!"#$%$"#&'&( a. 4 5 2 x y x = − b. 4 3 ( ) 2 3 1f x x x = + − c. 2 ( ) (3 2 )(5 1)f x x x x = − + d. 2 3 ( ) 5 1f x x x = − + e. 5 2 2 1 ( ) ( )(4 ) 3 f x x x x x = − + f. 1 3 2 5 ( ) 2 f x x x − = + g. ( ) 20 x f x = h. 2 1 ( ) x f x e + = )$%$ !"#&( a. 2 4 3 ( ).x x dx − ̣ b. 3 . 3 x x x dx x + ̣ c. os .c x dx ̣ d. 1 osx . 3 c dx + ̣ e. 2 5 3 3 5 2 . x x dx x − ̣ f. ( ) 2 1 (3 5).x x dx − + ̣ g. 1 2 .3 5 x x x + ̣ dx h. 3 . 2 x x e dx ̣ i. ( ) ln lg .x x dx + ̣ k. ( ) 5 7 2 3 5 log log log .x x x dx + − ̣ *+,-./ 0"$%$ !"#&( a. sin 2 .x dx ̣ b. os5x.dxc ̣ c. sin(3 7).x dx − ̣ d. 2 os( x+17).dx 3 c ̣ e. 5 1 . x e dx + ̣ f. 2 5 3 .27 . x x dx + ̣ g 2 sin cos .x x dx ̣ h m os sin .c x x dx ̣ i. sinx osx.dxe c ̣ k. os2x 5 sin 2 . c x dx ̣ l. 9 os (5x-7)sin(5 7).c x dx − ̣ m. ( ) 7 3 8 .x dx − ̣ )$%$ !"#&( a. ( ) 5 7 10 .x dx − ̣ b. ( ) 2 3 2 3 2008x x − ̣ .dx c. 2 2 . 1 x dx x + ̣ d. 9 10 5 1 x x + ̣ e. 2 3 5 2 ( 4) .x x dx + ̣ f. ln . x dx x ̣ g. 7 8 3 . 1 x dx x + ̣ h. 2 1 . 1 x x e dx e − + ̣ i. lnln . ln x dx x x ̣ k. ln .lnln dx x x x ̣ 1,23 (Chúng ta hãy lưu ý rằng để làm tốt nguyên hàm của các hàm lượng giác thì cần phải sử dụng thành thạo các công thức lượng giác đã được học ở lớp 11. Phải coi chúng như bảng cửu chương hoặc như là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Trước hết chúng ta xét những dạng bài tập cơ bản) 0" !"# a. 2 sin .x dx ̣ b. 2 os .c x dx ̣ c. t anx.dx ̣ d. cot .x dx ̣ e. 2 tan .x dx ̣ f. 2 .cot x dx ̣ g. sin .sin .x x dx α β ̣ h. sin . os x.dxx c α β ̣ 45 os x.cos x.dxc α β ̣ )0"$%$ !"# a. 4 sin .x dx ̣ b. 4 os .c x dx ̣ c. 4 tan .x dx ̣ d. 4 cot .x dx ̣ e. 6 tan .x dx ̣ f. sin 7 . os15x.dxx c ̣ g. os7x.cos9x.dxc ̣ i. sin 2 .sin 6 .x x dx ̣ 6$%$ !"#&( a. 3 sin . osx.dxx c ̣ b. 5 sin .x dx ̣ c. 7 os .c x dx ̣ d. 5 10 sin . os .x c x dx ̣ e. 2 os (7x-10) dx c ̣ f. osx dx c ̣ g. sinx dx ̣ h. 1 osx dx c + ̣ i. 1 sinx dx + ̣ k. sinx. 3+cosx.dx ̣ l. . sin( 1)sin( 3) dx dx x x + − ̣ m. . sin(2 7). os(2x+3) dx dx x c − ̣ p. 3 2 osx.sin . 1 sin c x dx x + ̣ 789:;<= (Lớp nguyên hàm của bài toán này khá dễ, để tìm được nguyên hàm của những lớp hàm này chúng ta lưu ý những điểm sau: ii. Quan sát bậc đa thức trên tử và bậc dưới mẫu, nếu bậc đa thức trên tử lớn hơn hoặc bằng bậc đa thức dưới mẫu thì thực hiện phép chía đa thức iii. Quan tâm tới nghiệm của đa thức dưới mẫu số ) $%$ !"#&( a. ( 9)( 10) dx x x − − ̣ b. ( 2)(7 ) dx x x + − ̣ c. (2 5)( 3) dx x x − − ̣ d. 2 2 3 1 xdx x x + + ̣ e. 2 2 2 3 2 xdx x x − − ̣ f. 3 2 6 7 3 dx x x x − − ̣ g. 3 3 1 . 4 x dx x x − − ̣ h. 5 4 3 8 . 4 x x dx x x + − − ̣ i. 2 1 x x e dx e − ̣ ) !"#$%$"#">?