Sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài tập về góc và khoảng cách trong không gian

LUẬN VĂN ĐẠI HỌC ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN Đề tài: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TÂP VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực Ngành đào tạo Lớp : ThS Nguyễn Thị Sinh : Đoàn Thị Kim Can : Sư phạm Toán : 11ST Đà Nẵng, tháng 5/2015 SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN MỞ ĐẦU ……………………………………………………………………1 Lý chọn đề tài……………………………………………………… Mục đính – Yêu cầu…………………………………………………… Cấu trúc luân văn………………………………………………… CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN………………………………………………… I Hệ tọa độ đề không gian……………………………………… Định nghĩa…………………………………………………………………3 Tọa độ vectơ hệ tọa độ………………………………… 3 Tọa độ điểm hệ tọa độ……………………………………… 4 Tích có hướng hai vectơ tính chất………………………………….5 II Phương trình mặt phẳng……………………………………………… Vectơ pháp tuyến mặt phẳng…………………………………… .6 Phương trình tổng quát mặt phẳng…………………………… III Phương trình đường thẳng………………………………………… Vectơ phương đường thẳng……………………………… Phương trình tham số đường thẳng…………………………… IV Góc……………………………………………………………………….8 Góc hai đường thẳng……………………………………………… Góc đường thẳng với mặt phẳng………………………………… Góc hai mặt phẳng………………………………… 10 V Khoảng cách…………………………………… …………………… 10 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng…………………………… 10 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song………………………… 11 Bài toán khoảng cách hai đường thẳng chéo ………… 12 SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC VI Dấu hiệu nhận biết bước giải hình học khơng gian phương pháp tọa độ………………………………… ……………………………12 Những tập hình học khơng gian phần giả thiết có dạng sau nên dùng phương pháp tọa độ………… ………………………………12 Các bước giải hình học khơng gian phương pháp tọa độ……………………………………………………………………… 13 VII Một số cách đặt trục tọa độ với số hình đặt biệt mà ta thường sử dụng 14 CHƯƠNGII CÁC DẠNG TOÁN VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN I Bài tốn góc 21 Bài tốn góc hai đường thẳng 21 Bài tốn góc đường thẳng với mặt phẳng 29 Tính số đo góc hai mặt phẳng 39 II Bài toán khoảng cách 48 Bài toán khoảng cách từ điểm tới đường thẳng .48 Bài toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song .55 Bài toán khoảng cách hai đường thẳng chéo 65 SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong tốn học nói chung hình học nói riêng khơng có phương pháp chung để giải toán Mỗi phương pháp có ưu, nhược điểm riêng Với loại tốn ln địi hỏi phương pháp cụ thể để giải cách đơn giản Sự đời phương pháp toạ độ góp phần đơn giản hố phần lớn tốn hình học không gian Thông qua phương pháp toạ độ phương pháp vectơ xây dựng thêm cơng cụ giải tốn, cho phép đại số hố hình học, hình học hố đại số Với học sinh lớp 12 nay, việc giải tốn hình học không gian sơ cấp vấn đề cần thiết Các tốn hình học khơng gian tổng hợp (cổ điển) mà lời giải địi hỏi vận dụng phức tạp kiến thức hình học khơng gian như: chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc, dựng hình để tính góc khoảng cách, tính thể tích khối đa diện… thường xuất