Phương pháp giải một số bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG 28 2.1 Nghiệm chung của bài toán điểm bất động của ánh xạ giả co chặt và bài toán cân bằng.. MỞ ĐẦULịch sử vấn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐẶNG XUÂN SƠN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐẶNG XUÂN SƠN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 62460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :

1 GS.TSKH Lê Dũng Mưu

2 GS.TSKH Phạm Kỳ Anh

XÁC NHẬN NCS ĐÃ CHỈNH SỬA THEO QUYẾT NGHỊ

CỦA HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ LUẬN ÁN

Người hướng dẫn khoa học Chủ tịch hội đồng đánh giá

Luận án Tiến sĩ

GS.TSKH Lê Dũng Mưu PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh

Hà Nội - 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả viết chungvới các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận

án Các kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được aicông bố trong bất cứ một công trình nào khác

Hà nội, ngày tháng năm

Nghiên cứu sinh

Đặng Xuân Sơn

LỜI CẢM ƠN

Bản luận án này được hoàn thành tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Cơ-Tin học,Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, dưới sự hướng dẫncủa GS TSKH Lê Dũng Mưu và GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tác giả xin bày tỏlòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất đến các Thầy về sự chỉ bảo và hướng dẫntận tình trong suốt thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thành viên trong nhóm Xêmina liên cơquan Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Trường Đạihọc Bách khoa Hà Nội, Viện nghiên cứu cao cấp về Toán đã đóng góp nhiều ý kiếnquý báu trong thời gian tác giả tham dự Xêmina

Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm KhoaToán-Cơ-Tin học, ban giám hiệu Trường THPT chuyên Trần Phú Hải Phòng đãluôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá trình họctập và nghiên cứu

Bản luận án này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự thông cảm, chia sẻ

và giúp đỡ của những người thân trong gia đình tác giả Tác giả thành kính dângtặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành và toàn thể gia đình thân yêucủa mình với tấm lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc

MỤC LỤC

Trang

1.1 Toán tử chiếu 15

1.2 Bài toán điểm bất động 16

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân 17

1.4 Bài toán cân bằng 22

Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG 28 2.1 Nghiệm chung của bài toán điểm bất động của ánh xạ giả co chặt và bài toán cân bằng 28

2.2 Bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm chung của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động của ánh xạ bán co 38 2.3 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của các ánh xạ bán co 52

Chương 3 BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG 64 3.1 Bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng và điểm bất động 64

3.2 Bài toán tìm cực trị của hàm khoảng cách trên tập nghiệm của bài toán cân bằng tách 75

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 91

Rn không gian Euclide n−chiều

hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và yargmin{f (x) : x ∈ C} phần tử cực tiểu hàm f trên Cargmax{f (x) : x ∈ C} phần tử cực đại hàm f trên C

NC(x) nón pháp tuyến ngoài của C tại x

∂f (x) dưới vi phân của hàm f tại x

PC(x) hình chiếu của x lên C

xn −→ x dãy {xn} hội tụ mạnh tới x

xn * x dãy {xn} hội tụ yếu tới x

lim sup giới hạn trên

lim inf giới hạn dưới

A∗ toán tử liên hợp của A

Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

V IP (C, F ) bài toán bất đẳng thức biến phânSol(C, F ) tập nghiệm của bài toán V IP (C, F )

EP (C, f ) bài toán cân bằng

Sol(C, f ) tập nghiệm của bài toán cân bằng EP (C, f )

BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT

VIP bài toán bất đẳng thức biến phân

SEP bài toán cân bằng tách

CFP bài toán chấp nhận lồi

GCFP bài toán chấp nhận lồi suy rộngSFP bài toán chấp nhận tách

MSSFP bài toán chấp nhận tách đa tập hợpSFPP bài toán điểm bất động tách

MỞ ĐẦU

Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài

Nhiều vấn đề trong khoa học và kĩ thuật như khôi phục ảnh, xử lý tín hiệu vànhiều bài toán như: tối ưu, bất đẳng thức biến phân, giải hệ phương trình, cânbằng, (xem [10, 29, 31] và các tài liệu tham chiếu ở đây) đều có thể đưa về việc giảibài toán chấp nhận lồi (CFP - Convex Feasibility Problem) sau đây:

Bài toán CFP được Cauchy đề cập từ giữa thế kỉ 19 và nhận được sự quan tâm

và nghiên cứu rộng rãi trong hai thập niên gần đây cả về lý thuyết và thuật toán.Đây là một bài toán cơ bản và khá tổng quát của toán giải tích, toán học tính toán

