CHƯƠNG 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH pptx

Chương 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I. Tính gần đúng các giá trị đạo hàm. 1. Áp dụng đa thức nội suy. - Hàm f(x) được cho dưới dạng bảng; - Biểu thức giải tích của hàm quá phức tạp; - Thay f(x) bằng đa thức nội suy P n (x). - Coi P’ n (x)là giá trị gần đúng của f’(x). );()( xP dx d xf dx d n ≅ ( 1 ) a/ Đa thức xấp xỉ trực tiếp: f(x) = P n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + . . . ( 2 ) f’(x) = P’ n (x) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + . . . ( 3 ) f”(x) = P” n (x) = 2a 2 + 6a 3 x + . . . ( 4 ) b. Đa thức nội suy Niutơn. P n (x) = P n (t) với ; 0 h xx t − = ; 1 hdx dt = );( 1 )()()()(' ' tP dt d hdx dt tP dt d tP dx d xPxf nnnn ⋅==== ; ! )1) (1( !2 )1( )()( 2 o n ooonn y n nttt y tt ytytPxP ∆ +−− +⋅⋅⋅+∆ − +∆+== ⋅⋅⋅+∆ −+− + +∆ +− +∆ − +∆+= 0 4 234 3 23 2 !4 6116 !3 23 !2 )1( )( y tttt y ttt y tt ytytP oooon     ⋅⋅⋅+∆ −+− + +∆ +− +∆ − +∆=⋅= 0 4 23 0 3 2 0 2 0 12 31192 6 263 2 121 )( 1 )(' y ttt y tt y t y h tP dt d h xf n Với công thức nội suy tiến:         ⋅⋅⋅+∆ +− +∆−+∆=⋅= 0 4 2 0 3 0 2 2 12 11186 )1( 1)('1 )(" y tt yty h dt tdP h xf Với công thức nội suy lùi, có kết quả tương tự:         ⋅⋅⋅+∆ ++ +∆ + +∆= −−− 3 3 2 2 2 1 6 263 2 121 )(' nnn y tt y t y h xf Chú ý: Tính đạo hàm theo đa thức nội suy thường chứa sai số lớn. (xem hình vẽ). Nếu sai số của hàm là r(x) = f(x) – P n (x) sai số của đạo hàm ε(x) = f’(x) – P’ n (x) = r’(x). dx xdf )( dx xdP n )( f(x) P n (x) 2. Áp dụng định nghĩa của đạo hàm. ; )( lim)(' 0 h xf xf h ∆ = → ( 7a ) ; )()()( h xfhxf h xf −+ = ∆ ( 7b ) h xf )(∆ - Để tìm h thích hợp tính theo một chuỗi các giá trị giảm dần của h. - Coi khi h đủ nhỏ độ chính xác tới d số sau dấu phẩy; )(' )( xf h xf ≈ ∆ - Việc tính dừng lại khi sai số tiệm cận có giá trị đủ nhỏ. h xf xfhE )( )(')( ∆ −= - Thực tế không biết giá trị của f’(x) E(h) ~ sai lệch giữa hai lần ước lượng liên tiếp ΔD(h) = D(h) – D(h trước ); ( 8 ) ; )( )( h xf hD ∆ = trong đó: - Việc tính sẽ dừng lại khi d D − <∆ 10 Các bước tính: + Cho trước giá trị ban đầu h, tỷ lệ rút nhỏ r, độ chính xác cần có (số con số đáng tin sau dấu phẩy). + Tính ; )( )( h xf hD ∆ = + Tính ΔD(h). + Lặp lại cho đến khi . d D − <∆ 10 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại x = 0. - Đã biết: ;1)0cos()(sin)(' 0 === =x x dx d xf - Tính theo ph/pháp gần đúng: + Chọn tuỳ ý h ban đầu, ví dụ h = 1; tỷ lệ rút gọn r = 4. + Độ chính xác tới 4 con số sau dấu phẩy. ; )0sin()0sin()()()( )( h h h xfhxf h xf hD −+ = −+ = ∆ = + Tính + Tính ΔD(h) và E(h). Kết quả tính toán cho trong bảng sau: h D(h) ΔD(h) E(h)=f’(x)-D(h) 1 0,841471 0,158529 1/4=0,25 0,989616 0,01384 0,148145 1/16=0,0625 0,999349 0,000651 0,009733 1/64=0,015625 0,999959 0,000041 0,000610 1/256=0,003906 0,999997 0,000003 0,000038 1/1024=0,00097656 1,000000 0,000000 0,000003 1 0,841471 0,158529 Nhận xét       ≈=       −       64 1 000038,0 64 1 256 1 EDD Có thể dùng để đánh giá xấp xỉ sai lệch ở bước tính h trước . Quá trình tính có thể dừng khi ΔD(h) < 10 -d . Ở ví dụ này, q/trình tính dừng lại ở bước h = 1/256; khi đó ΔD(h) = 0,000038 < 0,5.10 -4 . II. Tính gần đúng các