Giải Tích 1 - Chương 1 - Giới Hạn Hàm Số - ĐH BK thành phố Hồ Chí Minh
1 Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Giải tích 1 Chương 1: Giới hạn và liên tục (tiếp theo) • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn 2 Nội dung I.2 – Giới hạn của hàm số – Hàm số. – Giới hạn của hàm số. – Vô cùng bé, Vô cùng lớn. 3 Định nghĩa (hàm hợp) Cho hai hàm . : ; : g X Y f Y Z → → Khi đó tồn tại hàm hợp . : f g X Z → o ( ( )) h f g f g x = = o Ví dụ. 2 ( ) 3; ( ) g x x f x x = − = ( ) 2 ( ) ( ( ) ( 3) 3 f g x f g x f x x ⇒ = = − = − o 2 2 ( ) ( ( )) ( ) 3 g f x g f x g x x ⇒ = = = − o 1. Hàm số 4 4 ) ( ) 2 2 a f g x x x = − = − o ( ,2 ] f g D ⇒ = −∞ o ) ( ) 2 b g f x x = −o [ ] 0,4 g f D ⇒ = o 4 ) ( ) c f f x x =o [ ) 0, f f D ⇒ = +∞ o ) ( ) 2 2 d g g x x = − − o [ ] 2,2 g g D ⇒ = − o Cho . Tìm các hàm sau và miền Ví dụ. ( ) ; ( ) 2 f x x g x x = = − ) ; ; ; . b) c) d) a f g g f f f g g o o o o xác định của nó: 5 Đầu vào Đầu ra 6 Hàm y = f(x) là hàm 1 – 1 khi và chỉ khi không tồn tại đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm. Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1 – 1, nếu Định nghĩa (hàm 1 – 1) thì . 1 2 f x x D ∀ ≠ ∈ 1 2 ( ) ( ) f x f x ≠ 7 Hàm 1 – 1 Ví dụ. Không là hàm 1 – 1 8 ký hiệu , xác định bởi . Hàm ngược của y = f(x) là hàm từ E vào D, Cho y = f(x) là hàm 1 – 1 với miền xác định D và miền Định nghĩa (hàm ngược) giá trị E. 1 ( ) x f y − = 1 ( ) ( ) x f y y f x − = ⇔ = 9 Vì , nên (a,b) thuộc đồ thị y = f(x) Chú ý: khi và chỉ khi (b,a) thuộc đồ thị của . 1 f − 1 ( ) ( ) a f b b f a − = ⇔ = 10 Đồ thị y = f(x) và đồ thị của đối xứng nhau qua qua đường thẳng y = x. 1 f − Ví dụ. Vẽ đồ thị của 1 y x = − − Vẽ đồ thị của và đồ thị hàm ngược. [...]... 1 lim 1 + = e x →+∞ x x 1 lim 1 + = e x →−∞ x 1 x lim (1 + x ) = e x →0 35 Các gi i h n cơ b n thư ng g p khi x → 0 sin x 1) lim =1 x →0 x ex 1 2) lim =1 x →0 x 1 − cos x 1 3) lim = 2 x →0 x 2 ln (1 + x) 4) lim =1 x →0 x (1 + x)α − 1 5) lim =α x →0 x arctan x 6) lim =1 x →0 x arcsin x 7) lim =1 x →0 x tan x 8) lim =1 x →0 x 9) lim (1 + x ) x →0 1/ x 10 ) lim (1 − x ) x →0 1/ x =e 1. .. nghĩa (hàm lư ng giác ngư c) Xét hàm lư ng giác y = sin x - π Trên đo n , , y = sin x là hàm 1 – 1 2 2 T n t i hàm ngư c, ký hi u y = arcsin x 11 Đ nh nghĩa (hàm lư ng giác ngư c) Xét hàm lư ng giác y = cos x Trên đo n [0,π ] , y = cos x là hàm 1 – 1 T n t i hàm ngư c, ký hi u y = arccos x 12 Hàm arcsin x Mi n xác đ nh: [ -1 , 1] Mi n giá tr : - π 2 ,2 Hàm luôn luôn tăng Hàm arccos... arccos x Mi n xác đ nh: [ -1 , 1] Mi n giá tr : [0,π ] Hàm luôn luôn gi m 13 Đ nh nghĩa (hàm lư ng giác ngư c) Xét hàm lư ng giác y = tanx π π Trên kho ng − , , y = tan x là hàm 1 – 1 2 2 T n t i hàm ngư c, ký hi u y = arctanx 14 Đ nh nghĩa (hàm lư ng giác ngư c) Xét hàm lư ng giác y = cot x Trên kho ng ( 0,π ) , y = cot x là hàm 1 – 1 T n t i hàm ngư c, ký hi u y = arccot x 15 Hàm arctan x Mi n xác... giá tr : - π , 2 2 Hàm luôn luôn tăng Hàm arccotan x Mi n xác đ nh: R Mi n giá tr : ( 0,π ) Hàm luôn luôn