Ứng dụng phương pháp tọa độ để chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị và giải hệ phương trình

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN - - KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM CỰC TRỊ VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Giảng viên hướng dẫn Sinh viên thực Ngành Lớp Khóa : ThS Nguyễn Thị Hà Phương : Nguyễn Thánh Trâm : Sư phạm Toán : 12ST : 2012 - 2016 Đà Nẵng, tháng năm 2016 Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng nói chung, thầy giáo khoa Tốn nói riêng tận tình giảng dạy tơi suốt thời gian học tập trường Tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo hướng dẫn: Thạc sỹ Nguyễn Thị Hà Phương tận tình hướng dẫn, giúp đỡ bảo cho tơi suốt q trình hồn thành khóa luận Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô phản biện, thầy cô hội đồng chấm khóa luận dành thời gian đọc cho nhận xét MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng, phạm vi nghiên cứu IV Nhiệm vụ nghiên cứu V Phương pháp nghiên cứu PHẦN NỘI DUNG .6 CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Phương pháp tọa độ mặt phẳng 1.1.1 Khái niệm hệ trục tọa độ mặt phẳng 1.1.2 Tọa độ điểm vectơ mặt phẳng .6 1.1.3 Liên hệ tọa độ vectơ tọa độ điểm mút 1.1.4 Phương trình đường thẳng .7 1.1.5 Góc khoảng cách 1.1.6 Đường tròn .9 1.2 Phương pháp tọa độ không gian 10 1.2.1 Khái niệm hệ trục tọa độ không gian .10 1.2.2 Tọa độ điểm vectơ không gian 10 1.2.3 Liên hệ tọa độ vectơ tọa độ điểm mút .11 1.2.4 Tích có hướng hai vectơ 11 1.2.5 Các công thức tính diện tích thể tích 12 1.2.6 Phương trình mặt phẳng khơng gian 12 1.2.7 Phương trình đường thẳng không gian 13 1.2.8 Vị trí tương đối đường thẳng 13 1.2.9 Góc khoảng cách .14 1.2.10 Mặt cầu 15 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KIẾN THỨC VẬN DỤNG 18 2.1 Sử dụng bất đẳng thức 18 2.2 Sử dụng số kết toán cực trị thường dùng 18 2.3 Một số dấu hiệu nhận biết 21 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM CỰC TRỊ VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 22 3.1 Ứng dụng phương pháp tọa độ vào toán chứng minh bất đẳng thức 29 BÀI TOÁN ĐỀ NGHỊ 39 3.2 Ứng dụng phương pháp tọa độ vào tốn tìm cực trị biểu thức 40 BÀI TOÁN ĐỀ NGHỊ 50 3.3 Ứng dụng phương pháp tọa độ vào toán hệ phương trình 51 BÀI TỐN ĐỀ NGHỊ 60 KẾT LUẬN 62 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Trong giảng dạy mơn tốn, ngồi việc giúp học sinh nắm chắn kiến thức việc phát huy tính tích cực học sinh, biết lựa chọn phương pháp học vào giải toán điều cần thiết Bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, giải hệ phương trình dạng tốn phổ biến quan trọng chương trình phổ thông, thường gặp đề tuyển sinh đại học – cao đẳng chuyên đề hay gặp đề thi chọn học sinh giỏi phổ thơng Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, giải hệ phương trình, việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc nhiều vào đặc thù toán Đứng trước toán này, học sinh phổ thông thường lúng túng phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức Côsi hay sử dụng Bunhiacopski… Nói đến phương pháp tọa độ, người thường hay nghĩ đến tốn hình học giải tích Thực tế cho thấy nhiều tốn đại số giải theo cách nhìn Đại số khó phức tạp, khéo léo chuyển sang cách nhìn Hình học sử dụng phương pháp tọa độ vào lời giải ngắn gọn, dễ hiểu so với phương pháp khác Sẽ khơng có nhiều người nghĩ phương pháp tọa độ cho ta lời giải hay toán đại số: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, giải hệ phương trình,… Cùng với nhiều phương pháp khác, phương pháp tọa độ phương pháp hữu hiệu để giải nhiều toán sơ cấp Phương pháp tọa độ dùng để giải toán chứa “Cái hồn hình học” mà nhiên ta chưa nhìn thấy Vì lý trên, tơi chọn đề tài “Ứng dụng phương pháp tọa độ để chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, giải hệ phương trình” làm khóa luận tốt nghiệp II Mục đích nghiên cứu  Hệ thống hóa cách chi tiết vấn đề lý thuyết phương pháp tọa độ  Xây dựng hệ thống tập vận dụng để từ thấy tầm quan trọng tính thiết thực lý thuyết phương pháp tọa độ dạng toán III Đối tượng, phạm vi nghiên cứu  Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương pháp tọa độ số tập sử dụng phương pháp tọa độ để giải  Phạm vi nghiên cứu: Một số toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, giải hệ phương trình IV Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, giáo trình, trang web liên quan đến phương pháp tọa độ để rút số dạng toán phương pháp giải toán liên quan ứng dụng phương pháp tọa độ V Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc giáo trình, tài liệu tham khảo để hệ thống hóa, phân dạng tốn  Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tích lũy kinh nghiệm có thân, thầy cơ, bạn bè, anh chị khóa trước để nghiên cứu sâu hơn, kĩ  Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: hỏi trực tiếp thầy hướng dẫn kiến thức có liên quan đến đề tài PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Hình học giải tích sáng lập nhà bác học người Pháp: Descartes (1596 – 1650) Fermar (1601 – 1655) Cốt lõi phương pháp xác lập tương ứng cặp số thực có thứ tự với vectơ, điểm mặt phẳng hay khơng gian; nhờ đó, xếp tương ứng có kiện cố định toán giúp cho việc giải toán hình học chuyển sang tính tốn cách định lượng Ở chương trình bày lại số kiến thức tọa độ mặt phẳng không gian 1.1 Phương pháp tọa độ mặt phẳng 1.1.1 Khái niệm hệ trục tọa độ mặt phẳng Hệ gồm trục Ox Oy vuông góc với gọi hệ trục tọa độ Các vectơ đơn vị trục Ox Oy i j i  j  1.1.2 Tọa độ điểm vectơ mặt phẳng Tọa độ điểm  Tọa độ điểm M ( x; y )  OM  xi  y j  Tọa độ điểm đặc biệt Cho A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ), C ( x3 ; y3 ) Trung điểm AB có tọa độ là:  x  x2 y1  y2  I ;    Tọa độ trọng tâm tam giác ABC:  x  x2  x3 y1  y2  y3  G ;  3   Tọa độ vectơ u  ( x; y)  u  xi  yj  Các tính chất Cho vectơ u1  ( x1; y1 ), u2  ( x2 ; y2 ) số k tùy ý, ta có: u1  u2  x1  x2 , y1  y2 u1  u2  ( x1  x2 ; y1  y2 ) ku1  ( kx1 ; ky1 ) u1.u2  x1 x2  y1 y2 u1  u1  x12  y12  x1 x2  y1 y2  cos u1 , u2  x12  y12 x2  y2 u  0, u2   u1  u2  u1.u2   x1 x2  y1 y2  1.1.3 Liên hệ tọa độ vectơ tọa độ điểm mút Cho điểm A( xA ; y A ) B( xB ; yB ) AB  ( xB  x A ; y B  y A ) AB   xB  x A  1.1.4 Phương trình đường thẳng   yB  y A  Phương trình tổng quát Đường thẳng d qua M ( x0 ; y0 ) với vectơ pháp tuyến n  (a; b) có phương trình a( x  x0 )  b( y  y0 )  Phương trình ax  by  c  , với a2  b2  phương trình mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n  (a; b) Các trường hợp riêng  Nếu a  0, b  d : by  c  song song trùng trục Ox  Nếu a  0, b  d : ax  c  song song trùng trục Oy  Nếu a  0, b  0, c  d : ax  by  qua gốc tọa độ  Đường thẳng d cắt trục Ox, Oy điểm M (a;0), N (0; b) có phương trình x y   (Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) a b Phương trình theo hệ số góc Phương trình đường thẳng d qua M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k là: y  k ( x  x0 )  y0 Phương trình tham số Phương trình tham số đường