và toán ứng dụng Bài toán chấp nhận lồi đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhàtoán học từ những năm 30 của thế kỷ trước, nhưng cho đến nay, đây vẫn là mộtvấn đề thời sự, do tính lý thú về mặt toán học và đặc biệt là phạm vi ứng dụngrất rộng rãi của bài toán trong các lĩnh vực như xử lý tín hiệu, khôi phục ảnh, lýthuyết tối ưu, kĩ thuật y sinh và lý thuyết xấp xỉ [29] Một số tác giả tiêu biểu vềhướng nghiên cứu này là Bauschke và Borwein [10], Butnariu, Censor, Reich [15], Dạng đơn giản nhất của bài toán CFP là tìm điểm chung của các tập lồi đóngcho trước Trong trường hợp này thì kĩ thuật phổ biến giải bài toán CFP là sửdụng phép chiếu lên các tập lồi với một số phương pháp như phương pháp chiếuxoay vòng (tuần tự), phương pháp chiếu lặp song song (đồng thời), phương pháp lặpkhối, Tuy nhiên, trong thực tế thì thường các tập Ciđều không được cho dưới dạng

tường minh, theo nghĩa là hình chiếu lên các tập này không thể tính được một cáchtrực tiếp Thay vào đó các tập Ci được cho dưới dạng ẩn, tức chúng là tập nghiệmcủa các bài toán nào đó, chẳng hạn như bài toán hệ phương trình, bài toán cânbằng, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tìm điểm bất động của một ánhxạ, Trong luận án này chúng tôi gọi các bài toán chấp nhận lồi trong các trườnghợp đó là bài toán chấp nhận lồi suy rộng (GCFP - Generalized Convex FeasibilityProblem) Thuật toán giải các bài toán chấp nhận lồi suy rộng đã được nhiều tác giảtrong và ngoài nước nghiên cứu [3,5,6,22,25,26,33,39,41,42,44,46,46,54,59–62,72].Bài toán chấp nhận lồi suy rộng là một trường hợp đặc biệt của bài toán chấpnhận tách suy rộng, tức là tìm một điểm thuộc tập nghiệm của một bài toán chấpnhận lồi suy rộng trong không gian nguồn sao cho ảnh của nó qua một toán tửtuyến tính bị chặn thuộc tập nghiệm của một bài toán chấp nhận lồi suy rộng kháctrong không gian ảnh Một trường hợp riêng rất quan trọng của bài toán chấp nhậntách suy rộng là bài toán chấp nhận tách đa tập hợp (MSSFP - Multiple-Sets SplitFeasibility Problem), tức là tìm một điểm thuộc giao của một họ các tập lồi đóngtrong không gian nguồn sao cho ảnh của nó qua một toán tử tuyến tính bị chặnthuộc giao của một họ các tập lồi đóng trong không gian ảnh MSSFP được mô tảnhư sau:

A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn

Bài toán chấp nhận tách đa tập hợp được giới thiệu đầu tiên bởi Censor và cácđồng nghiệp [28] Bài toán chấp nhận tách đa tập hợp có nhiều ứng dụng thực tếtrong y học xạ trị [24, 28] và trong các bài toán khôi phục ảnh và xử lý tín hiệu [16].Trong những năm gần đây MSSFP đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu bởi nhiềunhà toán học (xem [8, 14, 74, 75] và các tài liệu tham chiếu ở đây)

Nội dung và Bố cục của luận án

Luận án nghiên cứu và đề xuất phương pháp giải một số bài toán chấp nhậntách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng trong không gian Hilbert thực Cácbài toán chấp nhận tách suy rộng được nghiên cứu trong luận án bao gồm: Tìmnghiệm chung của bài toán điểm bất động của ánh xạ giả co chặt và bài toán cânbằng, nghiệm chung của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bấtđộng của ánh xạ bán co, điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ bán

co, bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng và điểm bấtđộng, bài toán cân bằng tách Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo,luận án được chia làm 3 chương Kết quả chính của luận án được trình bày trongcác Chương 2 và 3

Trong Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị cũng như cáckết quả bổ trợ được sử dụng trong các chương 2 và 3 của luận án Cụ thể, chươngnày nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của toán tử chiếu trên một tập lồi đóng.Sau đó, chúng tôi trình bày lại một cách hệ thống các kết quả quan trọng về bàitoán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng Trongphần cuối của chương, chúng tôi nêu lên một số bổ đề được sử dụng trong chứngminh sự hội tụ của các thuật toán đề xuất trong luận án

Trong phần đầu của Chương 2, chúng tôi đưa ra thuật toán tìm nghiệm chungcủa bài toán điểm bất động của ánh xạ giả co chặt và bài toán cân bằng Chúng tôi

đã đề xuất một thuật toán kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường cho bài toáncân bằng giả đơn điệu và phép lặp Mann cho bài toán điểm bất động của ánh xạgiả co chặt Điểm mới so với các thuật toán đã biết là chúng tôi xét bài toán cânbằng giả đơn điệu, là bài toán tổng quát hơn bài toán cân bằng đơn điệu, đồng thờiánh xạ giả co chặt là một mở rộng của ánh xạ không giãn Tiếp theo, chúng tôi đưa

ra thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm chung của bàitoán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động của ánh xạ bán co Trongmục cuối cùng của chương, chúng tôi đề xuất thuật toán song song để giải bài toánbất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn cácánh xạ bán co

Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu và đề xuất thuật toán giải một vài lớp

bài toán chấp nhận tách suy rộng Bằng cách kết hợp phương pháp đạo hàm tăngcường giải bài toán cân bằng giả đơn điệu, phương pháp điểm gần kề giải bài toáncân bằng đơn điệu, phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động của ánh xạ khônggiãn và thuật toán CQ cho bài toán chấp nhận tách, chúng tôi thu được thuật toántìm nghiệm của bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng

và điểm bất động Từ đó chúng tôi thu được thuật toán tìm nghiệm của bài toáncân bằng tách, thuật toán tìm nghiệm của bài toán cân bằng [58], thuật toán tìmnghiệm của bài toán điểm bất động tách, thuật toán CQ [68] để giải bài toán chấpnhận tách Trong mục tiếp theo, chúng tôi đưa ra thuật toán giải bài toán tìm cựctrị của hàm khoảng cách trên tập nghiệm của bài toán cân bằng tách và một số

hệ quả của nó Bằng cách kết hợp thuật toán CQ, phương pháp lặp Halpern vàphương pháp đạo hàm tăng cường, chúng tôi xây dựng được dãy lặp hội tụ mạnhđến nghiệm duy nhất của bài toán

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu một số thuật toán giải bài toán chấpnhận tách suy rộng và bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bàitoán chấp nhận tách suy rộng sau đây:

• Tìm nghiệm chung của bài toán điểm bất động của ánh xạ giả co chặt và bàitoán cân bằng

• Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm chung của bài toán bấtđẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động của ánh xạ bán co

• Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của các ánh

Phương pháp nghiên cứu

Để thu được những kết quả nói trên chúng tôi đã sử dụng đến nhiều kết quả vàphương pháp của giải tích hàm, giải tích lồi Ngoài ra các kiến thức và công cụ khácnhau của tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng và lý thuyết điểmbất động cũng đã được kết hợp sử dụng để xây dựng các thuật toán và đặc biệt là

để chứng minh các kết quả về sự hội tụ Cụ thể như sau:

• Để tìm nghiệm chung của bài toán điểm bất động của các ánh xạ giả co chặt

và bài toán cân bằng, chúng tôi kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cườngcho bài toán cân bằng và phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động của ánh

xạ giả co chặt

• Để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm chung của bàitoán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động của ánh xạ bán co,chúng tôi sử dụng phương pháp chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân

và phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động của ánh xạ bán co

• Để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung củacác ánh xạ bán co, chúng tôi sử dụng kỹ thuật phân rã song song và phép lặpMann để tìm điểm bất động chung của các ánh xạ bán co kết hợp với phươngpháp lai ghép đường dốc nhất để giải bài toán bất đẳng thức biến phân

• Để tìm nghiệm của bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toáncân bằng và điểm bất động, chúng tôi sử dụng phương pháp đạo hàm tăngcường-gần kề cho bài toán cân bằng, phương pháp lặp Mann tìm điểm bấtđộng của ánh xạ không giãn và thuật toán CQ cho bài toán chấp nhận tách

• Để tìm cực trị của hàm khoảng cách trên tập nghiệm của bài toán cân bằngtách, chúng tôi kết hợp thuật toán CQ cho bài toán chấp nhận tách với phươngpháp lặp Halpern và phương pháp đạo hàm tăng cường giải bài toán cân bằng

Kết quả của luận án

Luận án đã đạt được các kết quả chính sau đây:

• Đề xuất và chứng minh được tính đúng đắn, sự hội tụ của thuật toán tìmnghiệm chung của bài toán điểm bất động của các ánh xạ giả co chặt và bàitoán cân bằng Đóng góp mới ở đây là đã xét trường hợp ánh xạ giả co chặt

là một lớp ánh xạ rộng hơn lớp ánh xạ không giãn đã được xét bởi các tác giảkhác Hơn nữa ở đây song hàm cân bằng chỉ là giả đơn điệu

• Xây dựng thuật toán giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm chung củabất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động của ánh xạ bán co Đãchứng minh được tính đúng đắn và sự hội tụ của thuật toán đề xuất Điểmmới ở đây là chúng tôi đã xét bài toán với ánh xạ bán co

• Đề xuất thuật toán song song giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tậpđiểm bất động chung của các ánh xạ bán co Chứng minh được tính đúng đắn

và sự hội tụ của thuật toán đưa ra

• Xây dựng và chứng minh được tính đúng đắn, sự hội tụ của thuật toán tìmnghiệm của bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng

và điểm bất động Theo chúng tôi được biết, đây là một thuật toán đầu tiêncho bài toán này

• Đưa ra thuật toán mới giải bài toán tìm cực trị của hàm khoảng cách trêntập nghiệm của bài toán cân bằng tách cũng như chứng minh được sự hội tụ

và tính đúng đắn của thuật toán

Các kết quả của luận án được công bố trong 5 bài báo [1-5] trên các tạp chí chuyênngành quốc tế thuộc hệ thống ISI và SCOPUS, đã được nêu trong danh mục côngtrình khoa học và được báo cáo tại

