Một số phương pháp tính gần đúng đạo hàm và tích phân

43 2.5.2 Tính gần đúng đạo hàm bằng phép ngoại suy Richardson45 2.6 Lập trình bài toán tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy Newton trong Maple 17.. 81 3.7 Lập trình bài toán tính g

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HỌ VÀ TÊNĐOÀN THỊ THANH HIỀN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI - 2016

Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại Học Sư Phạm

Hà Nội 2, Phòng Sau Đại Học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy

cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải Tích, những người đã trực tiếpgiảng dạy, truyền đạt cho tác giả những kiến thức quý báu về chuyên môncũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Cuối cùng, tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thântrong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuậnlợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Hà Nội, tháng 11 năm 2016

Tác giả

Đoàn Thị Thanh Hiền

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận Văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 22 tháng 11 năm 2016

Tác giả luận văn

Đoàn Thị Thanh Hiền

Mục lục

Mở đầu i

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản 1 1.1 Một số khái niệm cơ bản của giải tích 1

1.1.1 Đạo hàm 1

1.1.2 Tích phân 6

1.2 Số gần đúng, sai số 9

1.2.1 Số gần đúng 9

1.2.2 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số 9

1.2.3 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc 10

1.2.4 Sai số tính toán 11

1.2.5 Bài toán ngược của sai số 13

Chương 2: Một số phương pháp tính gần đúng đạo hàm 14 2.1 Bài toán nội suy tổng quát 15

2.2 Tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange 16

2.2.1 Đa thức nội suy Lagrange 16

2.2.2 Tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange17 2.3 Tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy Newton 20

2.3.1 Đa thức nội suy Newton với các mốc nội suy cách đều 20 2.3.2 Tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy Newton với các mốc nội suy cách đều 24

2.3.3 Đa thức nội suy Newton với các mốc nội suy không cách đều 32

2.3.4 Tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy Newton

với các mốc nội suy không cách đều 34

2.4 Tính gần đúng đạo hàm bằng phương pháp Spline bậc ba 37

2.4.1 Giới thiệu về hàm Spline (hàm ghép trơn) 37

2.4.2 Tính gần đúng đạo hàm bằng phương pháp Spline bậc ba 39

2.5 Tính gần đúng đạo hàm bằng phương pháp ngoại suy Richardson 43

2.5.1 Tính đạo hàm bằng các công thức sai phân hữu hạn hai điểm 43

2.5.2 Tính gần đúng đạo hàm bằng phép ngoại suy Richardson45 2.6 Lập trình bài toán tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy Newton trong Maple 17 53

Chương 3: Một số phương pháp tính gần đúng tích phân 56 3.1 Công thức hình thang 56

3.2 Công thức Simpson (Parabol) 60

3.3 Công thức Newton – Cotes 65

3.4 Công thức Chebyshev 71

3.5 Công thức Gauss 76

3.6 Tích phân Romberg 81

3.7 Lập trình bài toán tính gần đúng tích phân bằng công thức hình thang trong Maple 17 87

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thựctiễn Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển và chia thành hailĩnh vực: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng Khi nói đến toán ứngdụng không thể không nói đến giải tích số

Giải tích số là một môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng cácphương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số, các bài toán tối ưu Sự ra đời

và phát triển của giải tích số đã góp phần quan trọng trong việc tạo ra cácthuật giải bài toán thực tế như bài toán tính diện tích đất đai, tính quỹ đạocủa sao chổi, đường đi của các tàu buôn trên biển

Ngày nay với sự phát triển của tin học thì các kiến thức của giải tích sốcàng trở nên cần thiết

Một trong những kiến thức quan trọng của giải tích số được giảng dạytrong chương trình phổ thông và có ứng dụng lớn trong thực tiễn là phéptính đạo hàm và tích phân Để hiểu biết sâu hơn về lĩnh vực này tôi đã chọn

đề tài “Một số phương pháp tính gần đúng đạo hàm và tích phân”

