Khoá luận tốt nghiệp toán Một số bài tập điển hình về giới hạn và tích phân trong chương trình Toán trung học phổ thông

ĐỀ TÀI Một số bài tập điển hình về giới hạn và tích phân trong chương trình Toán trung học phổthông... MỞ ĐẦUGiải tích toán học, còn gọi đơn giản là giải tích, là ngành toán học nghiên c

ĐỀ TÀI Một số bài tập điển hình về giới hạn và tích phân trong chương trình Toán trung học phổ

thông

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp em đã gặp rất nhiều khó khăn

và bỡ ngỡ Nhờ vào sự giúp đỡ và động viên của nhiều thầy cô giáo bạn bè và giađình đã giúp em hoàn thành khóa luận này

Lời đầu tiên, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Th.S Nguyễn QuốcTuấn, người đã chỉ dạy cho em những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập vànghiên cứu khoa học, đã động viên tận tình hướng dẫn trong suốt thời gian học tập

và đặc biệt là trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, cán bộ, giảng viên Trường ĐạiHọc Quảng Bình, giảng viên trong khoa Khoa học tự nhiên đã tận tình giảng dạy,truyền đạt kiến thức trong suốt quá trình học tập Với vốn kiến thức được tiếp thutrong quá trình học không chỉ là nền tảng cho quá trình nghiên cứu khóa luận màcòn là hành trang quí báu để em bước vào đời một cách vững chắc và tự tin

Xin cảm ơn gia đình và những người bạn đã giúp đỡ động viên về tinh thầncũng như phương tiện vật chất trong suốt quá trình làm đề tài tốt nghiệp

Trong thời gian có hạn em đã cố gắng hoàn thành khóa luận này, nhưng vẫnkhông tránh khỏi những khiếm khuyết, thiếu sót kính mong nhận được sự góp ý chỉbảo của các thầy cô, của các bạn sinh viên trong khoa và những ai quan tâm đến đềtài này

Cuối cùng em xin cảm ơn các thầy cô là chủ tịch hội đồng, phản biện và ủyviên hội đồng đã bỏ thời gian quý báu để đọc, nhận xét và tham gia hội đồng chấmkhóa luận

Đồng Hới, ngày 20 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Hoàng Thị Mĩ Lệ

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 3

PHẦN GIỚI HẠN 6

CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 6

1.1 Các kiến thức cơ bản về dãy số 6

1.1.1 Dãy số 6

1.1.2 Dãy số bị chặn 6

1.1.3 Dãy số đơn điệu 6

1.1.4 Dãy con 7

1.1.5 Giới hạn hữu hạn của dãy số 7

1.2 Các định lí 7

1.3 Các nguyên lí 8

1.3.1 Nguyên lí Weiestrass 8

1.3.2 Nguyên lí Bolzano – Weiestrass 8

1.4 Giới hạn một số dãy số thường gặp 9

BÀI TẬP CHƯƠNG I – GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 10

CHƯƠNG II: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 17

2.1 Các kiến thức cơ bản về hàm số 17

2.1.1 Hàm số 17

2.1.2 Đồ thị của hàm số 17

2.1.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 17

2.1.4 Hàm số bị chặn 17

2.1.5 Hàm số đơn điệu 18

2.1.6 Giới hạn của hàm số 18

2.1.6.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm 18

2.1.6.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực 18

2.2 Các nguyên lí cơ bản về giới hạn hàm số 19

2.3 Một vài giới hạn đặc biệt của hàm số 19

BÀI TẬP CHƯƠNG II – GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 20

CHƯƠNG III: HÀM SỐ LIÊN TỤC 24

3.1 Định nghĩa 24

3.1.1 Hàm số liên tục tại một điểm 24

3.1.2 Hàm số liên tục trên một khoảng 24

3.1.3 Hàm số liên tục trên một đoạn 24

3.2 Các phép toán số học với hàm liên tục 25

3.3 Các định lí cơ bản về hàm liên tục 25

BÀI TẬP CHƯƠNG III – HÀM SỐ LIÊN TỤC 26

PHẦN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 31

1 Nguyên hàm 31

1.1 Các khái niệm 31

1.2 Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp 32

1.3 Một số phương pháp tìm nguyên hàm 33

1.3.1 Phương pháp đổi biến số 33

1.3.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần 33

2 Tích phân 33

2.1 Định nghĩa 33

2.2 Tính chất 33

2.3 Một số phương pháp tính tích phân 34

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 35

KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

MỞ ĐẦU

Giải tích toán học, còn gọi đơn giản là giải tích, là ngành toán học nghiên cứu

về các khái niệm giới hạn, đạo hàm, tích phân Nó có vai trò chủ đạo trong giáodục đại học hiện nay

Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn" Để nghiên cứu giới hạncủa một dãy số, hàm số, ta phải "đo" được "độ xa gần" giữa các đối tượng cần xétgiới hạn đó Do vậy, những khái niệm như là mêtric, tôpô được tạo ra để mô tả mộtcách chính xác, đầy đủ việc đo độ xa, gần ấy

Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường mang tính chất "động" hơn

là tính chất "tĩnh" như trong đại số

Giải tích có ứng dụng rất rộng trong khoa học kỹ thuật, để giải quyết các bàitoán mà với phương pháp đại số thông thường tỏ ra không hiệu quả Nó được thiếtlập dựa trên các ngành đại số, lượng giác, hình học giải tích và còn được gọi là

"ngành toán nghiên cứu về hàm số" trong toán học cao cấp

Giới hạn là một trong những vấn đề cơ bản của giải tích Có thể nói: Không cógiới hạn thì không có giải tích, hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quanđến giới hạn

Trong Toán học, khái niệm "giới hạn" được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm

số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào

đó Trong một không gian đầy đủ, khái niệm giới hạn cho phép ta xác định mộtđiểm mới từ một dãy Cauchy các điểm đã được xác định trước Giới hạn là kháiniệm quan trọng của Giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, đạohàm và phép tính tích phân

Tích phân là một khái niệm toán học, và cùng với nghịch đảo của nó viphân đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích Có thểhiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa Giả sử cần

tính diện tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đóthành các hình nhỏ đơn giản hơn và đã biết cách tính diện tích như hình tamgiác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật Tiếp theo, xét một hình phức tạp hơn

mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hìnhnhỏ hơn, nhưng bây giờ kết quả có thêm các hình thang cong Tích phân giúp tatính được diện tích của hình thang cong đó

Chủ đề Giới hạn và Nguyên hàm - Tích phân là một trong những phần quantrọng và cơ bản trong chương trình toán phổ thông nó đóng vai trò quan trọng trongToán học cũng như trong thực tiễn Giới hạn là khâu đầu tiên, là tiền đề quan trọng

để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng vững chắc, có hiệu quả các kiến thứcGiải tích toán học ở phổ thông Chủ đề Giới hạn có vai trò hết sức quan trọng trongchương trình Toán phổ thông còn có lẽ vì khái niệm Giới hạn là cơ sở, hàm số liêntục là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàm và tích phân Tích phân có mặttrong chương trình phổ thông chỉ với tư cách là những kiến thức thực hành, là công

cụ tính toán để sử dụng trong hình học, vật lí và kĩ thuật Nội dung nguyên hàm,tích phân lớp 12 THPT là một nội dung mới đối với học sinh, hơn nữa đây lại làmột nội dung khó, trừu tượng

Với những lí do trên tôi chọn đề tài để làm đề tài khóa luận là:

“Một số bài tập điển hình về giới hạn và tích phân trong chương trình Toán trung học phổ thông”.

Mục đích của đề tài là nêu các định nghĩa, định lí, quy tắc, phương pháptính giới hạn, nguyên hàm và tích phân Sau đó là cách nhận diện, phân dạng cácbài tập

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được chia thành haiphần lớn đó là phần Giới hạn và phần Nguyên hàm - Tích phân

Trong phần Giới hạn gồm có ba chương, chương 1 giới thiệu một số bài toán

về giới hạn dãy số, chương 2 giới thiệu một số bài toán về giới hạn hàm số vàchương 3 giới thiệu các bài toán về tính liên tục của hàm số

Trong phần Nguyên hàm - Tích phân giới thiệu các quy tắc, phương pháp vàbài tập tính nguyên hàm, tích phân

Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng với thời gian, kiến thức và kinh nghiệm của bảnthân còn khiêm tốn nên tồn tại nhiều thiếu sót trong khóa luận là điều khó tránhkhỏi Tôi rất mong nhận được sự thông cảm, góp ý chân thành của các thầy giáo, côgiáo và các bạn để đề tài được hoàn thiện, có hiệu quả và có thể ứng dụng tronggiảng dạy phổ thông sau này

PHẦN GIỚI HẠN CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Trong chương này tôi giới thiệu giới hạn của dãy số và nêu một số định lí, quytắc tìm giới hạn sau đó áp dụng để giải một số bài tập tìm giới hạn của dãy số

1 Các kiến thức cơ bản về dãy số

 Dãy  u gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại n

số dương k sao cho:

u n k, n  

1.1.3 Dãy số đơn điệu

 Dãy  u gọi là tăng (tăng nghiêm ngặt) nếu: n

u n u n1, n  

(u nu n1, n  )

 Dãy  u gọi là giảm (giảm nghiêm ngặt) nếu: n

 thì dãy  u n k gọi là dãy con của  u n

Ta dễ dàng kiểm tra được rằng:

 n k k, k  

 Mọi dãy đều là một dãy con của chính nó

 Mọi dãy con của một dãy bị chặn thì bị chặn

 Mọi dãy con của một dãy đơn điệu là dãy đơn điệu

1.1.5 Giới hạn hữu hạn của dãy số

Dãy  u được gọi là hội tụ đến n a ( hay có giới hạn a) nếu limu n  a 0

Định lí 1: Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.

