Khoá luận tốt nghiệp toán MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

ĐỀ TÀI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG LỜI CẢM ƠN Trước hết em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Quốc Tuấn - người đã trực tiếp trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để em hoàn thành tốt khóa luận của mình. Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Quảng Bình, toàn thể thầy cô đặc biệt là các thầy cô giáo khoa Khoa Học Tự Nhiên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ em trong 4 năm học vừa qua. Em xin chân thành cảm ơn sự động viên giúp đỡ của gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Lời cuối em xin chúc sức khỏe tất cả các thầy các cô, chúc thầy cô luôn hoành thành tốt các nhiệm vụ được giao. Quảng Bình, tháng 06 năm 2014 Sinh viên Dương Thị Lan Hương MỤC LỤC A. MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Ở trường trung học phổ thông, mục đích của việc giảng dạy môn toán là dạy học sinh kiến thức về toán, cách giải bài tập, rèn luyện kỹ năng giải toán và hình thành tư duy logic cho học sinh. Từ đó, yêu cầu đặt ra là giáo viên phải dạy cho học sinh phương pháp giải các dạng toán. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là một trong những chủ đề quan trọng và hấp dẫn trong chương trình giảng dạy và học tập môn toán ở trường trung học phổ thông. Các bài toán liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thường xuyên xuất hiện trong các kì thi. Tuy nhiên trong chương trình sách giáo khoa có rất ít các bài tập dạng này và do những điều kiện khách quan mà sách giáo khoa không hệ thống lại các phương pháp giải. Do đó việc cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các phương pháp giải dạng toán: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất’’. Khi đó sẽ giúp học sinh lựa chọn được phương pháp thích hợp cho các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và từ đó đưa ra các ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất phương trình. Với những lí do trên, tôi xin hệ thống lại một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thường gặp thông qua việc nghiên cứu đề tài: “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG”. 2. Mục đích nghiên cứu Cung cấp cho học sinh nhiều cách giải dạng toán: “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số” để học sinh giải toán tốt hơn. Để học sinh thấy được ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất phương trình. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống hóa một số phương pháp giải dạng toán: “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Giới thiệu ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất phương trình. 4. Phạm vi nghiên cứu Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ở trường Trung học phổ thông. 5. Đối tượng nghiên cứu Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất giải phương trình, bất phương trình. 6. Phương pháp nghiên cứu Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã sử dụng một số phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận: Đọc sách, phân tích, đối chiếu các tài liệu toán học, lý luận dạy học môn toán, sách giáo khoa. Thực nghiệm sư phạm. 7. Cấu trúc của khóa luận Lời cảm ơn Mục lục A. Mở đầu B. Nội dung Chương 1: Cơ sở lí thuyết về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 1. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2. Tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Chương 2: Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 1. Phương pháp dùng đạo hàm 2. Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số 3. Phương pháp đưa về dạng bình phương 4. Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô-si 5. Phương pháp dùng bất đẳng thức Bunhiacopski 6. Phương pháp dùng tam thức bậc hai 7. Phương pháp dùng véc tơ 8. Phương pháp dùng lượng giác 9. Phương pháp dùng tính đối xứng của biến Chương 3: Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất phương trình I. Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất phương trình có tham số II. Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất phương trình không có tham số C. Kết luận D. Hệ thống bài tập tham khảo E. Tài liệu tham khảo. B. NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Cho hàm số ( )y f x= xác định trên tập D ⊂ ¡ . * Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ( )y f x= trên D, kí hiệu: max ( ) x D M f x ∈ = nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: 0 0 : ( ) : ( ) . x D f x M x D f x M ∀ ∈ ≤   ∃ ∈ =  * Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )y f x= trên D, kí hiệu: min ( ) x D m f x ∈ = nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: 0 0 : ( ) : ( ) . x D f x m x D f x m ∀ ∈ ≥   ∃ ∈ =  2. Các tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Tính chất 1 Giả sử ( )f x xác định trên D và A, B là hai tập con của D, trong đó A B⊆ . Giả thiết tồn tại max ( ) x A f x ∈ , max ( ) x B f x ∈ , min ( ) x A f x ∈ , min ( ) x B f x ∈ . Khi đó ta có: a, max ( ) max ( ) x A x B f x f x ∈ ∈ ≤ ; b, min ( ) min ( ) x A x B f x f x ∈ ∈ ≥ Chứng minh : Chứng minh a: Giả sử 0 max ( ) ( ) x A f x f x ∈ = , với 0 .x A∈ Do 0 x A∈ mà A B⊆ nên 0 .x B∈ Ta có 0 ( ) max ( ) x B f x f x ∈ ≤ hay max ( ) max ( ) x A x B f x f x ∈ ∈ ≤ ⇒ đpcm. Chứng minh b: Giả sử 0 min ( ) ( ) x A f x f x ∈ = , với 0 .x A∈ Do 0 x A∈ mà A B⊆ nên 0 .x B∈ Ta có: 0 ( ) min ( ) x B f x f x ∈ ≥ hay min ( ) min ( ) x A x B f x f x ∈ ∈ ≥ ⇒ đpcm. Tính chất 2 Giả sử hàm số ( )f x xác định trên D và tồn tại max ( ) x D f x ∈ và min ( ) x D f x ∈ . Khi đó ta có: a, max ( ) min( ( )) x D x D f x f x ∈ ∈ = − − ; b, min ( ) max( ( )) x D x D f x f x ∈ ∈ = − − . Chứng minh: a, max ( ) min( ( )) x D x D f x f x ∈ ∈ = − − Giả sử max ( ) x D M f x ∈ = . Khi đó theo định nghĩa giá trị lớn nhất, ta có: 0 0 ( ) , ( ) , . f x M x D f x M x D ≤ ∀ ∈   = ∈  Từ hệ trên suy ra 0 ( ) , ( ) . f x M x D f x M − ≥ − ∀ ∈   − = −  Theo định nghĩa của giá trị nhỏ nhất, suy ra min( ( )) . x D f x M ∈ − = − Như vậy ta đi đến max ( ) min( ( )) x D x D f x f x ∈ ∈ = − − ⇒ đpcm. Chứng minh tương tự b, min ( ) max( ( )) x D x D f x f x ∈ ∈ = − − . Tính chất 3 Giả sử ( )f x và ( )g x là hai hàm số cùng xác định trên D và thỏa mãn điều kiện ( ) ( )f x g x≥ , x D ∀ ∈ . Giả sử cùng tồn tại max ( ) x D f x ∈ ; max ( ) x D g x ∈ . Khi đó ta có: max ( ) max ( ) x D x D f x g x ∈ ∈ ≥ . Chứng minh: Giả sử 0 max ( ) ( ) x D g x g x ∈ = , với 0 x D∈ . Ta có: 0 0 ( ) ( ), ( ) ( )f x g x x D f x g x≥ ∀ ∈ ⇒ ≥ Do 0 0 max ( ) ( ) ( ) max ( ) x D x D f x f x g x g x ∈ ∈ ≥ ≥ = ⇒ đpcm. Tính chất 4 Giả sử ( )f x là hàm số xác định trên D và 1 2 D D D= ∪ . Nếu tồn tại max ( ) i x D f x ∈ , min ( ) i x D f x ∈ với 1,2i = thì ta có: a, { } 1 2 max ( ) max max ( ), max ( ) x D x D x D f x f x f x ∈ ∈ ∈ = ; (1) b, { } 1 2 min ( ) min min ( ), min ( ) x D x D x D f x f x f x ∈ ∈ ∈ = . (2) Chứng minh : Ta chứng minh (1). Vì , 1,2 i D D i⊆ = nên theo tính chất 3, ta có: 1 max ( ) max ( ) x D x D f x f x ∈ ∈ ≤ ; 2 max ( ) max ( ) x D x D f x f x ∈ ∈ ≤ (3) Từ (3) suy ra { } 1 2 max max ( ); max ( ) max ( ). x D x D x D f x f x f x ∈ ∈ ∈ ≤ (4) Giả sử 0 max ( ) ( ) x D f x f x ∈ = , với 0 x D∈ . Vì 1 2 D D D= ∪ mà 0 x D∈ nên 0 1 2 .x D D∈ ∪ Do vậy 0 x phải thuộc về ít nhất một trong hai tập 1 2 , . D D Từ đó có thể cho là (mà không làm giảm sự tổng quát) 0 1 x D∈ . Từ 0 1 x D∈ nên theo định nghĩa về giá trị lớn nhất, ta có: 1 0 ( ) max ( ). x D f x f x ∈ ≤ (5) Hiển nhiên { } 1 2 max ( ) max max ( ); max ( ) . x D x D f x f x f x ∈ ∈ ≤ (6) Từ (5), (6) suy ra { } 