thẳng d qua M ( x0 ; y0 ) có vectơ phương u  ( a; b) :  x  x0  at (t  )   y  y0  bt Phương trình tắc Phương trình tắc đường thẳng d qua M ( x0 ; y0 ) có vectơ phương u  ( a; b) : x  x0 y  y0  a b Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho đường thẳng d d ' có phương trình: d : ax  by  c  d  : ax  by  c   đường thẳng cắt a b  a b  đường thẳng song song a b c   a b c  đường thẳng trùng a b c   a b c 1.1.5 Góc khoảng cách Góc đường thẳng Cho đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n  (a1; b1 ) đường thẳng d  vectơ pháp tuyến n2  (a2 ; b2 ) Góc đường thẳng d d ' ( d , d ')     0;90 xác định bởi: cos   n1.n2  n1 n2 a1a2  b1b2 a12  b12 a2  b2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng  : ax  by  c  d M ,   1.1.6 ax0  by0  c a  b2 Đường trịn Phương trình đường trịn Phương trình đường trịn tâm I (a; b) bán kính R: ( x  a )  ( y  b)  R Dạng khai triển: x  y  2ax  2by  c  với tâm I (a; b) R  a2  b2  c Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Cho đường tròn (C) có tâm I ( x0 ; y0 ) , bán kính R có phương trình: ( x  x0 )  ( y  y0 )  R đường thẳng  : ax  by  c  (a  b  0) Gọi H hình chiếu I lên  IH  d  I ,    ax0  by0  c a  b2 , đó:  IH  R   khơng cắt đường tròn (C)  IH  R   tiếp xúc với đường trịn (C) Khi  gọi tiếp tuyến đường tròn  IH  R   cắt đường tròn (C) điểm R2  5  14   R1  M trung điểm I1 I  M (1; 0; 2) A  67  M điểm tiếp xúc (S1 ) ( S2 ) I1 M  R1 I2M  I2M R2  M (3; 4; 4) Vậy max A  67 đạt (a; b; c)  (3; 4; 4) A  5 đạt (a; b; c)  (1; 0; 2) 49 BÀI TOÁN ĐỀ NGHỊ Bài toán 27: Cho số dương a, b, c số dương thay đổi x, y, z thỏa mãn điều kiện a b c    Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y z a) A  x  y  z b) B  Đáp số: a) A  b) B   1   x2 y z a b c  a  b2  c2 Bài toán 28: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  nhỏ biểu thức P  x  Đáp số: P  Tìm giá trị 4   y2    z2   2 y z z x x y 27 Bài toán 29: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x y2 biết số thực z2  x2  y  z  x, y, z thỏa mãn điều kiện  x  y  z  Đáp số: max P  0, P   622 291 a  b  c  25 Bài toán 30: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn  Tìm giá trị 2a  b  2c  12 lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  a  2b  2c Đáp số: max P  9, P  9 50 3.3 Ứng dụng phương pháp tọa độ vào toán hệ phương trình Bài tốn 31: (Bài trang 667, [5]) Giải hệ phương trình 2   x  y  xy   2   x  2x   y  y   x  xy  y  Lời giải Ta có x  x   y  y   x  xy  y   ( x  1)2  22  ( y  1)  12  ( x  y)  32 Xét vectơ u  ( x  1;2), v  ( y  1;1) Áp dụng bất đẳng thức u  v  u  v ta có: ( x  1)2  22  ( y  1)2  12  ( x  y)2  32 Đẳng thức xảy x 1 y 1   x  2y  Thay x  y  vào phương trình đầu hệ ta được: (2 y  3)  y  7(2 y  3) y   12 y  y    y   x  1  y    x     1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y)  (1; 1) ( x; y )    ;    4 Bài toán 32: (Bài trang 61, [4])  x  y  (3  z )  y  z  (3  x)    Giải hệ phương trình  y  z  (3  x)  z  x  (3  y )   2 2 2  z  x  (3  y )  x  y  (3  z )  Lời giải 51 Cộng vế theo vế phương trình ta được: x  y  (3  z )2  y  z  (3  x)2  z  x  (3  y )2  Xét vectơ sau u  ( x; y;  z), v  ( y; z;  x), w  ( z; x;  y) Khi u  v  w  ( x  y  z; x  y  z;  x  y  z ) Đặt t  x  y  z Áp dụng bất đẳng thức u  v  w  u  v  w ta có: x  y  (3  z )2  y  z  (3  x)2  z  x  (3  y )2  t  t  (9  t )2 2 2 Mà t  t  (9  t )  3t  18t  81  3(t  3)  54  54 t  Nên x  y  (3  z )2  y  z  (3  x)2  z  x  (3  y )2  Đẳng thức xảy  x : y : z  y : z : x  (3  z ) : (3  x) : (3  y )  x  y  z 1  x  y  z  Thử lại ta thấy nghiệm hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y; z )  (1; 1; 1) Bài toán 33: (Bài 3-7 trang 30, [1])  2008   x1   x2    x2007  2007 2007  Giải hệ phương trình  2006   x   x    x 2007  2007  2007 Lời giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn  Khi  với i  1, 2, , 2007 2007    2007 i 1 52    xi ;  xi với i  1, 2, , 2007 2007   i 1  2007 i 1  xi    2007 i 1  xi  2  2008   2006    2007    2007  2007   2007    2007.2008  2007.2006  2007 2007 2007 i 1 i 1     Điều chứng tỏ chiều độ dài  x1  x2   x2007   x1   x2    x2007  2007  x1  2007 2008 2007 2008 2007  x1  2007   x1  Vậy hệ có nghiệm x1  x2   x2007  2007 Bài toán 34: (Bài trang 667, [1]) x  y  z   Giải hệ phương trình  x  y  z   x 2014  y 2014  z 2014   Lời giải Xét vectơ u  ( x; y; z), v  (1;1;1) ta có u  x2  y  z     v    u.v  u v  u  v  u.v  x  y  z     x y z    mà x  y  z  suy x  y  z  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y; z )  (1; 1; 1) 53 Bài toán 35: (Bài trang 309, [6]) 4  x  y  z  Chứng minh hệ phương trình sau vô nghiệm  2  x  y  z  Lời giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét vectơ: u  ( x ; y ; z )  u  ; v  (1;1;2)  v  u.v  x  y  z   u v (1) Mà ta có u v  Vậy (1) vơ lí, mâu thuẫn với giả thiết nên hệ vơ nghiệm Bài tốn 36: (Bài trang 63, [4])  x2  y   y( x  z)  Giải hệ phương trình  x  x  y  2 yz (I) 3 x  y  xy  yz  x  z   Lời giải  x( x  y )  y ( y  z )   ( I )   x( x  1)  y (2 z  1)   4( x  y )  4( y  z )  ( x  1)  (2 z  1)  Xét vectơ u  ( x; y), v  ( x  y; y  z ), w  ( x  1; z  1) u.v  (1)  Khi u.w  (2)  2  4v  w (3) - Nếu u   x  y   z   - Nếu u  v w phương  w  2v 54 x    x   2( x  y )  w  2v    y  2 z   2( y  z )    z tuìy yï w.u   z   Hệ phương trình có nghiệm  1  0; ;    2  z x  x    2( x  y ) x   y     w  2v     2 z   2( y  z ) 4 z  2 y   y  1  x  Thay vào (1) ta có x  (1  x )  x x   4  5x2  5x   vơ nghiệm  hệ phương trình vô nghiệm 1 1   Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y; z )   0; 0;   ( x; y; z )   0; ;   2 2   Bài toán 37: (Bài 2-4 trang 360, [3])  a2   xa  ya  za 3 a  Giải hệ phương trình  (I) với a  a2    a  x  a  y  a  z  a Lời giải Điều kiện a  1,  a  x  a,  a  y  a,  a  z  a Xét u   a  x , a  y , a  z  u  3a  x  y  z  v  a  x ; a  y ; a  z  v  3a  ( x  y  z ) w  (1; 1; 1)  2  w 3 55  a2  u.w  a  (I )   a2   v.w  a 2 a2  a2 1  u.w  v.w  9  18a a a          u.w  u w  3(3a  x  y  z ) 2   u w  v w  18a Ta có  2  v.w  v w   3a  ( x  y  z )       u.w  u w  Hệ có nghiệm  đẳng thức xảy   v.w  v w  ax a y az     1  a y az  ax     1 Thay vào (1): x  a  x yz a2  1 x a a Vậy nghiệm hệ phương trình x  y  z  a Bài toán 38: (Bài trang 64, [4])  2013 x 2014  2014 y 2015  2015 x 2016  2014  Giải hệ phương trình  x  y  z  x  y  z   (I) 2 x  y  z    Lời giải  2013 x 2014  2014 y 2015  2015 x 2016  2014  (I)  ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  21 2 x  y  z    56 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ta có phương trình thứ hệ phương trình mặt cầu ( S ) tâm I (1; 2; 3) , bán kính R  21 , phương trình thứ hệ phương trình mặt phẳng ( P) : x  y  z   Ta có d  I ,( P)   2.(1)  1.(2)  4.