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống lại các phương pháp tính gần đúng đạo hàm và tích phân, giảicác bài tập vận dụng các phương pháp đó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu một số phương pháp tính gần đúng đạo hàm và tích phânthông qua các phép nội suy đa thức

- Ứng dụng các công thức nội suy vào tính gần đúng đạo hàm và tích phân.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết các phép nội suy và ứngdụng vào phép tính gần đúng đạo hàm và tích phân

- Phạm vi nghiên cứu: Các phép tính gần đúng đạo hàm và tích phân

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp của giải tích và giải tích số

6 Đóng góp mới

Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinhviên, học viên cao học về một số phương pháp tính gần đúng đạo hàm vàtích phân

Nội dung

Luận văn tốt nghiệp được chia làm ba chương cộng với phần Mở đầu, Kếtluận và Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn được phân bổ như sau:Chương 1: Một số kiến thức cơ bản

Chương 2: Một số phương pháp tính gần đúng đạo hàm

Chương 3: Một số phương pháp tính gần đúng tích phân

f (x) − f (x0)

x − x0

∈ R

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 và được ký hiệu là

f0(x0) Hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 được gọi là khả vi tại điểm x0 Đặt

là hệ số góc của đường thẳng M0M Hàm số f có đạo hàm f0(x0) tại điểm

x0 khi và chỉ khi (C) có tiếp tuyến tại điểm M0 với hệ số góc f0(x0)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số f tại điểm M0 là:

y − f (x0) = f0(x0)(x − x0)

Hình 1.1

Đạo hàm trên một khoảng: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng

(a, b) Ta nói rằng f có đạo hàm trên (a, b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm

x ∈ (a, b) Khi đó hàm số

f0 : (a, b) −→ R

x 7−→ f0(x)

gọi là đạo hàm của hàm số f trên khoảng (a, b)

Nếu f0 liên tục trên (a, b) thì ta cũng nói rằng f khả vi liên tục trên (a, b)

hoặc f thuộc lớp C1 trên (a, b)

Đạo hàm một phía:

Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng [x0, b] Nếu tồn tại

limx→x+0

hàm trái của f tại điểm x0 được ký hiệu là f0(x0 − 0).

Hiển nhiên hàm số f : [a, b] → R có đạo hàm tại điểm x ∈ [a, b] khi và chỉkhi nó có đạo hàm phải và đạo hàm trái tại điểm x0 và

b) (uv)0(x0) = u0(x0)v(x0) + u(x0)v0(x0)

c) (cu)0(x0) = cu0(x0)

d) Nếu ngoài ra v(x0) 6= 0 thì hàm số u

v có đạo hàm tại điểm x0 và



uv

0(x0) = u

0(x0)v(x0) − u(x0)v0(x0)

[v(x0)]2

Để cho gọn, ta viết các công thức trên dưới dạng:

a)(u + v)0 = u0 + v0; b)(uv)0 = u0v + uv0;c)(cu)0 = cu0; d)



uv

là một hàm số xác định trên khoảng (a, b) Nếu hàm số f0 có đạo hàm

(f0)0(x0) tại điểm x0 ∈ (a, b) thì số thực (f0)0(x0) được gọi là đạo hàm cấphai của hàm số f tại điểm x0 và được ký hiệu là f00(x0):

f00(x0) = (f0)0(x0)

Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp n − 1 trên khoảng (a, b) Khi đó

f(n−1) : (a, b) −→ R

x 7−→ f(n−1)(x)

là một hàm số xác định trên khoảng (a, b) Nếu hàm số f(n−1) có đạo hàm

tại điểm x0 ∈ (a, b) thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số

f tại x0 và được ký hiệu là f(n)(x0)

f(n)(x0) = (f(n−1))0(x0)

