Bài giảng toán giải tích 1 chương 2 ánh xạ

CHƯƠNG HAI Á N H X Ạ Trong nhiều mô hình vấn đề thực tiển, thường thấy có đại lượng thay đổi theo nhiều đại lượng khác Chúng ta xem cách mô hình toán cho việc Nếu kỹ thuật phải có hình tròn có diện tích đònh trước, mô hình toán công thức sau : Diện tích hình tròn có bán kính r = r2 Như đại lượng “diện tích” thay đổi tùy theo đại GIAI TICH - CHUONG HAI 62 lượng “bán kính” Chúng ta đầu tư xây dựng công trình với số vốn a, ước lượng năm tốn chi phí bảo quản b, dự kiến cho thuê hàng năm với giá c (sau trừ thuế) Vậy nên đònh c để sau 10 năm thu hồi vốn Dùng mô hình toán sau : xét công thức sau : “Tiền thu đến cuối năm thứ t” = (c – b)t Trong hai thí dụ trên, mô hình toán học vời Chúng ta thấy “diện tích hình tròn có bán kính r” “Tiền thu cuối năm thứ t” có chung tính lượng thay đổi theo lượng khác , ta ký hiệu chung f (r) GIAI TICH - CHUONG HAI 63 f(t) Theo cách mô hình thay đổi lượng theo lượng khác A Xác đònh ánh xạ Đònh nghóa Cho A B hai tập hợp khác trống D tập khác trống A Giả sử với x D ta đònh nghóa phần tử f(x) B, ta nói ta xác đònh ánh xạ f từ D vào B A B D GIAI TICH - CHUONG HAI 64 Thí dụ Diện tích hình tròn có bán kính r r2 Ta thấy r  f(r) = r2 ánh xạ từ tập hợp số thực dương (0,) vào Thí dụ Nhiệt độ vò trí giảng đường thời điểm t buổi sáng hôm nay, ánh xạ từ [6,12] vào [20, 50] Thí dụ Cố đònh thời điểm t buổi sáng hôm nay, nhiệt độ vò trí giảng đường ánh xạ từ tập hợp A vào [20, 50], với A tập hợp vò trí giảng đường GIAI TICH - CHUONG HAI 65 Thí dụ Để khảo sát thiết kế hệ thống máy lạnh giảng đường này, đo nhiệt độ số vò trí giãng đường (gọi B tập hợp vò trí đó) từ 7.00 sáng đến 6.00 chiều ngày Gọi f(x,t) nhiệt độ vò trí x thời điểm t Lúc f ánh xạ từ B[7,18] vào tập [20,50] Thí dụ Tổng trò giá xuất Việt Nam tháng năm 2007 ánh xạ từ tập {1,2, , 12} vào tập [1,20] lấy đơn vò tỉ USD Nhưng ánh xạ coi từ {1,2, , 12} vào [16, 340] đơn vò tính tiền ngàn tỉ đồng Việt Nam GIAI TICH - CHUONG HAI 66 Ta mô hình ánh xạ qua đồ thò chúng Đònh nghóa Cho f ánh xạ từ tập hợp A vào tập hợp B Ta đặt  = {(x,y)  AB : y = f(x) } Ta gọi  đồ thò f f(x) f(2) f(1) GIAI TICH - CHUONG HAI 67 Để vẽ đđồ thị ánh xạ f từ khoảng [a,b] vào —, ta dùng Mathematica với lện Plot[f,{x,xmin,xmax}] Thí dụ Dùng lệnh Plot[Cos[x3+Sin [x]],{x,0,}] ta có đồ thò ánh xạ f(x) = cos(x3+sinx) khoảng [0, ] sau 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 -0.5 GIAI TICH - CHUONG HAI -1.0 68 Tuy nhiên có đồ thò ánh xạ thiết bò ghi vẽ từ đònh nghóa ánh xạ Hai