4.1: Bài toán 1
Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày. Họ cùng làm với nhau được 8 ngày thì đội 1 được điều đi làm việc khác, còn đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm xong công việc nói trên (Với năng suất bình thường).
Gọi x là số ngày đội 1 làm một mình xong công việc (ngày, x > 12) Gọi y là số ngày đội 2 làm một mình xong công việc (ngày, y > 12) Trong một ngày đội 1 làm được công việc
Trong một ngày đội 2 làm được công việc Trong một ngày cả hai đội làm được công việc Ta có phương trình : (1)
Khi cả hai đội làm chung được 8 ngày cả hai đội làm được = công việc
⇒ Số công việc còn lại để đội 2 làm nốt là : 1 - = công việc
Đội 2 làm với năng suất gấp đôi trong một ngày là .2 = Theo đầu bài ta có phương trình : 3,5. = (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
Giải hệ ta được :
Vậy đội 1 làm trong 28 ngày thì xong công việc. Đội 2 làm trong 21 ngày thì xong công việc.
4.2: Bài toán 2
Nếu 2 vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì sau 1 giờ 20 phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ 2 chảy trong 12 phút thì được bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu đầy bể.
Đổi : 1h20’ = 80’
Gọi x là thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể (phút, x > 80) Gọi y là thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể (phút, y > 80) Trong một phút vòi 1 chảy được (bể)
Trong một phút vòi 2 chảy được (bể) Trong một phút cả hai vòi chảy được bể Ta có phương trình : (1)
Khi mở vòi 1 trong 10 phút được bể Khi mở vòi 2 trong 12 phút được bể
Theo bài ra ta có phương trình : + (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
Giải hệ phương trình ta được:
Vậy vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 120 phút đầy bể. Vòi thứ 2 chảy một mình thì sau 240 phút đầy bể.
4.3: Bài toán 3
Hai đội công nhân cùng làm công việc trong 16 ngày thì xong, nếu đội thứ nhất làm trong ba ngày và đội thứ hai làm trong 6 ngày thì được 25 % công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Giải:
Gọi x là thời gian đội 1 làm một mình xong công việc (ngày, x > 16) Gọi y là thời gian đội 2 làm một mình xong công việc (ngày, y > 16)
Một ngày đội 1 làm được công việc Một ngày đội 2 làm được công việc
Trong một ngày cả hai đội làm được công việc Ta có : (1)
Đội 1 làm một mình trong 3 ngày làm được công việc Đội 2 làm một mình trong 6 ngày làm được công việc Theo bài ra ta có phương trình : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
Giải hệ phương trình ta được : x = 24 ; y = 48 (TMĐK)
Vậy đội 1 làm một mình trong 24 ngày sẽ hoàn thành công việc. Đội 2 làm một mình trong 48 ngày sẽ hoàn thành công việc.
* Tóm lại
Với loại toán này cần làm cho học sinh thấy rõ được quan hệ giữa thời gian và năng suất làm việc: Nếu công việc làm mất x ngày (giờ) thì trong một ngày (giờ) làm được công việc.
5.Dạng toán về tỉ lệ chia phần 5.1: Bài toán 1
Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công thợ. Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày hoàn thành công việc giảm đi 7 ngày.
Gọi số công nhân của đội là x (x ∊ N*)
Sau khi tăng 5 người thì đội có x + 5 (người)
Số ngày hoàn thành công việc với x người là (ngày) Số ngày hoàn thành công việc với x + 5 người là (ngày) Theo đầu bài ta có phương trình: = 7
7x2 + 35x – 2100 = 0 có {a = 7; b = 35; c = -2100}
∆ = b2 – 4ac = (35)2 – 4.7.(-2100) = 60025 > 0 ⇒ có 2 nghiệm phân biệt
= = 245
x1 = = = 15 (TMĐK) x2 = = = -20 (loại)
Vậy số công nhân của đội là 15 người.
5.2: Bài toán 2
Một đội xe cần chở 12 tấn hàng. Khi làm việc do 2 xe cần điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn hàng. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe?
Ta có bảng sau: Số xe Số hàng (tấn) Số hàng 1 xe chở (tấn) Dự định x 12 Thực tế x– 2 12 Giải:
Gọi số xe của đội lúc đầu là x (xe) ĐK: x ∊ N ; x > 2
Theo dự định mỗi xe phải chở (tấn hàng) Số xe trên thực tế là x – 2 (xe)
Khi đó mỗi xe phải chở (tấn hàng)
Theo đầu bài ta có phương trình : - = 16
x2 – 2x – 15 = 0 có {a = 1 ; b = -2 ⇒ b’ = -1 ; c = -15}
= = 4
x1 = = = 5 (TMĐK) x2 = = = -3 (loại) Vậy lúc đầu đội có 5 xe.