đề thi Đại học, Cao đẳng Vì việc tiếp cận lời giải thực tế cho thấy thật khó khăn cho học sinh, chẳng hạn tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Trong đó, bỏ qua yêu cầu bắt buộc phải dựng hình mà dừng mức độ tính tốn rõ ràng phương pháp tọa độ tỏ hiệu tất tính tốn cơng thức hóa Ở học kỳ II lớp 12 em làm quen với phương pháp tọa độ khơng gian, sử dụng phương pháp toạ độ không gian để giải tốn hình học khơng gian cách thuận tiện Vì lý nên em chọn đề tài “ Sử dụng phương pháp tọa độ để giải tập góc khoảng cách không gian “ làm đề tài luận văn SVTH : Đồn Thị Kim Can Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC Phạm vi nghiên cứu Đề tài “ Sử dụng phương pháp tọa độ để giải tập góc khoảng cách không gian “ nghiên cứu đưa phương pháp giải tốn hình học khơng gian chương trình tốn trung học phổ thơng Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương: Chương I : “Một số kiến thức phương pháp tọa độ khơng gian”, chương hệ thống hóa kiến thức phương pháp tọa độ khơng gian, đưa bước giải tốn hình học không gian phương pháp tọa độ giới thiệu số cách đặt trục tọa độ với số dạng hình đặc biệt Chương II : “Các dạng tốn góc khoảng cách sử dụng phương pháp tọa độ khơng gian để giải”, chương trình bày số dạng tốn góc khoảng cách nêu lên cách giải dạng toán phương pháp tọa độ SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN I Hệ tọa độ đề khơng gian Định nghĩa z Trong không gian xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz có chung điểm góc O đơi vng góc với gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian y O Kí hiệu: Oxyz Các vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz x ⃗⃗ 𝑖⃗ , 𝑗⃗ , 𝑘 Điểm O gốc tọa độ , Ox trục hoành, Oy trục tung, Oz trục cao Các mặt phẳng qua hai ba trục tọa độ gọi mặt phẳng tọa độ Kí hiệu: (Oxy), (Oxz), (Oyz) Tọa độ vectơ hệ tọa độ *Tọa độ vectơ z m Trong không gian tọa độ Oxyz ⃗⃗ cho vectơ 𝑚 với vectơ đơn vị 𝑖⃗ , 𝑗⃗ , 𝑘 ⃗⃗⃗ M tồn số (x;y;z) cho m  xi  y j  zk Bộ ba số gọi O y tọa độ vectơ 𝑚 ⃗⃗⃗ Kí hiệu : m  ( x, y, z ) SVTH : Đoàn Thị Kim Can x Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC m  ( x, y, z )  m  xi  y j  zk *Tính chất Cho vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ) số 𝑘 tùy ý a1  b1  a) a  b  a2  b2 a  b  3 b) a  b  (a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 ) c) ka  k (a1 ; a2 ; a3 )  (ka1 , ka2 , ka3 ),(k ℝ ) d) a.b  a1b1  a2b2  a3b3 (biểu thức tọa độ tích vơ hướng hai vectơ)   a  a12  a22  a32 ⃗⃗ , 𝑏⃗⃗ ≠ ⃗⃗, gọi 𝜑 góc hợp 𝑎⃗ 𝑏⃗⃗, ta có e) Với 𝑎⃗ ≠ cos  ab ab  a1b1  a2b2  a3b3 a12  a22  a32 b12  b22  b32  a  b  a1b1  a2b2  a3b3  Tọa độ điểm hệ tọa độ z *Tọa độ điểm Trong khơng gian Oxyz, gọi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ta (x ; y ; z) tọa độ 𝑂𝑀 nói (x ; y ; z) tọa độ điểm M Kí hiệu: M = (x ; y ; z) M(x ; y ; z) SVTH : Đoàn Thị Kim Can  i   k j M y x Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC *Liên hệ tọa độ vectơ tọa độ hai điểm mút Đối với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 𝐴(𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ; 𝑧𝐴 ) ; 𝐵(𝑥𝐵 ; 𝑦𝐵 ; 𝑧𝐵 ) AB  ( x B  xA ; yB  y A ; zB  