• Xêmina của bộ môn giải tích - Khoa Toán Cơ Tin học - Trường Đại học Khoahọc Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Xêmina liên cơ quan Đại học Khoahọc Tự nhiên, Đại học Bách khoa Hà Nội và Viện nghiện cứu cao cấp về Toán

• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 15, Ba Vì, 20-22/4/2017

• Hội thảo Quốc tế Việt Hàn về một số vấn đề chọn lọc trong toán học, ĐàNẵng, 20-24/2/2017

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản và kết quả bổ trợđược sử dụng trong luận án Phần đầu chương trình bày toán tử chiếu và các tínhchất của nó Các mục tiếp theo liên quan tới bài toán tìm điểm bất động, bài toánbất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng Phần cuối chương giới thiệu một số

bổ đề được dùng để chứng minh các kết quả trong luận án

(iii) Với mọi x, y ∈ H, ta có

kPC(x) − PC(y)k2 ≤ hPC(x) − PC(y), x − yi

(iv) Với mọi x, y ∈ H, ta có

Định nghĩa 1.1 Cho C ⊂ H là một tập khác rỗng và ánh xạ T : C −→ C Điểm

x ∈ C được gọi là điểm bất động của ánh xạ T nếu T (x) = x

Ta ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ), tức là

Đặc biệt, nếu γ = 0 thì T được gọi là tựa không giãn trên C

c) giả co chặt trên C với hệ số L ∈ [0, 1) (gọi tắt là L-giả co chặt trên C) nếu

kT (x) − T (y)k2 ≤ kx − yk2 + Lk(I − T )(x) − (I − T )(y)k2 ∀x, y ∈ C,

trong đó I là ánh xạ đồng nhất trên H;

d) thỏa mãn nguyên lý bán đóng (hoặc I − T bán đóng tại 0 với I là ánh xạđồng nhất) nếu với mọi dãy {xk} ⊂ C hội tụ yếu đến x và kT (xk) − xkk −→ 0 thì

x ∈ Fix(T )

Ta có các kết quả sau đây:

Bổ đề 1.2 [36] Giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực

H và T : C −→ C là ánh xạ không giãn Khi đó Fix(T ) là tập lồi đóng

Mệnh đề 1.1 [2] Giả sử C là tập lồi đóng và khác rỗng trong không gian Hilbertthực H, S : C −→ C là ánh xạ L-giả co chặt, Si : C −→ C là ánh xạ Li-giả co chặtvới mỗi i = 1, 2, , p, khi đó ta có

a) S thỏa mãn điều kiện Lipschitz

Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, Ω ⊂ H

là một tập chứa C, F : Ω −→ H là một ánh xạ Ta xét bài toán bất đẳng thức biếnphân V IP (C, F ) sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.1)Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ) được ký hiệu làSol(C, F ) và F được gọi là ánh xạ giá

Xét trường hợp F : Ω −→ H là ánh xạ đồng nhất Khi đó V IP (C, F ) trùng vớibài toán tìm phần tử có chuẩn nhỏ nhất trên C:

Do đó kxk ≥ kx∗k với mọi x ∈ C, hay x∗ ∈ C là phần tử có chuẩn nhỏ nhất

Ngược lại, nếu x∗ ∈ C là phần tử có chuẩn nhỏ nhất Vì C là tập lồi nên

Vậy x∗ là nghiệm của V IP (C, F )

Sự tồn tại nghiệm của V IP (C, F ) được suy ra từ tính liên tục của F và điều kiệntập C là compact Ta có kết quả sau:

Định lý 1.1 [43] Nếu C là tập lồi compact và F là liên tục trên C thì V IP (C, F )

có nghiệm

Trong trường hợp tập C không compact thì định lý điểm bất động Brouwerkhông còn có thể áp dụng được Khi đó sự tồn tại nghiệm của V IP (C, F ) có thểđược thiết lập dựa vào tính đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz của F

Định nghĩa 1.3 [30, 43] Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gianHilbert thực H Ánh xạ F : C −→ H được gọi là

a) đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0 (gọi tắt là β-đơn điệu mạnh trên C)nếu

T (x) = PC(x − λF (x)) ∀x ∈ C

Vì F đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0 và liên tục Lipschitz trên C với hệ số

L > 0 nên với mọi x, y ∈ C, ta có

hx∗− λF (x∗) − x∗, y − x∗i ≤ 0 ∀y ∈ C

Do đó

hF (x∗), y − x∗i ≥ 0 ∀y ∈ C

Vậy x∗ là nghiệm duy nhất của V IP (C, F )

Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966khi Philip Hartman và Guido Stampacchia công bố những nghiên cứu đầu tiên củamình về bất đẳng thức biến phân liên quan đến việc giải các bài toán điều khiểntối ưu và các bài toán biên trong phương trình đạo hàm riêng Bài toán bất đẳngthức biến phân đã nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà toán học vì nó làmột bài toán quan trọng trong giải tích phi tuyến, tối ưu, phương trình vi phân vàcác lĩnh vực khác [11, 12, 34, 38, 71] Ngoài ra bài toán bất đẳng thức biến phân cóquan hệ mật thiết và chứa nhiều bài toán quan trọng như bài toán tối ưu, bài toán

bù, bài toán điểm bất động Brouwer, cân bằng mạng lưới giao thông, lý thuyết tròchơi,

