Khoá luận tốt nghiệp toán Một số phương pháp giải hệ phương trình trong kì thi tuyển sinh Đại học

LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập ở giảng đường Đại học đến nay, em nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình và bạn bè. Với lòng biết ơn sâu sắc nhất em xin được gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô ở khoa Khoa học tự nhiên - Trường Đại học Quảng Bình. Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS. Nguyễn Thành Chung đã tận tâm hướng dẫn em qua từng buổi học trên lớp, cũng như những buổi nói chuyện, thảo luận về lĩnh vực sáng tạo trong nghiên cứu khoa học. Nếu không có những lời hướng dẫn, dạy bảo của thầy thì em nghĩ khóa luận này của em rất khó có thể hoàn thiện được. Bước đầu đi vào thực tế, tìm hiểu về lĩnh vực sáng tạo trong nghiên cứu khoa học, kiến thức em còn hạn chế và còn nhiều bỡ ngỡ, do vậy không tránh khỏi những thiếu sót là điều chắc chắn. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn. Lời cuối xin chúc sức khỏe tất cả các thầy cô, chúc thầy cô luôn hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao. Chân thành cảm ơn! 1 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Toán học là một trong những môn học quan trọng. Đây là môn học tương đối khó mang tính tư duy cao đòi hỏi người học phải chịu khó tìm tòi, khám phá và say mê nghiên cứu. Một trong những đề tài lí thú của bộ môn này là “Hệ phương trình” đã lôi cuốn nhiều nhà toán học và đã có những kết quả sâu sắc. Các bài toán về hệ phương trình là một phần quan trọng của đại số ở THPT. Nó rất phong phú đa dạng và thường xuyên xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, Cao đẳng và Đại học. Để giải tốt hệ phương trình hai ẩn không phải đơn giản, cần phải vận dụng tốt các phương pháp, hình thành các kĩ năng trong quá trình làm bài. Việc vận dụng thành thạo và phát hiện các phương pháp giải toán hệ phương trình, nâng cao chất lượng học và kiểm tra trong các kì thi Đại học được xem như là một trong những sáng tạo của giải toán hệ phương trình và làm phong phú thêm kho tàng các phương pháp giải toán hệ phương trình. Xuất phát từ lí do trên tôi chọn đề tài: “Một số phương pháp giải hệ phương trình trong kì thi tuyển sinh Đại học”với mục tiêu xây dựng các bài toán hệ phương trình theo từng phương pháp giải, nâng cao khả năng tự học của học sinh, phát huy năng lực tư duy của học sinh. Tôi đã phân tích, tổng hợp, khai thác để tổng quan các công trình khoa học về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài, xây dựng hệ thống các bài toán hệ phương trình theo từng phương pháp giải, giúp người học phát hiện và vận dụng sáng tạo các phương pháp giải trong việc học tập và nghiên cứu, nâng cao thành tích trong các kì thi Đại học. Cấu trúc đề tài bao gồm: Phần mở đầu. Phần nội dung: - Chương 1: Một số phương pháp giải hệ phương trình. - Chương 2: Bài toán giải hệ phương trình qua các kì thi tuyển sinh đại học. 2 Kết luận. Tài liệu tham khảo. CHƯƠNG I: MỘT SỐ PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1.1. PHƯƠNG PHÁP THẾ 1.1.1. Nội dung phương pháp Từ một phương trình hoặc kết hợp hai phương trình của hệ ta biểu diễn ẩn này qua ẩn kia hoặc một biểu thức này qua biểu thức khác và thế vào phương trình