Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng của tích phân. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành Khoa học tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và tham khảo.
Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Giải tích Chương 3: Tích phân • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung - – Tích phân bất định – Tích phân xác định – Tích phân suy rộng – Ứng dụng tích phân Tài liệu: Кудрявцев Л.Д Сборник математическому анализу, Том 2, 2003 задач по I Tích phân bất định Định nghĩa Hàm số y = F(x) gọi nguyên hàm hàm hàm y f ( x) [a,b], y = F(x) liên tục, có đạo điểm thuộc đoạn [a,b] F ' ( x) f ( x) Hai nguyên hàm sai khác số Tập hợp tất nguyên hàm y = f(x) gọi tích phân bất định hàm y = f(x), ký hiệu f ( x)dx F ( x) C I Tích phân bất định Tính chất f ( x)dx ' f ( x) d f ( x )dx f ( x)dx ' Nếu f(x) hàm khả vi, f ( x)dx f ( x) C Nếu f(x) hàm khả vi, df ( x) f ( x) C f ( x)dx f ( x)dx f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx Tích phân số hàm sinh xdx cosh x c cosh xdx sinh x c dx x c cosh x dx coth x c sinh x dx x arctan c a a x a dx x x arcsin c arccos c 2 a a a x dx x a ln x x a C a0 Phương pháp đổi biến Nếu tồn hàm hợp f ( ( x)) hàm t ( x) liên tục đoạn [a,b] khả vi khoảng (a,b), ' f ( ( x )) ( x) dx f (t )dt t ( x ) Nếu tồn hàm hợp x 1 (t ) hàm t ( x) , ' f (t ) dt f ( ( x)) ( x)dx x 1 (t ) ' f ( x) dx f ( (t )) (t )dt t 1 ( x ) dx Ví dụ Tính I sin x dx sin xdx dt d cos x I 2 sin x sin x 1 t cos x x dt dt cos x ln cos x C ln tan C t 1 t Ví dụ Tính I ln(arccos x)dx x arccos x t ln(arccos x) dt I dx x arccos x t2 tdt C ln arccos x C 2 x arccos x ln(arccos x)dx Phương pháp tích phân phần Giả sử hai hàm u u ( x), v v( x) liên tục đoạn [a,b] khả vi khoảng (a,b) ' Nếu tồn v u dx , tồn ' ' u v dx Ngoài ra: ' u v dx u v v u dx u dv u v v du Phương pháp tích phân phần dx u ln ax du x Pn ( x)ln ax dx đặt dv P ( x)dx v P ( x)dx n n ax Pn ( x) e dx Pn ( x) cos ax dx Pn ( x) sin ax dx Pn ( x) arcsin ax dx Pn ( x) arccos ax dx Pn ( x) arctan ax dx Pn ( x) arccot ax dx đặt u Pn ( x) dv phầ n cò n lại Ví dụ I arccos xdx Tính Đặt u arccos x du 2arccos xdx dv dx v x 1 x 2 x arccos x 2 x arccos x I1 I x arccos x dx 1 x dx u arccos x du 1 x xdx xdx dv v x C 1 x x2 2 I1 x arccos x dx x arccos x x C2 Tích phân hàm vơ tỷ: Tích phân Trêbưsev x m ax n p b dx a, b: số thực, m, n, p: hữu tỷ, tất số khác Trường hợp 1: p số nguyên N Đặt x t , với N BSC nhỏ mẫu m n m 1 Trường hợp 2: số nguyên n n s Đặt ax b t , với s mẫu p m 1 Trường hợp 3: p số nguyên n n s Đặt a bx t , với s mẫu p Ví dụ I Tính dx x 23 ( x 2) I x Tích phân Trêbưsev: 2 x 2 5 / dx m 1 2 p 2 Z m 2, n 3, p 5 / n 3 3 Đổi biến: 2x t 3 6 x 4 dx 3t dt 5 / 3 x 2 3 x 4 I x x x x dx x x x t 1 t 5 t dt t 3 dt 2 2 5 5/ 4 x dx Ví dụ I Tính dx x 1 x Tích phân Trêbưsev: I x 1/ 1 x m 1/ 3, n 1/ 6, p 1 p Z BSCNN mẫu m, n Đổi biến: x t dx 6t 5dt t dt I t 1 t 6t dt 1 t t t dt dt 1 t 2 1 1/ 1 dx Ví dụ Tính 1 x dx x I Tích phân Trêbưsev: I x 1/ 1/ 1/ 1 x dx m 1/ 2 Z m 1/ 2, n 1/ 4, p 1/ n 1/ BSCNN mẫu m, n 1/ Đổi biến: x I x 1/ x 1/ t x / 1/ 3/ 1 x x 3/ t x dx 3t dt 3/ 1/ dx x I t t 3t dt 3t 3t dt 1/ 1/ 1 x x 3/ dx Tích phân hàm lượng giác R sin x,cos x dx Trong đó: R(u,v) hàm hữu tỷ theo biến u, v x Cách giải chung: đặt t tan , x , 2 dt x 2arctan t dx 