Một trong các hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biếnphân là xây dựng các phương pháp giải Trong các phương pháp giải bài toán bấtđẳng thức biến phân thì phương pháp chiếu đóng một vai trò quan trọng vì nó đơngiản và thuận tiện cho việc tính toán Phương pháp chiếu đơn giản nhất cho bàitoán bất đẳng thức biến phân là phương pháp chiếu một lần với dãy lặp xác địnhbởi

Phương pháp chiếu một lần đòi hỏi tính đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz củaánh xạ giá F Trong trường hợp ánh xạ giá F là giả đơn điệu và liên tục Lipschitz,

ta có phương pháp đạo hàm tăng cường để giải bài toán bất đẳng thức biến phân

V IP (C, F ) với thuật toán cho bởi

Gần đây, vào năm 2011, Censor và các đồng nghiệp [25] đã đề xuất phương phápdưới đạo hàm tăng cường với dãy lặp được xác định bởi

và nửa không gian Tk = {ω ∈ H : hxk − λF (xk) −

yk, ω − yki ≤ 0} Do phép chiếu lên nửa không gian Tk có thể tính được tường minhnên thuật toán Censor thực chất chỉ đòi hỏi một lần chiếu lên C Giả sử F : H −→ H

đơn điệu trên C, L-liên tục Lipschitz trên H và tập nghiệm Sol(C, F ) 6= ∅ Khi đó{xk} và {yk} hội tụ yếu đến nghiệm x∗ ∈ Sol(C, F ).

Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, f :

C × C −→ R ∪ {+∞} là một song hàm sao cho f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C Bài toáncân bằng EP (C, f ) cho song hàm f trên C là bài toán

Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C (1.2)

Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán cân bằng (1.2) là Sol(C, f ) Tập C được gọi làtập chấp nhận được hay là tập chiến lược và f là song hàm cân bằng của bài toán

EP (C, f )

Sau đây là một số bài toán quen thuộc có thể mô tả được dưới dạng bài toán cânbằng

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho C ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng và ánh xạ F : C −→ H Ta xét bài toánbất đẳng thức biến phân V IP (C, F )

Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗), y − x∗i ≥ 0 ∀y ∈ C

Xét song hàm f : C × C −→ R cho bởi

f (x, y) = hF (x), y − xi ∀x, y ∈ C

Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân trùng với EP (C, f )

Bài toán tìm điểm bất động

Cho T : C −→ C là một ánh xạ với C ⊂ H là một tập khác rỗng Bài toán tìmđiểm bất động của ánh xạ T là bài toán

Tìm x∗ ∈ C sao cho T (x∗) = x∗.Xét song hàm f : C × C −→ R cho bởi

f (x, y) = hx − T (x), y − xi ∀x, y ∈ C

Khi đó bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ T trùng với EP (C, f ).

Thật vậy, nếu T (x∗) = x∗ thì f (x∗, y) = 0 với mọi y ∈ C Do đó bất đẳng thức ở(1.2) đúng Vậy x∗ ∈ Sol(C, f )

Ngược lại, nếu x∗ ∈ Sol(C, f ) thì

f (x∗, y) ≥ 0 ∀y ∈ C

Do đó

hx∗− T (x∗), y − x∗i ≥ 0 ∀y ∈ C

Chọn y = T (x∗) ∈ C, ta được −kT (x∗) − x∗k2 ≥ 0 hay T (x∗) = x∗

Vậy x∗ là điểm bất động của ánh xạ T

Bài toán tối ưu

Cho C ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng và hàm số F : C −→ R Bài toán tối ưu

là bài toán được xác định bởi

min

x∈C F (x)Xét song hàm f : C × C −→ R cho bởi

f (x, y) = F (y) − F (x) ∀x, y ∈ C

Khi đó bài toán tối ưu trùng với bài toán cân bằng EP (C, f )

Bài toán điểm yên ngựa

Cho N ⊂ Rn, M ⊂ Rm là các tập lồi, đóng, khác rỗng và L : N × M −→ R Xétbài toán điểm yên ngựa

Tìm (x∗, y∗) ∈ N × M sao cho L(x∗, y) ≤ L(x∗, y∗) ≤ L(x, y∗) ∀(x, y) ∈ N × M.Một nghiệm (x∗, y∗) ∈ N × M của bài toán điểm yên ngựa được gọi là một điểmyên ngựa của L trên N × M

Bài toán điểm yên ngựa có thể mô tả được dưới dạng bài toán cân bằng bằng

EP (C, f ) với C = N × M bằng cách đặt

f (u, v) = L(x, y0) − L(x0, y),trong đó

u = (x0, y0) ∈ C = N × M, v = (x, y) ∈ C = N × M

Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác.

