CHƯƠNG 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH pptx

13 1K 11
CHƯƠNG 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH pptx

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chương 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I. Tính gần đúng các giá trị đạo hàm. 1. Áp dụng đa thức nội suy. - Hàm f(x) được cho dưới dạng bảng; - Biểu thức giải tích của hàm quá phức tạp; - Thay f(x) bằng đa thức nội suy P n (x). - Coi P’ n (x)là giá trị gần đúng của f’(x). );()( xP dx d xf dx d n ≅ ( 1 ) a/ Đa thức xấp xỉ trực tiếp: f(x) = P n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + . . . ( 2 ) f’(x) = P’ n (x) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + . . . ( 3 ) f”(x) = P” n (x) = 2a 2 + 6a 3 x + . . . ( 4 ) b. Đa thức nội suy Niutơn. P n (x) = P n (t) với ; 0 h xx t − = ; 1 hdx dt = );( 1 )()()()(' ' tP dt d hdx dt tP dt d tP dx d xPxf nnnn ⋅==== ; ! )1) (1( !2 )1( )()( 2 o n ooonn y n nttt y tt ytytPxP ∆ +−− +⋅⋅⋅+∆ − +∆+== ⋅⋅⋅+∆ −+− + +∆ +− +∆ − +∆+= 0 4 234 3 23 2 !4 6116 !3 23 !2 )1( )( y tttt y ttt y tt ytytP oooon     ⋅⋅⋅+∆ −+− + +∆ +− +∆ − +∆=⋅= 0 4 23 0 3 2 0 2 0 12 31192 6 263 2 121 )( 1 )(' y ttt y tt y t y h tP dt d h xf n Với công thức nội suy tiến:         ⋅⋅⋅+∆ +− +∆−+∆=⋅= 0 4 2 0 3 0 2 2 12 11186 )1( 1)('1 )(" y tt yty h dt tdP h xf Với công thức nội suy lùi, có kết quả tương tự:         ⋅⋅⋅+∆ ++ +∆ + +∆= −−− 3 3 2 2 2 1 6 263 2 121 )(' nnn y tt y t y h xf Chú ý: Tính đạo hàm theo đa thức nội suy thường chứa sai số lớn. (xem hình vẽ). Nếu sai số của hàm là r(x) = f(x) – P n (x) sai số của đạo hàm ε(x) = f’(x) – P’ n (x) = r’(x). dx xdf )( dx xdP n )( f(x) P n (x) 2. Áp dụng định nghĩa của đạo hàm. ; )( lim)(' 0 h xf xf h ∆ = → ( 7a ) ; )()()( h xfhxf h xf −+ = ∆ ( 7b ) h xf )(∆ - Để tìm h thích hợp tính theo một chuỗi các giá trị giảm dần của h. - Coi khi h đủ nhỏ độ chính xác tới d số sau dấu phẩy; )(' )( xf h xf ≈ ∆ - Việc tính dừng lại khi sai số tiệm cận có giá trị đủ nhỏ. h xf xfhE )( )(')( ∆ −= - Thực tế không biết giá trị của f’(x) E(h) ~ sai lệch giữa hai lần ước lượng liên tiếp ΔD(h) = D(h) – D(h trước ); ( 8 ) ; )( )( h xf hD ∆ = trong đó: - Việc tính sẽ dừng lại khi d D − <∆ 10 Các bước tính: + Cho trước giá trị ban đầu h, tỷ lệ rút nhỏ r, độ chính xác cần có (số con số đáng tin sau dấu phẩy). + Tính ; )( )( h xf hD ∆ = + Tính ΔD(h). + Lặp lại cho đến khi . d D − <∆ 10 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại x = 0. - Đã biết: ;1)0cos()(sin)(' 0 === =x x dx d xf - Tính theo ph/pháp gần đúng: + Chọn tuỳ ý h ban đầu, ví dụ h = 1; tỷ lệ rút gọn r = 4. + Độ chính xác tới 4 con số sau dấu phẩy. ; )0sin()0sin()()()( )( h h h xfhxf h xf hD −+ = −+ = ∆ = + Tính + Tính ΔD(h) và E(h). Kết quả tính toán cho trong bảng sau: h D(h) ΔD(h) E(h)=f’(x)-D(h) 1 0,841471 0,158529 1/4=0,25 0,989616 0,01384 0,148145 1/16=0,0625 0,999349 0,000651 0,009733 1/64=0,015625 0,999959 0,000041 0,000610 1/256=0,003906 0,999997 0,000003 0,000038 1/1024=0,00097656 1,000000 0,000000 0,000003 1 0,841471 0,158529 Nhận xét       ≈=       −       64 1 000038,0 64 1 256 1 EDD Có thể dùng để đánh giá xấp xỉ sai lệch ở bước tính h trước . Quá trình tính có thể dừng khi ΔD(h) < 10 -d . Ở ví dụ này, q/trình tính dừng lại ở bước h = 1/256; khi đó ΔD(h) = 0,000038 < 0,5.10 -4 . II. Tính gần đúng các tích phân xác định. - Xét tích phân xác định: ∫ = b a dxxfI ;)( - Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có nguyên hàm là F(x) );()()( aFbFdxxfI b a −== ∫ - Thực tế: + thường khó khăn khi tìm nguyên hàm + Hàm f(x) được cho dưới dạng bảng số. - Tính gần đúng giá trị của tích phân thay hàm dưới dấu tích phân bằng một đa thức xấp xỉ. ;)()( ∫∫ ≅= b a n b a dxxPdxxfI 1. Đa thức xấp xỉ trực tiếp: ⋅⋅⋅+++= 2 210 )( xaxaaxP n ) 32 ( 3 2 2 1 0 ⋅⋅⋅+++= x a x a xaI a b 2. Đa thức Niutơn thứ nhất: ;)()()( )( )( ∫ ∫∫ =≈= b a bt at nn b a dttPhdxxPdxxfI (với dx = hdt) x = x 0 + ht ;)( 0 0 ∫ += t n dthtxPhI Chọn điểm cơ sở là điểm a (x 0 = a) thì tại đó t(a) = 0 và x = b ứng với t = k; - - Chia [a, b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các nút x i : ; 110 bxxxxxa nni =<<⋅⋅⋅⋅⋅⋅<<= − x i = a + ih ; ; n ab h − = Bậc của đa thức được chọn công thức tính tương ứng. n = 0 công thức hình chữ nhật; n = 1 công thức hình thang; n = 2 công thức Simsơn 1/3; n = 3 công thức Simsơn 3/8; a/ Công thức hình thang. ;)()()()( 1 2 1 1 0 ∫∫∫∫ = = − +⋅⋅⋅++= n n xb x x x x xa b a dxxfdxxfdxxfdxxf - Thay f(x) bằng đa thức nội suy P n (x). ; !1 )( 001 y t yxP ∆+= - Công thức hình thang n = 1 - Đổi biến: x = x 0 + ht dx = hdt x = x 0 t = 0; x = x 1 t = 1 ) 2 ()()( 0 2 0 1 0 001 1 0 y t tyhdtytyhdxxP x x ∆+=∆+= ∫ ∫ t=0 t=1 ; 2 ) 2 1 ()( 10 0 1 0 yy hyyhdxxf o x x + =∆+≅ ∫ Tích phân thứ 1: - Ý nghĩa hình học của công thức: Thay diện tích hình thang cong bằng diện tích của hình thang thường. - Tích phân thứ i+1: ; 2 )()( 1 1 0 1 + + =∆+≅ ∫ ∫ + ii x x ii yy hdtytyhdxxf i i x 0 x 1 M 0 M 1 [ ] ;)()()( 2 12110 nn yyyyyy h I ++⋅⋅⋅++++= − );222( 2 121 0 nn yyyyy h I +⋅⋅⋅+++= − - Đã chứng minh được sai số của công thức là );( 12 2 abh M R −= ;;)("max bxaxfM ≤≤= [...]... y0 + t∆y0 + 2! ∆ y0 )dt; x 0 0  t2 1  t3 t2  2  = h  y0t + ∆y0 +  − ∆ y0  2 2 3 2       18 4 2  = h 2 y0 + 2∆y0 +  − ∆ y0  2 3 2     h = ( y0 + 4 y1 + y2 ); 3 - Các tích phân sau cũng tính tương tự x2i + 2 ∫ x2i h f ( x)dx = ( y2i + 4 y2i +1 + y2i + 2 ); 3 2 0 Cộng tất cả: b h ∫ f ( x)dx = 3 [ ( y0 + 4 y1 + y2 ) + ( y2 + 4 y3 + y4 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( y2n−2 + 4 y2n−1 + y2n ) ]; a...b/ Công thức Simsơn 1/3 - Chia [a, b] thành 2n đoạn con bởi các nút x i a = x0 < x1 < x2 ⋅ ⋅⋅ < xi ⋅ ⋅⋅ < x2n = b; b−a xi = a + ih; h = ; i = 0,1,2, ,2n 2n - Cho hàm f(x): b x2 x4 b = x2 n a a = x0 x2 x2 n −2 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ⋅ ⋅ ⋅ + ∫ f ( x)dx; - f(x) đa thức nội suy Niutơn bậc 2: t t (t − 1) 2 P2 ( x) = y0 + ∆y0 + ∆ y0 ; 1!x 2! x 2 2 x0 . Chương 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I. Tính gần đúng các giá trị đạo hàm. 1. Áp dụng đa thức nội suy. - Hàm f(x) được cho dưới dạng bảng; - Biểu thức giải tích của hàm quá. 10 -d . Ở ví dụ này, q/trình tính dừng lại ở bước h = 1/ 256 ; khi đó ΔD(h) = 0,000038 < 0 ,5. 10 -4 . II. Tính gần đúng các tích phân xác định. - Xét tích phân xác định: ∫ = b a dxxfI ;)( - Nếu. 0, 158 529 1/4=0, 25 0,989616 0,01384 0,1481 45 1/16=0,06 25 0,999349 0,000 651 0,009733 1/64=0,0 156 25 0,999 959 0,000041 0,000610 1/ 256 =0,003906 0,999997 0,000003 0,000038 1/1024=0,00097 656

Ngày đăng: 21/07/2014, 15:20

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Slide 1

  • Slide 2

  • Slide 3

  • Slide 4

  • Slide 5

  • Slide 6

  • Slide 7

  • Slide 8

  • Slide 9

  • Slide 10

  • Slide 11

  • Slide 12

  • Slide 13

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan