Một số phương pháp giải bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN–NĂM 2020 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Lê Dũng Mưu Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại: Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên Vào hồi ngày tháng năm 2019 Mở đầu Bài tốn cân bằng, gọi bất đẳng thức Ky Fan, nghiên cứu luận án phát biểu cách đơn giản sau: Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Rn f : C×C → R song hàm thỏa mãn f (x, x) = 0, với x ∈ C (song hàm có tính chất thường gọi song hàm cân bằng) Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C EP(C, f ) Bất đẳng thức H Nikaido K Isoda sử dụng lần vào năm 1955 nghiên cứu trò chơi khơng hợp tác Năm 1972, Ky Fan gọi bất đẳng thức minimax ông đưa kết tồn nghiệm toán Thuật ngữ toán cân sử dụng lần GS L.D Muu W Oettli năm 1992 Bài toán cân bao hàm nhiều lớp toán quen thuộc toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động Kakutani, toán cân Nash lý thuyết trò chơi khơng hợp tác, toán cân véctơ, toán cân tập Các tốn này, số trình bày GS L.D Muu W Oettli, sau E Blum W Oettli giới thiệu thêm cơng trình vào năm 1994, gần giới thiệu đầy đủ sách chuyên khảo G Bigi cộng Ngồi ra, tốn cân mở rộng sang tốn cân véctơ, toán cân tập, chẳng hạn tác giả P.H Sach, N.X Tan, T.X.D Ha, D.V Luu, chuyên khảo G Kassay Trong vài chục năm trở lại đây, toán cân nghiên cứu tính chất định tính phương pháp giải Về tính chất định tính, tồn nghiệm toán cân khảo sát tác giả M Bianchi, R Pini, G Bigi, L.D Muu, A Iusem, G Kassay, W Sosa Sự ổn định nghiệm, cấu trúc tập nghiệm nghiên cứu L.Q Anh, P.Q Khanh, L.D Muu số tác giả khác Hướng nghiên cứu phương pháp giải nói quan tâm nhiều hơn, chẳng hạn P.K Anh, L.D Muu, D Aussel, J Contreras, B.V Dinh, N.V Quy, P.N Anh, A Iusem, D.V Hieu, P Santos, S Scheimberg, L.Q Thuy, T.N Hai, Do toán cân bao hàm nhiều tốn quan trọng, khó giải trường hợp riêng, nên khơng hy vọng có thuật tốn hiệu để giải toán cân tổng quát Vì người ta nghiên cứu phương pháp giải toán cân với giả thiết định Các giả thiết thông thường hay dùng tính chất đơn điệu tính lồi, khả vi phân theo biến thứ hai song hàm f Một số tiếp cận phương pháp giải tốn cân chia sau: • Phương pháp điểm bất động cho ánh xạ co, không giãn, không giãn suy rộng dựa nguyên lý toán phụ Nguyên lý toán phụ cho toán cân EP (C, f ) liên quan đến tốn cân Tìm x ∈ C : fα (x, y) := f (x, y) + αM (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C EP (C, fα ) α > 0, M (được gọi hàm khoảng cách Bregman) có tính chất (M1) Xác định tồn khơng gian, hàm M (x, ) lồi mạnh, khả vi ∇M (x, x) = với x ∈ C Nguyên lý toán phụ G Cohen đề xuất lần cho toán tối ưu toán bất đẳng thức biến phân vào năm 1980 1988 Đến năm 2003, nguyên lý mở