Xét trò chơi có p người chơi Giả sử Kj ⊂ Rn j, nj ∈ N∗ với j ∈ {1, 2, , p}, là cáctập lồi, đóng, khác rỗng và là tập chiến lược của người chơi thứ j, j ∈ {1, 2, , p}

Lj : C −→ R với C := K1 × K2 × · · · × Kp là hàm lợi ích của người chơi thứ j,

Lj(x1, , xj, , xp) là lợi ích của người chơi thứ j khi người chơi này chọn phương

án chơi xj ∈ Kj, còn những người chơi khác chọn phương án chơi xi ∈ Ki với mọi

i 6= j

Ta gọi x∗ = (x∗1, , x∗j, , x∗p) là điểm cân bằng của L := (L1, , Lj, , Lp)trên C := K1× K2× · · · × Kp nếu với mọi j ∈ {1, 2, , p} và mọi yj ∈ Kj, ta có

Lj(x∗1, , x∗j−1, yj, x∗j+1, , x∗p) ≤ Lj(x∗1, , x∗j−1, x∗j, x∗j+1, , x∗p)

Định nghĩa này cho thấy rằng nếu một người chơi thứ j nào đó rời khỏi phương

án cân bằng, trong khi những người chơi khác vẫn giữ phương án cân bằng thì ngườichơi thứ j sẽ bị thua thiệt Điểm cân bằng này được gọi là điểm cân bằng Nash vìkhái niệm này do nhà kinh tế học John Forbes Nash đưa ra đầu tiên

Bài toán cân bằng Nash là bài toán tìm điểm cân bằng của L trên C, ký hiệu là

N E(C, L) Bài toán này có thể mô tả dưới dạng bài toán cân bằng EP (C, f ), trong

Ta có định lý sau đây về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Định lý 1.3 [35] Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbertthực H và song hàm f : C × C −→ R ∪ {+∞} Giả sử với mỗi y ∈ C thì hàm f (·, y)nửa liên tục trên và hàm f (x, ·) tựa lồi với mỗi x ∈ C Khi đó nếu tập C là compacthoặc tồn tại tập compact khác rỗng B ⊂ H và y0 ∈ B ∩ C sao cho f (x, y0) < 0 vớimọi x ∈ C\B thì bài toán cân bằng EP (C, f ) có nghiệm

Công thức (1.2) lần đầu tiên được đưa ra bởi H Nikaido và K Isoda [55] vàonăm 1955 khi tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác

Vào năm 1972, Ky Fan [35] gọi là bất đẳng thức minimax và thiết lập định lý đầutiên về sự tồn tại nghiệm cho bài toán Năm 1984, L D Muu [52] gọi bài toán làbất đẳng thức biến phân và nghiên cứu về tính ổn định của bài toán Năm 1992,các tác giả L D Muu và W Oettli [53] gọi bài toán trên là bài toán cân bằng vàgiới thiệu thuật toán hàm phạt cho bài toán Năm 1994, E Blum và W Oettli [13]thiết lập những điều kiện tổng quát về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vàđưa ra các trường hợp riêng của bài toán Sau công trình của E Blum và W Oettlithì bài toán cân bằng được nhiều người quan tâm nghiên cứu cả về mặt lý thuyếtcũng như các phương pháp giải và ứng dụng của bài toán.

Bài toán cân bằng bao hàm các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bàitoán tìm điểm bất động, bài toán cân bằng Nash Nó chứa các bài toán này nhưnhững trường hợp riêng đặc biệt và hợp nhất chúng theo một phương pháp nghiêncứu chung rất tiện lợi Nhiều kết quả của các bài toán nói trên có thể mở rộng chobài toán cân bằng tổng quát với những điều chỉnh phù hợp và do vậy thu được nhiềuứng dụng rộng lớn Nhiều nhà nghiên cứu cũng đã chỉ ra rằng, các bài toán thực tếnhư tối ưu, kinh tế và kỹ thuật có thể được miêu tả thành các bài toán thích ứng.Điều đó đã giải thích được vì sao bài toán cân bằng ngày càng được nhiều ngườiquan tâm

Việc nghiên cứu xây dựng các phương pháp giải bài toán cân bằng chiếm một tỉtrọng lớn trong các hướng nghiên cứu Tính đến nay, đã có nhiều kết quả đạt đượccho một số lớp bài toán cân bằng lồi và đơn điệu, trong đó phải kể đến phương phápđiểm trong, phương pháp sử dụng nguyên lý bài toán phụ, phương pháp hàm đánhgiá, phương pháp điểm gần kề, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và các phươngpháp chiếu Trong các phương pháp đó thì phương pháp chiếu đóng một vai tròquan trọng vì sự đơn giản và thuận tiện trong tính toán

Ta có các định nghĩa sau về song hàm cân bằng

Định nghĩa 1.4 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbertthực H, f : C × C −→ R ∪ {+∞} được gọi là

(i) đơn điệu trên C nếu

f (x, y) + f (y, x) ≤ 0 ∀x, y ∈ C;

