Phần 1 bài giảng Giải tích 2 - Chương 3: Tích phân đường cung cấp cho người học các kiến thức về Tham số hóa đường cong bao gồm: Đường cong trong mặt phẳng, đường cong trong không gian. Mời các bạn cùng tham khảo.
CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG §1: THAM SỐ HĨA ĐƯỜNG CONG §2: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI §3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI §1: Tham số hóa đường cong Đường cong mặt phẳng: thường cho cách a Cho pt tham số x x (t ) y y (t ) b Cho pt y=y(x): Ta thường đặt x=t pt tham số x t y f (t ) Trường hợp đặc biệt: Có trường hợp a Viết phương trình tham số đường tròn (x-a)2+(y-b)2=R2 ta đặt x a R cos t y b R sin t §1: Tham số hóa đường cong b Viết phương trình tham số đường ellipse x2 a2 y2 b2 Ta đặt : x a cos t y b sin t Đường cong không gian: thường cho cách a Được cho sẵn phương trình tham số x x (t ) y y (t ) z z( t ) §1: Tham số hóa đường cong b Cho giao tuyến mặt cong: f ( x, y , z ) g ( x, y , z ) Khi đó, thơng thường ta đặt biến t, thay vào phương trình để hpt với pt ẩn biến cịn lại Giải hpt theo tham số t, ta biến lại tính theo t §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 1: Viết phương trình tham số đường cong C giao tuyến x2+y2=z2 ax=y2 (z≥0) x t Ta đặt y=t x y z2 a ax y y t z z 2 t (t a a2 ) Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường cong C giao tuyến x2=y x=z (x≥0) Ta đặt x=t y x2 x z x t y t2 z t §1: Tham số hóa đường cong Tuy nhiên, số trường hợp thông thường hay gặp, ta có cách tham số hóa đường cong cụ thể tùy vào điểm đặc biệt chúng Ví dụ 3: Viết pt tham số đường cong C1, C2 giao tuyến x2+y2+z2=2, z2=x2+y2 Ta có: x2 y2 z2 z2 x2 y2 x2 y2 z 1 Tức C1, C2 vừa giao tuyến mặt cầu mặt nón vừa giao tuyến mặt trụ với mặt phẳng Nói cách khác: C1, C2 đường tròn đơn vị nằm mp đối xứng qua mp z=0 §1: Tham số hóa đường cong Khi đó, ta đặt x=cost suy y=sint Vậy pt tham số C x cos t y sin t z §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 4: Viết phương trình tham số đường cong C: x2+y2+z2=a2, x=y Thay x=y vào phương trình mặt cầu Ta được: 2x2+z2=a2 , pt đường ellipse Tức hình chiếu C mp y=0 đường ellipse 2x2+z2=a2 Đặt 2x2=a2cos2t suy z2=a2sin2t Vậy ta được: a 2 2 2 x y cos t x y z a 2x z a x y x y z a sin t §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 5: Viết phương trình tham số đường cong C: x2+y2+z2=4 x2+y2=2x lấy phần ứng với z dương Từ pt mặt trụ : x2+y2=2x ↔ (x-1)2+y2=1 Ta đặt x-1=cost, suy y=sint thay vào pt mặt cầu x2 y2 z2 x2 y2 2x x cos t y sin t z 4 2(1 cos t ) §1: Tham số hóa đường cong Để vẽ đường cong MatLab, ta dùng pt tham số để vẽ Khai báo biến p=linspace(0,2*pi,30) Vẽ đường cong plot3(1+cos(p),sin(p),sqrt(2-2*cos(p))) Vẽ hình chiếu xuống mp z=0: plot(1+cos(p),sin(p)) Vẽ thêm mặt cong Mặt trụ x^2+y^2=2x với z từ đến sqrt(2-2*cos(p)) Mặt cầu z=sqrt(2-2*cos(p)) với y từ -sin(p) đến sin(p) §2: Tích phân đường loại fdl Tính chất 4: Nếu f ≥0 cung AB AB Tính chất 5: fdl f dl AB AB Tính chất 6: Tồn điểm M thuộc cung AB cho LAB fdl f (M ) AB Trong đó, LAB độ dài cung AB Ta gọi f(M) giá trị trung bình hàm f cung AB §2: Tích phân đường loại Ta chia thành trường hợp cung AB mp Oxy: TH1: Cung AB có pt y=y(x), x1≤x≤x2 x2 f ( x, y ( x )) y x2dx f ( x, y )dl AB x1 TH2: Cung AB có pt x=x(t), y=y(t), t1≤t≤t2 t f ( x(t ), y (t )) xt f ( x, y )dl AB y t 2dt t1 