z A ) Tích có hướng hai vectơ tính chất * Tích có hướng hai vectơ Cho hai vectơ không phương a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) Khi tích có hướng hai vectơ a b , kí hiêu a  b [a , b ] a a b   b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2   b2  Hay [a, b ]  (a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 ) * Tính chất a.Vectơ u, v  vng góc với hai vectơ 𝑢 ⃗⃗ 𝑣⃗, tức là: u, v  u  u, v  v        b u, v   u v sin u, v c u, v   hai vectơ 𝑢 ⃗⃗ 𝑣⃗ phương SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC II Phương trình mặt phẳng 1.Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ⃗⃗ gọi vectơ pháp tuyến a) Định nghĩa Vectơ 𝑛⃗⃗ khác vectơ mặt phẳng (𝛼) nằm đường thẳng vng góc với (𝛼) Kí hiệu : 𝑛⃗⃗ ⊥ (𝛼) Nhận xét : Một mặt phẳng có vơ số vectơ pháp tuyến, vectơ khác vectơ ⃗0⃗ vng góc với mặt phẳng Các vectơ phương với b) Chú ý  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz a   a1 ; a2 ; a3  b   b1 ; b2 ; b3  hai vectơ không phương đường thẳng chứa chúng song song (hoặc nằm trên) mặt phẳng (𝛼) vectơ a na b   b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2   b2  Là vectơ pháp tuyến mặt phẳng (𝛼)  Nếu M1 , M , M ba điểm không thẳng hàng mặt phẳng (𝛼) vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀1 𝑀2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀1 𝑀3 cặp vectơ phương (𝛼) vectơ n   M1M , M1M  vectơ pháp tuyến (𝛼) Phương trình tổng quát mặt phẳng a) Định nghĩa Phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = với A2  B2  C  SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC Được gọi phương trình tổng quát mặt phẳng Từ định nghĩa mặt phẳng ta có  Nếu mặt phẳng (𝛼) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ pháp tuyến 𝑛⃗⃗ = ( A ; B ; C ) phương trình (𝛼) : A x  x0   B  y  y0   C  z  z0    Nếu (𝛼) mặt phẳng có phương trình Ax + By + Cz + D = (1) 𝑛⃗⃗ = ( A ; B ; C ) vectơ pháp tuyến (𝛼) b) Các trường hợp riêng phương trình tổng quát  Nếu D = 0, mặt phẳng Ax + By + Cz = qua gốc tọa độ  Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, mặt phẳng By + Cz + D = (khơng có mặt x ) chứa song song với trục Ox.Tương tự cho trường hợp khơng có mặt y z phương trình mặt phẳng  Nếu phương trình mặt phẳng có dạng Cz + D = (khơng có mặt x, y) mặt phẳng song song trùng với mặt phẳng Oxy Tương tự cho trường hợp khơng có mặt x , z y , z phương trình mặt phẳng  Nếu A, B, C, D ≠ đặt a = D D D , b = , c = ta đưa A B C phương trình (1) dạng x y z    (2) a b c Mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz điểm (a ;0 ;0 ) , (0 ;b ;0 ) , (0 ;0 ;c ) Phương trình (2) gọi phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang 10 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz A ≡ 𝑂(0;0;0), B(a;0;0) ∈ 𝑂𝑥, D(0; 2a;0) ∈ 𝑂𝑦 , A’(0;0;c) ∈ 𝑂𝑧, 2a 2a a a a Ta có C(a ; a ; 0) , S( ; ; ) , O( ; ;0), 2 3 ⃗⃗⃗⃗⃗ =( a ; a ;  a ) 𝑆𝐶 2 a a a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑆𝐴 =( ; ; ) 2 a 2a + t a 2a 𝑦= + t a 𝑧= t { 𝑥= ⃗⃗⃗⃗⃗ Phương trình đường thẳng OM qua O có vtcp 𝑆𝐶 a t a 𝑦= t a 𝑧= t { 𝑥= Phương trình đường thẳng SA qua A(0;0;0) có