Bài giảng Giải tích 1: Chương 2 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Đạo hàm và vi phân cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm, vi phân, định lý giá trị trung bình, công thức Taylor, công thức Maclaurint. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Giải tích Chương 1: Giới hạn liên tục (tiếp theo) • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung - I.2 – Giới hạn hàm số  – Hàm số  – Giới hạn hàm số  – Vô bé, Vô lớn Hàm số Định nghĩa (hàm hợp) Cho hai hàm g : X  Y ; f : Y  Z Khi tồn hàm hợp f  g : X  Z h  f  g  f ( g ( x)) Ví dụ g ( x)  x  3; f ( x)  x  f  g ( x)  f ( g ( x)  f ( x  3)   x  3  g  f ( x)  g ( f ( x))  g ( x )  x  Ví dụ Cho f ( x)  x ; g ( x)   x Tìm hàm sau miền xác định nó: a ) f  g ; b) g  f ; 2 x  2 x a) f  g ( x)  b) g  f ( x )   x c) f  f ; d) g  g  D f  g  (, 2]  Dg  f   0, 4 c ) f  f ( x)  x  D f  f   0,   d ) g  g ( x)    x  Dg  g   2, 2 Đầu vào Đầu Định nghĩa (hàm – 1) Hàm y = f(x) gọi hàm – 1, x1  x2  D f f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm y = f(x) hàm – không tồn đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều điểm Ví dụ Hàm – Khơng hàm – Định nghĩa (hàm ngược) Cho y = f(x) hàm – với miền xác định D miền giá trị E Hàm ngược y = f(x) hàm từ E vào D, ký hiệu x  f 1 ( y ), xác định x  f 1 ( y )  y  f ( x) Chú ý: 1 a  f (b)  b  f (a ) , nên (a,b) thuộc đồ thị y = f(x) Vì (b,a) thuộc đồ thị f 1 Đồ thị y = f(x) đồ thị f qua đường thẳng y = x Ví dụ Vẽ đồ thị Vẽ đồ thị y   x  đồ thị hàm ngược 1 đối xứng qua Ví dụ Tính giới hạn I  lim  sin e e  1 ln x x 1 x 1 x 1 ln x  ln(1  x  1) 1  x 1 sin( x  1)  I  lim x 1 x 1 Ví dụ Tính giới hạn I  lim x 0 x -1 x 1  lim  x 1 x  e sinh x e tan x sinh x esinh x    esinh x sinh x  sinh x 3x  x I  lim  lim  lim  x 0 x 0 x 0 x x x Ví dụ  Tính giới hạn I  lim  e x  (cos x  1) sin x  x x 0 x e 1  x cos x   - x / 2 x( x / 2)  I  lim x 0 x  x Ví dụ x( x / 2)  lim  x 0 x 1/ x 2 Tính giới hạn I  lim x  e x  2 1/ x  1/(2 x ) I  lim x  x   /2  cos(1/ x) arctan x   Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI tan x  sin x 1) lim x 0 x3 tan x  sin x 2) lim x 0 x3 tan x  sin x 3) lim x 0 x tan x  x  lim x 0 x x  sin x  lim x 0 x x  sin x  lim x 0 x SAI SAI ĐÚNG Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI tan x  sin x 4) lim x 0 sin x tan x  sin x 5) lim x 0 sin x  cos x  6) lim    x 0 x sin x   x  2x  lim x 0 x tan x  sin x  lim x 0 x3  cos x   lim    x 0 x x   ĐÚNG ĐÚNG SAI Định nghĩa Cho f(x) vô bé x  x0 Số p gọi bậc VCB f(x) x  x0 , lim x  x0 Ví dụ f ( x)  x  x0  p  hữ u hạn,  f ( x)  sin x  x   cos x VCB x  , bậc f(x) f ( x) sin x  x3   cos x lim  lim 3 x 0 x x 0 x Ví dụ Tìm bậc VCB sau x x  1) f ( x)  x  x 2) f ( x)  sin 3) f ( x)   x x2 4) f ( x )  3sin x  x  bậc bậc 1/2 1 x3 bậc 2/3 5) f ( x)  e  cos x bậc bậc Ví dụ Tìm  ,  để f(x)  x  VCB tương đương, x  1) f ( x )  cos x  cos x  2) f ( x)  ln cos x 3) f ( x)  x e  x 4) f ( x)  sin x  ln(1  x tan x) 5) f ( x)   x  cos3 x   3/ 2;     1/ 2;     ln 3;   1/    1   13/ 4;   Định nghĩa (vô lớn) Hàm số y = f(x) gọi vô lớn (VCL) x  x0 lim f ( x)   x  x0 Ví dụ f ( x )  x  3cos x vơ lớn x  , lim x  3cos x   x  Định nghĩa Cho f(x) g(x) hai vô lớn x  x0 f ( x)  k Giả sử xlim  x0 g ( x ) 1) Nếu k   , f(x) gọi VCL bậc cao g(x) f ( x)  ( g ( x)) 2) Nếu k hữu hạn, khác khơng, f(x) g(x) hai VCL cấp 3) Nếu k  , f(x) g(x) hai VCL tương đương f ( x)  g ( x) Qui tắc ngắt bỏ VCL Tổ ng hữ u hạn cá c VCL lim x x Tổ ng hữ u hạn cá c VCL VCL bậ c cao nhấ t củ a tử  lim x x VCL bậ c cao nhấ t củ a mẫ u Ví dụ I  lim x  x2   x  x x2   x Tử tổng ba VCL: x  x   2x  x Mẫu tổng hai VCL: 3x I  lim  x  x 2 x 4  x 3x x  2x Bài tập I) Tìm giới hạn sau x 4 1) lim x2 x  x  80 32  x  2) lim x 0 x cos3 x  cos x 3) lim x 0 x 4) lim cot x  cot( /  x) 20 x  /  5) lim  tan x x 0 1/ sin (2 x )  e 1/ 1/ x e1/ 6) lim  cos x  x 0 1/(1 cos x ) 7) lim  cosh x  e x 0  2x2   8) lim   x  x    x x 9) lim x2 x  x2 e  1/ x  10) lim  e   x   x 4(ln  1) x e 2 11) lim x  x  14  x x2   x 12) lim x  x  14  x 7 x2   x 1 13) lim   x  0 x 1 14) lim   x  0 x sin x  2arctan x  x 15) lim x  ln(1  x  sin x )  xe x 1  10 x   x 16) lim x  arcsin(3 x  x )  sinh(2 x  x )   x x 17) lim x  ln 1    ln  x  2   2 cos x  cos5 x 18) lim x 0  cos3 x  tan x   sin x 19) lim x 0 sin x 1/ tan x  3arcsin x 20) lim x  sin x  6arctan x 10 / 37 ... 2? ?? x  2? ?? x a) f  g ( x)  b) g  f ( x )   x c) f  f ; d) g  g  D f  g  (, 2]  Dg  f   0, 4 c ) f  f ( x)  x  D f  f   0,   d ) g  g ( x)    x  Dg  g   ? ?2, 2? ??... Có cơng thức sau (tương tự cơng thức lượng giác) 1) cosh (a )  sinh (a )  2 2) sinh(2a )  2sinh( a )cosh(a ); cosh(2a )  cosh (a )  sinh ( a) 3) cosh(a  b)  cosh(a )cosh(b)  sinh(a )sinh(b)... giới hạn 2 Giới hạn hàm số Ví dụ Chứng tỏ khơng tồn giới hạn limsin x 0 x n Chọn dãy xn     f ( xn )  sin 2n   2n Chọn dãy , xn n   0 2n   /   f ( xn )  sin(2n  )