rộng cho tốn cân G Mastroeni • Phương pháp hàm đánh giá (gap function) Ý tưởng phương pháp hàm đánh giá chuyển việc giải toán cân toán tối ưu Hai loại hàm đánh giá hàm đánh giá Auslender hàm đánh giá Fukushima định nghĩa sau gA (x) = − min{f (x, y) : y ∈ C} gF (x) = − min{f (x, y) + αM (x, y) : y ∈ C}, α > song hàm M có tính chất nêu Như biết, x ∈ C , gA (x) = 0, gF (x) = x nghiệm toán EP (C, f ) Chú ý tốn quy hoạch lồi xác định gA (x) khơng tồn nghiệm, có nghiệm nghiệm khơng Tuy nhiên tốn xác định gF (x), M (x, ) lồi mạnh, nên ln tồn nghiệm • Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov điểm gần kề (proximal point) Các phương pháp nhằm mục đích chuyển việc giải tốn đặt khơng chỉnh, ví dụ tốn khơng nghiệm, và/hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu việc giải tốn đặt chỉnh Để đảm bảo tính nghiệm, người ta thường dùng song hàm hiệu chỉnh tham số hiêụ chỉnh để xây dựng toán phụ có nghiệm phụ thuộc tham số hiệu chỉnh, nghiệm hội tụ đến nghiệm toán ban đầu, tham số hiệu chỉnh tiến tới giá trị định Các phương pháp hiệu chỉnh sử dụng cách hiệu cho toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, phương trình tốn tử, bao hàm thức đơn điệu gần cho toán cân đơn điệu, giả đơn điệu Trong phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov toán hiệu chỉnh, với hàm hiệu chỉnh khoảng cách, cho sau: fT (x, y) := f (x, y) + x − xg , y − x , > tham số hiệu chỉnh, xg đóng vai trò lời giải dự đốn Trong phương pháp điểm gần kề, điểm dự đoán xg thay đổi bước lặp k hàm hiệu chỉnh có dạng fP (x, y) := f (x, y) + c x − xk , y − x , với c > Với giả thiết f đơn điệu C , fT fP đơn điệu mạnh C Do đó, với giả thiết thơng thường tính liên tục song hàm, tốn cân hiệu chỉnh EP (C, fT ) EP (C, fP ) có nghiệm phụ thuộc vào tham số hiệu chỉnh hội tụ đến nghiệm toán ban đầu tiến dần đến 0, hiệu chỉnh Tikhonov, hiệu chỉnh điểm gần kề c tiến số hữu hạn • Phương pháp chiếu chiếu tăng cường (extragradient method) Phương pháp chiếu (tức chiếu lần) cho tốn cân khơng hội tụ, song hàm f đơn điệu Do đó, năm 1997, S Flam A Antipin dùng phương pháp chiếu tăng cường (chiếu hai lần) với hàm khoảng cách Bregman cho toán cân Năm 2011, N Langenberg mở rộng kết Flam Antipin Sau đó, nhiều tác giả dùng phương pháp chiếu tăng cường giải toán cân với giả thiết khác đặt lên song hàm f Trong phương pháp chiếu tăng cường, bước lặp k , phải giải hai toán tối ưu α xk = argmin{f (xk , y) + y − xk : y ∈ C}; α xk+1 = argmin{f (xk , y) + y − xk : y ∈ C} Với giả thiết thông thường, dãy điểm lặp xác định hội tụ nghiệm toán EP (C, f ) Đối với tốn cân có tính chất đơn điệu mạnh hơn, đơn điệu mạnh, giả đơn điệu mạnh, đơn điệu mạnh ngược, para-đơn điệu (paramonotone), cần dùng phương pháp chiếu (một lần chiếu), chẳng