Khóa luận tốt nghiệp toán một số bài toán và cách giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình ở bậc THCS

Hầu hết các bài toán có dữ liệu ràng buộc lẫn nhau buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được mối liên quan giữa các đại lượng để lập được phương trình hoặc hệ phương trình.. trong

A: PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” ở bậc THCS là một dạng toán tương đối khó đối với học sinh Do đặc trưng của loại toán này thường là loại toán có đề bài bằng lời văn và thường được kết hợp giữa toán học, vật lý, hóa học và một số bài toán về thực tế

Hầu hết các bài toán có dữ liệu ràng buộc lẫn nhau buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được mối liên quan giữa các đại lượng để lập được phương trình hoặc hệ phương trình

Trong phân phối chương trình toán ở trường THCS thì ở lớp 8 học sinh mới được học khái niệm về phương trình nhưng việc giải phương trình đã có trong chương trình toán từ các lớp dưới với mức độ và yêu cầu đơn giản hơn

Đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực tế Vì vậy mà việc chọn ẩn thường là những đại lượng có liên quan đến thực tế Do đó khi giải bài toán học sinh thường mắc sai lầm là thoát ly khỏi thực tế dẫn đến quên điều kiện của

ẩn số Học sinh không khai thác hết mối quan hệ ràng buộc trong thực tế

Từ những lý do dẫn đến nhiều học sinh rất ngại giải dạng toán này Mặt khác trong quá trình giảng dạy cho học sinh do điều kiện khách quan giáo viên chỉ dạy cho học sinh truyền thụ theo sách giáo khoa mà chưa biết phân loại dạng toán, chưa khai thác được phương pháp giải cho mỗi dạng toán do kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu Vì thế

trong quá trình đặt ẩn, mối liên hệ giữa các số liệu trong bài toán dẫn đến lúng túng trong việc giải dạng toán này.

Để giải được bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình điều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ trong bài toán thành những quan hệ toán học Do vậy nhiệm vụ của những người thầy là phải dạy cho học sinh cách dẫn giải bài tập Vì vậy khi hướng dẫn cho học sinh học về giải dạng toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình phải dựa trên các nguyên tắc sau:

- Yêu cầu về giải bài toán

- Quy tắc giải bài toán về cách lập phương trình

- Phân loại dạng toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lượng (tăng giảm, thêm bớt,…)

- Làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được phương trình, hệ phương trình dễ dàng

Với mong muốn có một chuyên đề chuyên sâu cho dạng toán phương trình, hệ phương trình vì thế em đã chọn đề tài “Một số bài toán

và cách giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình ở bậc THCS”

Trong quá trình học tập tại trường em không ngừng học hỏi từ thầy

cô, bạn bè, từ tài liệu tham khảo, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Phan Trọng Tiến, Khoa Khoa học Tự nhiên Trường Đại học Quảng Bình đã giúp em hoàn thành đề tài này

2 Mục tiêu nghiên cứu

Thông qua đề tài này, tôi muốn giới thiệu tới những bạn đọc đam

mê Toán, sinh viên ngành sư phạm Toán một số vấn đề cơ bản liên quan

đến giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình Đề tài đi sâu vào nghiên cứu một số ví dụ cụ thể về các dạng toán giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình bậc THCS.

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh bậc THCS

- Khách thể nghiên cứu: Trình bày một số kiến thức phù hợp với từng nội dung của đề tài, từ đó hình thành cách giải, hệ thống các ví dụ nhằm bổ sung sáng tỏ phần lý thuyết và bài tập giúp người đọc hiểu sâu hơn

4 Giả thuyết khoa học

Để có thể học tốt dạng toán này, học sinh phải nắm vững các kiến thức liên quan Từ những bài toán thực tế giáo viên giúp học sinh thấy được toán học gắn liền với đời sống thực tế, toán học không phải là những con số khô khan, không biết nói Nhờ vào toán học giúp chúng ta giải được các bài toán thực tế, đáp ứng được nhu cầu phát triển chung của xã hội; giúp ta định hướng được các công việc cần làm, tìm được lời giải tối ưu, mang lại hiệu quả thiết thực cho cuộc sống

Đề tài giúp cho học sinh có những kiến thức cơ bản về giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình, từ đó phát huy cao tính tích cực, chủ động, tìm tòi, khám phá của bạn đọc nói chung cũng như của học sinh và giáo viên THCS nói riêng

5 Tổng quan tình hình nghiên cứu

Các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS, các tạp chí Toán học

và tuổi trẻ Tuy nhiên trong các tài liệu đó tác giả chỉ trình bày các nội dung kiến thức phù hợp với yêu cầu giảng dạy, yêu cầu tự học của sinh viên, học sinh, yêu cầu tham khảo của giáo viên mà không đi sâu vào từng nội dung về “Phương pháp giải toán bằng cách lập phương trình, hệ

phương trình cho một số dạng toán trong chương trình THCS” gắn với tên tuổi các nhà toán học vĩ đại.