2 1 t 2t 1 t Tích phân hàm sin x ,cos x 1 t2 1 t2 hữu tỷ 2t t dt R sin x,cos x dx 2 R t , t t Trong nhiều trường hợp, cách giải cồng kềnh Ví dụ Tính dx I 3sin x 4cos x Đổi biến: t tan( x / 2), x , dt dx 1 t2 2t 1 t sin x ,cos x 2 1 t 1 t dt dt I 2 2 2 6t 4(1 t ) 5(1 t ) t 6t 2 2 (t 3) d (t 3) C C t 3 tan( x / 2) 2 Tích phân hàm lượng giác R sin x,cos x dx 1) R sin x,cos x R sin x,cos x , đặt t cos x, x 2 2) R sin x, cos x R sin x,cos x đặt 3) R sin x, cos x R sin x,cos x p q sin x cos x dx 4) t sin x, x 0, , đặt t tan x, x 2 đặt t sin x t cos x Hoàn toàn tương tự cho hàm Hyperbolic: coshx, sinhx Ví dụ Tính (2sin x 3cos x)dx I sin x cos x 9cos x R sin x, cos x R sin x,cos x dx Đổi biến: t tan( x), x / 2, / dt cos x Chia tử mẫu cho cos x 2t 2t (2 tan x 3)d (tan x) dt dt dt I 2 t 9 t 3 t 9 tan x tan x t C ln(t 9) arctan C ln(tan x 9) arctan 3 Ví dụ Tính I cos x sin xdx Đổi biến: t sin x dt cos xdx sin x sin x cos xdx I cos x sin x cos xdx 11 11 t t sin x sin x (1 t )t dt C C 11 11 dx I Ví dụ Tính sin x cos x I sin x cos x dx sin x cos x sin xdx dx sin x cos x 1 cos x d (cos x) d (cos x) ln C 2 cos x cos x cos x cos x Ví dụ Tính I (sinh x cosh x)dx R sinh x, cosh x R sinh x,cosh x Đổi biến: t sinh( x) dt cosh xdx 2 I (sinh x cosh x)(cosh xdx) 2 sinh x(sinh x 1)(cosh xdx) 6 t (t 1)dt t t C sinh x sinh x C 6 Tích phân hàm lượng giác a1 sin x b1 cos x I dx a sin x b cos x Phân tích ' a1 sin x b1 cos x A a sin x b cos x B a sin x b cos x ( Aa Bb) cos x ( Ab aB )sin x Ab aB a1 Đồng hai vế: giải tìm A, B Aa Bb b1 A(a sin x b cos x)' dx I Bdx a sin x b cos x A ln(a sin x b cos x) Bx C Ví dụ Tính (2sin x 3cos x) dx I sin x 4cos x ' 2sin x 3cos x A (sin x 4cos x ) B (sin x 4cos x ) Phân tích: 2sin x 3cos x ( A B )sin x (4 A B )cos x A 1 A 4B B 1/ 4 A B A(sin x 4cos x) B (sin x 4cos x)' I dx dx sin x 4cos x sin x 4cos x Bd (sin x 4cos x) I A dx Ax B ln sin x 4cos x C sin x 4cos x Tích phân hàm lượng giác a1 sin x b1 cos x c1 I dx a sin x b cos x c Phân tích ' a1 sin x b1 cos x c1 A a sin x b cos x c B a sin x b cos x c C ( Aa Bb)cos x ( Ab aB )sin x Bc C Ab aB a1 Đồng hai vế: Aa Bb b1 Bc C c giải tìm A, B, C Cdx I A ln(a sin x b cos x c) Bx a sin x b cos x c Tích phân cuối tính cách đổi biến chung: t = tan(x/2) Ví dụ Tính (2sin x cos x 3) dx I 3sin x 4cos x Phân tích: 2sin x cos x A(3sin x 4cos x 5) B (3sin x 4cos x 5)' C 2sin x cos x (3 A B)sin x (4 A 3B)cos x (5 A C ) 3 A B A 2/5 A 3B B 1/ 5A C C 1 d (3sin x 4cos x 5) Cdx I A dx B 3sin x 4cos x 3sin x 4cos x I Ax ln(3sin x 4cos x 5) I1 với I1 tính ví dụ trước Tích phân hàm Hyperbolic R sinh x,cosh x dx Trong đó: R(u,v) hàm hữu tỷ theo biến u, v x Cách giải chung: đặt t 2 2t 1 t sin x ,cos x 2 1 t 1 t Tích phân hàm hữu tỷ 2t t dt R sinh x,cosh x dx 2 R t , t t Trong nhiều trường hợp, đặt t = sinhx, t = coshx, t = tanhx ... dx 3t dt ? ?3/ 1/ dx x I t t 3t dt 3t 3t dt 1/ 1/ 1 x x ? ?3/ dx Tích phân hàm lượng giác R sin x,cos x dx Trong đó: R(u,v) hàm hữu tỷ theo biến u, v x Cách giải. .. - – Tích phân bất định – Tích phân xác định – Tích phân suy rộng – Ứng dụng tích phân Tài liệu: Кудрявцев Л.Д Сборник математическому анализу, Том 2, 20 03 задач по I Tích phân bất... Phân tích: 2sin x cos x A(3sin x 4cos x 5) B (3sin x 4cos x 5)'' C 2sin x cos x (3 A B)sin x (4 A 3B)cos x (5 A C ) ? ?3 A B A 2/5 A 3B