Một số phương pháp tính gần đúng đạo hàm và tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HỌ VÀ TÊN ĐOÀN THỊ THANH HIỀN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÙNG HÀ NỘI - 2016 Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư Phạm Hà Nội hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Văn Hùng, người thầy hướng dẫn truyền cho tác giả kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu khoa học Thầy động viên khích lệ để tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại Học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải Tích, người trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tác giả kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Cuối cùng, tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2016 Tác giả Đoàn Thị Thanh Hiền Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận Văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 22 tháng 11 năm 2016 Tác giả luận văn Đoàn Thị Thanh Hiền Mục lục Mở đầu Chương 1: Một số kiến thức 1.1 1.2 Một số khái niệm giải tích 1.1.1 Đạo hàm 1.1.2 Tích phân Số gần đúng, sai số 1.2.1 Số gần 1.2.2 Làm tròn số sai số phép làm 1.2.3 Chữ số có nghĩa, chữ số 1.2.4 Sai số tính toán 1.2.5 Bài toán ngược sai số tròn số Chương 2: Một số phương pháp tính gần đạo hàm 2.1 2.2 2.3 i 1 9 10 11 13 14 Bài toán nội suy tổng quát 15 Tính gần đạo hàm đa thức nội suy Lagrange 16 2.2.1 Đa thức nội suy Lagrange 16 2.2.2 Tính gần đạo hàm đa thức nội suy Lagrange 17 Tính gần đạo hàm đa thức nội suy Newton 20 2.3.1 Đa thức nội suy Newton với mốc nội suy cách 20 2.3.2 Tính gần đạo hàm đa thức nội suy Newton với mốc nội suy cách 24 2.3.3 Đa thức nội suy Newton với mốc nội suy không cách 32 Tính gần đạo hàm đa thức nội suy Newton với mốc nội suy không cách 34 2.4 Tính gần đạo hàm phương pháp Spline bậc ba 37 2.4.1 Giới thiệu hàm Spline (hàm ghép trơn) 37 2.4.2 Tính gần đạo hàm phương pháp Spline bậc ba 39 2.5 Tính gần đạo hàm phương pháp ngoại suy Richardson 43 2.5.1 Tính đạo hàm công thức sai phân hữu hạn hai điểm 43 2.5.2 Tính gần đạo hàm phép ngoại suy Richardson 45 2.6 Lập trình toán tính gần đạo hàm đa thức nội suy Newton Maple 17 53 2.3.4 Chương 3: Một số phương pháp tính gần tích phân 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Công thức hình thang Công thức Simpson (Parabol) Công thức Newton – Cotes Công thức Chebyshev Công thức Gauss Tích phân Romberg Lập trình toán tính gần tích phân công thức hình thang Maple 17 56 56 60 65 71 76 81 87 Mở đầu Lý chọn đề tài Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán có nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết toán học ứng dụng Khi nói đến toán ứng dụng không nói đến giải tích số Giải tích số môn khoa học nghiên cứu cách giải gần phương trình, toán xấp xỉ hàm số, toán tối ưu Sự đời phát triển giải tích số góp phần quan trọng việc tạo thuật giải toán thực tế toán tính diện tích đất đai, tính quỹ đạo chổi, đường tàu buôn biển Ngày với phát triển tin học kiến thức giải tích số trở nên cần thiết Một kiến thức quan trọng giải tích số giảng dạy chương trình phổ thông có ứng dụng lớn thực tiễn phép tính đạo hàm tích phân Để hiểu biết sâu lĩnh vực chọn đề tài “Một số phương pháp tính gần đạo hàm tích phân” Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại phương pháp tính gần đạo hàm tích phân, giải tập vận dụng phương pháp Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu số phương pháp tính gần đạo