Giải Tích 1 - Chương 2 - Ứng dụng đạo hàm

Giải Tích 1 - Chương 2 - Ứng dụng đạo hàm - ĐH BK TP HCM - Toán học ứng dụng

1 Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Giải tích 1 Chương 2: Ứng dụng Đạo hàm • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn 2 Nội dung 1 – Taylor Maclaurint. 2 – Qui tắc Lôpital. 3 – Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số. 3 Định lý 1 Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: 0 0 ' ' ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x g x g x → → = II. Qui tắc Lôpital 1) Xác định trong lân cận của điểm x 0 và . 0 0 ( ) ( ) f x g x = 2) Tồn tại đạo hàm hữu hạn ' ' 0 0 ( ), ( ) 0. f x g x ≠ Khi đó: 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) ( ) x x x x f x f x x x f x g x g x g x x x → → − − = − − 0 ' ' ( ) lim ( ) x x f x g x → = 4 Định lý 2 (Qui tắc Lôpital ) Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: II. Qui tắc Lôpital 1) Khả vi trong khoảng (a,b). 2) ' ( , ): ( ) 0. x a b g x ∀ ∈ ≠ 3) Tồn tại lim ( ) lim ( ) 0 x a x a f x g x → → = = 4) Tồn tại hữu hạn hay vô hạn. ' ' ( ) lim ( ) x a f x g x → ' ' ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x a x a f x f x g x g x → → = Khi đó tồn tại và ( ) lim ( ) x a f x g x → 0 0 5 Chứng minh II. Qui tắc Lôpital 6 Định lý 2 (Qui tắc Lôpital ) Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: II. Qui tắc Lôpital 1) Khả vi trong khoảng (a,b). 2) ' ( , ): ( ) 0. x a b g x ∀ ∈ ≠ 3) Tồn tại lim ( ) lim ( ) x a x a f x g x → → = = ∞ 4) Tồn tại hữu hạn hay vô hạn. ' ' ( ) lim ( ) x a f x g x → ' ' ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x a x a f x f x g x g x → → = Khi đó tồn tại và ( ) lim ( ) x a f x g x → ∞ ∞ 7 Chứng minh II. Qui tắc Lôpital 8 II. Qui tắc Lôpital Dạng vô định: 0 ⋅∞ 0 0 , 1 , , 0 ∞ ∞ − ∞ ∞ Các dạng vô định: Các dạng vô định trên đều đưa về dạng vô định 0. ∞ 0 f g →   → ∞  1/ f f g g ⇒ ⋅ = dạng 0 0 1/ f f g g ⇒ ⋅ = dạng ∞ ∞ 9 Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 1) Tìm miền xác định, tính chẵn, lẻ, tuần hoàn. 2) Tìm đạo hàm cấp 1: ' ( ) y x 3) Tìm đạo hàm cấp hai '' ( ) y x 4) Tìm tiệm cận. Khảo sát khi x ra vô cùng. 5) Lập bảng biến thiên. 6) Tìm điểm đặc biệt, vẽ. III. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 10 ( ) y f x = Ví dụ. Tìm cực trị của hàm cho bởi p/trình tham số 3 3 2 2 2 2 , 1 1 t t t x y t t − = = + + 2 2 ' 2 2 ( 3) ( ) 0 ( 1) t t x t t + = > + ( ) 0 t ∀ ≠ ' ' ' ( ) ( ) ( ) y t y x x t ⇒ = 2 2 ( 1)( 4) ( 3) t t t t t − + − = + ' ( ) 0 1 y x t = ⇔ = Tồn tại hai điểm tới hạn: 1 0 ( 0); ( 1) 2 x t x t = = = = đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 0: hàm đạt cực đại tại x = 0. ' ( ) y x đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 1/2: hàm đạt cực tiểu tại x = 1/2. ' ( ) y x [...]... xx 1 16) lim x 1 ln x − x + 1 0 e −e 11 ) lim x →0 sin x − x sin x e 1 3 1/ 2 18 ) lim ( tan x ) tan 2 x e 1 x →π / 4 πx   19 ) lim  tan  x →∞  2x +1  1/ x 1/ x 2  arcsin x  20 ) lim   x →0  x  1 e 35 II Kh o sát và v đ th các hàm sau 1) x = t 3 + 2t 2 + t , y = 2 + 3t − t 3 2) x = t − 3π , y = t − 6arctan t 3 3 t3 t 3 − 2t 2 3) x = ,y= 2 1+ t 1+ t2 t2 t 2 1 7) x = ,y= t 1 t t2 t2 +1 8)... 8) lim x1/ ln(sinh x ) + 4) lim + x 1 arctan( x − 1) x + x 2 2 0 tan x − x 0 x →0 arcsin x − ln (1 + x ) 5) lim tan x x →0 1 e x →0 ( e 1/ 2 ) 9) lim x x − 1 ln x + 0 ( 3 x →0 10 ) lim 3 x + 3 x →+∞ 2 ) x 1/ x 34 1 2 1 1 1  17 ) lim  −  x →0 x  tanh x tan x  2 3 x n − x3 12 ) lim x e x →+∞ 1  1 13) lim  −  x →0  x arcsin x  0 1 1   14 ) lim  − 2 x 1+  x arctan x x  1/ x 2 15 ) lim (... t ) 2 ' x ' (t ) = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = 2 t 2 (2t − 3) 2 y ' (t ) = = 0 ⇔ t = 0∨t = 3 8(t − 1) 2 Đi m đ c bi t: 20 t 2 (2t − 3) y (t ) = 8(t − 1) 2 t (2 − t ) x (t ) = 4 (1 − t ) 2 ' ' t x ' (t ) −∞ 0 − 0 1 + +∞ + − 0 − − +∞ y (t ) + 0 0 −∞ + + +∞ 0 −∞ − 1 −9 / 8 −∞ 0 +∞ 2 +∞ x(t ) y ' (t ) 3/ 2 +∞ 27 / 32 1 21 Cách tìm ti m c n t2 t3 x= ,y= 4 (1 − t ) 8(t − 1) t →t0 →∞ 1) Tìm nh ng đi m t0 : x(t )  Ki... 2t 2 3) x = ,y= 2 1+ t 1+ t2 t2 t 2 1 7) x = ,y= t 1 t t2 t2 +1 8) x = 2 , y = t +2 t 1 1 1 9) x = ,y= 2 t −t t − t3 4) x = t − sin t , y = 1 − cos t 10 ) x = et − t , y = e 2t − 2t 5) x = cos t + ln tan(t / 2) , y = sin t et 2 t 11 ) x = , y = ( t − 1) e t  x = 2cos t − cos 2t 12 )   y = 2sin t − sin 2t t2 +1 t3 +1 6) x = ,y= 2 t t 36 ... n: lim ϕ = 1 ⇒ r = 1 là đư ng tròn ti m c n ϕ +1 ϕ   x = r cos ϕ = ϕ + 1 cos ϕ    y = r sin ϕ = ϕ sin ϕ  ϕ +1  ϕ →∞ Ti m c n xiên: 1 y = − ( tan1) x − cos1 32 1 ϕ −∞ + r' + +∞ r 1 +∞ 1 −∞ 33 I Tính gi i h n (s d ng qui t c Lôpital) ln (1 + x) − x x →0 tan 2 x 1/ x 1) lim 1 2  (1 + x )1/ x  6) lim   x →0 e   ln(tan x) 2) lim x →π / 4 cot 2 x 1 7) lim ( arcsin x ) + x arcsin