vtcp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑆𝐴 a a 2a ) M = OM ∩ SA ⟹ M ( ; ; 3 3 a 3a a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝑆 =( ; ; ) = a ( ; ; )  a.n1 2 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a;-a;0) = a(1;-1;0)  a.n2 𝐷𝐶  n1 , n2    ; ;1    6  Phương trình mặt phẳng (SCD) qua D nhận  n1 , n2  làm vtpt SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang 59 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC 1 2a x yz 0 6 d ( M ;( SCD))  a a 2a 2a    6 6 2         1  6  6 2a a 3  3 Bài tốn 25: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi ̂ = 600 Lấy M, N trung điểm cạnh AA’, CC’ cạnh a, 𝐵𝐴𝐷 B’MDN hình vng Tính theo a khoảng cách từ C đến mặt phẳng (DMN) Giải: ̂ = 600 ⟹ ∆ BAD ∆ BAD có 𝐵𝐴𝐷 z B' A' Gọi O, O’ tâm hình thoi O' ABCD A’B’C’D’ C' D' M Ta có N AO = OC = a a ; OB = OD = 2 A B O Đặt AA’ = b y D C x N Chọn trục tạo độ cho: O(0;0;0) ,A ( C( a a ;0;0) ∈ 𝑂𝑥, B(0; ;0) ∈ 𝑂𝑦, 2 a a ;0;0) ∈ 𝑂𝑥, D(0; ;0) ∈ 𝑂𝑦, 2 Ta có A’ ( M ( a a a ;0; b) ∈ 𝑂𝑥𝑧, B '(0; ; b) ∈ 𝑂𝑦𝑧, C '( ;0; b) ∈ 𝑂𝑥𝑧 , 2 a b ;0; ) ∈ 𝑂𝑥𝑧 , 2 SVTH : Đoàn Thị Kim Can N( a b ;0; ) ∈ 𝑂𝑥𝑧 2 Trang 60 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC a a b ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a a b ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a a b ; ; ) , 𝑁𝐵′ = ( ; ; ) , 𝑀𝐵′= ( ; ; ) Ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝑀 = ( 2 2 2 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑁𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ 𝐷𝑀 B’MDN hình vng DM  NB '  MB ' MB '.MD  { Ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁𝐵′ DM  NB '  MB ' MB '.MD  3a a b2 b2 a ⟺    0⟺  ⟺ b2  2a ⟺ b  a 4 4 a a a a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ; ) 𝐷𝑀= ( 2 2  a a a a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ; ) 𝑀𝐵′= ( 2 2 a 3; 1;  n2    3;1;   a n1     n1 , n2   0; 2 6; 2  2 0; 2;1  2 n   Phương trình mặt phẳng (DMN) qua D có vtpt n 2y  z   Vậy d(C,(DMN)) = SVTH : Đoàn Thị Kim Can a 2  a 0 a 6 Trang 61 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC Bài toán 26: (ĐHDB – Khối B – 2003) Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶, cạnh đáy 𝑎, mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc (0 < 𝜑 < 900 ) Tính khoảng cách từ đỉnh 𝐴 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) Giải: Vì 𝑆 𝐴𝐵𝐶 hình chóp nên chân đường cao hạ từ đỉnh 𝑆 xuống mặt phẳng (ABC) trùng với z tâm 𝑂 đường tròn (𝐴𝐵𝐶) S Gọi M trung điểm BC ta có: C AO  a a OM  AM  3 M O ̂= 𝜑 AM ⊥ BC, SM ⊥BC nên 𝐴𝑀𝑆 x ∆SOM vng có SO = OM tan 𝜑 = a tan 𝜑 y 𝜑 A B Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ: A≡ 𝑂 (0;0;0), M (0; a ;0) ∈ 𝑂𝑦 Ta có O(0; a a a ;0) ∈ 𝑂𝑦, S (0; ; tan  ) )∈ 𝑂𝑦𝑧 3 a a ;0) ∈ 𝑂𝑥𝑦, 2 B( ; Ta có : BS  ( a a a ; ; tan  ) , i  (1;0;0) 6 a a a a ⟹  BS ; i   (0; tan  ; )  0;tan  ;1  n 6 6 SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang 62 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC Phương trình mặt phẳng (SBC) qua B có vtpt 𝑛⃗⃗ tan  y  z  a tan   Vậy a d ( A,( SBC ))  tan  a.tan  a   sin  tan   cos Bài tập 27: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Trên