Bài giảng toán giải tích 1 chương 6 hàm số liên tục

CHƯƠNG SÁU H À M S Ố L I Ê N T Ụ C Chúng ta biết {an} dãy hội tụ a , theo { a lý thuyết dãy số dùng n } để xấp xỉ a2 Nay đặt f (t) = t2 với số thực t Ta diển tả việc “có thể dùng dãy số thực {f(an)} để xấp xỉ f(a)” Chúng ta xét mô hình toán học ánh xạ f có tính chất sau: {an} dãy hội tụ a , {f(an)} dãy hội tụ f(a) Đó khái niệm hàm số 260 liên tục Cho A tập khác trống — f ánh xạ từ A vào —, ta nói f hàm số thực A Cho hàm số thực f tập hợp khác trống A — x  A, ta nói f liên tục x với số thực dương  ta tìm số thực dương (x, ) cho |f(x) - f(y) | <   y  A với |y - x | <  (x, ) Nếu f liên tục điểm x  A ta nói f liên tục A 261 Với số dương  ta tìm số dương (x, ) cho |f(x) - f(y) | <   y  A với |y -x | <  (x,) x f(x) f(x)+ f(x)- x f(x)  x-(x,) y x+(x, ) f(x)+ f(x)- x f(x) f(y) (x, )  262 263 Bài toán 51 Cho c số thực đặt f (x ) = c với x  — Chứng minh f liên tục — Chứng minh f liên tục x — " x  — , " e > $ d(x, e ) > cho |f(y)- f(x)| , tìm $ d(x, e ) > cho |f(y)- f(x)| $ d(x, e ) > cho |f(y)- f(x)| , tìm $ d(x, e ) > cho | y + x |.| y - x | < e " y  — , | y - x | < d(x, e ) 266 Cho x  — vaø cho e > , tìm $ d(x, e ) > cho | y + x |.| y - x | < e " y  — , | y - x | < d(x, e ) Cách xử lý | y + x | x-1 x+1 y x Neáu | y - x | < , ta coù: | y+x |  | y- x+ 2x |   | y-x | + 2|x | < 1+2|x | | y + x |.| y - x |  (1+ 2|x |)| y - x | " y  —, | y-x | < Thay | y - x | baèng d(x, e ) “(1+ 2|x |)| y - x | ” (1+ 2|x |)| y - x | < (1+ 2|x |) d(x, e ) < e " y  —, | y-x | < (1+ 2|x |) d(x, e )  e  d(x, e )  (1+ 2|x |) -1e Cho x  — e > 0, đặt d(x, e ) = min{1,(1+2|x |)-1 e }> | y+x |.|y-x |  (1+2|x |)|y-x | < e " y  —, |y-x | < d(x, e ) 267 Bài toán 53 Cho hàm số thực f tập hợp A — x  A Giả sử f liên tục x Cho {xn} dãy A (nghóa xn  A với n ) {xn}hội tụ x Chứng minh dãy f(xn) hội tụ f(x) Cho e > , có $ d(x, e ) > cho |f(y)- f(x)| tìm M(e”) œ Õ cho | f(xm) - f(x) | < e” " m ¥ M(e”) 268 Cho e” > tìm M(e”) œ Õ cho | f(xm) - f(x) | < e” " m ¥ M(e”) Cho e’ > ta có N(e’) œ Õ cho | xn - x | < e’ " n ¥ N(e’) Cho e > ta coù d(x,e) > cho | f(y) - f(x) | < e "yœA với | y – x | < d(x,e) e” V e xm V y d(x,e) V e’ M(e”) V N(e’) Cho e” > Với e có đặt Với e’ đặt đặt e = e” d(x,e) e’ = d(x,e) có N(e’) M(e”)= N(e’) m¥M(e”)=N(e’)  |xn- x | , tìm () > cho | f(x) - f(y) | <  " x vaø y  — cho |y - x | < () | f(x) - f(y) | = c|x -y | <  | f(x) - f(y) | <  Đặt () = c-1  " x vaø y  — cho |y - x | < () 318 Bài toán 70 Cho f (x ) = x2 " x œ — Chứng minh f không liên tục — "  > , $ () > cho | f(x) - f(y) | <  " x vaø y  — cho |y - x | < () $  > , "  > có x() y ()  — cho |y () - x () | < () vaø | f(x () ) - f(y ()) | ¥  x > , y = x + h với h>0 |y- x|=h | f(x) - f(y) | = (x + h)2 - x2 = 2xh + h2 ¥  "  > 0, choïn h = 2-1 , x() = -1, y()= x()+ 2-1 | f(x() ) - f(y()) | = x() h + h2 ¥ Chọn  = 319 Bài toán 71 Cho A = (0,1) vaø f (x ) = x-1 " x œ A Chứng minh f không liên tục A 100 80 60 40 20 0.2 0.4 0.6 0.8 $  > , "  > có x() y ()  A cho |y () - x () | <  vaø | f(x () ) - f(y ()) | ¥  320 $  > , "  > có x() y ()  A cho |y () - x () | <  vaø | f(x () ) - f(y ()) | ¥  x , y  (0,1) , y = x - h với |y- x|=h x-h h>0 x | f(x) - f(y) | = (x - h)-1 - x-1 = [ x (x - h) ]-1h  x -2h "  > ( œ (0, 1) ) Choïn h = 2-1  , x ( )  h y ()= x - h vaø | f(x() ) - f(y () ) |  x()-2h = Choïn  = 321 Bài toán 72 Cho f hàm số thực liên tục khoảng đóng [a,b] Lúc f liên tục [a,b] Giả sử có số thực dương  cho với số thực dương  ta có hai số x( ) y( ) [a, b ] cho |x( ) - y( ) | <  |f(x( )) - f(y( ))| ¥  Đặt xn= x(n-1) vaø yn = y (n-1) "nœ Ù |xn- yn | < n-1 |f(xn)- f(yn)|¥  {xn}là dãy [a,b] Có dãy {xn } {xn} hội tụ c [a, b ] k Đặt uk = xn k vaø vk = yn k "kœ Ù lim uk  c | uk - vk | < (nk)-1 < k-1 vaø |f(uk ) - f(vk )| ¥  k  322 lim uk  c | uk - vk | < (nk)-1 < k-1 vaø |f(uk ) - f(vk )| ¥  k  1 k k   uk  vk  1 k k uk   vk  uk  uk + k1 < vk < uk c c c k lim uk  lim vk  c k  k  lim f (uk )  f (c) lim f (vk )  f (c) k  k Cho  '   , coù N(’) vaø M(’)  cho |f(uk)- f(c)| < ’  k  N(’) vaø |f(vk)- f(c)| < ’  k  M(’) Choïn k = N(’) + M(’) +   |f(uk ) - f(vk )|  |f(uk) - f(c)| + | f(c) - f(vk)| < ’+ ’323= 