Đạo hàm của hàm số f được gọi là đạo hàm cấp một của hàm số f

Ta quy ước đạo hàm cấp không của f là chính f

Công thức Taylor: Nếu hàm số f : (a, b) → R có đạo hàm đến cấp n

tại điểm x0 ∈ (a, b) thì

f (x0+ h) = f (x0) + f

0(x0)1! h +

f00(x0)2! h

2 + · · · + f

(n)(x0)n! h

n+ 0(hn) (1)

Công thức trên gọi là công thức Taylor

Định lý Taylor : Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp n liên tục trênđoạn I = [α, β] và có đạo hàm cấp n + 1 trên khoảng(α, β) Nếu a, b ∈ I thìtồn tại một số thực c giữa a và b (c ∈ (a, b) nếu a < b, c ∈ (b, a) nếu a > b)sao cho:

f (b) = f (a) + f

0(a)1! (b − a) +

f00(a)2! (b − a)

2 + · · ·+

+f

(n)(a)n! (b − a)

n + f

(n+1)(c)(n + 1)! (b − a)

n+1

Biểu thức Rn = f

(n+1)(c)(n + 1)! (b − a)

n+1 được gọi là phần dư dạng Lagrange.Công thức Mac-Laurin: Giả sử hàm số f thỏa mãn các giả thiết củaĐịnh lý Taylor trên đoạn [0, x] (với x > 0) hoặc trên đoạn [x, 0] (với x < 0).Trong công thức Taylor với phần dư Lagrange, thay x0 bởi 0 và thay h bởi

x, ta được

f (x) = f (0) + f

0(0)1! x +

f00(0)2! x

2 + · · · + f

(n)(0)n! x

n + f

(n+1)(θx)(n + 1)! x

n+1,

0 < θ < 1 Công thức trên gọi là công thứ Mac-Laurin

f (ξ)∆xi, n = 1, 2,

Định nghĩa: Nếu tồn tại một số I ∈ R sao cho với một dãy chuẩn tắc bất

kì {Πn} những phép phân hoạch đoạn [a, b] và với một cách chọn bất kỳ cácđiểm ξi ∈ ∆xi, i = 1, , pn, ta đều có

limn→∞σn = I

thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f trên đoạn [a, b], ký hiệu là

Z b a

f (x)dx

Z b a

f (x)dx = F (x) |ba= F (b) − F (a)

Ý nghĩa hình học của tích phân: Giả sử y = f (x) là hàm số liên tục

và không âm trên đoạn [a, b] Khi ấy

bRa

f (x)dx là diện tích hình phẳng giớihạn bởi đường cong y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

(hình giới hạn trên gọi là hình thang cong)

Hình 1.3

Các tính chất cơ bản của tích phân xác định

1 Nếu hàm số f khả tích trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên một đoạnbất kì [α, β] ⊂ [a, b]

2 Giả sử a < c < b Nếu hàm số f khả tích trên các đoạn [a, c] và [c, b] thì

nó khả tích trên [a, b] và

bZa

f (x)dx =

cZa

f (x)dx +

bZc

f (x)dx

3 a) Nếu f và g là hai hàm số khả tích trên đoạn [a, b] thì hàm số f + g

khả tích trên [a, b] và

bZa[f (x) + g(x)]dx =

bZa

f (x)dx +

bZag(x)dx,

b) Nếu f khả tích trên [a, b] và a ∈ R là một hằng số thì

αf (x)dx = α

βZα

f (x)dx ∈ R là một dạng tuyến tính trênR[a, b]