(3)  22  12  42  21  R nên mặt phẳng ( P) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) Gọi H tiếp điểm Đường thẳng IH nhận n  (2;1; 4) làm vectơ phương  x  1  2t  Phương trình IH :  y  2  t  z  3  4t   x  1  2t  y  2  t  Tọa độ H nghiệm hệ   t   H (1; 1; 1) z    t  2 x  y  z   Thay x  1, y  1, z  vào phương trình thứ thấy thỏa Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y; z )  (1; 1; 1) Bài tốn 39: (Bài trang 675, [5]) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực x  y  2z  m   (I)  2 2  x  y  z  2mx  m  m   Lời giải x  y  2z  m   (I )   2 ( x  m)  y  z   m Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ta có hệ gồm phương trình mặt phẳng ( P) : x  y  z  m   phương trình mặt cầu ( S ) tâm I (m;0;0) , bán kính R   m (m  1) 57 Hệ phương trình có nghiệm  d  I ,( P )   R  1.m  1.0  2.0  m  12  12  22  1 m    m  Vậy   m  giá trị cần tìm Bài tốn 40: (Ví dụ 8.2 trang 358, [3])  x2  y  z   Tìm m cho hệ phương trình ( x  2)  ( y  2)  ( z  1)  2 x  y  z  m  có nghiệm ( x1; y1; z1 ), ( x2 ; y2 ; z2 ) cho biểu thức sau đạt GTLN: P  ( x2  x1 )  ( y2  y1 )  ( z2  z1 ) Lời giải Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ta có hệ gồm phương trình mặt cầu (S1 ) có tâm I1 (0;0;0) , bán kính R1  , mặt cầu ( S2 ) có tâm I (2; 2; 1) , bán kính R2  mặt phẳng ( P) : 2x  y  z  m  Ta có R2  R1  I1I  R2  R1 nên mặt cầu cắt theo giao tuyến đường trịn (C ) Phương trình đường trịn (C ) :  x  y  z   x2  y  z     2 2 x  y  z   ( x  2)  ( y  2)  ( z  1)  n  (2;  2;  1) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Q) : x  y  z   Gọi J ( x; y; z ) tâm đường tròn (C ), I1 J nhận n làm vectơ phương  x  2t  Phương trình I1 J :  y  2t  z  t  58  x  2t  y  2t  J  I1 J  (Q) nên tọa độ J nghiệm hệ   z  t  x  y  z    4t  4t  t    t  Ta có 4 2  J  ; ;  9 9 1 nên ( P), (Q) cắt m  2 Gọi M , N giao điểm mặt phẳng ( P) đường trịn (C ), tọa độ điểm nghiệm ( x1; y1; z1 ), ( x2 ; y2 ; z2 ) hệ phương trình Ta có MN  ( x2  x1 )  ( y2  y1 )  ( z2  z1 ) Vì ( P) cắt (C ) MN dây cung đường tròn nên MN lớn đường kính, hay ( P) phải qua tâm (C ) , tức  4 10       m   m   9 9 Vậy m  10 giá trị cần tìm 59 BÀI TỐN ĐỀ NGHỊ Bài tốn 41: Giải hệ phương trình 3x  y  26  2 2  x  y  x  y   x  y  20 x  10 y  125  10 Đáp số: ( x; y)  (6;2) Bài tốn 42: Giải hệ phương trình 2 2   x  xy  y   x  xy  y  14 x  20 y  25    x  25 y    Đáp số: ( x; y )   1;  1 1   ( x; y )  1;   5 5  Bài tốn 43: Giải hệ phương trình  3x  y    3x   y   Đáp số: ( x; y)  (3;3) Bài toán 44: Giải hệ phương trình  x   y     x   y   Đáp số: ( x; y)  (3;5)  x  ( y  6)  z  y  ( z  6)  x    Bài tốn 45: Giải hệ phương trình  y  ( z  6)  x  z  ( x  6)  y   2 2 2  z  ( x  6)  y  x  ( y  6)  z  Đáp số: ( x; y; z )  (2;  2;  2) Bài toán 46: Giải hệ phương trình x  y  z   a)  x  y  z   x3  y  z   x  y  z  a  b)  x  y  z  a  x3  y  z  a3  60 Đáp số: a) ( x; y; z)  (0; 0; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0) b) ( x; y; z)  (0; 0; a), (0; a; 0), (a; 0; 0) 2  x  y  z  14 Bài toán 47: Chứng minh hệ phương trình sau vơ nghiệm  4  x  y  z  13 Bài toán 48: Giải hệ phương trình 2 x  y  x  z  xz  xy  y  9 y ( z  y  1)  z ( z  3) 2( x  y )  ( y  x)( z  1)  ( z  2)( z  3)  2(5 x  y )  Đáp số: ( x; y; z )  (1; 2; 3) Bài tốn 49: Tìm tham số m để hệ phương trình có nghiệm ( x  1)  ( y  2)  z   ( x  2)  ( y  2)  ( z  1)  ( m  4) x  y  mz  m   ( x  1)  ( y  2)  ( z  1)  16   x  my  z  2m  x  z   Đáp số: m Bài toán 50: Gọi ( x1; y1; z1 ), ( x2 ; y2 ; z2 ) nghiệm hệ phương trình  x  y  z  12  mx  y  z  m  x  y   Tìm m cho biểu thức P  ( x2  x1 )  ( y2  y1 )  ( z2  z1 ) đạt giá trị nhỏ Đáp số: m  61 KẾT LUẬN Đề tài “Ứng dụng phương pháp tọa độ để chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị giải hệ phương trình” đạt mục đích đề sau: Hệ thống hóa cách chi tiết vấn đề lý thuyết phương pháp tọa