Phần 2 bài giảng Giải tích 2 - Chương 2: Tích phân bội cung cấp cho người học các kiến thức về Đổi biến trong tích phân kép bao gồm: Tọa độ cực, tích phân kép trong tọa độ cực, đổi biến tổng quát. Mời các bạn cùng tham khảo.
ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP TỌA ĐỘ CỰC M y r r x y 0 x x r cos , y r sin [0, 2 ] hay [ , ] TÍCH PHÂN KÉP TRONG TỌA ĐỘ CỰC a r b D : Dij D j j 1 ri*,*j Tổng tích phân Sn f (ri * cos *j , ri * sin *j )ri *r i, j f ( x , y )dxdy lim Sn d 0 D lim Sn d 0 D f (r cos , r sin )rdrd Công thức đổi biến sang tọa độ cực x r cos , y sin D f ( x , y )dxdy D f (r cos , r sin )rdrd Một số đường cong miền D tọa độ cực x r cos , y r sin R R -R R 2 x y R r R D -R R 2 x y R 0 r R 0 2 2 x y 2Rx R x y 2Rx 2R r 2R cos 0 r 2R cos 2 x y 2Ry 2R R 2 x y 2Ry r 2R sin 0 r 2R sin 0 r r2 ( ) D r r1 ( ) r1 ( ) r r2 ( ) D: (0 2 ) f (r cos , r sin )rdrd D r2 ( ) d r1 ( ) f (r cos , r sin )rdr VÍ DỤ 1/ Tính: I 2 x y 1 2 x y dxdy với D : y D r=1 0 r D: 0 -1 I x r cos , y r sin D 0 0 r rdrd d r dr d 3 4/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi: 2 2 x y 4x, x y 2x, y x, y r = 4cos x r cos , y r sin 0 D 2cos r 4cos r = 2cos S (D) 1dxdy rdrd D 0 D 2cos r 4cos D 4cos d 2cos 3 rdr 5/ Tính: I D x y x xydxdy với D : 3x y y 3x r = - cos 0 4 0 r cos ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT y ( x , y ) D (u , v ) D D( x , y ) J D(u , v ) D x Công thức đổi biến D f ( x , y )dxdy x = x(u,v), y= y(u,v) D xu y u xv yv J D (u , v ) D (x,y ) f ( x (u , v ), y (u , v )) J dudv Áp dụng đổi biến tổng quát Tọa độ cực: J D xr y r x r cos , y r sin x cos y sin f ( x , y )dxdy D r sin r r cos f (r cos , r sin )rdrd Hình tròn tâm tùy ý: v y D: (x – a)2 + (y – b)2 R2 Dời gốc tọa độ đến tâm u b x = u + a, y = v + b a D xu J y u x f ( x , y )dxdy Đổi tiếp sang tọa độ cực: xv 1 yv g (u , v ).1dudv u v R u r cos , v r sin D: (x – a)2 + (y – b)2 R2 Tóm tắt: x = a + rcos, y = b + rsin v y J=r r u b a x 0 r R D : 0 2 f ( x , y )dxdy f (a r cos , b r sin )rdrd D D Đổi biến ellippse b x y D : 1 a b x = arcos, y = brsin D 2 a x y r a2 b2 J = abr 0 r D : 0 2 D f ( x, y )dxdy D f (ar cos , br sin )abrdrd 1/ Tính: I xydxdy với D nửa D hình tròn: (x – 2)2 + (y + 1)2 u x = + rcos, y = -1 + rsin J=r 0 r D : v I D (2 r cos )( 1 r sin )rdrd I (2 r cos )(1 r sin )rdrd D 0 0 d ( 2 r cos 2r sin r sin cos )rdr 9 18 Ví dụ 2/ Tính: I D x y xydxdy , D : 1; y 0; x x = 3rcos, y = 2rsin J = 3.2.r = 6r Miền D viết lại: r 3r cos 0,2r sin r 0 r cos 0,sin 3r cos 0,2r sin 0 r D : D xydxdy d 3r cos 2r sin 6rdr 3/ Tính diện tích miền giới hạn x ellipse y 1, y 0, y x , x x 3r cos , y r sin J 3r Miền D viết lại: x y 1, y x 0 r 1, 0 r sin 3r cos 0 r 1, 0 r sin 3r cos 0 r 1, sin 0 tan cos 0 r 0 S (D) D dxdy d 0 3rdr Tính đối xứng miền D tính kép D đối xứng qua oy D1 = D {(x,y)/ x 0} D1 D f(x,y) chẵn theo x: f ( x, y )dxdy D f(x,y) lẻ theo x: f ( x, y )dxdy D1 D f ( x , y )dxdy ... R -R R 2 x y R r R D -R R 2 x y R 0 r R 0 2 2 x y 2Rx R x y 2Rx 2R r 2R cos 0 r 2R cos 2 x y 2Ry 2R R 2 x y 2Ry r 2R... brsin D 2 a x y r a2 b2 J = abr 0 r D : 0 2 D f ( x, y )dxdy D f (ar cos , br sin )abrdrd 1/ Tính: I xydxdy với D nửa D hình tròn: (x – 2) 2 + (y + 1 )2 u x... hạn bởi: 2 2 x y 4x, x y 2x, y x, y r = 4cos x r cos , y r sin 0 D 2cos r 4cos r = 2cos S (D) 1dxdy rdrd D 0 D 2cos