còn lại chuyển về phương trình một ẩn (Có thể là ẩn phụ). Mục đích của việc làm này là giảm số ẩn. Tùy thuộc vào đặc điểm của bài toán mà ta có những cách biến đổi phù hợp. Trong phương pháp này ta cần lưu ý một số dấu hiệu sau. + Nếu trong hệ phương trình có một phương trình bậc nhất đối với một ẩn thì ta rút ẩn đó qua ẩn kia thế vào phương trình còn lại và chuyển về giải phương trình một ẩn. + Với hai số thực bất kì 0x ≠ ; y ta luôn có y tx = (t là số thực cần tìm). Với cách làm này ta sẽ được hệ phương trình một ẩn t. + Phương trình ( ) ( ) ; ;f x y f y x = luôn có một cặp nghiệm x y = , do đó ta luôn phân tích phương trình đã cho về dạng: ( ) ( ) ; 0x y g x y − = . + Trong hệ phương trình nếu biểu thức ( ) u x xuất hiện ở hai phương trình thì ta có thể đặt ( ) t u x = . 1.1.2. Bài tập minh họa: Bài 1: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 5 1 2 2 5 2 x y x y xy + =    + − =   Giải: Ta thấy (1) là một phương trình bậc nhất hai ẩn nên ta rút ẩn này qua ẩn kia. ( ) 1 5 2x y ⇔ = − , thay vào ( ) 2 ta được: ( ) 2 2 1 10 30 20 0 2 y y y y =  ⇔ − + = ⇔  =  Với 1y = ta được 3.x = Với 2y = ta được 1.x = 3 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 3, 1x y = = và 1, 2x y = = . Bài 2: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( )  + + = +   + = +   4 3 2 2 2 x 2x y x y 2x 9 1 I x 2xy 6x 6 2 Giải: Nhận xét = x 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét ≠ x 0 , ta có ( ) − + + ⇔ = 2 x 6x 6 2 y 2x thế vào phương trình ( ) 1 , ta được: ( )     − + + − + + ⇔ + + = +  ÷  ÷     2 2 2 4 3 2 x 6x 6 x 6x 6 1 x 2x x 2x 9 2x 2x ( ) ( )  = ⇔ + + + = ⇔ + = ⇔  = −  3 4 3 2 x 0 lo¹i x 12x 48x 64x 0 x x 4 0 x 4 Với = − ⇒ = − 17 x 4 y . 4 Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm là: ( )   = − −  ÷   17 x;y 4; 4 . Bài 3: (Đề thi đại học khối A, năm 2003) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 3 1 1 1 2 1 2 x y x y y x  − = −    = +  Giải: Cách 1: Dễ thấy phương trình (1) có cặp nghiệm x y= , do đó ta biến đổi phương trình (1) của hệ ra thừa số ( ) .x y− Điều kiện xác định: 0; 0x y ≠ ≠ ( ) 1 1 ( ) 1 0 1 y x x y xy y x =     ⇔ − + = ⇔  ÷  = −    + Với y x = , thế vào ( ) 2 , ta được: ( ) 3 1 2 2 1 0 1 5 2 x x x x =   ⇔ − + = ⇔ − ±  =   4 + Với 1 y x = − , thế vào ( ) 2 ta được: ( ) 2 2 4 2 1 1 3 2 2 0 0 2 2 2 x x x x     ⇔ + + = ⇔ − + + + =  ÷  ÷     (Phương trình vô nghiệm) Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm là: 1 5 1 5 1 5 1 5 ( ; ) (1;1), ( ; ) ; , ( ; ) ; 2 2 2 2 x y x y x y     − + − + − − − − = = =  ÷  ÷  ÷  ÷     . Cách 2: Điều kiện xác định: 0; 0x y ≠ ≠ . ( ) 3 1 2 2 x y + ⇔ = , thế vào ( ) 1 ta được: ( ) 7 5 4 3 2 1 2 2 2 2 3 2 0x x x x x x ⇔ − + + − − + = ( ) ( ) 6 5 4 3 2 1 3 2 0x x x x x x x ⇔ − + − + + + − = 6 5 4 3 2 1 3 2 0 (*) x x x x x x x =  ⇔  + − + + + − =  + Với 1x = ta được 1y = . + Giải phương trình (*) : ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 * 1 1 2 1 0x x x x x x x x ⇔ + − + + − + + − = ( ) ( ) 2 2 4 4 1 0 1 2 0 2 0 x x x x x x x x  + − = ⇔ + − + + = ⇔  + + =  + Với 2 1 0x x + − = 1 5 . 2 x − ± ⇔ = + Với 4 2 0x x + + = 2 2 2 1 1 3 0 2 2 2 x x     ⇔ − + + + =  ÷  ÷     (Phương trình vô nghiệm). Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm là: ( ) ( ) ; 1;1x y = , ( ) 1 5 1 5 ; ; 2 2 x y   − + − + =  ÷  ÷   , ( ) 1 5 1 5 ; ; 2 2 x y   − − − − =  ÷  ÷   . Nhận xét: Ta thấy đối với hệ này dùng phương pháp rút thế trực tiếp sẽ rất khó khăn. Do đó, tùy theo trường hợp để ta có cách biến đổi phù hợp. Bài 4: (Đề tuyển sinh đại học khối B, năm 2005) 5 Giải hệ phương trình: ( ) 2 3 9 3 1 2 1 3log 9 log 3 x y x y  − + − =   − =   Giải: ( ) ( ) ( ) 2 3 9 3 1 2 1 1 3log 9 log 3 2 x y x y  − + − =   − =   ĐK: 1 0 2. x y ≥   < ≤  ( ) ( ) 3 3 3 3 2 3 1 log 3log 3 log log .x y x y x y ⇔ + − = ⇔ = ⇔ = Thay y x = vào ( ) 1 ta có: ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1x x x x x x − + − = ⇔ − + − + − − = ( ) ( ) 1 2 0 1, 2.x x x x ⇔ − − = ⇔ = = Vậy hệ có hai nghiệm là: ( ) ( ) ; 1;1x y = và ( ) ( ) ; 2;2x y = . Bài 5: (Đề thi đại học khối D, năm 2002) Giải hệ phương trình: 3 2 1 2 5 4 4 2 2 2 x x x x y y y +  = −   + =   + Giải: 3 2 1 2 5 4 4 2 2 2 x x x x y y y +  = −   + =   + 3 2 3 2 2 5 4 2 0 2 5 4 0 x x x y y y y y y y   = − = >   ⇔ ⇔   = − + =     2 0 0 1 4 x y y y y  = > ⇔  = ∨ = ∨ =  0 2 1 4 x x y y = =   ⇔ ∨   = =   Vậy hệ có hai nghiệm là: ( ) ( ) ; 0;1x y = và ( ) ( ) ; 2;4 .x y = Bài 6: Giải hệ phương trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 1 2 9 2 3 2 x xy y x y x y xy  − + =   − = − +   Giải: 6 Nếu chỉ xét từng phương trình một sẽ không làm được gì. Nhưng để ý hai phương trình này bị ràng buộc với nhau bởi con số 3. Ta thấy khi thay 3 xuống dưới ta sẽ ra một phương trình đẳng cấp. Thế 3 từ trên xuống dưới ta có: ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 2 9 8 2x y x y x xy y x y x y − = − + + ⇔ = ⇔ = ( ) 2 1 3 3 1, 2.y y x ⇔ = ⇔ = ± = ± Vậy hệ đã cho có nghiệm là: ( ) ( ) ( ) ; 2;1 , 2; 1x y = − − . Bài 7: Giải hệ phương trình sau: 3 3 12 x y x y x y x y  + = +   − = − −   Giải: ĐK: 0 0 x y x y + ≥   − ≥  Ta thấy mỗi phương trình của hệ là phương trình một ẩn x y + và x y − , khi đó ta có được hệ phương trình mới đơn giản hơn nhiều. Để đơn giản về mặt hình thức ta đặt a x y = + , b x y = − , 0a b ⇒ ≥ ta có hệ: ( ) 3 2 3 2 3 3 0 1 4 12 12 a a a a a a b b b b b   = = = ∨ =    ⇔ ⇔    = = − = −      + Với 0 0 2 4 4 2 a x y x b x y y = + = =    ⇔ ⇔    = − = = −    + Với 5 1 1 2 4 4 3 2 x a x y b x y y  =  = + =    ⇔ ⇔    = − =    = −   Vậy nghiệm của hệ là: ( ) ( ) 5 3 ; 2; 2 , ; 2 2 x y   = − −  ÷   . 7 1.2. PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ 1.2.1. Nội dung phương pháp Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai ẩn x và y mà từ đó ta có thể tính được y theo x (hoặc x theo y) rồi sử dụng phương pháp rút thế để giải hệ phương trình đã cho. 1.2.2. Bài tập minh họa: Bài 1: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 3 2 3 2 1 1 1 2 y x x x y y  = + +   = + +   Giải: Trừ từng vế của ( ) 1 cho ( ) 2 ta có: yxyxxy −+−=− 2233 ( ) ( ) 2 2 1 0y x y yx x x y ⇔ − + + + + + = ( ) ( ) 2 2 2 2 0y x y yx x x y x y ⇔ − + + − + − + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0y x y yx x y x y x ⇔ − + + + − + − = ( ) ( ) 2 2 1 0y x y yx x y x ⇔ − + + + + + = ( ) ( ) 2 2 1 1 0 2 y x y yx x x y =   ⇔  + + + + + =   Thế ( ) 3 vào ( ) 1 ta có: 01 23 =+−− xxx ( ) ( ) 2 1 1 0x x ⇔ − − =           −= −=    = = ⇔ 1 1 1 1 y x y x 8 Xét ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4 1 1 0 2 x y x y   ⇔ + + + + + =          = = = ⇔ 1 1 y x yx Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm: ( ) ( ) ; 1;1x y = và ( ) ( ) ; 1; 1x y = − − . 