hạn xem P Santos S Scheimberg Một toán khác liên quan nhiều đến luận án toán chấp nhận tách (Split feasibility problem) Bài toán chấp nhận tách Y Censor T Elfving giới thiệu lần vào năm 1994 cho mô hình tốn ngược Sau C Byrne ứng dụng vào năm 2002 cho toán phục hồi tái tạo hình ảnh y tế Gần đây, tốn Y Censor ứng dụng mơ hình điều khiển cường độ xạ trị điều trị ung thư Trong khơng gian hữu hạn chiều, tốn chấp nhận tách mơ tả sau: Cho C Q tập lồi khác rỗng không gian Rn Rm tương ứng, A : Rn → Rm tốn tử tuyến tính bị chặn (được gọi toán tử chuyển) Bài toán chấp nhận tách phát biểu: Tìm x ∈ C cho Ax ∈ Q (SFP) Trong trường hợp hai không gian trùng A tốn tử đồng nhất, toán chấp nhận tách trở toán chấp nhận lồi (convex feasibility problem) tìm x ∈ C ∩ Q Kí hiệu Γ tập nghiệm toán chấp nhận tách (SFP), Γ = {x ∈ C : Ax ∈ Q} = C ∩ A−1 Q, C, Q tập lồi đóng, nên Γ tập lồi, đóng giao hai tập lồi đóng C A−1 Q Như tốn chấp nhận tách xem trường hợp đặc biệt toán chấp nhận lồi Trong năm gần đây, việc giải toán chấp nhận tách nhiều người quan tâm nghiên cứu, đặc biệt trường hợp C và/hoặc Q cho tập nghiệm tốn đó, ví dụ tập điểm bất động, tập nghiệm toán tối ưu lồi, bất đẳng thức biến phân, tổng quát tốn cân Có hai phương pháp để giải toán chấp nhận tách phương pháp chiếu (lần lượt song song) Các thuật toán chiếu lấy ý tường từ phương pháp chiếu C.J Karzmark V Neumann Phương pháp thứ hai giải toán chấp nhận tách chuyển toán chấp nhận tách toán tối ưu lồi Do phương pháp quy hoạch tốn học áp dụng để giải tốn chấp nhận tách Điều khó khăn việc tính giá trị đạo hàm hàm mục tiêu Cần phải nói thêm thuật tốn có áp dụng cho trường hợp A tốn tử tuyến tính, lý các Fi : Rn → R tựa tuyến tính, tức là, F vừa tựa lồi vừa tựa lõm khả vi tập mở chứa K (B3) Với x ∈ K , song hàm f (x, ) hàm lồi, khả vi phân, f (., x) nửa liên tục trên tập lồi mở chứa K f (x, x) = với x ∈ K (B4) Song hàm f giả đơn điệu K tập nghiệm Sol(EP ) toán (EP ), tức f (x, y) ≥ ⇒ f (y, x) ≤ ∀x ∈ Sol(EP ), y ∈ K Kí hiệu Sol(EP ) tập nghiệm tốn cân bằng: Tìm z ∈ K cho f (z, u) ≥ ∀u ∈ K (EP ) Khi đó, giả thiết (B1), (B2), tốn (N SEP ) đưa dạng max x∈C i=1,2, ,m |(I − PQi )(Fi (x))|2 , với C tập nghiệm (EP) Với x ∈ K , đặt pi (x) = |(I − PQi )(Fi (x))|2 , p(x) = max pi (x), i=1, ,m I(x) : = {i : pi (x) = p(x)} Bổ đề sau hàm pi (x) p(x) hàm tựa lồi 17 (OP ) Bổ đề 3.1 Giả sử giả thiết (B1) (B2) thỏa mãn Khi đó, mệnh đề sau i) Hàm pi tựa lồi khả vi K ; ii) Hàm p tựa lồi K Thuật toán cho tốn (NSEP) mơ tả sau: Thuật tốn 3.1 Lấy số dương δ dãy số thực {δk }, {βk }, { k } thỏa mãn điều kiện δk > δ > 0, βk > 0, ∞ k k ∞ ≥ 0, ∀k ∈ N; (3.1) βk k < +∞; δk (3.2) < +∞, k=1 k=1 ∞ k=1 βk = +∞, δk ∞ βk2 < +∞; (3.3) k=1 Bước 0: Lấy x1 ∈ K đặt k := Bước k: Có xk ∈ K Lấy gk ∈ ∂2k f (xk , xk ) xác định αk = βk γk = max{δk , gk } γk Tính yk = PK (xk − αk gk ) Nếu ∇pi (yk ) = ∀i ∈ I(yk ) lấy hk = 0; Ngược lại, lấy = hk ∈ co {∇pi (yk ), i ∈ I(yk )} đặt h hk = k hk Tính xk+1 = PK (yk − αk hk ), tăng k quay lại bước k Nhận xét 3.1 (i) Nếu k = 0, xk = yk p(xk ) = 0, xk nghiệm xác Vì vậy, xk gọi − nghiệm k ≤ , ||xk − yk || ≤ p(xk ) ≤ 18 (ii) Nếu Qi ≡ R với i, pi (x) = |(I − PQi )Fi (x)|2 = với i Khi toán (N SEP ) trở thành toán cân (EP ) Các bổ đề sử dụng chứng minh hội tụ Thuật toán 3.1 Bổ đề 3.2 Với z ∈ K , ta có xk+1 − z ≤ yk − z − 2αk hk , yk − z + αk2 , ∀z ∈ K Dựa vào Bổ đề 3.2, đánh giá bất đẳng thức sau Bổ đề 3.3 (i) Giả sử có giả thiết (B1), (B2), (B3) Khi xk+1 − z ≤ xk − z||2 + 2αk f (xk , z) − 2αk hk , yk − z + Ak , (3.4) Ak = 2(αk k + βk2 ) + αk2 (ii) Nếu tồn z ∈ K , > δ > cho p(y) < p(yk ) − δ ∀y ∈ B(z, ), hk , yk − z ≥ ∀k hk = Kí hiệu W tập nghiệm toán (N SEP ), ta có định lý hội tụ sau Định lí 3.1 Giả sử giả thiết (B1) - (B4) thỏa mãn f song hàm para-đơn điệu tập nghiệm toán (EP ), dãy {gk } bị chặn tập bị chặn Khi đó, dãy {xk } hội tụ tới nghiệm toán (NSEP) tới nghiệm toán cân (EP ) đồng thời điểm dừng toán min{p(x) : x ∈ K} Cụ thể, đặt J = k| hk = , (3.5) ta có: 19 Chúng tơi thử nghiệm Thuật tốn 3.1 với hàm chi phí cho cj (xj ) := rj x2j + qj xj , rj > hàm giá n n xj ) := 30 − pi ( j=1 τij xj , j=1 rj , qj τij lấy ngẫu nhiên khoảng [0, 20], [0, 3] khoảng [0, 1/n] tương ứng Với hàm chi phí hàm giá này, sử dụng Mệnh đề 3.2 báo A N Iusem năm 1998, song hàm hàm f xác định (3.6) với hàm f cho (3.7) para-đơn điệu Hơn nữa, song hàm f thỏa mãn giả thiết (B1)-(B4) Chúng lấy tập chiến lược Ki := [0, 6] với i yêu cầu tỷ số loại điện với tổng tất lượng điện nhỏ năm mươi phần trăm, tức biểu diễn ràng buộc ≤ Fi (x) ≤ 0.5 với i = 1, , m Chọn dãy tham số k = 0, δk = 3, ∀k chúng tơi tính mơ hình với m = giá trị khác n từ 10 đến 50 k∈I xk Fi (x) = n i , i = 1, , m, xj j=1 Ii tập chi nhánh mà sản xuất loại điện i Kết tính tốn Bảng 3.1 với cỡ khác nhau, trăm toán tính cỡ Thuật tốn dừng bước lặp k xk − yk ≤ 10−4 p(xk ) ≤ 10−4 số bước lặp không vượt 20000 Gần đây, công bố tác giả P Santos S Scheimberg năm 2017 tạp chí Optimization, họ xét tốn cân Tìm x ∈ C ∩ D : f (x, y) ≥ ∀y ∈ C, EP (f, C, D) C, D tập lồi Rn f song hàm hữu hạn xác định tập mở chứa C D 22 Bảng 3.1 Thuật toán 3.1 với βk = 2(k + 1) n m Iter CPU-times(s) 10 248.11 7.2859 20 674.82 24.9143 30 1224.2 40.4671 40 1670 58.5344 50 2259.7 84.3867 Để so sánh với thuật toán chúng tơi, kí hiệu NSEP, với thuật tốn P Santos S Scheimberg, kí hiệu MACEP ví dụ trên, chúng tơi viết tốn (NSEP) dạng toán cân EP(C, D, f ) cách lấy C :≡ K , D := {x : F (x) ∈ Q} áp dụng thuật toán MACEP để giải mơ hình Chúng tơi thử với