TH3: Cung AB có pt r=r(φ), φ1≤φ≤ φ2 : f (r ( )cos , r ( )sin ) r ( )2 f ( x, y )dl AB r ( )2 d §2: Tích phân đường loại Nếu AB cung không gian có pt tham số x x (t ) y y (t ) z z(t ), t1 t t2 Thì t2 f ( x(t ), y (t ), z(t )) x (t ) f ( x, y , z )dl AB t1 y (t ) z (t )dt §2: Tích phân đường loại Ví dụ 1: Tính tích phân đường loại biên ΔABC với A(1,1), B(3,3), C(1,5) hàm f(x,y)=x+y Biên ΔABC gồm đoạn AB: y=x, 1≤x ≤3, BC: y=6-x, 1≤x ≤3, CA: x=1, 1≤y≤5 I1=IAB+IBC+ICA Trên đoạn AB: thay y=x y (x) Ta : (x B 3 I AB C x ) 2dx A §2: Tích phân đường loại Tương tự, ta có IBC 2dx 12 C ICA (1 y )dy 16 1 Vậy I1 (x C y )dl 20 B 16 A §2: Tích phân đường loại Cách 2: Viết pt tham số cạnh AB: x=1+2t =y, 0≤t≤1; BC: x=3-2t, y=3+2t, 0≤t≤1; CA: x=1, y=5-4t, 0≤t≤1 C B A I1 (1 2t )2 4dt 4dt (6 4t ) 16dt §2: Tích phân đường loại (x2 Ví dụ 2: Tính I2 y )dl Với C phần đường tròn x2+y2=4, x≥0, y≤0 C Tính I2 cách sau Cách 1: Tính y Suy x ,0 y (x) (x (4 2 x )) x2 2 x2 (8 sin2 t x 2sin t dx -2 I2 2 Vậy: I2 x 4)dt =0 §2: Tích phân đường loại Cách 2: Viết pt C tọa độ cực r 2, 2 Suy ra: x r ( )cos Vậy: 2cos , y r ( )sin 2sin , r ( ) r ( ) (4cos2 I2 sin2 ).2d =0 Cách 3: Viết pt tham số C cách đặt x=2cost y=2sint Suy : x (t ) y (t ) Và ta tích phân tính Cách 2 §2: Tích phân đường loại Ví dụ 3: Tính I3 C xzdl Với C giao tuyến x2+y2+z2=4, x2+y2=1,z≥0 Đây đường loại không gian nên ta bắt buộc phải viết pt tham số C Thay x2+y2=1 vào pt mặt cầu ta z Nên ta đặt x=cost, để có y=sint x (t ) Suy Vậy : y (t ) z (t ) I3 2.cos t 3.1dt =0 §2: Tích phân đường loại Ví dụ 4: Tính độ dài phần đường parabol y=x2 với 0≤x≤2 Ta có y 2(x) 4x Vậy : LC C LC x 2dx dl ln(4 17) 17 §2: Tích phân đường loại Ứng dụng học Giả sử dọc cung C, khối lượng riêng f(x,y,z) Khối lượng cung: M f x, y , z dl C Moment tĩnh cung phẳng trục: Mx y f x, y dl ; M y C x.f x, y dl C Suy tọa độ trọng tâm G cung phẳng xG My M , yG Mx M §2: Tích phân đường loại Ứng dụng học Giả sử dọc cung C, khối lượng riêng f(x,y,z) Moment tĩnh cung không gian mặt phẳng tọa độ : M xy z.f x, y , z dl; M yz C x.f x, y , z dl ; Mzx C C Suy tọa độ trọng tâm G cung xG M yx M ; yG Mzx ; zG M y.f x, y , z dl M xy M Moment quán tính với trục §2: Tích phân đường loại Ứng dụng học Giả sử dọc cung C, khối lượng riêng f(x,y,z) Moment quán tính với trục y2 Ix z f x, y , z dl C Iy z x f x, y , z dl C x2 Iz y f x, y , z dl C Moment quán tính với đt Δ: Khoảng cách từ M(x,y,z) đến đt d M, r x, y , z f x, y , z dl I C r x, y , z §2: Tích phân đường loại Bài tập: I Tính tích phân sau: I1 x 2y dl ;C : x y2 2x, x C x ,0 x 3dl ;C : y I2 C I3 y2 z2 xyzdl ;C : x y2 0, y z x C x2 C I4 x z dl ;C : x t, y t ,z t ,0 t §2: Tích phân đường loại Bài tập: II Tính độ dài : C1 : x et cos t , y et sin t , z C2 : y x ,0 x et ,0 t ... tham số đường cong C: x2+y2+z2=a2, x=y Thay x=y vào phương trình mặt cầu Ta được: 2x2+z2=a2 , pt đường ellipse Tức hình chiếu C mp y=0 đường ellipse 2x2+z2=a2 Đặt 2x2=a2cos2t suy z2=a2sin2t Vậy... Tích phân đường loại (x2 Ví dụ 2: Tính I2 y )dl Với C phần đường tròn x2+y2=4, x≥0, y≤0 C Tính I2 cách sau Cách 1: Tính y Suy x ,0 y (x) (x (4 2 x )) x2 2 x2 (8 sin2 t x 2sin t dx -2 I2 2 Vậy: I2... cụ thể tùy vào điểm đặc biệt chúng Ví dụ 3: Viết pt tham số đường cong C1, C2 giao tuyến x2+y2+z2 =2, z2=x2+y2 Ta có: x2 y2 z2 z2 x2 y2 x2 y2 z 1 Tức C1, C2 vừa giao tuyến mặt cầu mặt nón vừa giao