gi m 16 Đ nh nghĩa (hàm Hyperbolic) sin hyperbolic cos hyperbolic tan hyperbolic cotan hyperbolic e x − e− x sinh( x) = 2 e x + e− x cosh( x) = 2 sinh( x) tanh( x) = cosh( x) cosh( x) coth( x) = sinh( x) 17 Hàm y = cosh( x) Hàm y = sinh( x) 18 Hàm y = tanh( x) Hàm y = coth( x) 19 Có các... 2 a + sin 2 a = 1 cosh 2 a + i 2 sin 2 a = 1 ⇒ cosh 2 a − sinh 2 a = 1 21 Hàm cho b i phương trình tham s Cho hai hàm x = x(t), y = y(t) xác đ nh trong m t lân c n V nào đó c a đi m t0 Gi s t n t i hàm ngư c c a m t trong hai hàm trên, gi s c a x = x(t) là t = t(x) Khi đó t n t i hàm y = y(t(x)) và hàm này đư c g i là hàm cho b i phương trình tham s : x = x(t) và y = y(t) 22 Ví d Hàm y = y(x) cho... dãy ( xn ),( xn ) → x0 mà hàm ' f ( xn ), f ( xn ) h i t v hai s khác nhau thì hàm không có gi i h n 31 2 Gi i h n c a hàm s Ví d Ch ng t không t n t i gi i h n limsin 1 x →0 x 1 n →∞ Ch n dãy xn = 0 ⇒ f ( xn ) = sin 2nπ = 0 → 0 → 2nπ Ch n dãy , xn = 1 n →∞ 0 → 2nπ + π / 2 π ⇒ f ( xn ) = sin(2nπ + ) = 1 → 1 2 Suy ra không t n t i gi i h n 32 Tính ch t c a gi i h n hàm s lim f ( x) = a, lim... x2 a2 + y2 b2 = 1 là 24 2 Gi i h n c a hàm s Đ nh nghĩa Cho D là t p s th c Đi m x0 đư c g i là đi m t c a t p D n u trong m i kho ng ( x0 − ε , x0 + ε ) đ u ch a vô s các ph n t c a t p D Ví d D = (0 ,1) Đi m t c a D là [0 ,1] 1 D = ,n∈ N D có duy nh t m t đi m t là 0 n n +1 , n ∈ N D có hai đi m t -1 và 1 D = ( 1) n n+2 25 2 Gi i h n c a hàm s Đ nh nghĩa (ngôn ng ε −δ ) Cho x0... = 2cos t (1) y = 3sin t x 2 = cos t (1) ⇔ y = sin t 3 x2 y2 ⇒ + =1 4 9 Đây chính là phương trình c a ellipse 23 Ví d Phương trình tham s c a đư ng tròn tâm O bán kính R: x = R cos t y = R sin t x − a = R cos t y − b = R sin t Phương trình tham s c a đư ng tròn tâm (a,b) bán kính R: Phương trình tham s c a ellipse x = a cos t y = b sin t x2 a2 + y2 b2 = 1 là 24 2 Gi... nh lim f ( x) = a x → x0 ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D f , x − x0 < δ ⇒| f ( x) − a |< ε Chú ý: Trong đ nh nghĩa không đòi h i là f(x) ph i xác đ nh t i x0 Ví d lim x →0 1 − cos x x2 1 = 2 m c dù hàm không xác đ nh t i x = 0 26 2 Gi i h n c a hàm s Đ nh nghĩa lim f ( x) = a x →+∞ ⇔ ∀ε > 0 ∃A > 0 ∀x ∈ D f , x > A ⇒| f ( x) − a |< ε Đ nh nghĩa lim f ( x) = a x →−∞ ⇔ ∀ε > 0 ∃B < 0 ∀x ∈ D f , x < B ⇒| f ( x)... sinh( x) tanh( x) = cosh( x) cosh( x) coth( x) = sinh( x) 17 Hàm y = cosh( x) Hàm y = sinh( x) 18 Hàm y = tanh( x) Hàm y = coth( x) 19 Có các công th c sau (tương t công th c lư ng giác) 1) cosh 2 (a ) − sinh 2 (a ) = 1 2) sinh(2a ) = 2sinh(a) cosh(a ); cosh(2a ) = cosh 2 (a ) + sinh 2 (a ) 3) cosh(a + b) = cosh(a )cosh(b) + sinh(a )sinh(b) 4) cosh(a − b) = cosh(a )cosh(b) − sinh(a )sinh(b) 5) sinh(a . – 1, nếu Định nghĩa (hàm 1 – 1) thì . 1 2 f x x D ∀ ≠ ∈ 1 2 ( ) ( ) f x f x ≠ 7 Hàm 1 – 1 Ví dụ. Không là hàm 1 – 1 8 ký hiệu , xác định bởi hàm 1 – 1 khi và chỉ khi không tồn tại đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm. Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1 – 1, nếu Định nghĩa (hàm 1