1 2 0 ( ) max ( ) max max ( ); max ( ) . x D x D x D f x f x f x f x ∈ ∈ ∈ = ≤ (7) Bây giờ từ (4), (7) đi đến: { } 1 2 max ( ) max max ( ); max ( ) x D x D x D f x f x f x ∈ ∈ ∈ = ⇒ đpcm. Chứng minh tương tự { } 1 2 min ( ) min min ( ), min ( ) x D x D x D f x f x f x ∈ ∈ ∈ = . Tính chất 5 Cho các hàm số 1 2 ( ), ( ), , ( ) n f x f x f x cùng xác định trên miền D. Đặt 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n f x f x f x f x= + + + . Nếu tồn tại max ( ) x D f x ∈ , min ( ) x D f x ∈ , max ( ) i x D f x ∈ , min ( ) i x D f x ∈ với 1,i n= thì ta có: a, 1 2 max ( ) max ( ) max ( ) max ( ) n x D x D x D x D f x f x f x f x ∈ ∈ ∈ ∈ ≤ + + ; (1) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại 0 x D∈ sao cho: 0 max ( ) ( ), 1, i i x D f x f x i n ∈ = ∀ = . b, 1 2 min ( ) min ( ) min ( ) min ( ) n x D x D x D x D f x f x f x f x ∈ ∈ ∈ ∈ ≤ + + + . (2) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại 0 x D∈ sao cho: min ( ) ( ), 1, i i o x D f x f x i n ∈ = ∀ = . Chứng minh: Ta chứng minh (1) Lấy tùy ý x D ∈ . Theo định nghĩa của giá trị lớn nhất ta có: ( ) max ( ), 1, . i i x D f x f x i n ∈ ≤ ∀ = ( 3) Cộng từng vế n bất đẳng thức (3), ta có: 1 1 ( ) ( ) ( ) max ( ) max ( ) i i n n x D x D f x f x f x f x f x ∈ ∈ = + + ≤ + + (4) Vì bất đẳng thức (4) đúng với mọi x D∈ nên ta có max ( ) max ( ) max ( ) i i i n x D x D x D f x f x f x ∈ ∈ ∈ ≤ + + (5) Vậy (1) đúng. Bây giờ ta xét khả năng có dấu bằng trong (1). Giả sử tồn tại 0 x D∈ mà 0 max ( ) ( ), 1, . i i x D f x f x i n ∈ = ∀ = Từ đó ta có 1 1 0 0 0 max ( ) max ( ) ( ) ( ) ( ) n n x D x D f x f x f x f x f x ∈ ∈ + + = + + = (6) Do 0 ( ) max ( ) x D f x f x ∈ ≤ , nên từ (6) suy ra 1 max ( ) max ( ) max ( ) n x D x D x D f x f x f x ∈ ∈ ∈ + + ≤ (7) Từ (5) và (7) suy ra trong trường hợp này xảy ra dấu bằng trong (1). Đảo lại, giả sử dấu bằng trong (1) xảy ra, tức là 1 max ( ) max ( ) max ( ) n x D x D x D f x f x f x ∈ ∈ ∈ = + + (*) Khi đó, gọi 0 x D∈ sao cho 0 (x ) max ( ) x D f f x ∈ = . Như thế 1,i n∀ = ta cũng có 0 ( ) max (x) i i x D f x f ∈ = , vì nếu ngược lại, sẽ tồn tại { } 1, k n∈ mà 0 ( ) max ( ) k k x D f x f x ∈ < , suy ra (*) không còn đúng nữa (vế trái lớn hơn vế phải) Vậy tính chất 5a được chứng minh Chứng minh tương tự 1 2 min ( ) min ( ) min ( ) min ( ) n x D x D x D x D f x f x f x f x ∈ ∈ ∈ ∈ ≤ + + + . Tính chất 6 Giả sử 1 2 ( ), ( ), , ( ) n f x f x f x cùng xác định trên miền D và ta có ( ) 0 i f x > x D ∀ ∈ , 1,i n∀ = . Giả thiết nếu tồn tại max ( ) i x D f x ∈ , min ( ) i x D f x ∈ , max ( ) x D f x ∈ , min ( ) x D f x ∈ . Đặt 1 2 ( ) ( ). ( ) ( ) n f x f x f x f x= . Khi đó ta có: a, ( ) ( ) ( ) 1 2 max ( ) max ( ) max ( ) max ( ) n x D x D x D x D f x f x f x f x ∈ ∈ ∈ ∈ ≤ ; (1) b, ( ) ( ) ( ) 1 2 min ( ) min ( ) min ( ) min ( ) n x D x D x D x D f x f x f x f x ∈ ∈ ∈ ∈ ≥ (2) Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại 0 x D∈ sao cho 0 max ( ) ( ), i 1, i i x D f x f x n ∈ = ∀ = Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại 0 x D∈ sao cho 0 min ( ) ( ), i 1, i i x D f x f x n ∈ = ∀ = . Chứng minh : Chứng minh tương tự tính chất 5. Tính chất 7 [...]... : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1 Phương pháp dùng đạo hàm 1.1 Kiến thức cơ bản Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên miền D , ta làm như sau: Tính y ' = f ' ( x) Tìm các điểm x1 , x2 , , xn ∈ D sao cho f ' ( x) = 0 Lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. .. nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + cos 2 x trên π  0 ; 4    Giải π  Ta có: y ' = 1 − sin 2 x ≥ 0, ∀x ∈ 0 ;  suy ra y tăng trên 4  π  0 ;   4  π  π 1 Do đó: max y = y  ÷ = + 4 4 2 min y = y (0) = 1 LƯU Ý: Phương pháp đạo hàm được sử dụng rộng rãi để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số 2.1 