Phần 2 bài giảng Giải tích 2 - Chương 3: Tích phân đường cung cấp cho người học các kiến thức về Tích phân đường loại 2 bao gồm: Định nghĩa, tính chất tích phân đường loại 2, cách tính tích phân đường loại 2, định lý Green, tích phân không phụ thuộc đường đi. Mời các bạn cùng tham khảo.
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI NỘI DUNG 1.Định nghĩa đường loại 2.Tính chất đường loại 3.Cách tính đường loại 4.Định lý Green 5.Tích phân không phụ thuộc đường ĐỊNH NGHĨA Trong mp Oxy, cho cung AB hàm số P(x,y), Q(x,y) xác định AB Phân hoạch AB điểm {A0, A2, , An}, với A0 = A, An = B Giả sử Ak = (xk, yk), k = 0,…,n Gọi xk = xk+1 – xk , yk = yk+1 – yk, k = 0,…, n-1 Trên cung AkAk+1, lấy điểm Mk, xét tổng This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed đường loại P, Q AB This image cannot currently be displayed Quy ước: tích phân chu tuyến (đường cong kín) C TÍNH CHẤT TP ĐƯỜNG LOẠI 1.Tp đường loại phụ thuộc vào chiều đường This image cannot currently be displayed 2.Nếu C = C1 C2 This image cannot currently be displayed Đổi chiều đường đổi dấu CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI Khi tham số hóa đường cong, lưu ý chiều đường TH1: (C) viết dạng tham số x = x(t), y = y(t), t1 :điểm đầu, t2: điểm cuối This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed TH2: (C) viết dạng y = y(x), x = a : điểm đầu, x = b : điểm cuối This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed TH3: (C) viết dạng x = x(y), y = c : điểm đầu, y = d : điểm cuối This image cannot currently be displayed Nhắc lại Khi tham số hóa cho cung tròn, elippse, ngược chiều kim đồng hồ tham số tăng dần, chiều kim đồng hồ tham số giảm dần Cách tính Tp đường loại không gian This image cannot currently be displayed Cách tính: (C) x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1 :điểm đầu, t2: điểm cuối This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed Nhận xét: đường tròn C, x2 + y2 = R2, thay vào ta có This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed Lúc : Áp dụng ct Green This image cannot currently be displayed xác định (0, 0) b)C đtr (x – 3)2 + (y – 1)2 = Áp dụng ct Green hình tròn biên C This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed c)C ={(x,y)/ max { |x|, |y|} = 1} Khơng thể áp dụng ct Green miền hình vuông (P, Q không xác định (0,0) Dùng đường tròn C’ đủ nhỏ bao gốc O (hoặc đtròn đủ lớn bao đường cong C) Áp dụng ct Green hình vành khăn (HVK) giới hạn C C’( hình vành khăn khơng chứa (0,0)) This image cannot currently be displayed lấy chiều KĐH This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed (theo câu a) Nhận xét: tính câu c) theo cách này, khơng sử dụng tham số hóa đc (C), Nếu C đường cong tùy ý bao gốc O? d)C đường cong bao quanh gốc O nối từ (1,0) đến (,0) Nối vào C C’ với C’: y = 0, x : Khi C C’ đường cong kín bao gốc O, áp dụng kết câu c) TÍCH PHÂN KHƠNG PHỤ THUỘC ĐƯỜNG ĐI D miền mở đơn liên P, Q đạo hàm riêng liên tục D Các điều sau tương đương: This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed không phụ thuộc đường nối A, B This image cannot currently be displayed với chu tuyến D 4/ Tồn hàm U(x, y) thỏa: This image cannot currently be displayed (Biểu thức dấu vp toàn phần U) Áp dụng Thông thường ta kiểm tra điều kiện (nếu hàm U đốn nhanh) Nếu thỏa, có cách tính từ A đến B C1: Đổi đường lấy thông thường theo đoạn thẳng // với trục tọa độ B A Lưu ý miền D Áp dụng C2: với hàm U đk This image cannot currently be displayed Cách tìm U: C1: Tìm U từ hệ :U’x = P, U’y = Q C2: chọn (x0, y0) tùy ý D This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed VÍ DỤ This image cannot currently be displayed 1/ Tính : C: đoạn thẳng nối điểm (1, -1), (2,1) P’y = Q’x R2 nên không phụ thuộc đường This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed -1 This image cannot currently be displayed Cách khác: nhận thấy hàm U(x, y) = xy thỏa dU = ydx + xdy R2 nên I = U(2, 1) – U(1, -1) = + = This image cannot currently be displayed 2/ Tính : Theo đường khơng cắt đường thẳng x + y = P’y = Q’x, (x,y): x + y This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed -1 This image cannot currently be displayed x + y =0 Hoặc(tính U): chọn (x0, y0) = (1, 0) This image cannot currently be displayed 3/ Tìm số a, b cho This image cannot currently be displayed không phụ thuộc đường Sau đó, với a, b vừa tìm được, tính với A(-1, 2), B(0,3) This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed CHUA : 4/ Tìm hàm số h(y) thỏa h(1) = cho This image cannot currently be displayed khơng phụ thuộc đường Sau đó, với h vừa tìm được, tính với A(-1,1), B(1,1) theo đường tròn x2 + y2 = 2y, lấy chiều KĐH This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed theo nửa đường tròn Đổi đường lấy tp: chọn đường thẳng nối A, B This image cannot currently be displayed ...NỘI DUNG 1.Định nghĩa đường loại 2.Tính chất đường loại 3. Cách tính đường loại 4.Định lý Green 5 .Tích phân khơng phụ thuộc đường ĐỊNH NGHĨA Trong mp Oxy, cho cung AB hàm số... dạng tham số x = x(t), y = y(t), t1 :điểm đầu, t2: điểm cuối This image cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed TH2: (C) viết dạng y = y(x), x = a : điểm đầu, x... cannot currently be displayed This image cannot currently be displayed 3/ Tính: với C gt mặt cầu x2 + y2 + z2 = 6z mp z = - x lấy ngược chiều KĐH nhìn từ phía dương trục Oz This image cannot currently