x 2 3) lim x... t 2 , y = t 3 − 3t x ' (t ) = 2t x ' (t ) = 0 ⇔ t = 0 y ' (t ) = 3t 2 − 3 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 1 Ti m c n xiên: không có 17 x ' (t ) = 2t t x ' (t ) −∞ 1 − 3 − y ' (t ) = 3t 2 − 3 − 0 − 0 + + + +∞ +∞ 3 x(t ) + y ' (t ) 1 + 0 1 0 − 3 − 0 + + +∞ 2 y (t ) +∞ 3 1 −∞ 0 0 2 0 18 19 Ví d Kh o sát v đ th hàm y = y( x) cho b i p/trình tham s t2 t3 x= ,y= 4 (1 − t ) 8(t − 1) t (2 − t ) x (t ) = 4 (1 − t ) 2 '... = cos2ϕ T =π Ch c n kh o sát trong đo n [ −π / 2, π / 2] Hàm ch n nên c n kh o sát trong đo n r ' (ϕ ) = −2sin 2 r ' (ϕ ) ≤ 0, ∀ϕ ∈ [ 0, π / 2] Hàm không có ti m c n ϕ r − ' r 1 π /2 π /4 0 [0,π / 2] 0 0 − 1 29 L y đ i x ng qua tr c Ox: quay quanh g c O m t góc π 30 Hình trên: y = cos 2 x Hình dư i: r = cos 2 31 Ví d ϕ Kh o sát, v đ th r = ϕ +1 Mi n xác đ nh: R \ { 1} r ' (ϕ ) = 1 (ϕ + 1) 2 >0... g c O 26 Ví d Kh o sát v đ th hàm cho trong t a đ c c r = 1 + sinϕ Hàm tu n hoàn v i chu kỳ T = 2 Ch c n kh o sát trong đo n [ 0, 2 ] r ' (ϕ ) = cos ϕ r ' (ϕ ) = 0 ⇔ ϕ = π / 2 ∨ 3π / 2 Hàm không có ti m c n ϕ 0 π π /2 + r' 0 − − 0 2 r 1 2 3π / 2 + 1 1 0 27 Xoay hình đã v xung quanh g c O m t góc 2 đ n khi đ n khi không sinh ra hình m i, đư c đ th trên toàn MXĐ 28 Ví d Kh o sát v đ th hàm cho... a hàm f ( x)   a = xlim x →∞ Ti m c n xiên:  b = lim ( f ( x) − ax ) x →∞  ⇒ y = ax + b là ti m c n xiên N u a = 0, thì y = b là ti m c n ngang 12 Ví d Tìm ti m c n c a đ th arctan 2 x y= x (1 − x) Ti m c n đ ng: có hai đi m gián đo n x = 0 và x = 1 arctan 2 x lim =2 x →0 x (1 − x ) x = 0 không là ti m c n đ ng arctan 2 x lim =∞ x 1 x (1 − x ) x = 1 là ti m c n đ ng arctan 2 x lim =0 x →∞ x (1. .. c t →t0 →∞ 2) Tìm nh ng đi m t0 : y (t )  Ki m tra có ph i là ti m c n ngang b ng công th c t →t0 →∞ 3) Tìm nh ng đi m t0 : x(t ) & y (t )  Ki m tra có ph i là ti m c n xiên b ng công th c −x 1 + K t lu n: hàm đã cho có m t ti m c n xiên: y = 2 8 22 23 24 Các bư c v đư ng cong trong to đ c c r = r (ϕ ) 1) Tìm mi n xác đ nh, tính tu n hoàn, ch n (đ th đ i x ng qua Ox, l : qua Oy) N u hàm tu n hoàn . hàm số 10 ( ) y f x = Ví dụ. Tìm cực trị của hàm cho bởi p/trình tham số 3 3 2 2 2 2 , 1 1 t t t x y t t − = = + + 2 2 ' 2 2 ( 3) ( ) 0 ( 1) t t x. 0 arctan2 lim 2 (1 ) x x x x → = − x = 1 là tiệm cận đứng. 1 arctan2 lim (1 ) x x x x → = ∞ − y = 0 là tiệm cận ngang. arctan2 lim 0 (1 ) x x x x →∞ = − 14