@&( a. 4 2 3 2 xdx x x − + ̣ b. 3 4 2 4 3 x dx x x − + ̣ c. 5 6 3 2 x dx x x − − ̣ d. 3 2 3 2 ( 2 1) x x x x x − + + + ̣ e. 2 2 ( 2) . ( 2 1) x dx x x x + − + ̣ f. 2 ( 2) dx x x + ̣ g. 2 2 ( 4)( 1) dx x x − − ̣ h. 2 2 2 ( 1)( 9) x dx x x − − ̣ i. 2 4 ( 1) 1 x dx x − + ̣ k (3 ) x x dx e e − + ̣ AB ;C$D0$"$E(F4G$ !"#?HI"JK#$" LM? !"#NO?P"Q?0" RS$%$I"TUI"%IDVR4W?FXM? !"#YZ?0""U[\ ">R#4?]% "T?"W#]?"I"^4Y_ !"#?HI"J` QK#">R#4?]%$QYa"T&(b i. ( ).sin .P x mx dx ̣ ; ( ). osmx.dxP x c ̣ ; (P(x là một đa thức nào đó vd: 2 ( 1)sin3 .x x dx + ̣ ) ii. ( ). . mx P x e dx ̣ ; ( ). . nx P x a dx ̣ ; vd: (3 5)5 . x x dx − ̣ iii. .sin . mx e nx dx ̣ ….) os x.dx x a c α β ̣ vd: 2 sinx.dx x e ̣ iv. ( )ln .P x x dx ̣ ( )log . a P x x dx ̣ vd: 3 ln .x x dx ̣ ) 0"$%$ !"#&(RSI"TUI"%I?]#I"J a. 2 3 (2 1) x x e + ̣ .dx b. 2 ln .x x dx ̣ c. 2 sin 2 . x e x dx ̣ d. 2 os . . x c x e dx ̣ e. ln .x dx ̣ f. lg .x dx ̣ 578c: (Tổng thể nguyên hàm của một hàm vô tỉ là một nguyên hàm có chứa căn thức. Đây là lớp bài toán tương đối khó . Phương pháp chung để giải quyết chúng là dùng phương pháp đổi biến số) ?$%$ !"# a. 3 1 . 3 1 x dx x + + ̣ b. . 1 2 1 x dx x + + ̣ c. 3 dx x x + ̣ d. 3x x − ̣ .dx e. 3 3 4 . 1 1 x dx x + + ̣ f. 3 2 . 2 x dx x + ̣ g. 2 1 dx x x + ̣ h. 2 2 2 1 dx x x x + + ̣ i. 2 ( 1) 2 2 dx x x x + + + ̣ k. 1 1 dx x x + + − ̣ l. 1 1 . . 1 x dx x x − + ̣ m. 1 1 dx x x + + + ̣ defghi Tính các nguyên hàm sau a. ∫ + dxxx )53( 2 b. ∫ − dx x xx 4 4 532 c. ∫ ++ dxxxxx )25cos(sin 3 d. dx x xx x ∫ ++ − 2 2 2 sin 7 7 cos 5 e. ( ) ∫ + dxe xx 7 f. dxe x x x ∫ + 3 5 4 g. ∫ + + dxxx x x 5 2 2 4 7 4 ) Tìm a để cho F(x) là nguyên hàm của f(x) F(x) = xxx 376 23 −+ ; axxxf 51418)( 2 −+= 6 Tìm c để F(x) là nguyên hàm của f(x) F(x) = xxxx sin3ln2 2 ++ . f(x) = cxxx +++ cos6ln2 j Tìm nguyên hàm của các hàm số sau a. dx xxx x ∫ ++ 4 111 b. dx xx ∫ 2 2.3 c. dxx.cot 2 ∫ d. dxx.tan 2 ∫ k Tìm các nguyên hàm sau a. dx x xx ∫ +− 4 2 2 b. dx x xxx ∫ +++ 2 234 12 c. ( ) dx xx x ∫ + 2 2 1 d. ( ) dxxxx ∫ ++ 5 4 3 l Tìm các nguyên hàm sau a. ∫ xx dx 22 sin.cos b. ∫ xx dxxco 22 sin.cos .2 c. dx x x ∫ + + 2cos1 cos1 2 d. dx x . 2 sin3 2 ∫ m Cho hàm xxy 23 −= . Tìm a, b, c để cho xcbxaxxF 23)()( 2 −++= là nguyên hàm của hàm số y . dx ̣ 578c: (Tổng thể nguyên hàm của một hàm vô tỉ là một nguyên hàm có chứa căn thức. Đây là lớp bài toán tương đối khó . Phương pháp chung để giải quyết chúng là dùng phương pháp đổi biến số) ?$%$. x dx x + ̣ 789:;<= (Lớp nguyên hàm của bài toán này khá dễ, để tìm được nguyên hàm của những lớp hàm này chúng ta lưu ý những điểm sau: ii. Quan sát bậc đa thức trên tử và bậc dưới mẫu, nếu bậc. nguyên hàm của f(x) F(x) = xxx 376 23 −+ ; axxxf 51418)( 2 −+= 6 Tìm c để F(x) là nguyên hàm của f(x) F(x) = xxxx sin3ln2 2 ++ . f(x) = cxxx +++ cos6ln2 j Tìm nguyên hàm của các hàm số