Bài giảng Giải tích 1: Chương 3.2 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân (tt) cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng của tích phân. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành Khoa học tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và tham khảo.

Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Giải tích Chương 3: Tích phân suy rộng • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung - – Tích phân suy rộng Tài liệu: 1) Кудрявцев Л.Д Сборник задач по мат анализу, Том 2, Москва, 2003 2) James Stewart Calculus 6th edition, USA, 2008 I Tích phân suy rộng loại Bài tốn Tìm diện tích S miền vô hạn giới hạn đường cong: y  f ( x )  0, trục hoành, đường thẳng x = a  b s   f ( x )dx  lim  f ( x )dx b a a b   Tích phân suy rộng loại y  f ( x) khả tích đoạn  Tích phân  a, b, với b  a b f ( x )dx  f ( x)dx  blim   a a gọi tích phân suy rộng loại Các tích phân sau tích phân suy rộng loại a a f ( x )dx  f ( x)dx  blim     b a   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   a  b f ( x) dx  f ( x)dx  blim   a a Nếu giới hạn tồn hữu hạn tích phân gọi hội tụ Ngược lại, giới hạn không tồn vơ cùng, tích phân gọi phân kỳ Hai vấn đề tích phân suy rộng 1) Tính tích phân suy rộng (thường phức tạp) 2) Khảo sát hội tụ Tính tích phân suy rộng (cơng thức Newton – Leibnitz) Giả sử F(x) nguyên hàm f(x)  a,   b  F (b)  F ( a )   f ( x) dx  blim  f ( x)dx  blim    a a Tích phân tồn tồn lim F (b) : F () b    a f ( x)dx  F ( x)  F ()  F (a ) a Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn y  , trục hoành đường thẳng x = x b  b  1  dx dx    S    lim   lim   lim      b b x  x x x  b   1 Diện tích miền S 1, hữu hạn Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn y x , trục hoành đường thẳng x = b b dx dx  blim ln | x |  lim ln b    lim  S     b x  x x    S miền có diện tích vơ hạn,  Tính diện tích miền phẳng giới hạn Ví dụ y  , trục hồnh x 1  dx dx b S 2   blim arctan x     x  x 1    Diện tích miền S   Ví dụ Tính tích phân I e 2 x dx  I e 2 x dx   e 2 x  1  e  e 2       2  2e   Ví dụ Tính tích phân I  e  I  e dx  x ln x   e  dx x ln x d (ln x)  1        ln x ln x e  ln() ln e  Kết (được sử dụng để khảo sát hội tụ) n kyø , nế u  1  phâ   dx   i tụ, nế u  1 a  x  a  hoä b b  a  b  x  n kỳ , nế u  1  phâ dx   i tụ, nế u  1  hộ Chú ý: Kết luận ngược lại so với tích phân loại một! Ví dụ I  Khảo sát hội tụ 1 Ta có f ( x)  ( x  1)( x  1) Chọn g ( x)  1/  x  1 Tích phân  f ( x)dx x 1 dx x2  1 1/ 2  x  1 f ( x)  lim  x  g ( x ) hữu hạn, khác  g ( x)dx hội tụ hay phân kỳ 1 Vì  g ( x)dx hội tụ (    1), nên tích phân I hội tụ 1 Ví dụ Khảo sát hội tụ I     ln  x f ( x)   x 0 x e 1 x e 1 x3 / hội tụ     2/5 x ( x  0) Ví dụ Khảo sát hội tụ I  f ( x)  2x   x  (3  x)  ln  x3 dx 5 x 3 18 1/ ( x  3) x3dx  x2 hội tụ    Ví dụ 5x  x I  dx tan x  x Khảo sát hội tụ 3 x x tan x  x  x    ( x )  x    ( x3 ) 3 5x  x tan x  x x 0  1/ x  x / ( x  0)5/ phân kỳ    Ví dụ Khảo sát hội tụ I  f ( x)  x 2  x4 x 2 x  4 ( x  4) dx x 2 phân kỳ    Khảo sát hội tụ Ví dụ I  sin xdx x2 sin xdx  sin xdx I    I1  I 2 x x sin x lim  x 0 x I1 khơng tích phân suy rộng mà tích phân xác định nên HT Ta có sin x   g ( x) x x  Vì  g ( x)dx HT , nên I1 HT, suy I HT I Tính tích phân sau  1)  dx ( x  1)( x  2)  2)  dx ( x  1)( x  2)( x  3)  (5 x  3) 3)  dx ( x  2)(3 x  x  1)  ( x  1) 4)  dx x ( x  1)  5)   x  1 ( x  1)  ln  ln 11 ln  ln 5  ln dx 2 ln 3 17  ln  16 128  arctan 7   ln  18 6)  dx x  x2 x3 7)  dx x ( x  x  1) x2 8)  dx x 1   dx 9)  4x  4x   dx 10)  x  x e e  arctan   11)  x e  e x dx  12)  dx x (ln x  1)  2ln   13)  dx cosh ( x )  14)  xe 2 x dx  dx 15)  x ( x  3) 1 ln  dx 16)  x 1 e  17)  x x 1  ln dx dx 18)  ex 1  dx 19)   x 2  4ln  x 1 dx 20)  sinh x  e 1  ln    e 1   dx 3e dx 22)  x ln x e 21)  e 3 x   ln   xdx 23)  x dx 24)  (1  x ) x  xdx 25)  x 1 ln      arctan   3 3  dx 26)    27)  e x 1  x 2 x  cos3 xdx  dx 28)  ( x  x  1)   29)  13 4 3 dx  (4 x  1) x  13 x  12  30)    x2  dx  31)  dx  x  3  dx 32)  3/ 2 ( x  3)   x3 33)  x e dx  ln xdx 34)  x  35)  1  x  1 dx 10 5 64  36)    x  x3 dx 37)  1 (4  x)  x x ) 4x dx 39)  x x 1 40)  15 x dx 2 (1   38)  x dx 625 187  5  dx  x x 1  I Tìm tất giá trị  để chuỗi hội tụ  e3/ x   1)  ln 1   dx,       arctan x 2)  dx  (2  x )  3)  dx  x  2x không tồn  1      1 x 4)  x  dx e x 5)  dx  x  2x  ln  x 6)  e x   dx 3 1   5 1  7)   dx  x  ln(1  x ) x5 ( x3  1)  8)  x7  x5  1  9)  dx  1 dx  x3  sin x x x e  1 x 10)  dx cosh x  cos x    2  ... hạn tích phân gọi hội tụ Ngược lại, giới hạn không tồn vô cùng, tích phân gọi phân kỳ Hai vấn đề tích phân suy rộng 1) Tính tích phân suy rộng (thường phức tạp) 2) Khảo sát hội tụ Tính tích. .. x)dx t c a t c t Tích phân vế trái hội tụ hai tích phân vế phải hội tụ I Tích phân suy rộng loại hai Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống tích phân suy rộng loại Tương tự tích phân suy rộng... - – Tích phân suy rộng Tài liệu: 1) Кудрявцев Л.Д Сборник задач по мат анализу, Том 2, Москва, 2003 2) James Stewart Calculus 6th edition, USA, 2008 I Tích phân suy rộng loại Bài tốn