6 Nhiệm vụ của đề tài

- Hệ thống những kiến thức cơ bản về “Phương pháp giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình cho một số dạng toán trong chương trình THCS”

- Hệ thống các ví dụ mở đầu

- Hệ thống các bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp

- Tìm ra phương pháp giải hiệu quả nhất với từng dạng toán

- Rút ra điểm cần lưu ý cho một số dạng toán

7 Phạm vi nghiên cứu

Trong chương trình THCS, bài tập về giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình nâng cao, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi

8 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc sách có liên quan đến đề tài

- Sử dụng phương pháp phân tích để nắm vững vấn đề một cách chi tiết

- Sử dụng phương pháp tổng hợp, hệ thống những kiên thức tiên quyết, trình bày vấn đề theo trình tự logic để người đọc dễ theo dõi

9 Đóng góp của đề tài

Tìm hiểu sâu các dạng toán giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình thông qua bước phân tích bài toán, nhằm giúp cho học sinh tìm được các phương trình một cách dễ dàng hơn

Nếu học sinh nắm vững bước phân tích bài toán thì các em không còn lúng túng khi gặp loại bài này nữa, từ đó các em có niềm tin, say mê, hứng thú trong học toán, tạo cho các em tính tự tin, độc lập suy nghĩ, phát triển tư duy logic và suy luận toán học.

10 Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài

* Cơ sở lý luận: Mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay là

phải đào tạo ra con người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và nhân văn cao

Với vai trò mạnh mẽ của toán học nên yêu cầu đặt ra là phải làm cho học sinh nắm được các kiến thức toán học một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống, có năng lực vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán thực tế Muốn vậy thì học sinh phải có phương pháp học tập thích hợp Trong việc đổi mới phương pháp dạy học thì học sinh đóng vai trò chủ động trong việc tìm hiểu tri thức qua sự dẫn dắt, hướng dẫn của giáo viên

* Cơ sở thực tiễn: Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại

khó khi giải các bài toán, tôi thấy cần phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập

“Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình” là phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số rồi dùng các phép biến đổi đại số để tìm ra đại lượng chưa biết thỏa mãn điều kiện bài cho

11 Cấu trúc của đề tài

Bố cục gồm 3 phần:

• Phần 1: Mở đầu

• Phần 2: Nội dung

Chương 1: Phương pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán

Chương 2: Phân loại dạng toán: “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình’’ và các giai đoạn giải một bài toán

- Phần 3: Kết luận

B NỘI DUNG CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ YÊU CẦU GIẢI MỘT BÀI

TOÁN

- Dựa vào phân phối chương trình chung của Bộ giáo dục – Đào tạo về chương trình toán THCS với nội dung: Phương trình và hệ phương trình.

- Phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán trên là dựa vào nguyên tắc chung: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

* Nội dung quy tắc gồm các bước sau:

Bước 1: Lập phương trình (gồm)

- Chọn ẩn (Chỉ rõ đơn vị và điều kiện của ẩn)

- Biểu thị các số liệu chưa biết và đã biết qua ẩn

- Dựa vào mối quan hệ giữa các số liệu để lập phương trình, hệ phương trình

Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình

(Chọn cách giải cho phù hợp)

Bước 3: Nhận định kết quả và trả lời

- So sánh kết quả tìm được với điều kiện của ẩn xem có phù hợp không rồi trả lời kết quả

II Yêu cầu về giải một bài toán

Ví dụ 1

Bảy năm trước tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4 Năm nay tuổi

mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi con Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi.

Gọi tuổi con năm nay là x (tuổi)

Vậy tuổi mẹ năm nay là 3x (tuổi) ĐK : x ∊ N

Trước đây 7 năm tuổi con là x – 7

Trước đây 7 năm tuổi mẹ là 3x – 7

Vì trước đây 7 năm tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 nên ta có phương trình :

3x – 7 = 5(x – 7) + 4

3x – 7 = 5x – 35 + 4

3x – 5x = -35 + 4 + 7

-2x = -24

ẩn phải khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho phải làm nổi bật được ý phải tìm Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài toán thiết lập được phương trình từ đó tìm được các giá trị của ẩn Muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh xác định rõ đâu là ẩn, đâu là dữ kiện, đâu là điều kiện Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không Từ đó

mà xác định được hướng đi, xây dựng được lời giải

Ví dụ 2

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 5m Tính chu

vi của mảnh đất đó Biết diện tích của mảnh đất là 500m2

+ Phân tích đề bài

Nếu chiều dài của mảnh đất HCN là x (m) thì chiều rộng là x – 5 (m)