tiêu chuẩn dừng giống max{ xk − yk , p(xk )} ≤ 10−4 , thấy thuật toán MACEP nhiều thời gian hơn, chí với số chiều nhỏ n = 10, k = Bảng 3.2 bên kết tính tốn trung bình 150 bước lặp cho hai thuật toán Bảng 3.2 MACEP vs NSEP (n=10,k=5) Iter Cpu(s) Err MACEP 150 2.3349 0.0116 NSEP 150 4.2481 0.0012 Từ bảng tính tốn, ta thấy, ví dụ này, thời gian tính tốn thuật tốn MACEP thời gian thuật tốn NSEP 150 bước lặp đầu tiên, sai số thu thuật toán NSEP tiến đến nhanh thuật toán MACEP 23 Kết luận chung Luận án thu kết sau: Đề xuất thuật toán chiếu kết hợp phép lặp Mann-Krasnoselskii giải toán chấp nhận tách liên quan đến toán cân toán tối ưu Thuật toán mở rộng thuật toán chiếu P Santos S Scheimberg cho tốn cân Chúng tơi thu hội tụ cho thuật tốn Ngồi ra, ví dụ mơ hình sản xuất điện với phí mơi trường thấp tính tốn thử nghiệm chương trình Matlab minh họa cho thuật tốn mà chúng tơi đề xuất Đề xuất thuật tốn đạo hàm giải toán chấp nhận tách với toán tử chuyển tựa tuyến tính chứng minh hội tụ Thuật tốn áp dụng cho mơ hình Nash–Cournot có ràng buộc chung, cụ thể dùng để tính tốn thử nghiệm giải mơ hình sản xuất điện thỏa mãn tỉ lệ loại điện nhiều số liệu khác tạo ngẫu nhiên Thử nghiệm so sánh với thuật toán P Santos S Scheimberg cho thấy thuật tốn chúng tơi đề xuất tiến đến nghiệm nhanh Một số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: Nghiên cứu tốn tìm phần tử có chuẩn nhỏ tập nghiệm toán chấp nhận tách Chương với hi vọng thay giả thiết para-đơn điệu song hàm giả thiết giảm nhẹ Nghiên cứu thuật toán giải toán chấp nhận tách với tốn tử chuyển phi tuyến, khơng thiết tựa tuyến tính khảo sát hội tụ 24 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến Luận án 1) L.H Yen, L.D Muu L D., N.T.T Huyen (2016), "An Algorithm for a Class of Split Feasibility Problems: Application to a Model in Electricity Production", Mathematical Methods of Operations Research, 84, pp 549565 (SCIE) 2) L.H Yen, N.T.T Huyen, L.D Muu (2018), "A subgradient algorithm for a class of nonlinear split feasibility problems: application to jointly constrained Nash equilibrium models", Journal of Global Optimization, 73, pp 849-868 (SCI) 25 ... C.J Karzmark V Neumann Phương pháp thứ hai giải toán chấp nhận tách chuyển toán chấp nhận tách tốn tối ưu lồi Do phương pháp quy hoạch tốn học áp dụng để giải toán chấp nhận tách Điều khó khăn việc... hợp phép lặp Mann-Krasnoselskii giải toán chấp nhận tách liên quan đến toán cân toán tối ưu Thuật toán mở rộng thuật toán chiếu P Santos S Scheimberg cho toán cân Chúng tơi thu hội tụ cho thuật... hàm f Một số tiếp cận phương pháp giải toán cân chia sau: • Phương pháp điểm bất động cho ánh xạ co, không giãn, không giãn suy rộng dựa nguyên lý toán phụ Nguyên lý toán phụ cho toán cân EP