9 Bài 2: (Đề thi thử đại học trên báo TH & TT - Số 400, tháng 10 năm 2010) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 1 * 2 3 2 y y x x x y  + =    +  =   Giải: Nhận xét: Từ ( ) 1 suy ra 0y > và từ ( ) 2 suy ra 0x > . ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 3 * 3 2 4 yx y xy x  = +  ⇔  = +   Lấy ( ) 3 trừ ( ) 4 vế theo vế ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 x y xy x y y x y x xy x y =  − = − + ⇔  = − +  + Với x y = thì ( ) 3 2 3 3 2 0 1x x x ⇔ − − = ⇔ = , suy ra 1y = + Với ( ) 3xy x y = − + . Ta có 0xy > và ( ) 0x y − + < nên trường hợp này hệ vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: ( ) ( ) ; 1;1 .x y = Chú ý: Hệ phương trình có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0 1 ; 0 2 f x y g x y =    =   với ( ) ( ) ; ;f x y g y x = được gọi là hệ đối xứng loại II. Để giải hệ này ta lấy ( ) 1 trừ ( ) 2 vế theo vế. Bài 3: (Đề thi thử đại học trên báo TH & TT - Số 400, tháng 10 năm 2010) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 9 1 * 2 4 2 x y x y x y  − =   + = −   Giải: Cách 1: (Cộng đại số) Nhân hai vế của phương trình ( ) 2 với -3 rồi cộng với phương trình ( ) 1 , ta được: ( ) ( ) 3 3 3 2 3 2 3 3 6 12 9 1 2 1 2 3x x x y y y x y x y x y − + = + + + ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ = + , thế vào phương trình ( ) 2 , ta được ( ) 2 1 2 3 2 0 2 y y y y = −  ⇔ + + = ⇔  = −  10 [...]... chia hai vế của phương trình cho một lượng khác 0 thường sử dụng cho những hệ phương trình mà trong mỗi phương trình của hệ có một số hạng có hệ số khác biệt so với hệ số của các số hạng còn lại 18  x 2 + xy + y 2 = 19 ( x − y ) 2  Bài 8: Giải hệ phương trình:  2 2  x − xy + y = 7 ( x − y )  Giải: Nhận xét vế trái đang có dạng bình phương thi u, vậy ta thử thêm bớt để đưa về dạng bình phương xem sao... 1.4 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 1.4.1 Nội dung phương pháp Phương pháp lượng giác hóa có thể áp dụng để giải hệ phương trình, đây là một phương pháp khá rộng Với mỗi bài toán lại có một nét riêng biệt, không bài nào giống bài nào nên không thể có cách giải nào là hiệu quả với toàn bộ các bài toán Tuy nhiên ta có thể khái quát nội dung của phương pháp sử dụng hàm số lượng giác để giải bài toán hệ phương. .. đánh giá từng vế của phương trình trong hệ Chú ý: Phương pháp đánh giá thường sử dụng cho các hệ phương trình mà các phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ,…khó có thể giải được 1.6.2 Bài tập minh họa: Bài 1: (Đề thi đại học dự bị khối B, năm 2007) 2 xy  = x2 + y x + 3 2 x − 2x + 9  Giải hệ phương trình:  2 xy y + = y2 + x 2 3  y − 2y + 9  Giải: Ta thấy hình thức của hệ là đối xứng Tuy nhiên... của phương trình: X2 – 5X + 6 = 0 Từ đây suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho là: ( x; y ) = ( 4;9 ) và ( x; y ) = ( 9; 4 ) 14  x − y − xy = 3 Bài 3: Giải hệ phương trình:  2 2  x + y + 2x − 2 y = 6 Giải: Đây không phải là hệ phương trình đối xứng loại 1, nhưng bằng phép đặt ẩn phụ ta sẽ đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình đối xứng loại 1  x + t + tx = 3 Đặt: t = - y ta được hệ: ... qua một điểm nằm trong ( E ) thì hệ luôn có 2 nghiệm phân biệt Dạng 4: Biện luận số nghiệm của hệ phương trình:  p ( x − k ) 2 + q ( y − h) 2 = r   ax + by = c  ( p, q, r > 0 ) + Phương pháp: Đặt u = x − k ; v = y − h đưa về bài toán 3 Dạng 5: Biện luận số nghiệm của hệ phương trình với p, q, r > 0; k = ±1  px 2 + kxy + qy 2 = r   ax + by = c ( p, q, r > 0 ) + Phương pháp: Biến đổi phương trình. .. Biện luận vị trí của đường thẳng d đối với các miền phẳng đó Nếu phát hiện đường thẳng đi qua một điểm trong đường tròn thì hệ phương trình luôn có nghiệm phân biệt Dạng 2: Biện luận số nghiệm của hệ phương trình: ( x − p ) 2 + ( y − q ) 2 = r    ax + by = c  35 ( r > 0) + Phân tích: Đặt u = x − p; v = y − p đưa về bài toán 1  px 2 + qy 2 = r Dạng 3: Biện luận số nghiệm của hệ phương trình ... m ≤ −∞ 2− 3 2 * Nhận xét : Đây là một câu trong đề thi tuyển sinh đại học khối D, năm 2011 Nếu học sinh không trang bị đầy đủ kiến thức về dạng toán trên thì gặp khó khăn khi giải bài này  32 x + y + 3x +3 y = m  Bài 2: Tìm m để hệ phương trình  y  1 3 x +3 y m− 2 x (1) có nghiệm =3 3 +  ÷ 3  Giải :  32 x + y + 3x + 3 y = m  ⇔  2 x + y −( x + 3 y ) Hệ đã cho +3 = 3m 3  31 u = 32 x... Sử dụng nó một cách thái quá sẽ khiến bản thân trở nên thực dụng, máy móc Phương pháp này áp dụng cho các dạng cơ bản thì rất tốt, nhưng dạng nâng cao thì tốt nhất không nên 12 1.3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 1.3.1 Nội dung phương pháp Đặt a = f ( x; y ) và b = g ( x; y ) rồi tìm điều kiện của a và b (Nếu có) Sau đó đưa hệ đã cho về hệ phương trình hai ẩn a và b mà có thể giải được bằng phương pháp thế Các... thành: (I)  3 3 ⇔ u, v là hai nghiệm của phương trình: X 2 − X + m = 0 (*) Hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) ⇔ hệ (I) có nghiệm u ≥ 0, v ≥ 0 ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm X không âm ∆ = 1 − 4m ≥ 0  ⇔ S = 1 ≥ 0 P = m ≥ 0  ⇔ 0≤m≤ 1 4 Bài 5: (Đề thi đại học khối B, năm 2002)  3 x− y = x− y  Giải hệ phương trình:  x + y = x + y + 2  ( 1) ( 2) Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt u = 6 x −... phương pháp Áp dụng định lí sau: + Định lí: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm đến cấp n và phương trình f ( k ) ( x ) = 0 có m nghiệm, khi đó phương trình f ( k −1) ( x ) = 0 có nhiều nhất m + 1 nghiệm b Bài tập minh họa Bài 1: (Đề thi đại học khối D, năm 2011)  2 x 3 − ( y + 2) x 2 + xy = m Tìm m để hệ phương trình  2 (1) có nghiệm  x + x − y = 1 − 2m Giải :  ( x2 − x ) ( 2 x − y ) = m  Hệ phương trình . 1: Một số phương pháp giải hệ phương trình. - Chương 2: Bài toán giải hệ phương trình qua các kì thi tuyển sinh đại học. 2 Kết luận. Tài liệu tham khảo. CHƯƠNG I: MỘT SỐ PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1.1 tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình trong kì thi tuyển sinh Đại học với mục tiêu xây dựng các bài toán hệ phương trình theo từng phương pháp giải, nâng cao khả năng tự học của học sinh, . thường sử dụng cho những hệ phương trình mà trong mỗi phương trình của hệ có một số hạng có hệ số khác biệt so với hệ số của các số hạng còn lại. 18 Bài 8: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2