hàm tích phân thông qua phép nội suy đa thức i - Ứng dụng công thức nội suy vào tính gần đạo hàm tích phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết phép nội suy ứng dụng vào phép tính gần đạo hàm tích phân - Phạm vi nghiên cứu: Các phép tính gần đạo hàm tích phân Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp giải tích giải tích số Đóng góp Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan tham khảo tốt cho sinh viên, học viên cao học số phương pháp tính gần đạo hàm tích phân Nội dung Luận văn tốt nghiệp chia làm ba chương cộng với phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn phân bổ sau: Chương 1: Một số kiến thức Chương 2: Một số phương pháp tính gần đạo hàm Chương 3: Một số phương pháp tính gần tích phân ii Chương Một số kiến thức 1.1 1.1.1 Một số khái niệm giải tích Đạo hàm Định nghĩa: Giả sử f hàm số xác định khoảng (a, b), x0 ∈ (a, b) Nếu tồn f (x) − f (x0 ) lim ∈R x→x0 x − x0 giới hạn gọi đạo hàm hàm số f điểm x0 ký hiệu f (x0 ) Hàm số f có đạo hàm điểm x0 gọi khả vi điểm x0 Đặt h = x − x0 Khi x = x0 + h f (x0 + h) − f (x0 ) h→0 h f (x0 ) = lim Ý nghĩa hình học đạo hàm: Giả sử M0 (x0 , f (x0 )) M (x, f (x)) f (x) − f (x0 ) hai điểm thuộc đồ thị (C) hàm số f Nếu x = x1 tỉ số x − x0 hệ số góc đường thẳng M0 M Hàm số f có đạo hàm f (x0 ) điểm x0 (C) có tiếp tuyến điểm M0 với hệ số góc f (x0 ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số f điểm M0 là: y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ) Hình 1.1 Đạo hàm khoảng: Giả sử hàm số f xác định khoảng (a, b) Ta nói f có đạo hàm (a, b) có đạo hàm điểm x ∈ (a, b) Khi hàm số f : (a, b) −→ R x −→ f (x) gọi đạo hàm hàm số f khoảng (a, b) Nếu f liên tục (a, b) ta nói f khả vi liên tục (a, b) f thuộc lớp C (a, b) Đạo hàm phía: Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định khoảng [x0 , b] Nếu tồn lim+ x→x0 f (x) − f (x0 ) ∈R x − x0 giới hạn gọi đạo hàm phải f điểm x0 Đạo hàm phải f điểm x0 ký hiệu f (x0 + 0) Đạo hàm trái hàm số điểm định nghĩa tương tự Đạo hàm trái f điểm x0 ký hiệu f (x0 − 0) Hiển nhiên hàm số f : [a, b] → R có đạo hàm điểm x ∈ [a, b] có đạo hàm phải đạo hàm trái điểm x0 f (x0 + 0) = f (x0 − 0) Nếu hàm số f có đạo hàm phải đạo hàm trái điểm x0 f (x0 + 0) = f (x0 − 0) M0 (x0 , f (x0 )) gọi điểm góc đồ thị hàm số f (hình 1.2) Hình 1.2 Các quy tắc tính đạo hàm Giả sử hàm số u v có đạo hàm (hữu hạn) điểm x0 Khi hàm số u + v, uv, cu (c ∈ R số) có đạo hàm điểm x0 a) (u + v) (x0 ) = u (x0 ) + v (x0 ) b) (uv) (x0 ) = u (x0 )v(x0 ) + u(x0 )v (x0 ) c) (cu) (x0 ) = cu (x0 ) sau: I= √ e x +1 dx + cosx −1 Giải Áp dụng công thức Gauss, ta có: I= √ e x +1 ≈ + cosx −1 √ Bi f (xi ) i=1 e x +1 với f (x) = + cosx Ta lập bảng tính sau: i xi f (xi ) −0, 861 2, 265507276 −0, 340 1, 408104625 0, 340 1, 4080104625 0, 861 2, 265597276 Bi 0, 348 0, 652 0, 652 0, 348 Bi f (xi ) 0, 869954794 0, 965028215 0, 965028215 0, 869954794 Suy I ≈ 2(0, 869954794 + 0, 965028215) ≈ 3, 669966018 Bài toán 21: Tính gần tích phân sau theo công thức Gauss, với n = I= + x4 dx + x6 Giải Ta tính gần tích phân công thức Gauss Trước tiên ta đổi biến số, đặt x= 1−0 1+0 1 t+ = t+ 2 2 80 Khi I= + x4 dx ≈ 1+x Bi f (xi ) i=1 1 xi = ti + , ti nghiệm đa thức Legendre bậc 2 + x4i f (xi ) = + x6i Ta lập bảng tính sau: i xi f (xi ) −0, 861 1, 1010083 −0, 340 1, 0118003 0, 340 1, 0118003 0, 861 1, 1010083 Bi 0, 348 0, 652 0, 652 0, 348 Bi f (xi ) 0, 3831508884 0, 6596937956 0, 6596937956 