(ii) giả đơn điệu trên C nếu

Trong trường hợp song hàm f có dạng f (x, y) = hF (x), y − xi với F : C −→ H

là một ánh xạ, bài toán EP (C, f ) trở thành V IP (C, F ) và các khái niệm về đơnđiệu và giả đơn điệu trên C của song hàm f trong Định nghĩa 1.4 trở thành cáckhái niệm đơn điệu và giả đơn điệu trên C tương ứng của ánh xạ F trong Địnhnghĩa 1.3

Nếu F : C −→ H là L-liên tục Lipschitz trên C thì song hàm f : C × C −→ Rxác định bởi f (x, y) = hF (x), y − xi với mọi x, y ∈ C thỏa mãn điều kiện kiểuLipschitz trên C với hằng số c1 = L

Bổ đề 1.3 [66] Cho {an} là một dãy các số thực không âm thỏa mãn điều kiện

an+1 ≤ (1 − αn)an + αnξn, ∀n ≥ 0,

trong đó {αn}, {ξn} là hai dãy số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện

Chương 2

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA

BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG

Trong phần đầu chương 2, chúng tôi trình bày thuật toán tìm nghiệm chung củabài toán điểm bất động của các ánh xạ giả co chặt và bài toán cân bằng Mục tiếptheo là thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm chungcủa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động của ánh xạ bán

co Trong phần cuối chương 2, chúng tôi đề xuất thuật toán giải bài toán bất đẳngthức biến phân trên tập điểm bất động chung của các ánh xạ bán co Các kết quảtrong chương được công bố trong các bài báo 1, 4, 5 trong Danh mục công trìnhkhoa học của tác giả liên quan đến luận án

co chặt và bài toán cân bằng

Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, Si : C −→

C, i = 1, 2, , p là các ánh xạ Li- giả co chặt với 0 ≤ Li < 1, f : C × C −→ R làsong hàm cân bằng và Sol(C, f ) là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP (C, f ) Taxét bài toán tìm điểm chung của tập điểm bất động của một họ các ánh xạ giả cochặt với tập nghiệm bài toán cân bằng

giãn và bài toán cân bằng

Tìm x∗ ∈ Fix(S) ∩ Sol(C, f )

Trong những năm gần đây, bài toán tìm nghiệm chung của bài toán điểm bấtđộng của ánh xạ không giãn và bài toán cân bằng nhận được sự quan tâm nghiêncứu của nhiều nhà toán học [3, 22, 59, 60]

Để tìm nghiệm chung của bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn và bàitoán cân bằng, Tada và Takahashi [59] đã kết hợp phương pháp lặp Mann để tìmđiểm bất động của ánh xạ không giãn cùng với phương pháp điểm gần kề [49] đểgiải bài toán cân bằng với dãy lặp {xk} như sau:

Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ đã đượcnhiều tác giả nghiên cứu Ví dụ, Martinez-Yanes và Xu [48] đã đề xuất thuật toántìm điểm bất động chung của p ánh xạ giả co chặt Si, i = 1, · · · , p với dãy lặp {xk}xác định bởi x0 ∈ H bất kỳ và

Cụ thể, ta giả thiết song hàm cân bằng f : C × C −→ R thỏa mãn đồng thời cácđiều kiện sau:

(A1) f giả đơn điệu trên C, liên tục yếu đồng thời trên C × C;

(A2) f thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz trên C với hằng số c1 > 0, c2 > 0;

(A3) hàm f (x, ·) lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C với mỗi x ∈ C.Thuật toán 2.1 Chọn x0 ∈ C và các dãy số dương {λk}, {αk} và {λk,i}, i =

1, 2, , p thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

Pk = {z ∈ C : kzk − zk ≤ kxk − zk},

Qk = {z ∈ C : hxk − z, x0− xki ≥ 0}

Bổ đề 2.1 [36] Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H

và x0 ∈ H Giả sử {xk} là một dãy bị chặn sao cho mọi điểm tụ yếu của {xk} đềuthuộc C và

Fix(Si) ∩ Sol(C, f ) 6= ∅ Khi đó các dãy {xk}, {yk}

và {zk} trong Thuật toán 2.1 hội tụ mạnh đến x∗ ∈ Ω, trong đó x∗ = PΩ(x0)

Chứng minh Chứng minh định lý được chia thành các bước sau:

Bước 1 Giả sử x∗ ∈ Sol(C, f ), ta chứng minh

Vì hàm f (yk, ·) khả dưới vi phân trên C nên từ (2.5) và định lý Moreau-Rockafellar,

ta có

0 = λkw + tk − xk + ¯w,trong đó w ∈ ∂2f (yk, tk) và ¯w ∈ NC(tk)

htk− xk, x∗− tki ≥ λkhw, tk − x∗i (2.8)Kết hợp (2.6) và (2.8) suy ra

htk − xk, x∗− tki ≥ λk f (yk, tk) − f (yk, x∗)
(2.9)

Vì x∗ ∈ Sol(C, f ) nên f (x∗, yk) ≥ 0 Do đó f (yk, x∗) ≤ 0 vì f giả đơn điệu trên C.