Định lí 2: Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.

Định lí 3: Dãy  u hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều là dãy hội tụ và có n

chung một giới hạn

Định lí 4: Mọi dãy đều có ít nhất một dãy con đơn điệu.

Định lí 5 ( Định lí kẹp về giới hạn của dãy số):

Cho ba dãy số  u , n  v và n wn Nếu

Ta có u nv n wn ta suy ra 0v n u n wn u n với mọi n

Vì lim w n n= lim wn lim n 0

3.1.2 Nguyên lí Bolzano – Weiestrass

Mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy con hội tụ

Chứng minh:

Gọi  u là dãy bị chặn Hơn nữa, tồn tại dãy con n  u n k đơn điệu (theo Định lí 4).

Do đó theo nguyên lí Weiestrass dãy  u n k hội tụ

4 Giới hạn một số dãy số thường gặp

BÀI TẬP CHƯƠNG I – GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1 1 2

Xét sự biến thiên của hàm số yx x

Vậy ln( lim ) 0x y  tức là limx y1

Áp dụng cho dãy con n n ta được lim n n n  1

d. lim 1.3.5 (2 1) 0

2.4.6 2

n

n n

u n

   khi n  

1 tan

2

x x

Ta được lim n tan

n S x x

b. lim sin3 3.sin3 2 3 sin1 3

n

n n

Một dãy tăng bị chặn trên nên hội tụ.

Bài 5: Dùng tiêu chuẩn Cauchy chứng minh dãy hội tụ

a. cos(1!) cos(2!) cos( !)

n

n x

n n

Với mọi  0, và m n ta có:

CHƯƠNG II: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Trong chương này tôi giới thiệu giới hạn của dãy số và nêu một số định lí, quytắc tìm giới hạn sau đó áp dụng để giải một số bài tập tìm giới hạn của hàm số

Đồ thị của hàm số f là tập hợp G  x f x, ( ) :  x X  trong hệ tọa độ Descartes

Vẽ đồ thị của một hàm số chính là biểu diễn tập hợp tất cả các điểm M x f x , , ( )

x X trong mặt phẳng tọa độ Descartes vuông góc Oxy

Hàm số f : X  , trong đó X   được gọi là:

 Bị chặn trên nếu tồn tại số A  sao cho ( )f x A,  x X ;

 Bị chặn dưới nếu tồn tại số B   sao cho ( )f x B,  x X ;

 Bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

 Giảm thực sự (hay nghịch biến) nếu x x1, 2X x, 1x f x2,  1  f x 2

 Đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm

 Đơn điệu thực sự nếu nó tăng thực sự hoặc giảm thực sự

2.1.6 Giới hạn của hàm số

2.1.6.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm

Giả sử a b là một khoảng chứa điểm ;  x và 0 f là một hàm số xác định trên

tập a b; \  x Ta nói rằng hàm số 0 f có giới hạn là số thực L khi xdần đến x0

(hoặc tại điểm x ) nếu với mọi dãy số 0  x trong tập hợp n a b; \  x ( tức là0

2.1.6.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a   Ta nói rằng hàm số ;  f có

giới hạn là số thực L khi xdần đến  nếu với mọi dãy số  x trong khoảng n

a   ( tức là ;  x n a với mọi n) mà limx , ta đều có n lim f x n L

Khi đó ta viết : lim  

x f x L

   hay f x   L khi x  

2.2 Các nguyên lí cơ bản về giới hạn hàm số

Định lí 1: Giả sử f là một hàm đơn điệu trên khoảng ( , )a b và c là một điểm nằm

trong đó Nếu f thì tồn tại các giới hạn từng phía (hữu hạn) lim  

    Khi ấy tồn tại giới hạn

của f khi x tiến tới a và lim  

BÀI TẬP CHƯƠNG II – GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

( ) lim

n n n x

2

n x

2sin2

1 cos os2 os3

CHƯƠNG III: HÀM SỐ LIÊN TỤC

Trong chương này tôi giới thiệu hàm số liên tục và nêu một số định lí, quy tắc

và bài tập chứng minh hàm số liên tục

3.1 Định nghĩa

3.1.1 Hàm số liên tục tại một điểm

Giả sử hàm số f xác định trên một lân cận của x Hàm số 0 f được gọi là liên tục

tại điểm x nếu:0

Hàm không liên tục tại x được gọi là gián đoạn tại điểm 0 x 0

Hàm số f được gọi là gián đoạn khử được tại x nếu nó gián đoạn tại 0 x và tồn tại0