độ Tìm hiểu mối liên hệ phương pháp tọa độ bất đẳng thức, áp dụng phương pháp tọa độ vào chứng minh bất đẳng thức Tìm hiểu mối liên hệ phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, áp dụng phương pháp tọa độ vào tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Tìm hiểu mối liên hệ phương pháp tọa độ hệ phương trình, áp dụng phương pháp tọa độ vào giải số dạng tốn giải hệ phương trình Đề tài phát mạnh phương pháp tọa độ việc chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giải hệ phương trình So với phương pháp thường gặp phương pháp tọa độ mà đề tài đưa đạt ưu điểm:  Có định hướng nhận dạng tốn tìm cách giải quy trình giải rõ ràng  Các tốn giải cách tự nhiên, phù hợp tư toán học  Giải lớp toán rộng hơn, áp dụng cho số lớp tốn  Đề tài đưa lời giải hướng dẫn 50 tốn: có 10 toán chứng minh bất đẳng thức, toán tìm cực trị, 11 tốn giải hệ phương trình 21 tập đề nghị: có toán chứng minh bất đẳng thức, toán tìm cực trị, 10 tốn giải hệ phương trình Đề tài sử dụng làm tài liệu tham khảo cho học sinh trung học phổ thông, sinh viên, giáo viên,… Trong khuôn khổ luận văn tốt nghiệp, hạn chế thời gian nên đề tài đạt mức độ định Hi vọng rằng, nội dung đề tài cịn tiếp tục hồn thiện mở rộng 62 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Đình Thì (2008), Dùng hình học giải tích để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức…, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Vasile Cirtoaje, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh (2010), Phân loại phương pháp giải toán bất đẳng thức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Phú Khánh, Nguyễn Tất Thu, Nguyễn Tấn Siêng (2012), Phân dạng phương pháp giải chuyên đề hình học 12, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Văn Phú Quốc (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn I, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Đặng Thành Nam, Những điều cần biết luyện thi quốc gia theo cấu trúc đề thi GD & ĐT: Kỹ thuật giải nhanh Hệ phương trình, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] PGS TS Nguyễn Văn Lộc, TS Nguyễn Viết Đông, ThS Hoàng Ngọc Cảnh, Trần Quang Tài, Hàn Minh Toàn, Hồ Điện Biên, Chun đề Tốn hình học: Tọa độ phẳng không gian Bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi đại học, NXB Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh [7] Bộ Giáo dục đào tạo (2011), Hình học nâng cao 12, NXB Giáo dục Việt Nam [8] Bộ Giáo dục đào tạo (2008), Hình học nâng cao 10, NXB Giáo dục Việt Nam [9] Tạp chí tốn học tuổi trẻ [10] https://chuthanhtieptoantin.wordpress.com/2013/06/23/giai-phuong-trinh-hephuong-trinh-bang-phuong-phap-vec-to/ [11] http://www.mathvn.com/2014/08/su-dung-phuong-phap-toa-o-e-tim-giatri.html [12] http://www.slideshare.net/ngogiatuan/sach-bat-dang-thuc-rat-hay?related=1 63 ... MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM CỰC TRỊ VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 22 3.1 Ứng dụng phương pháp tọa độ vào toán chứng minh bất đẳng thức 29 BÀI TOÁN ĐỀ NGHỊ 39 3.2 Ứng dụng phương pháp tọa độ vào... CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM CỰC TRỊ VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở chương trình bày cách giải số toán phương pháp để làm bật mạnh phương pháp tọa độ, từ đưa... luận văn áp dụng phương pháp tọa độ để giải số lớp toán chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị giải hệ phương trình 28 3.1 Ứng dụng phương pháp tọa độ vào toán chứng minh bất đẳng thức Bài toán 5: