Bài giảng Giải tích 1 – Chương 2: Hàm số một biến số

Bài giảng Giải tích 1 – Chương 2: Hàm số một biến số trình bày định nghĩa hàm số; các hàm số thông dụng; giới hạn hàm số; tổng hữu hạn của các vô cùng bé; tích của hai vô cùng bé; tính chất và quy tắc của vô cùng lớn.

Chương 2: Hàm số biến số ĐỊNH NGHĨA HÀM HÀM SỐ Cho , ⊂ ℝ, ≠ ∅ Một ánh xạ hàm số biến số : → ↦ = từ vào gọi • Tập X gọi miền xác định • Tập Y=f(X) gọi miền giá trị • x gọi biến độc lập hay gọi đối số • y=f(x) gọi biến phụ thuộc hay gọi hàm số gọi giá trị hàm f x Đơn ánh ∀ , ∈ ; ≠ ⇒ ≠ ( ) Toàn ánh ∀ ∈ ,∃ ∈ : = Song ánh (vừa đơn ánh vừa toàn ánh) ∀ , ∈ ; ≠ ∀ ∈ ,∃ ∈ : ⇒ = ≠ ( ) Hàm số chẵn, hàm số lẻ ∀ ,− ∈ : = Hàm chẵn − ∀ ,− ∈ : = − (− ) Hàm lẻ Hàm số tuần hoàn ( ) tuần hoàn chu kỳ nếu: ∀ , + ∈ : = với + Hàm số đơn điệu • Ta nói hàm f ( x) hàm tăng,  x1, x2  X  ,  x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  • Ta nói nói hàm f ( x) hàm giảm,  x1, x2  X  ,  x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  • Bỏ dấu “ = “ định nghĩa ta gọi tăng (giảm) ngặt Một hàm tăng hay hàm giảm gọi chung hàm đơn điệu Hàm số bị chặn Ta nói hàm f ( x) bị chặn x  X , f ( x)  A ⇒ ≤ Ta nói hàm f ( x) bị chặn x  X , f ( x)  B ⇒ ∈ ℝ , B ∈ ℝ , ≥ Một hàm vừa bị chặn trên, vừa bị chặn gọi hàm bị chặn Hàm số hợp Cho hai hàm g : X  Y ; f : Y  Z Khi tồn hàm hợp f  g : X  Z h  f  g  f ( g ( x)) Ví dụ x /2 xe / lim x  x  e x x xe x /2  lim x /2  lim x x  e x e x /2 xe / lim x  x  e x x  lim 2x /2  x  e xe x /2 x /2  lim e 0  lim x x x Liên tục hàm số Hàm liên tục điểm Hàm y  f ( x) gọi liên tục a , xác định điểm lim f ( x)  f (a) xa Nếu hàm không liên tục a , ta nói hàm gián đoạn điểm Hàm liên tục phía điểm f liên tục phải a nếu: f liên tục trái a nếu: lim f ( x)  f (a) x a  lim f ( x)  f (a) x a  f liên tục a  f liên tục phải trái a VD  sin x  x , x  0, f ( x)   1, x   sin x lim f ( x)  lim 1   x x0 x0 sin x lim f ( x)  lim  1 x0 x0  x  f liên tục phải không liên tục trái x = Điểm gián đoạn loại 1, loại Cho a điểm gián đoạn đồ thị hàm số y  f ( x) 1) Điểm gián đoạn loại một: giới hạn trái f( ) phải f( a điểm khử được: f( a điểm nhảy: ) tồn hữu hạn ) = f( ) f (a  )  f (a  ) h  f (a  )  f (a  )  f (a )  lim f ( x) xa  f (a  )  lim f ( x) xa  bước nhảy: 2) Điểm gián đoạn loại hai: loại Một hai giới hạn (trái phải) không tồn tồn vô x = điểm gián đoạn loại khử x = điểm gián đoạn loại hai Tính chất hàm số liên tục Cho y  f ( x), y  g ( x) hai hàm liên tục a , 1)  f ( x); f ( x)  g ( x ); f ( x )  g ( x) liên tục f ( x) 2) Nếu g ( x)  , liên tục g ( x) Phép hợp hàm số liên tục Nếu f(x) liên tục a, g(y) liên tục b= f(a) g(f(x)) liên tục a Hàm số liên tục [a,b] 1.Hàm số f liên tục [a, b] f liên tục x nằm (a, b),  f liên tục phải a, liên tục trái b 2.* f liên tục [a, b] f bị chận [a, b] * f liên tục [a, b] f đạt gtln gtnn [a, b] Hàm số liên tục [a,b] Định lý Bozano- Côsi ( giá trị nhị trung gian) Nếu y  f ( x) liên tục đoạn [a,b] f(a) = A, f(b) = B C  [ A, B ] tồn x0   a, b  cho f ( x0 )  C Nếu hàm f(x) liên tục đoạn [a,b] f(a).f(b) < 0, tồn x0 thuộc [a,b] cho f(x0) = Hàm sơ cấp Các hàm sau gọi hàm sơ cấp bản: 1/ hàm  y  x 2/ hàm lũy thừa x 3/ hàm mũ y  a ; a  0, a  4/ hàm logarit y  log a x; (a  0, a  1) 5/ hàm lượng giác 7/ hàm hyperbolic 6/ hàm lượng giác ngược Hàm sơ cấp Hàm sơ cấp hàm thu từ hàm sơ cấp cách sử dụng hữu hạn phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, khai phép hợp Hàm sơ cấp liên tục miền xác định   y  sin x  ln    x   hàm sơ cấp Vậy liên tục toàn miền xác định: x > -2 Ví dụ Khảo sát tính liên tục  sin x , x0  f ( x)   x  1, x0 sin x hàm sơ cấp nên liên tục MXĐ x  0, f ( x)  x Tại x = 0: lim sin x   lim sin x  f (0) x 0  x x 0  x Hàm liên tục x = Vậy hàm liên tục R Ví dụ Khảo sát tính liên tục  sin x  x , x0 f ( x)    1, x0  sin x x  0, f ( x)  hàm sơ cấp nên liên tục MXĐ x sin x sin x Tại x = 0: lim 1 lim  1 x 0  x x 0  x x = điểm nhảy Bước nhảy: h  f 0  f 0   ( 1)      ... Hàm lẻ Hàm số tuần hoàn ( ) tuần hoàn chu kỳ nếu: ∀ , + ∈ : = với + Hàm số đơn điệu • Ta nói hàm f ( x) hàm tăng,  x1, x2  X  ,  x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  • Ta nói nói hàm f ( x) hàm. ..ĐỊNH NGHĨA HÀM HÀM SỐ Cho , ⊂ ℝ, ≠ ∅ Một ánh xạ hàm số biến số : → ↦ = từ vào gọi • Tập X gọi miền xác định • Tập Y=f(X) gọi miền giá trị • x gọi biến độc lập hay gọi đối số • y=f(x) gọi biến phụ... giảm,  x1, x2  X  ,  x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  • Bỏ dấu “ = “ định nghĩa ta gọi tăng (giảm) ngặt Một hàm tăng hay hàm giảm gọi chung hàm đơn điệu Hàm số bị chặn Ta nói hàm f ( x)