BD AD’ lấy hai điểm thay đổi M,N cho DM  AN  x (0  x  a 2) Chứng minh MN song song (AB’C’D) tính khoảng cách từ MN đến (AB’C’D) với x = a Giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho: z A  (0;0;0); B  (a;0;0) D  (0; a;0); A  (0;0; a) A’ C’ B’ N C  (a; a;0) Khi đó: D  (0; a; a) Gọi M  ( x1; y1; z1 ), N  ( x2 ; y2 ; z2 ) D’ D y A M x B C Ta có: DB  (a; a;0) , AD '  (0; a; a) Mặt khác theo giả thiết: DM  AN  x Đặt k  x a (0  x  a 2) (0  k  1) SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang 63 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC DM  k DB 𝑥1 = 𝑘𝑎 𝑥1 = 𝑘𝑎 ⟺ {𝑦1 − 𝑎 = −𝑘𝑎 ⟺ {𝑦1 = −𝑘𝑎 + 𝑎 𝑧1 = 𝑧1 = AN  k AD ' 𝑥2 = ⟺ {𝑦2 = 𝑘𝑎 𝑧2 = 𝑘𝑎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵′ = (𝑎; 0; 𝑎) = 𝑎(1; 0; 1) = 𝑎 𝑢 ⃗⃗ 𝑗⃗ = (0; 1; 0),  j, u   (1;0; 1)   ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⟺  j.u  𝑀𝑁 { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−𝑘𝑎; 2𝑘𝑎 − 𝑎; 𝑘𝑎) 𝑀𝑁 ⟹ MN song song với mặt phẳng (AB’C’D) Phương trình mặt phẳng (AB’C’D) : x – z = d (MN ,( AB ' C ' D))  d ( N ,( AB ' C ' D)  h Với x = a ⟹ k =   a; a ⟹ N  0; 2   a a  ⟹h  11  Bài toán khoảng cách hai đường thẳng chéo Bài tập 28: (ĐH D 2004) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, ∆ ABC cân C, O trung điểm AB, AB = 2a, OC = 1, BB’ = b a)Tính khoảng cách hai đường thẳng B’C, AC’ theo a, b b)Cho a,b thay đổi thoả 𝑎 + 𝑏 = Tìm a,b để khoảng cách hai đường thẳng B’C, AC’là lớn Giải: a)Tìm khoảng cách SVTH : Đồn Thị Kim Can Trang 64 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC z Chọn trục tọa độ hình vẽ: A' C' O(0 ; ; 0), A(a ; ; 0) ∈ 𝑂𝑥, B' B(−𝑎 ; ; 0) ∈ 𝑂𝑥, C(0 ; ; 0)∈ 𝑂𝑦, x Ta có B’(−𝑎 ; ; b)∈ 𝑂𝑥𝑧, A C’(0 ; ; b) ∈ 𝑂𝑦𝑧 C y O B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵′𝐶 = (a ; ;−𝑏) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶′ = (−𝑎 ; ; b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵′𝐴 = (2a ; ; −𝑏)  B ' C; AC '  (2b;0;2a)    B ' C; AC ' B ' A  2ab    B ' C; AC ' B ' A 2ab ab     d ( B ' C; AC ')  (*) 2 2  B ' C; AC ' 4(a  b ) a b   b)Tìm khoảng cách lớn Ta có 𝑎 + 𝑏 = a.b a  b2 a.b  2ab  ab ab a.b    4   Mặt khác: Vậy max d = √2 𝑎=𝑏 Dấu = xảy ⇔ { ⇔ a = b = 𝑎+𝑏 =4 Bài tập 29 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ tích Gọi I, J trung điển đoạn thẳng AA’, CD Tính khoảng cách lớn CI, A’J SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang 65 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC Giải: Gọi a, b, c ba kích thước hình hơp chữ nhật z Thể tích hình hộp V = a.b.c = D' A' Vì ABCD.A’B’C’D’ hình hộp chữ nhật C' B' Nên AA’ , AB, AD đôi vng góc với I Ta chọn trục tọa độ cho A D A ≡ 𝑂(0 ; ; 0), B(a ; ; 0) ∈ 𝑂𝑥, y J B D(0 ; b ; 0) ∈ 𝑂𝑦 , A’(0 ; ; c) ∈ 𝑂𝑧 C x Ta có C’(a ; b ; c), C(a ; b ; 0), D’(0 ; b ; c), I(0 ; ; c a ), J( ; b ; 0) 2 c a c ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐼 =(- a ; - b ; ), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴′𝐽= ( ; b ; - c), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴′𝐼 = (0 ; ; ), 2 CI , A ' J    bc ; 3ac ; ab      CI , A ' J  A ' I a.b.c   d (CI , A ' J )    2 2 2 CI , A ' J  4.b c  9b a  4b c   ÁP dụng bất đẳng thức Cauchy với số   2 a b c 4 , , với a.b.c =1 a b2 c 4    √144 2 a b c SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang 66 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC 𝑚𝑎𝑥 ℎ = Ta có 3 144 a b c   3 2 12 đạt Bài tập 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Các điểm M, N nằm đoạn thẳng AB, AD cho MB = MA; ND = 3NA Biết SA = a, MN vng góc với SM tam giác SMC cân S Tính khoảng cách hai đường thẳng SA MC theo a Giải: Vì ABCD hình vng nên AB ⊥ AD Từ A ta dựng trục Az cho Az ⊥ AB Az ⊥ AD Nên chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho S z A ≡ 𝑂(0 ; ; 0), B(a ; ; 0) ∈ 𝑂𝑥, D (0 ; a ; 0) ∈ 𝑂𝑦 , Ta có C(a ; a ; 0) ∈ 𝑂𝑥𝑦 a a M( ; ; 0) ∈ 𝑂𝑥, N(0 ; ;0), S(x ; y ; z) A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x- a ; y ; z) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(- a ; a ;0), 𝑀𝑆 𝑀𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x- a ;y - a; z) 𝐶𝑆 N M B x H D C y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = y = x – a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑆 Vì MN⊥ SM nên 𝑀𝑁 Vì tam giác SMC cân S nên MS = SC a 2  Suy  x     x  a   z  5. x  a   z 2  a2 ⟹ x  ax   x  4ax  a  x  10ax  5a ⟹ 5ax  5a  10ax  5a SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang 67 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC ⟹ x 3a 3a a Vậy S( ; ; z) 4 SA = a SA = 13 a a  z  a z = 16 3a a a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (a ; a ; 0) 𝐴𝑆 = ( ; ; ) , 𝑀𝐶 = ( ; a ; 0) , 𝐴𝐶 4  a a a  a3 a3 a3  MC ,AS     ; ;    , MC ,AS AC      8  Vậy a3 a3 a 93 d ( MC; SA)   28  2 31  a   a3   a  a 31       8       Bài tập 31: Cho tam giác ∆𝐴𝐵𝐶 vng A có AB = a , AC = 2a Đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (ABC) A Các điểm M, N thay đổi ∆ cho (MBC)  (NBC) MNBC tích nhỏ Tính khoảng cách hai đường thẳng NB MC Giải: ∆ ⊥ (ABC) nên ∆ ⊥ AB ∆ ⊥ AC Lại có AB ⊥ AC Nên chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A ≡ 𝑂(0 ; ; 0), B(a ; ; 0) ∈ 𝑂𝑥, C(0 ; 2a ; 0) ∈ 𝑂𝑦 , Giả sử : M(0 ; ; m) ∈ 𝑂𝑧, N(0 ; ; n) ∈ 𝑂𝑧 Mặt phẳng (MBC) có phương trình: SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang 68 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC x y z 1 1     có vtpt 𝑛⃗⃗1 =  ; ;  a 2a m  a 2a m  z M Mặt phẳng (NBC) có phương trình: x y z 1 1    có vtpt 𝑛⃗⃗2 =  ; ;  a 2a n  a 2a n  B A x N (MBC)  (NBC) ⟺ 𝑛⃗⃗1 𝑛⃗⃗2 = C 1 ⟺  2 0 a 4a m.n ⟺ m.n  y a 4a 4a  a  4a Vì m.n < Nên M, N nằm phía A Giả sử m> 0, n < ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 = (- a; 2a ; 0) , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑀 = (- a ; ; m) , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑁 = (- a ; ; n) Vậy 𝑉𝐵𝐶𝑀𝑁 = 1 BC  BM , BN   2a (m  n) 6 Áp dụng định lý cauchy cho số m, - n 𝑉𝐵𝐶𝑀𝑁 = 2 a (m  n) ≥ a 2 m.n  a m.n 3 Dấu xảy m = - n = 2a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (- a ; 2a ; 0), 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0 ; 2a ; - 2a ) , 𝑁𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (a ; ; 2a ) 𝐵𝐶 5 4a 2a 8a    NB, MC         ; ;2a  ,  NB, MC  BC  SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang 69 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC 8a  NB, MC  BC 10   d ( NB, MC )    a 2 2  NB, MC   4a   2a  2         2a     5 Bài tập 32 : (ĐH khối A – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH  (ABCD) SH = a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Giải: Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, ta có S z C  O(0 ; ; 0), B(a ; ; 0) ∈ 𝑂𝑥, D(0 ; a ; 0) ∈ 𝑂𝑦, y Ta có A(a ; a ; 0) N D a M trung điểm AB  M (a; ;0) a N trung điểm AD  N ( ; a;0) A H M C O B x H (Oxy)  H ( x; y;0) H  DM  CN  CH , CN phương DH , DM phương  x y x ya 2a 4a    x ,y a a a a 5  2 SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang 70 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC Vậy H( 2a 4a 2a 4a ; ;0 )  S ( ; ; a 3) 5 5 Khi đó, CS  ( 2a 4a a ; ; a 3), DM  (a;  ;0) 5 a2  CS , DM   ( ; a 3; a ) a Mặt khác CM  (a; ;0) Suy CS , DM  CM a 3 2a 57   d ( SC , DM )    19 a 19 CS , DM    SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang 71 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC KẾT LUẬN Luận văn “ Sử dụng phương pháp tọa độ để giải tập góc khoảng cách khơng gian “ đạt kết sau :  Tập trung vào việc đưa cách đặt trục tọa độ để giải tập hình học khơng gian góc khoảng cách  Trình bày lý thuyết cần thiết để giải tốn hình học không gian phương pháp tọa độ  Đưa số dạng tốn góc khơng gian  Bài tốn góc hai đường thẳng  Bài tốn góc đường thẳng mặt phẳng  Bài tốn góc hai mặt phẳng  Đưa số toán khoảng cách khơng gian  Bài tốn khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng  Bài toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song  Bài toán khoảng cách hai đường thẳng chéo  Đưa số tập áp dụng cụ thể cho dạng toán Hy vọng kết luận văn tiếp tục mở rộng nhiều để ứng dụng ngày hiệu cao việc dạy học SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang 72 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương SGK hình học 11 Nâng Cao NXB Giáo Dục 2013 [2] Văn Như Cương SGK hình học 12 Nâng Cao NXB Giáo dục – 2010 [3] Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí Phương pháp giải tốn hình học giải tích khơng gian Nhà xuất Hà Nội - 2007 [4] Vũ Thế Hữu Bộ đề thi tốt nghiệp THPT, Tuyển sinh đại học, cao đẳng mơn tốn NXB Đại Học Sư Phạm – 2012 [5] Đặng Khắc Nhân, Lê Đỗ Tập Giải tốn hình học khơng gian phương pháp toạ độ NXB Giáo dục - 1997 [6] Đỗ Thanh Sơn Phương pháp giải tốn hình học 12 NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội – 1998 SVTH : Đoàn Thị Kim Can Trang 73 ... với phương pháp tọa độ không gian, sử dụng phương pháp toạ độ khơng gian để giải tốn hình học khơng gian cách thuận tiện Vì lý nên em chọn đề tài “ Sử dụng phương pháp tọa độ để giải tập góc khoảng. .. Một số cách đặt trục tọa độ với số hình đặt biệt mà ta thường sử dụng 14 CHƯƠNGII CÁC DẠNG TỐN VỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN I Bài tốn góc ... BẢN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I Hệ tọa độ đề không gian Định nghĩa z Trong không gian xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz có chung điểm góc O đơi vng góc với gọi hệ trục tọa độ vuông góc