0, 3831508884 Suy I≈ Bi f (xi ) ≈ 1, 042844684 i=1 Trong giá trị gần I I = 1, 047197551 3.6 Tích phân Romberg Tích phân Romberg tính dựa phương pháp ngoại suy Richardson Ý tưởng phương pháp: từ hai giá trị gần tích phân có sai số bậc ta tính giá trị tích phân với sai số bậc cao Bài b toán đặt tính tích phân I = a f (x) dx Với độ xác cao, sử dụng công thức hình thang phép ngoại suy Richardson ta có công thức tích phân Romberg với sai số h4 , h6 Định lý 3.1 (Định lý Richardson) 81 Đặt hk = b−a 2k−1 Rk,j−1 ; Rk−1,j−1 (k = 2, 3, , h; j = 2, 3, , k) hai giá trị gần tích phân I = thỏa mãn phương trình b a f (x) dx, với bước hk hk−1 I = Rk,j−1 + A1 h2k + A2 h4k + · · · I = Rk−1,j−1 + A1 h2k−1 + A2 h4k−1 + · · · Thì từ Rk,j−1 Rk−1,j−1 ta tính giá trị gần Rk,j có sai số h2j k sau: Rk,j−1 − Rk−1,j−1 (3.11) Rk,j = Rk,j−1 + 4j−1 − Bảng Romberg h2 R11 h4 h6 R22 R21 R33 R32 R31 R42 R41 Rn1 Rn2 Rn3 h2n Rnn b Giá trị Rnn giá trị gần tích phân I = a f (x) dx, với sai số h2n Mối quan hệ đệ quy cho cột thứ bảng Romberg 82 Các giá trị R11 , R21 , , Rn1 cột bảng Romberg giá trị gần tích phân với bước h1 , h2 , , hn tương ứng Những giá trị tính cách sử dụng công thức hình thang Tuy nhiên, R11 tính, giá trị khác tính đệ quy sau mà không cần áp dụng lặp lại công thức hình thang với bước chia tăng lên R11 giá trị gần tích phân với bước R11 = h1 b−a f (a) + f (b) = f (a) + f (b) 2 R21 giá trị gần tích phân với hai bước h1 f (a) + f (b) + f (a) + h2 b−a b−a = f (a) + f (b) + 2f a + 2 R21 = = b−a b−a f (a) + f (b) + 2f a + Suy R21 = R11 + h1 f (a + h2 ) Tương tự R31 = R21 + h2 f (a + h3 ) + f (a + 3h3 )   Rk1 = 1 Rk−1,1 + hk−1 f (a + hk ) + f (a + 3hk ) + · · · + f a + 2k−1 − hk k−2 = f a + (2i − 1) hk Rk−1,1 + hk−1 i=1 (3.12) Xây dựng bảng Romberg 83  Bảng Romberg tạo thành theo bước tính sau đây: R11 = (b − a) f (a) + f (b) • Tính R21 với việc đặt k = công thức (3.12) R21 = R11 + h1 f (a + h2 ) • Tính R22 từ R21 R22 công thức (3.11) R22 = R21 + R21 − R11 • Tính R31 với việc đặt k = công thức (3.12) R31 = R21 + h2 f (a + h3 ) + f (a + 3h3 ) • Tính R32 từ R31 R32 công thức (3.11) R32 = R31 + R31 − R21 • Tính R33 từ R32 R33 công thức (3.11) R33 = R32 + R32 − R22 15 Tương tự cột thứ k tính sau: • Tính Rk,1 từ Rk−1,1 công thức (3.12)   2k−2 Rk1 = Rk−1,1 + hk−1 f a + (2i − 1) hk  i=1 • Tính Rk2 ; Rk3 ; ; Rkk công thức (3.11) Rk,j = Rk,j−1 + Rk,j−1 − Rk−1,j−1 ; j = 2, 3, , k 4k−1 − 84 Các bước tính tích phân Romberg Bước 1: đặt h = b − a Bước 2: tính cột đầu tiên, với k = 2, 3, , n   2k−2 Rk1 = Rk−1,1 + hk−1 f a + (2i − 1) hk  i=1 Bước 3: với k = 2, 3, , n ta tính cột thứ tới cột thứ n j = 2, 3, , n Rkj = Rk,j−1 + Rk,j−1 − Rk−1,j−1 4j−1 − Việc tính toán dừng lại Rk,k − Rk−1,k−1 < ε Bài toán 22: Tính tích phân I = với n = 1,5 x ln xdx Giải Bảng Romberg h2 R11 h4 h6 R22 R21 R33 R32 R31 Ta có : R11 = (b − a) f (a) + f (b) = (1, − 1) f (1) + f (1, 5) ≈ 0, 2280741233 85 công thức Romberg R11 + h1 f (a + h2 )  1, − 1 = 0, 2280741233 + (1, − 1) f + 2 R21 = ≈ 0, 2012025114 R21 − R11 R22 = R21 + ≈ 0, 1922953079 h R31 = f (a + h3 ) + f (a + 3h3 ) R21 +  = 1 1, − 0, 201025114 + f 1+ 1, − ≈ 0, 1922584605 R31 − R22 R32 = R31 + ≈ 0, 1922593373 R32 − R22 R33 = R32 + 15 ≈ 0, 1922593373 R32 − R22 R33 = R32 + 15 ≈ 0, 1922593373 R32 − R22 R33 = R32 + 15 ≈ 0, 1922593373 Vậy I ≈ 0, 1922593373 có sai số bậc h6 Giá trị tích phân I = 0, 1922593577 86   +f 1+3 1, −   3.7 Lập trình toán tính gần tích phân công thức