3.1.2 Hàm số liên tục trên một khoảng

Giả sử hàm số f xác định trên một tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc hợpcủa nhiều khoảng Ta nói rằng hàm f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểmthuộc tập hợp đó

3.1.3 Hàm số liên tục trên một đoạn

Hàm số f xác định trên đoạn a b được gọi là liên tục trên đoạn ,  a b nếu nó liên, 

3.2 Các phép toán số học với hàm liên tục

Cho f x g x là hai hàm liên tục tại  ,   x Khi đó0

f a   A B f b Khi ấy f nhận mọi giá trị trung gian giữa A và B.

Định lí 2: ( Định lí về giá trị trung gian) Cho hàm số f x xác định và liên tục 

trong khoảng  ,  Giả sử có hai điểm a b,  ,  sao cho f a f b  Khi    0

đó có điểm c giữa a và b sao cho f c    0

BÀI TẬP CHƯƠNG III – HÀM SỐ LIÊN TỤC

Bài 1: Xét sự liên tục của hàm số

a ( ) sgn(sin )f x  x

Tại các điểmx k  hàm số f x( ) liên tục

Xét tại x k 2 ta có x klim 2 f x( ) 1, x limk2 f x( )1

Tại x(2k 1) ta có x klim 2 f x( ) 1 , x limk2 f x( ) 1

Vậy hàm số f x( ) gián đoạn tại x k 

Tương tự từ 2đến 3 hàm f x( )đổi dấu từ (+) sang   nên tồn tại x2( , ) 2 3 để

2

( ) 0

f x 

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thuộc các khoảng ( , ) 1 2 , ( , ) 2 3 Mặt khácphương trình đã cho có thể quy về phương trình bậc hai nên không có quá hainghiệm.

Bài 3 : Cho a b c, , là các số khác nhau và khác 0 Chứng minh phương trình sau:

Nên tồn tại nghiệm thuộc khoảng ( , )a b

Từ đó ta có phương trình đã cho luôn có nghiệm

Bài 4: Cho a b c, , là các số khác 0, chứng minh rằng phương trình sau luôn cónghiệm:

Nên tồn tại nghiệm thuộc khoảng ( , )a b

b Nếu a b c  khi đó 3 (a x a )2 0nên x a

c Nếu có 2 trong 3 số bằng nhau, chẳng hạn b c

khi đó a x b(  )2 2 (b x a x b )(  ) 0

 (x b a x b ) (  ) 2 ( b x a ) 0

Phương trình có ít nhất một nghiệm x b

Từ đó ta có điều cần chứng minh

Bài 5: Cho f x( ) liên tục trên ( , )a b ,x x x1, , , ,2 3 x là những giá trị tùy ý thuộc n

khoảng đó Chứng minh rằng tồn tại  thuộc khoảng ( , )a b để:

n 

  thuộc  A B hay ,  B C A

Theo định lí về giá trị trung bình tồn tại  thuộc đoạn  x x sao cho 1, 2 f( ) C

Vây tồn tại  thuộc khoảng ( , )a b để

1

1

n i i

n 

Bài 6: Cho hàm số f x( ) liên tục trên và f f x( ( ))   x x,

Chứng minh rằng tồn tại x để cho 0 f x( )0 x0

Giải:

Giả sử phương trình f x( ) x0vô nghiệm Ta có:

a. f x( )xvới mọi x Khi đó ( ( )f f x  f x( )x, trái với giả thiết

b. f x( )xvới mọi x Khi đó ( ( )f f x  f x( )x, trái với giả thiết

Vậy tồn tại x để cho 0 f x( )0 x0

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của .

 Cho hàm số f x xác định trên K Hàm số   F x xác định trên K được gọi là 

một nguyên hàm của f x trên K nếu   F x'  f x  ( hay dF x  f x dx  ), vớimọi x K

 Tập tất cả các nguyên hàm của f x trên K được gọi là tích phân bất định của 

 

f x trên K và được kí hiệu là f x dx  .

Định lý : Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K Khi đó :

a Với mỗi hằng số C, hàm số G x( )F x( )C cũng là một nguyên hàm của f x( )

b Nếu F x là một nguyên hàm của   f x( ) trên K thì mọi nguyên hàm của f x( )

trên K đều có dạng F x  C, với C là một hằng số

c Họ tất cả các nguyên hàm của f x( ) là f x dx F x( )  ( )C, trong đó F x( ) làmột nguyên hàm của f x( ), C là hằng số bất kỳ