đồ thò bên cạnh đòa chấn kế ghi lại gia tốc chuyển động mặt đất vò trí theo hướng bắc-nam đông-tây trận động đất Northridge Theo tư liệu Calif Dept of Mines and Geology GIAI TICH - CHUONG HAI 69 (“Stewart, Calculus- concepts and contexts” tr.15) Khi xe taxi , phải trả số tiền khởi đầu a khoảng tiền theo giá km Như giá tiền trung bình km chuyến Chúng ta mô hình toán sau : goi x số km chuyến b giá tiền km, t số tiền chuyến xe đó, y giá tiền trung bình km chuyến đó; ta có công thức sau t = a + bx t a  bx a y    b x x x GIAI TICH - CHUONG HAI 70 Như giá tiền trung bình y km làm ánh xạ tùy thuộc vào khoảng đường Dùng Mathematica ta có đồ thò y sau Plot[{7/x+6,6},{x,1,1000},AxesOrigin{1,5.99}] 13 Theo đồ thò này, giá 12 tiền trung 11 bình 10 km chuyến giãm dần theo độ xa chuyến GIAI TICH 12 - CHUONG3 HAI 71 Việc phân tích f thành hợp ánh xạ đơn giản hữu ích ta đưa toán phức tạp toán đơn giản, ta gặp vấn đề liên tục khả vi ánh xa phức tạpï GIAI TICH - CHUONG HAI 96 Trong túi có 10 viên bi có kính cở có màu sắc khác Chúng ta chọn ba viên bi túi theo hai cách sau : * Lấy lần ba viên bi ** Lấy viên bi, ghi màu sắc bỏ lại vào túi; lấy viên bi, ghi màu sắc bỏ lại vào túi; lấy thêm viên bi Chúng ta thấy khác biệt hai cách chọn : ta có ba viên bi khác cách thứ nhất, cách thứ hai có viên bi nhiều lần lấy bi từ túi GIAI TICH - CHUONG HAI 97 Ta thử mô hình toán học hai cách chọn Mô hình lần chọn tập hợp A = {1,2,3} viên bi tập hợp B = {1,2,3, ,10} Cách chọn thứ hai tương ứng với ánh xạ f từ A vào B Cách chọn thứ tương ứng với ánh xạ f từ A vào B có tính chất sau : f (x)  f(y) x  y Nếu xem người phức hợp thể chất, tinh thần yếu tố khác biến đổi theo thời gian t ký hiệu f(t), người ánh xạ từ khoảng [a, b] vào tập hợp B “con người tức thời” (một người thời điểm đó) Ánh xạ có tính chất GIAI TICH - CHUONG HAI 98 f (x)  f(y) x  y Đònh nghóa Cho X Y hai tập hợp khác trống, f ánh xạ từ X vào Y Ta nói f đơn ánh f(a)  f(b) a  b, f X f không đơn ánh Y f X Y f đơn ánh GIAI TICH - CHUONG HAI 99 D Chứng minh f đơn ánh Cho f ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y, để chứng minh f đơn ánh ta dùng phương pháp sau  Dùng đònh nghóa : cho x y X cho x  y, chứng minh f(x)  f(y) Thí dụ Cho f(x) = x3 với x — Chứng minh f đơn ánh Cho x y thuộc — cho x  y Ta có f(x) - f(y) = x3 - y3 = (x - y)(x2+ xy + y2) = = (x-y) [ (x2+ y2) + (x + y)2]/2 Vì x  y, ta có (x-y)  (x2+ y2) + (x + y)2 > GIAI TICH - CHUONG HAI 100 Vậy f(x) - f(y)  hay f(x)  f(y) Do f đơn ánh  Dùng đảo đề : cho x y X cho f(x) = f(y), chứng