hình thang Maple 17 Lập trình Maple 17 công thức hình thang tính gần tích phân b I = a f (x)dx, việc chia [a; b] thành n phần Bài toán lập trình sau: CongThucHinhThang := proc (f, a, b, n) local y, h, i, yo, yn, ysum; b−a h := ; n print(h); ysum := 0; for i from to n if i = then yo := evalf (f (h)); print(yo); elif i = n then yn := evalf (f (n ∗ h)); print(yn ) else ysum := ysum + evalf (f (i ∗ h)); print(ysum) end; end do; print("Result: ", evalf((1/2)∗h∗(yo+yn+2∗ysum))); end proc #==================Setf unctionf =============== ===================== ¯ Bài toán 23: Tính gần tích phân π I= cos (x) √ dx sin (x) + cos (x) 87 với việc chia thành 10 phần , 20 phần, 50 phần Dữ liệu đầu vào cos (x) √ f := x → ; sin (x) + cos (x) π CongThucHinhThang (f, 0, , 10); Kết π 20 0.5289787107 0.4861518422 0.9322664888 1.339003132 1.705028536 2.026734067 2.297394870 2.505306561 2.629594974 ”Result : ”, 0.4546017036 π CongThucHinhThang (f, 0, , 20); Kết π 40 0.5522565850 0.5289787107 88 1.036044786 1.522196628 1.988122454 2.434237101 2.860703322 3.267439965 3.654117906 4.020143310 4.364626369 4.686331900 4.983605677 5.254266480 5.495447435 5.703359126 5.872926796 5.997215209 6.066475653 ”Result : ”, 0.4981469496 π CongThucHinhThang (f, 0, , 50); Kết π 100 89 0.5670615255 0.5571137795 1.104585418 1.642688443 2.171667154 2.691739067 3.203097020 3.705910976 4.200329568 4.686481410 5.164476212 5.634405702 6.096344391 6.550350179 6.996464826 7.434714281 7.865108893 8.287643490 8.702297339 9.109033982 9.507800944 9.898529311 90 10.28113317 10.65550890 11.02153430 11.37906755 11.72794596 12.06798450 12.39897409 12.72067962 13.03283760 13.33515346 13.62729840 13.90890572 14.17956652 14.43882470 14.68617102 14.92103616 15.14278248 15.35069417 15.54396549 15.72168660 15.88282634 16.02621125 91 16.15049966 16.25414952 16.33537805 16.39211050 16.42191448 ”Result : ”, 0.5248170405 π Khi chia đoạn [0; ] thành nhiều phần ta thu giá trị tích phân xác 92 Kết luận chung Luận văn nghiên cứu cách chi tiết số phương pháp tính gần đạo hàm tích phân Luận văn trình bày số phương pháp tính gần đao hàm tích phân cách ngắn gọn với toán minh hoạ cụ thể chọn lọc kĩ lưỡng giải chi tiết Một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu: Ứng dụng đạo hàm tích phân vào giải toán thực tế Do thời gian có hạn kiến thức hạn chế, Luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy cô bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để Luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB Giáo dục [3] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [4] Richard L Burden, J Douglas Faires (1997), Numerical Analysis, Brooks/Cole Publishing Company, New York [5] Steven C Chapra, Raymond P Canale (1998), Numerical Methods for Engineers, McGraw-hill Publishers, New York 94 ... Chương 2: Một số phương pháp tính gần đạo hàm Chương 3: Một số phương pháp tính gần tích phân ii Chương Một số kiến thức 1.1 1.1.1 Một số khái niệm giải tích Đạo hàm Định nghĩa: Giả sử f hàm số xác... tiễn phép tính đạo hàm tích phân Để hiểu biết sâu lĩnh vực chọn đề tài Một số phương pháp tính gần đạo hàm tích phân Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại phương pháp tính gần đạo hàm tích phân, giải... phép nội suy ứng dụng vào phép tính gần đạo hàm tích phân - Phạm vi nghiên cứu: Các phép tính gần đạo hàm tích phân Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp giải tích giải tích số Đóng góp Xây dựng