Kiến thức cơ... Định nghĩa miền giá trị của hàm số: Cho hàm số y = f ( x) có miền xác định D Khi đó hàm số có miền giá trị: f ( D) = { y ∈ ¡ / y = f ( x), x ∈ D}  Ta dùng điều kiện tồn tại nghiệm để tìm miền giá trị của hàm số tức là tìm điều kiện để phương trình y0 = f ( x) có nghiệm ( với y0 là một giá trị tùy ý của hàm số y = f ( x) trên tập xác định D ) Sau đó, từ điều kiện tìm được biến đổi về một trong các dạng... max y = 2 ; min y = 2 ≤ y0 ≤ 2 11 2 11 3 Phương pháp đưa về dạng bình phương 3.1 Kiến thức cơ bản Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta tìm cách (nếu được) đưa biểu thức về dạng A2 ≥ 0 Dấu “=” xảy ra khi A = 0 3.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: ( ) ( ) y = x3 + 2 1 + x3 + 1 + x3 + 2 1 − x3 + 1 Giải Hàm số xác định với mọi x ≥ −1 Ta có: y = x3... m ≤ y0 ≤ M thì max f ( x) = M và min f ( x) = m x∈D x∈D LƯU Ý: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 Phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm khi và chỉ khi a 2 + b 2 ≥ c 2 2.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: , với Giải Tập xác định: D = ¡ Gọi y0 là một giá trị bất kì của hàm số đã cho Khi đó phương trình sau đây (ẩn x ) 2... 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 − ln(1 − 2 x) trên đoạn [ −2 ; 0] Giải Xét trên đoạn [ −2 ; 0] 2 −4 x 2 + 2 x + 2 y ' = 2x + = 1 − 2x 1− 2x x = 1 y' = 0 ⇔  x = − 1  2 Với x = 1 (loại) Ta tính y (−2) = 4 − ln 5  1 1 y  − ÷ = − ln 2  2 4 y (0) = 0 1 Vậy [max] y ( x) = 4 − ln 5 ; min y ( x) = − ln 2 −2 ; 0 [ −2 ; 0] 4 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. .. y ' = 0 ⇔ − x2 − 2x = 0 ⇔   x = −2 Bảng biến thiên: x −∞ y’ -2 - 0 + 0 +∞ 0 0 - 1 y − 1 3 0 Dựa vào bảng biến thiên ta được: Giá trị lớn nhất của y là 1, đạt được khi x = 0 1 Giá trị nhỏ nhất của y là − , đạt được khi x = −2 3 Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau Giải Miền xác định của hàm số D = (0 ; + ∞) Đặt t = log 2 x, t ≥ 0 Khi đó: y = t + y' = 1 − 1 t+2 (t + 1)(t + 3) 1 (t + 2)... 4(1 + y0 )2 ≤ y0 2 + ( y0 − 1) 2 −5 − 19 −5 + 19 ≤ y0 ≤ 2 2 ⇔ 2 y0 2 + 10 y0 + 3 ≤ 0 ⇔ ⇒ max y = −5 + 19 2 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos x + 2sin x + 3 2cos x − sin x + 4 trong khoảng ( −π ; π ) Giải y0 thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình y0 = cos x + 2sin x + 3 2cos x − sin x + 4 (1) có nghiệm thuộc khoảng ( −π ; π ) Ta có: (1) ⇔ (2 y0 −... ( x) là hàm số xác định trên D và f ( x) ≥ 0 , ∀x ∈ D Khi đó, với mọi n nguyên dương, ta có: max f ( x) = 2 n max( f 2 n ( x)) ; x∈D x∈D min f ( x) = 2 n min( f 2 n ( x)) x∈D x∈D Chứng minh: Tính chất này suy ra trực tiếp từ định nghĩa của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, cũng như các tính chất về lũy thừa của một bất đẳng thức Tính chất 10 Giả sử f ( x) là hàm số xác định trên D và tồn tại... ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an • Nếu a1a2 an = P không đổi thì a1 + a2 + + an = S đạt giá trị nhỏ nhất là n n n P khi và chỉ khi a1 = a2 = = an = P • Nếu a1 + a2 + + an = S không đổi thì a1a2 an = P đạt giá trị lớn nhất là n S S  ÷ khi và chỉ khi a1 = a2 = = an = n n 4.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của y = 3x +1 + 32− x Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho 2 số không . giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 1. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2. Tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Chương 2: Một số phương. : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1. Phương pháp dùng đạo hàm 1.1 Kiến thức cơ bản Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. lại một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thường gặp thông qua việc nghiên cứu đề tài: “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG”. 2.