minh x = y Thí dụ Cho f(x) = x5 – x4 + 2x với x [1, ) Khảo sát đơn ánh f Ở ta chưa rõ phải chứng minh f đơn ánh hay phải chứng minh f không đơn ánh Chúng ta dùng máy tính để đònh hướng giải toán Ta dùng Mathematica để xác đònh (x,y) cho x5 – x + 2x = y5 - y+ 2y : ta vẽ đường mức (level curve 0) hàm số h(x,y) = x5 – x4 + 2x – y5 + y4 - 2y GIAI TICH - CHUONG HAI 101 Ta dùng Mathematica để xác đònh (x,y) cho x5-x4+2x = y5–y4+2y : ta vẽ đường mức (level curve 0) hàm số h(x,y) = x5 –x4 + 2x –y5 + y4 - 2y In[1]:= ContourPlot[x5 - x4 + 2x - y5 + y4 - 2y, x,-200,200,y,-200,200,Contours->0, PlotPoints-> 60, ContourShading->False] Out[1]:= -GraphicsVậy phương trình x5 – x4 + 2x = y5 - y4 + 2y có nghiệm x = y Từ ta vững lòng để cố gắng GIAI TICH - CHUONG HAI chứng minh f đơn ánh 102 Cho x y [1, ) cho f(x) = f(y) Ta chứng minh x = y Ta dùng Mathematica In[1]:= Factor[x5 - x4 + 2x - y5 + y4 - 2y ] Out[1]:=(-x+y) (-2+x3–x4+ x2y –x3y+xy2–x2y2+y3-xy3–y4 ) Vậy ta có = x5 - x4 + 2x - y5 + y4 - 2y =(-x+y) (-2+x3–x4+x2y –x3y + xy2 –x2y2 + y3 - xy3 – y4 ) = (x-y)[2+x3(x -1) + x2y(x -1) + xy2(x -1) + y3(x -1) + y4] Vì x y [1, ) nên [2 + x3(x-1) + x2y(x-1) + xy2(x-1) + y3(x-1) + y4] > Suy x = y f đơn ánh GIAI TICH - CHUONG HAI 103 Chứng minh f không đơn ánh Để chứng minh f không đơn ánh ta phải tìm x y A cho x  y f(x) = f(y) Thông thường ta đoán x y Nếu không thấy ngay, ta nên giải phương trình f(x) - f(y) = nên lưu ý : phương trình có nghiệm x = y, nên ta để ý f(x) - f(y) phân tách thành thừa số có (x - y) Thí dụ Cho f(x) = x2 + 2x + với x — Khảo sát đơn ánh f f(x) - f(y) = x2+ 2x - y2 - 2y = ( x2 - y2) + 2(x - y) = (x - y)(x + y + 2) GIAI TICH - CHUONG HAI 104 Từ ta thấy f(0) = f(-2) f không đơn ánh Thí dụ Cho f(x) = x4 + 2x3 với x — Khảo sát đơn ánh f Ta dùng Mathematica để đoán hướng giải toán sau In[1]:= Plot[x4 + 2x3, {x, -4, 4} ] Từ ta thấy f không đơn ánh.Tuy nhiên, ta nhìn đồ thò mà nói Ta tiếp tục dùng Mathematica sau In[2]:= Solve[x4 + 2x3 == 0, x] Out[2]:=  x -> -2 , x -> 0, x -> , x -> 0 Vậy phương trình x4+2x3= có hai nghiệm x = GIAI TICH - CHUONG HAI 105 x =-2, f(0)= f(-2)= f không đơn ánh Một công ty du lòch đònh hướng tìm tours du lòch thích hợp với số đối tượng có khả chi cho du lòch mức khác Các mức chi tiêu có đối tượng mà công ty lưu tâm mô hình B tập hợp số nguyên dương Các tours du lòch có giá tiền liệt kê B mô tập hợp A Vấn đề mô sau : f(x) giá tour x, ta phải tìm tập A cho với y B có x A cho f(x) = y GIAI TICH - CHUONG HAI 106 Đònh nghóa Cho X Y hai tập