5 Nếu f và g là hai hàm số khả tích trên [a, b] thì hàm số f g khả tích trênđoạn này

6 Nếu f và g là hai hàm số khả tích trên đoạn [a, b] và f (x) ≤ g(x) vớimọi x ∈ [a, b] thì

bZa

f (x)dx ≤

bZag(x)dx

Đặc biệt, nếu f là hàm số khả tích trên đoạn [a, b] và f (x) ≥ 0 với mọi

x ∈ [a, b] thì

bZa

f (x)dx| ≤

bZa

|f (x)|dx

8 Nếu f là hàm số khả tích trên đoạn [a, b] và f (x) > 0 với mọi x ∈ [a, b]

bZa

f (x)dx > 0

9 Nếu hai hàm số f và g lấy các giá trị bằng nhau tại mọi điểm của đoạn

[a, b] trừ ra tại một số hữu hạn điểm α1, , αk và một trong hai hàm sốkhả tích trên [a, b] thì hàm số kia cũng khả tích trên đoạn này và

bZa

f (x)dx =

bZag(x)dx

1.2 Số gần đúng, sai số

1.2.1 Số gần đúng

Ta nói rằng a là số gần đúng của số a∗ nếu như a không sai khác a∗ nhiều,hiệu số ∆ = (a∗ − a) là sai số thực sự của a, nếu ∆ > 0 thì a là trị gầnđúng thiếu, còn nếu ∆ < 0 thì a là trị gần đúng thừa của a∗

Vì rằng a∗ nói chung không biết nên cũng không biết ∆, tuy nhiên có thểthấy tồn tại ∆a ≥ 0 thỏa mãn điều kiện:

| a∗ − a |≤ ∆a (1.1)

Số ∆a thỏa mãn điều kiện (1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a, còn sai

số tương đối của a là δa = ∆a

| a | Rõ ràng ∆a, δa càng nhỏ càng tốt.

1.2.2 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số

Xét một số thập phân dạng tổng quát:

a = ±(αp10p+ · · · + αi10i + · · · + αp−s10p−s) (1.2)

trong đó aj ∈ N, ∀j, αp 6= 0, 0 ≤ αj ≤ 9.

Nếu (p − s) ≥ 0 thì a là số nguyên, Nếu (p − s) = −k (k > 0) thì a cóphần lẻ gồm k chữ số, Nếu (p − s) → −∞ thì a là số thập phân vô hạn.Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số a để được số a

Xét số a ở dạng (1.2) nghĩa là được viết dưới dạng thập phân, khi đó chữ

số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và những chữ số 0 bị kẹp giữa hai chữ sốkhác 0 hoặc nó là những chữ số 0 ở hàng được giữ lại

Xét số a ở dạng (1.2):

a = ±(αp10p + · · · + αi10i+ · · · + αp−s10p−s)

Chữ số αj ở (1.2) của số a là chữ số chắc nếu:

∆a ≤ ω10j, ω là tham số cho trước

Tham số ω sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi

làm tròn vẫn là chữ số chắc, rõ ràng αi là chữ số chắc thì αi+1 cũng là chữ

số chắc

Bây giờ ta sẽ bàn đến vấn đề chọn ω

Giả sử số a viết ở dạng (1.2) và αi là chắc, vậy αi+1 vốn là chắc Ta chọn

ω để sao cho khi làm tròn đến đúng bậc (i + 1) thì ta có αi+1 vẫn là chắc,muốn vậy ta phải có:

f 0xi

.|xi − x∗i|

với f 0xi là đạo hàm theo xi tính tại điểm trung gian.

Vì f là khả vi liên tục, ∆xi khá bé nên:

∆y =

nXi=1

f 0x

i(x1, , xn)

... phải tính giá trịhoặc đạo hàm hàm số điểm gặp nhiều khó khăn Vìvậy, ta tìm hàm dễ tính tốn có sai số với f (x) nhỏ Phéptìm hàm gọi phép nội suy

Trong lớp hàm số liên tục khả vi đa thức hàm. .. class="page_container" data-page="21">

Chương 2

Một số phương pháp tính gần đạo hàm< /h2>

Trong thực tế, nhiều ta phải tìm hàm y = f (x), biết giá trị

yi điểm xi... thức nội suy Newton lùi

2.3.2 Tính gần đạo hàm đa thức nội suy Newton với

các mốc nội suy cách

Để tính gần đạo hàm trường hợp mốc nội suy cách đều, ta

sử