Bài giảng “Phương pháp tính – Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân” cung cấp cho người học các kiến thức: Tính gần đúng đạo hàm, tính gần đúng tích phân. Bài giảng hữu ích với các bạn chuyên ngành Toán học và những bạn quan tâm tới lĩnh vực này.
Chương TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN I TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM : Cho hàm y = f(x) bảng số x xo x1 x2 xn y yo y1 y2 yn Để tính gần đạo hàm, ta xấp xỉ hàm đa thức nội suy Lagrange Ln(x) (hay đa thức nội suy Newton) Ta có TH bảng có điểm nút : x x0 x1 y y0 y1 Đặt h = x1- x0 Đa thức nội suy Lagrange Suy công thức đạo hàm cho điểm : ❖ Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x Tính xấp xỉ f’(1.8) với h = 0.1, 0.01, 0.001 giải Ta có h f’(1.8) 0.1 0.540672212 0.01 0.554018037 0.001 0.555401292 f’(1.8) = 0.555555555 TH bảng có điểm nút cách : x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 h = x2 - x1 = x1 - x0 Đa thức nội suy Lagrange Do với x ∈ [x0, x2] ta có Suy đạo hàm cấp Cơng thức thứ gọi công thức sai phân tiến Công thức thứ gọi công thức sai phân hướng tâm thường viết dạng (thay x1 = x0) Công thức thứ gọi công thức sai phân lùi thường viết dạng (thay x2 = x0) đạo hàm cấp Thay x1 = x0 ta ❖ Ví dụ : Cho hàm a Dùng cơng thức sai phân hướng tâm, tính xấp xỉ f’(1.25) với h = 0.01 b Tính xấp xỉ f”(1.25) với h = 0.01 giải -0.320416958 So với kết xác f’(1.25)= -0.320422170423379 -0.526643001 So với kết xác f”(1.25) = -0.526640385697715 Bài tập : Cho hàm f bảng số cách x 1.2 1.4 1.6 1.8 y 2.32 2.53 2.77 2.89 Xấp xỉ f đa thức Newton tiến, tính gần f’(1.25) Giải : Ta lập bảng sai phân hữu hạn xk f(xk) 1.2 2.32 Δyk Δ2yk 0.21 1.4 2.53 Newton tiến 0.03 0.24 1.6 2.77 2.89 -0.15 -0.12 0.12 1.8 Δ3yk Newton lùi II TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN : Cho hàm f(x) xác định khả tích [a,b] Ta cần tính gần tích phân : Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn với bước h = (b-a)/n xo= a, x1 = x0 +h, , xk = x0 + kh, , xn = b Cơng thức hình thang mở rộng : ❖ Công thức sai số : Công thức Simpson mở rộng: ❖ Công thức sai số : Chú ý : với công thức simpson n phải số chẵn ❖ Ví dụ : Tính gần tích phân a Dùng cơng thức hình thang mở rộng với n = b Dùng công thức Simpson mở rộng với n = giải a h=0.2, phân hoạch đoạn [0,1] thành n=5 đoạn x0 = < x1 = 0.2 < x2 = 0.4 < x3 = 0.6 < x4 = 0.8 < x5 = Công thức hình thang = 0.945078781 b h=0.125, phân hoạch đoạn [0,1] thành n=8 đoạn x0 = < x1 = 0.125 < x2 = 0.25 < x3 = 0.375 < x4 = 0.5 x5 = 0.625 < x6 = 0.75 < x7 = 0.875 < x8 =1 Công thức Simpson = 0.94608331 ❖ Ví dụ : Dùng phương pháp simpson tính gần tích phân với f cho bới bảng số x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 f(x) 0.68 0.95 1.16 2.25 3.46 5.57 6.14 giải Công thức Simpson x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 y 2.9584 4.3730 5.8358 14.65 30.9609 76.3038 98.6471 I = 37.1004 ❖ Ví dụ : Xét tích phân xác định số đoạn chia tối thiểu n để sai số ≤10-5 a.Dùng cơng thức hình thang mở rộng b.Dùng cơng thức Simpson mở rộng Với n vừa tìm được, xấp xỉ tích phân giải a Cơng thức sai số hình thang mở rộng Vậy n = 45 b Công thức sai số Simpson mở rộng Vậy n = phân hoạch đoạn [0,1] thành n=4 đoạn x0 = < x1 = 0.25 < x2 = 0.5 < x3 = 0.75 < x4 = Công thức Simpson = 1.932377388 ...I TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM : Cho hàm y = f(x) bảng số x xo x1 x2 xn y yo y1 y2 yn Để tính gần đạo hàm, ta xấp xỉ hàm đa thức nội suy Lagrange Ln(x) (hay đa... tính gần f’(1.25) Giải : Ta lập bảng sai phân hữu hạn xk f(xk) 1.2 2.32 Δyk Δ2yk 0.21 1.4 2.53 Newton tiến 0.03 0.24 1.6 2.77 2.89 -0 .15 -0 .12 0.12 1.8 Δ3yk Newton lùi II TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN... Newton lùi II TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN : Cho hàm f(x) xác định khả tích [a,b] Ta cần tính gần tích phân : Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn với bước h = (b-a)/n xo= a, x1 = x0 +h, , xk = x0 + kh,