giải tốn cịn hạn chế Với lý nêu đây, chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp là: ? ?Ứng dụng số phức vào giải toán sơ cấp? ?? Mục tiêu đề tài II Đề tài tập trung vào việc nêu... dạng đại số số phức Trong đó, a b gọi phần thực phần ảo số phức z , kí hiệu Re z Im z - Tập hợp số phức kí hiệu - Các số phức có phần ảo hiển nhiên số thực Các số phức có phần thực số ảo - Ta