Do vậy, từ (2.9), ta thu được

htk − xk, x∗− tki ≥ λkf (yk, tk) (2.10)

Vì f thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz trên C với hằng số c1 > 0, c2 > 0 nên

f (yk, tk) ≥ f (xk, tk) − f (xk, yk) − c1kyk − xkk2− c2ktk − ykk2 (2.11)Kết hợp (2.10) với (2.11), ta có

htk− xk, x∗− tki ≥ λk f (xk, tk) − f (xk, yk) − c1kyk− xkk2− c2ktk− ykk2
(2.12)Lập luận tương tự như trên, từ

yk = argminnλkf (xk, y) + 1

2ky − xkk2 : y ∈ Co

ta suy ra

λk f (xk, y) − f (xk, yk)
≥ hyk − xk, yk − yi ∀y ∈ C (2.13)Thế y = tk ∈ C vào (2.13), ta được

+ 2λkc1kxk− ykk2+ 2λkc2ktk− ykk2

= kxk − x∗k2− (1 − 2λkc1)kxk− ykk2− (1 − 2λkc2)kyk − tkk2.Bước 2 Chứng minh

Sử dụng (2.15) và Bước 1, ta có kzk− x∗k ≤ kxk − x∗k với mọi k ≥ 0

Theo định nghĩa của Pk, ta có

p

\

i=1

Fix(Si) ∩ Sol(C, f ) ⊆ Pk ∀k ≥ 0 (2.16)

Tiếp theo ta chứng minh bằng quy nạp

Do đó dãy {xk} bị chặn Từ Bước 1, ta suy ra các dãy {tk} và {zk} cũng bị chặn.

kzk − x∗k2 ≤ ktk− x∗k2

≤ kxk− x∗k2− (1 − 2λkc2)ktk − ykk2− (1 − 2λkc1)kxk − ykk2

≤ kxk− x∗k2− (1 − 2λkc1)kxk − ykk2

k→∞ktk − ykk = 0 (2.22)Kết hợp (2.21), (2.22) và kxk − tkk ≤ kxk− ykk + kyk − tkk, ta có

Vì dãy {xk} bị chặn nên tồn tại dãy con {xk j} hội tụ yếu tới ¯x khi j → ∞ Từ Bước

3, ta suy ra các dãy {ykj}, {tk j} và {zk j} cũng hội tụ yếu tới ¯x

Trong trường hợp song hàm f : C × C −→ R cho bởi f (x, y) = hF (x), y − xi

∀x, y ∈ C với F : C −→ H là một ánh xạ và p = 1 thì từ Định lý 2.1, ta thu đượcthuật toán tìm nghiệm chung của bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ) vàbài toán điểm bất động của một ánh xạ giả co chặt Trong mục tiếp theo, chúngtôi đưa ra thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm chungcủa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động của lớp ánh xạbán co

toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động của ánh xạ bán co

Cho C là tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian thực H và hai ánh xạ

A : H −→ H, S : H −→ H Ta xét bài toán tìm nghiệm chung của bài toán bấtđẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động

Tìm x∗ ∈ Ω := Sol(C, A) ∩ Fix(S) (2.24)Trong những năm gần đây, bài toán tìm nghiệm chung (2.24) đã nhận được sựquan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học [25, 46, 54, 61, 62, 72] Một trong nhữngđộng lực để nghiên cứu bài toán (2.24) là những mô hình toán học, trong đó cáctập ràng buộc có thể được mô tả dưới dạng tập điểm bất động của ánh xạ hay tậpnghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Để giải bài toán tìm nghiệm chung (2.24), các phương pháp chiếu và kỹ thuậtlặp Krasnoselski-Mann thường được áp dụng để thu được sự hội tụ yếu đến nghiệmtrong các không gian Hilbert vô hạn chiều Để thu được sự hội tụ mạnh của dãylặp đến nghiệm thì các phương pháp đạo hàm tăng cường và phương pháp dướiđạo hàm tăng cường thường được sử dụng kết hợp với kỹ thuật lai ghép [26, 41, 42]hay phương pháp xấp xỉ gắn kết [33, 44, 46, 72] Ví dụ, để giải bài toán (2.24) với

A : H −→ H đơn điệu và liên tục Lipschitz, S : H −→ H là bán co với hệ số

β > 0, ta có thể kết hợp phương pháp dưới đạo hàm tăng cường [25] với kỹ thuậtlặp Krasnoselski-Mann và phương pháp lai ghép [26, Thuật toán 3.6] để thu được

phương pháp dưới đạo hàm tăng cường lai ghép:

Theo Định lý 1.2 thì bài toán bất đẳng thức biến phân (2.26) có nghiệm duynhất Như vậy bài toán (2.24) được thay bằng bài toán đặt chỉnh (2.26) Để giải bàitoán (2.26), Maingé [46] đã đề xuất phương pháp đạo hàm tăng cường

C và L-liên tục Lipschitz trên H, S : H −→ H là bán co với hệ số β ∈ [0, 1), thỏamãn nguyên lý bán đóng và Sol(C, A) ∩ Fix(S) 6= ∅ Điểm cải tiến của dãy {xn}