Khi đó diện tích của mảnh đất HCN là x (x – 5) (m2)

Giải:

Gọi chiều dài mảnh đất HCN là x (m)

Vậy chiều rộng của mảnh đất là x – 5 (m) ĐK :0 < x < 500

Vì diện tích của mảnh đất HCN là 500 m2 nên ta có :

Ví dụ 3

Một cạnh của tam giác có chiều cao bằng lần cạnh đáy nếu chiều cao tăng thêm 3cm và cạnh đáy giảm đi 5cm thì diện tích tam giác đó bằng lần diện tích tam giác ban đầu Tính chiều cao và diện tích của tam giác ban đầu

Gọi cạnh đáy của tam giác ban đầu là x (cm) ĐK: x > 5Nên chiều cao của tam giác ban đầu là x (cm)

Vậy diện tích tam giác ban đầu là (x x) : 2 = x2

Khi tăng chiều cao lên 3cm thì chiều cao mới là x + 3 (cm)

Khi giảm cạnh đáy đi 5cm thì đáy mới là x – 5 (cm)

Suy ra diện tích của tam giác mới là [( x + 3)(x – 5)] : 2 (cm2)

Theo đầu bài ta có phương trình : [( x + 3)(x – 5)] : 2 = x2

x2 – 10x – 200 = 0 có { a = 1 ; b = -10 ⇒-b’ = -5 ; c = -200}

∆’ = b’2 - ac ∆’ = (-5)2 - 1(-200) = 25 + 200 = 225

∆’ = 225 > 0 ⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

⇒’ = = 15

⇒ x1 = = = 20 (TMĐK)

⇒ x2 = = = -10 (loại)

Vậy cạnh đáy của tam giác ban đầu là 20cm

Chiều cao của tam giác ban đầu là .20 = 15 (cm)

13 tấn than Hỏi theo kế hoạch đội phải khai thác bao nhiêu tấn than

Giải:

Gọi x là số than mà đội phải khai thác theo kế hoạch (x nguyên, dương)

Số ngày mà đội khai thác theo kế hoạch là

Thực tế đội khai thác được x + 13 (tấn)

Số ngày mà đội khai thác theo thực tế là

Theo đầu bài ta có phương trình :

bỏ sót nghiệm đặc biệt là phương trình bậc hai, hệ phương trình.

Mặt khác theo định lý pitago áp dụng vào tam giác đã cho ta có:

CHƯƠNG II PHÂN LOẠI DẠNG TOÁN : “GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH’’ VÀ CÁC GIAI ĐOẠN

GIẢI MỘT BÀI TOÁN

I Phân loại dạng toán: “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”

Trong chương trình lớp 8, 9 giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình có thể phân loại như sau :

1 Loại toán về chuyển động

2 Loại toán có liên quan đến số học

3 Loại toán về năng suất lao động

4 Loại toán có liên quan đến công việc làm chung, làm riêng

5 Loại toán về tỉ lệ chia phần (thêm bớt, tăng, giảm…)

6 Loại toán có liên quan đến hình học

7 Loại toán có liên quan đến vật lý, hóa học

8 Loại toán về xác định các hệ số của một đa thức

9 Dạng toán có chứa tham số

(a; a’; b; b’ không đồng thời bằng 0)

Để đảm bảo 6 yêu cầu về bài toán và 3 bước trong quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình thì bài toán có thể chia thành các giai đoạn như sau:

Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết, kết luận của bài

toán giúp học sinh hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? Cần tìm gì?

Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề có liên quan đến lập phương trình

Tức là chọn ẩn như thế nào cho phù hợp, điều kiện cho thỏa mãn

Giai đoạn 3: Lập phương trình dựa vào quan hệ giữa ẩn số và các đại

lượng đã biết, dựa vào công thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi tương đương để đưa phương trình đã xây dựng về phương trình ở dạng

đã biết, đã giải được

Giai đoạn 4: Giải phương trình phải vận dụng các kỹ thuật giải

phương trình đã biết để tìm nghiệm của phương trình

Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phương trình, để xác định lời

giải của bài toán, tức là xét nghiệm của phương trình với điều kiện đặt ra của bài toán, với hiện thực xem có phù hợp không

Giai đoạn 6: Trả lời bài toán kết luận xem có mấy nghiệm (sau khi đã

thử lại)

Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải, phần này thường mở rộng

cho học sinh khá, giỏi Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đổi bài toán thành bài toán khác, ta có thể:

- Giữ nguyên ẩn số, thay đổi các yếu tố khác

- Giữ nguyên giữ kiện, thay đổi các yếu tố khác nhằm phát triển tư duy học sinh

- Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất

III Những loại bài toán và hướng dẫn học sinh giải bài toán

1 Dạng toán chuyển động

1.1: Bài toán 1

Một ô tô đi từ Hà Nội từ lúc 8h sáng dự kiến đến Hải Phòng lúc 10h30’ Nhưng mỗi giờ ô tô lại đi chậm hơn so với dự kiến là 10km nên mãi đến 11h20’ xe mới đến Hải Phòng Tính quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng

+ Phân tích đề bài

Đây là loại toán chuyển động mà vận tốc được chia làm hai giai đoạn:

+ Giai đoạn 1: Ô tô đi với vận tốc dự định

+ Giai đoạn 2: Ô tô đi với vận tốc thực tế

định nào đó Sau khi đi được một giờ thì xe bị hỏng nên xe phải dừng lại để sửa chữa mất 10 phút Vì vậy để đến B kịp thời gian dự định xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h Tính vận tốc ban đầu của ô tô.

+ Phân tích bài toán

- Thời gian ô tô đi được chia làm 3 giai đoạn:

+ Giai đoạn 1: Ô tô đi với vận tốc dự định

+ Giai đoạn 2: Ô tô dừng lại để sửa chữa

+ Giai đoạn 3: Ô tô đi với vận tốc mới

- Thời gian dự định bằng thời gian thực tế

Giải:

Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) ĐK: x > 0

Thời gian ô tô đi theo dự định là: (h)

Sau 1 giờ xe đi được: 1.x = x (km)

Quãng đường còn lại là: 120 – x (km)

Vận tốc mới của ô tô là x + 6

Thời gian ô tô đi nốt quãng đường còn lại là:

Theo bài ra ta có phương trình: = 1 +

⇒ x2 + 42x – 4320 = 0 có { a = 1; b = 42 ⇒ b’ = 21; c = - 4320}

∆’ = (b’)2 – ac = (21)2 – 1.(- 4320) = 4761 > 0 ⇒ có 2 nghiệm phân biệt

Vậy vận tốc của xuồng máy là x + 12 (km/h)

Thời gian bè gỗ trôi cho đến khi gặp xuồng máy là:

Thời gian xuồng máy đi cho đến khi đuổi kịp bè gỗ là:

Theo bài ra ta có phương trình: - =

làm quen với việc giải các bài toán chuyển động bằng cách lập phương trình Ở đây mới chỉ nêu cách giải đại diện cho các dạng phương trình bậc nhất, bậc hai.

Trong các bài toán về chuyển động học sinh cần nhớ và nắm chắc mối liên

hệ giữa các đại lượng vận tốc, quãng đưỡng và thời gian Thông thường một trong ba đại lượng đó được chọn là ẩn số Một đại lượng đã được xác định là phải biểu thị đại lượng còn lại theo ẩn dựa vào mối liên hệ trong bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình

Trong bài toán chuyển động có thể chia thành nhiều dạng nhỏ:

+ Nếu 2 chuyển động ngược chiều thì sau một thời gian 2 chuyển động gặp nhau, ta có: s1 + s2 = khoảng cách ban đầu

+ Nếu 2 chuyển động cùng chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động cùng nhau, ta có: s1 – s2 = khoảng cách ban đầu (s1> s2)

+ Nếu chuyển động cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là 2 đại lượng tỷ lệ nghịch với nhau

+ Nếu chuyển động trên đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B về A Biết tổng thời gian thực tế của chuyển động thì: Tổng thời gian – Thời gian

đi + Thời gian về

+ Nếu là chuyển động trên dòng nước thì:

Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nước

Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực – Vận tốc dòng nước

Vận tốc xuôi dòng – Vận tốc ngược dòng = 2 lần vận tốc dòng nước

2 Dạng toán liên quan đến số học

2.1: Bài toán 1

Tìm số có 2 chữ số biết rằng tổng hai chữ số là 7 và nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho là 360 đơn vị.

+ Phân tích bài toán

Với số có 2 chữ số = 10a + b

Với số có 3 chữ số = 100a + 10b + c

Khi viết thêm một chữ số vào giữa hai chữ số của số đã cho thì được số mới

có 3 chữ số Trong đó chữ số hàng chục của số ban đầu trở thành chữ số hàng trăm của số mới, còn chữ số hàng đơn vị của số ban đầu trở thành chữ

số hàng đơn vị của chữ số mới