tích phân xác định. - Xét tích phân xác định: ∫ = b a dxxfI ;)( - Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có nguyên hàm là F(x) );()()( aFbFdxxfI b a −== ∫ - Thực tế: + thường khó khăn khi tìm nguyên hàm + Hàm f(x) được cho dưới dạng bảng số. - Tính gần đúng giá trị của tích phân thay hàm dưới dấu tích phân bằng một đa thức xấp xỉ. ;)()( ∫∫ ≅= b a n b a dxxPdxxfI 1. Đa thức xấp xỉ trực tiếp: ⋅⋅⋅+++= 2 210 )( xaxaaxP n ) 32 ( 3 2 2 1 0 ⋅⋅⋅+++= x a x a xaI a b 2. Đa thức Niutơn thứ nhất: ;)()()( )( )( ∫ ∫∫ =≈= b a bt at nn b a dttPhdxxPdxxfI (với dx = hdt) x = x 0 + ht ;)( 0 0 ∫ += t n dthtxPhI Chọn điểm cơ sở là điểm a (x 0 = a) thì tại đó t(a) = 0 và x = b ứng với t = k; - - Chia [a, b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các nút x i : ; 110 bxxxxxa nni =<<⋅⋅⋅⋅⋅⋅<<= − x i = a + ih ; ; n ab h − = Bậc của đa thức được chọn công thức tính tương ứng. n = 0 công thức hình chữ nhật; n = 1 công thức hình thang; n = 2 công thức Simsơn 1/3; n = 3 công thức Simsơn 3/8; a/ Công thức hình thang. ;)()()()( 1 2 1 1 0 ∫∫∫∫ = = − +⋅⋅⋅++= n n xb x x x x xa b a dxxfdxxfdxxfdxxf - Thay f(x) bằng đa thức nội suy P n (x). ; !1 )( 001 y t yxP ∆+= - Công thức hình thang n = 1 - Đổi biến: x = x 0 + ht dx = hdt x = x 0 t = 0; x = x 1 t = 1 ) 2 ()()( 0 2 0 1 0 001 1 0 y t tyhdtytyhdxxP x x ∆+=∆+= ∫ ∫ t=0 t=1 ; 2 ) 2 1 ()( 10 0 1 0 yy hyyhdxxf o x x + =∆+≅ ∫ Tích phân thứ 1: - Ý nghĩa hình học của công thức: Thay diện tích hình thang cong bằng diện tích của hình thang thường. - Tích phân thứ i+1: ; 2 )()( 1 1 0 1 + + =∆+≅ ∫ ∫ + ii x x ii yy hdtytyhdxxf i i x 0 x 1 M 0 M 1 [ ] ;)()()( 2 12110 nn yyyyyy h I ++⋅⋅⋅++++= − );222( 2 121 0 nn yyyyy h I +⋅⋅⋅+++= − - Đã chứng minh được sai số của công thức là );( 12 2 abh M R −= ;;)("max bxaxfM ≤≤= [...]... y0 + t∆y0 + 2! ∆ y0 )dt; x 0 0  t2 1  t3 t2  2  = h  y0t + ∆y0 +  − ∆ y0  2 2 3 2       18 4 2  = h 2 y0 + 2∆y0 +  − ∆ y0  2 3 2     h = ( y0 + 4 y1 + y2 ); 3 - Các tích phân sau cũng tính tương tự x2i + 2 ∫ x2i h f ( x)dx = ( y2i + 4 y2i +1 + y2i + 2 ); 3 2 0 Cộng tất cả: b h ∫ f ( x)dx = 3 [ ( y0 + 4 y1 + y2 ) + ( y2 + 4 y3 + y4 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( y2n−2 + 4 y2n−1 + y2n ) ]; a...b/ Công thức Simsơn 1/3 - Chia [a, b] thành 2n đoạn con bởi các nút x i a = x0 < x1 < x2 ⋅ ⋅⋅ < xi ⋅ ⋅⋅ < x2n = b; b−a xi = a + ih; h = ; i = 0,1,2, ,2n 2n - Cho hàm f(x): b x2 x4 b = x2 n a a = x0 x2 x2 n −2 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ⋅ ⋅ ⋅ + ∫ f ( x)dx; - f(x) đa thức nội suy Niutơn bậc 2: t t (t − 1) 2 P2 ( x) = y0 + ∆y0 + ∆ y0 ; 1!x 2! x 2 2 x0 . Chương 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I. Tính gần đúng các giá trị đạo hàm. 1. Áp dụng đa thức nội suy. - Hàm f(x) được cho dưới dạng bảng; - Biểu thức giải tích của hàm quá. 10 -d . Ở ví dụ này, q/trình tính dừng lại ở bước h = 1/ 256 ; khi đó ΔD(h) = 0,000038 < 0 ,5. 10 -4 . II. Tính gần đúng các tích phân xác định. - Xét tích phân xác định: ∫ = b a dxxfI ;)( - Nếu. 0, 158 529 1/4=0, 25 0,989616 0,01384 0,1481 45 1/16=0,06 25 0,999349 0,000 651 0,009733 1/64=0,0 156 25 0,999 959 0,000041 0,000610 1/ 256 =0,003906 0,999997 0,000003 0,000038 1/1024=0,00097 656