hợp khác trống, f ánh xạ từ X vào Y Ta nói f toàn ánh f(X) = Y, f X f không toàn ánh Y f X Y f toàn ánh GIAI TICH - CHUONG HAI 107 Trong thử nghiệm người ta quan sát số virus môi trường theo thời thời gian đònh trước Mặt khác muốn xác đònh thời điểm để số lượng virus môi trường đạt đến số lượng đònh trước Chúng ta mô hình việc sau, mô hình thời gian quan sát khoảng A = [c, d], số virus quan sát tập hợp B số nguyên dương {n0, n0 +1, , N} Việc quan sát số virus môi trường theo thời thời gian mô ánh xạ f từ A vào B Việc quan sát thời điểm có số lượng virus môi TICH mộ - CHUONG HAIh xạ g từ B vào A 108 trường mô hìnhGIAInhư t án Đònh nghóa Cho X Y hai tập hợp khác trống, f ánh xạ từ X vào Y Ta nói f song ánh f đơn ánh toàn ánh f X Y f song ánh GIAI TICH - CHUONG HAI 109 Đònh nghóa Cho f song ánh từ X vào Y Với y  Y ta có x  X cho f(x) = y, đặt g(y) = x Ta thấy g ánh xạ từ Y vào X có tính chất sau : gof (x) = x fog(y) = y với x  X với y  Y Ta nói g ánh xạ ngược f thường ký hiệu f -1 GIAI TICH - CHUONG HAI 110 [...]... nó tránh cho chúng ta khỏi2lầm lẫn các x 1 x 2 trong f(x) = 1  x và g(x) = ( thường người 4 1 x ta viết g như một hàm số theo x chứ không theo y ) Có thể dùng Mathematica để giải thí dụ trên như sau In [1] := f[x_] := Sqrt [ 12 + x2] 1 x In [2] := g[x_] := 4 1 x In[3]:= g[f[x]] -x Out[3] : 2 1  (1 + x ) 2 2 GIAI TICH 1 - CHUONG HAI 90 In [1] := f[x_] := Sqrt [1 + x2] 1 x In [2] := g[x_] := 4 1 x 2 In[3]:=... cho 2 1 y 2 f(x) = 1  x với mọi x trong X và g(y) = 1  y4 với mọi y trong Y Xác đònh gof 1  x 2 Ta Với mọi x trong X ta đặt y = f(x) = 2 1 y 1  ( 1  x 2 )2 có gof(x) = g[f(x)] =g(y) = = 4 2 4 2  y 1 1 ( 1 x )  x Vậy gof (x) = với mọi x trong X.89 GIAI TICH 1 - CHUONG HAI x  2x  2 4 2 2 1  x Việc đặt y = f(x) = mới xem rất tầm thường, nhưng nó giúp ta làm nhanh và ít sai trong tính toán. .. -x 2 Out[3] : 2 1  (1 + x ) 2 Trong In [1] và In [2] ta đònh nghóa f và g và trong In[3] ta ra lệnh tính gof (x) GIAI TICH 1 - CHUONG HAI 91 Nay để tính f og (x) bằng Mathematica, ta làm thêm phần trên như sau In[4]:= f[g[x]] (1  x ) Out[4]:= Sqrt [1 + 4 2 ] (1  x ) 2 2 In[5]:= Expand[%] 2 4 8 2  2 x  3 x  x Out[5]:= Sqrt[ ] 4 2 (1  x ) Vậy fog (x) = trong Y 2  2 x 2  3x 4  x 8 (1  x 4 )2 GIAI... + x8 GIAI TICH 1 - CHUONG HAI 86 4 g f + + x x f(x) = x2 g(x) = x2 + x4 + x 2 + x +x 2 x +x 4 fog(x) = (x2 + x4 )2 f y g 2 + 4 TICH 1 - CHUONG HAI og fGIAI 2 y2 + 4 2 (x + x ) 87 f(x) = x2 g(x) =x2+x4 gof(x)=x4+x8 fog(x) = (x2 + x4 )2 g + x f y 2 + x +x fo g 4 GIAI TICH 1 - CHUONG HAI 2 y2 + 4 2 (x + x ) 88 B Xác đònh ánh xạ hợp Để xác đònh ánh xạ hợp gof ta làm như sau : với mọi x trong X tính y = f(x),... (7  x 2 )4 3 GIAI TICH 1 - CHUONG HAI 3 3 3 4 93 C Phân tích ánh xạ thành các ánh xạ đơn giản Cho tập hợp con A trong — và một ánh xạ f từ A vào — Với mỗi x trong A ta tính cẩn thận f(x), từ đó suy ra cách phân tích f thành các ánh xạ đơn giản Thí dụ Cho f(x) = 1  x 2 với mọi x trong — Phân tích f thành các ánh xạ đơn giản Với mỗi x trong — quá trình tính f(x) như sau :  với x ta tính được x2 đặt... - 1)  0, vậy ta có thể chọn y = (x - 1) -1 , suy ra x  D Do đó —GIAI\ TICH 1 1- CHUONG  D HAI 75 D  — \ 1  Chứng minh “ x  D thì x  — \ 1 ” Chứng minh đảo đề “x  — \ 1  thì x  D” Ta chọn cách sau vì x  — \ 1  cho ta x =1 : bài toán đơn giản hơn Chứng minh “x =1 thì x  D” D = x  — : f(x) xác đònh duy nhất  Có duy nhất y sao cho y sao cho y = f (1) f(x) = y sao cho y(x - 1) = 1. .. và g là một ánh xạ từ Y vào Z Ta đặt h(x) = g(f(x)) với mọi x trong X Lúc đó h là một ánh xạ từ X vào Z và được gọi là ánh xạ hợp của f và g và được ký hiệu là gof GIAI TICH 1 - CHUONG HAI 83 f(x ) x X x f Y y g g( y) gof GIAI TICH 1 - CHUONG HAI g(f( x)) Z gof( x) 84 f(g(x)) g( x) GIAI TICH 1 - CHUONG HAI g(x) 85 g f + x f(x) = x2 x g(x) = x2 + x4 + 2 + x +x 2 gof(x) = x4 + x8 GIAI TICH 1 - CHUONG... một ánh xạ y tậ p hợ p ả nh 0 y = f(x) miề n xá c đònh GIAI TICH 1 - CHUONG HAI x 74 Nhiều khi chúng ta đònh nghóa một ánh xạ bằng một mệnh đề toán học, lúc đó chúng ta phải tìm miền xác đònh của f Bài toán 4 Với mọi số thực x ta đặt f(x) = y sao cho y(x - 1) = 1 Tìm miền xác đònh của f Đặt D = x  — : f(x) xác đònh duy nhất  Ta chứng minh D = — \ 1  — \ 1   D D  — \ 1  Nếu x  — \ 1 ,... quá trình tính f(x) như sau :  với x ta tính được x2 đặt g(x) = x2,  với z = x2 ta tính được 1+ x2 =1+ z : đặt h(z) = 1 + z, 2 2  với w = 1 + x ta tính được 1  x  w : đặt u(w) = w f(x) = u(h(g(x))) với mọi x trong — hay f = uohog GIAI TICH 1 - CHUONG HAI 94 Thí dụ Cho f(x) = sin(3x + cosx) với mọi x trong — Phân tích f thành các ánh xạ đơn giản Với mỗi x trong — quá trình tính f(x) như sau : với... GIAI TICH 1 - CHUONG HAI với mọi x 92 Thí dụ Cho X = Y = Z = —, f(x) = x 4  6 x 3  15 x  8 3 và g(x) = x  4 x  5 với mọi x trong — Tính 2 x 7 fog Bài này có số lượng tính toán khá lớn ta nên dùng máy tính, ở đây ta dùng Mathematica In [1] := f[x_] := x4 + 6x3 - 15 x + 8 3 x  4x  5 In [2] := g[x_] := 2 x 7 In[3]:= f[g[x]] 15 (5  4 x  x ) 6(5  4 x  x ) (5  4 x  x ) Out[3] : 8    2 2 3 7 x