Bài giảng giải tích 11 chương 4 giới hạn của dãy số

LUYỆN THI VÀ GIA SƯ CHẤT LƯỢNG CAO MƠN TỐN SĐT: 01234332133 ĐC: Phòng 5, dãy 22 Tập thể xã tắc.TP HUẾ Biên soạn: Ths Trần Đình Cư Bài giảng Giải tích11 Chương IV TÀI LIỆU THÂN TẶNG CÁC EM HỌC SINH LỚP TỐN 11-THẦY CƯ HUẾ, NGÀY 4/1/2017 Bài giảng Giải tích 11 Chương IV: Giới hạn hàm số Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế MỤC LỤC CHƯƠNG IV GIỚI HẠN .2 BÀI GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ .2 Dạng Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn dãy số Dạng Sử dụng định lí để tìm giới hạn dãy số .4 Dạng Sử dụng giới hạn đặc biệt định lý để giải tốn tìm giới hạn dãy Dạng Sử dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn, tìm giới hạn, biểu thị số thập phân vơ hạn tuần hồn thành phân số Dạng Tìm giới hạn vơ dãy định nghĩa Dạng Tìm giới hạn dãy cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vơ cực 10 MỘT SỐ DẠNG TỐN NÂNG CAO {Tham khảo} .12 BÀI GIỚI HẠN HÀM SỐ 20 Dạng Dùng định nghĩa để tìm giới hạn 23 Dạng Tìm giới hạn hàm số cơng thức 26 Dạng Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn bên .27 Dạng Sử dụng định lý cơng thức tìm giới hạn bên 27 Dạng Tính giới hạn vơ cực 29 Dạng Tìm giới hạn hàm số thuộc dạng vơ định Dạng Dạng vơ định 29  31  Dạng Dạng vơ định   ;0. .32 MỘT SỐ DẠNG TỐN NÂNG CAO {Tham khảo} .35 BÀI HÀM SỐ LIÊN TỤC 38 Dạng Xét tính liên tục hàm số f(x) điểm x0 38 Dạng Xét tính liên tục hàm số điểm 41 Dạng Xét tính liên tục hàm số khoảng K .43 Dạng Tìm điểm gián đoạn hàm số f(x) .45 Dạng Chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm 45 MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo} 51 ƠN TẬP CHƯƠNG 53 Bài giảng Giải tích 11 Chương IV: Giới hạn hàm số Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế CHƯƠNG IV GIỚI HẠN BÀI GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa dãy số có giới hạn Dãy (un ) có giới hạn n dần đến dương vơ cực, số dương bé tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, |un| nhỏ số dương Kí hiệu: lim  un   hay lim un  un  lim un     0, n0  , n  n0  un   (Kí hiệu "lim un  0" viết "lim un  0" , đọc dãy số (un ) có giới hạn n dần đến dương vơ n cực) Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy   có giới hạn a) Dãy số (un ) có giới hạn dãy số un b) Dãy số khơng đổi (un ) , với un  có giới hạn Các định lí * Định lí 1: Cho hai dãy số  un    Nếu un  với n lim  lim un  * Định lí 2: Nếu q  lim qn  Định nghĩa dãy có giới hạn hữu hạn * Định nghĩa 1: Ta nói dãy (vn ) có giới hạn số L ( hay v n dần tới L) lim v n  L   n Kí hiệu: lim  L hay  L Ngồi ta có thêm định nghĩa sau (Ngơn ngữ  ): lim  L    0, n0  , n  n   L   Một số định lí * Định lí 1: Giả sử lim un  L Khi  lim un  L lim un  L  Nếu un  với n L  lim un  L * Định lí 2: Giả sử lim un  L lim  M  0, c số Ta có: lim  un    a  b; lim  cun   cL; lim un  lim un lim ; lim un  lim un a  ; lim b Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn  Cấp số nhân lùi vơ hạn cấp số nhân vơ hạn có cơng bội q thỗ mãn q   Cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: S  u1  u2   un   u1 1 q Dãy có giới hạn  Định nghĩa: Ta nói dãy số (un ) có giới hạn  , với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Bài giảng Giải tích 11 Chương IV: Giới hạn hàm số Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Kí hiệu: lim un   hay un   lim un    M  0, n0  , n  n0  un  M Dãy có giới hạn  Định nghĩa: Ta nói dãy số (un ) có giới hạn  , với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số dương Kí hiệu: lim un   un   lim un    M  0, n0  , n  n0  un  M Chú ý: Các dãy số có giới hạn   gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay dần đến vơ cực Một vài quy tắc tính giới hạn vơ cực a)Nếu lim un  a lim   lim un 0 b)Nếu lim un  a  lim   với n lim Tương tự ta lập luận trường hợp lại c) Nếu lim un   lim  a  lim un   Tương tự ta lập luận trường hợp lại un   B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn dãy số Phương pháp: lim un  |un| nhỏ số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng trở Ví dụ Biết dãy số (un) thỗ mãn un  n 1 n2 với n Chứng minh lim un  Giải Đặt  n 1 n2 Ta có lim  lim n 1  Do đó, v n nhỏ số dương tùy ý kể từ số hạng trở (1) n2 Mặt khác, theo giả thiết ta có u n  v n  v n (2) Từ (1) (2) suy u n nhỏ số dương tùy ý kể từ số hạng trở đi, nghóa lim u n  Ví dụ Biết dãy số (un) có giới hạn Giải thích dãy số (vn) với vn=|un| có giới hạn Chiều ngược lại có khơng? Hướng dẫn Vì (un ) có giới hạn nên un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Mặt khác,  un  un Do đó, nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Vậy (un ) nhoe số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Vậy (vn ) có giới hạn (Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại đúng) n Ví dụ Vì dãy (un ) với un   1 khơng thể có giới hạn n   ? Bài giảng Giải tích 11 Chương IV: Giới hạn hàm số Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế sin n 0 n Hướng dẫn Ví dụ Sử dụng đỉnh nghĩa chứng minh lim Ta có sin n 1     n  ,n  Khi đó: n n  >0,n  : n  n  un    Vậy :lim un  un   Dạng Sử dụng định lí để tìm giới hạn dãy số Phương pháp: Ta dụng định lí và số giới hạn thường gặp   A   hay lim   n n   1  lim  ; lim  với k nguyên dương nk n  lim q n  q   lim Ví dụ a) Cho hai dãy số (un ) (vn ) Chứng minh lim  un  với n lim un  b) Áp dụng kết câu a) để tính giới hạn dãy số có số hạng tổng qt sau: n! d)un  (0,99)n cosn a) un  (1) 2n  e) un  5n  cos n  b) un  c) un   n(1)n  2n2 Ví dụ Tình giới hạn sau: a) lim 3n 1  2n 1 3n  2n ; b)lim 5n  5n  ; c)lim 4.3n  7n 1 2.5n  7n n ;  2   3n d)lim n 1  2   3n1 Hướng dẫn đáp số: Sử dụng cơng thức lim q n  0, q  a) b)1 c)7 d) Dạng Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn Phương pháp: lim  a  lim   a   n n Ví dụ Sử dụng định nghĩa chứng minh lim 3n  3 n 1 Hướng dẫn 1 1     n  ; chọn n  ,n  Khi đó: n 1 n   >0,n  : n  n  un    Vậy :lim un  un    (1)n  Ví dụ Sử dụng định nghĩa chứng minh lim    1  n   Ví dụ Cho dãy (un) xác định bởi: un  a) Tìm số n cho un   3n  n 1 1000 Bài giảng Giải tích 11 Chương IV: Giới hạn hàm số Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế b) Chứng minh với n > 999 số hạng dãy (un) nằm khoảng (2,999;3,001) Hướng dẫn 1   n  999 n  1000 1 b) Khi n  999  un    3  un    2,999  un  3,001 1000 1000 1000 a) un   BTTT: Cho dãy (un) xác định bởi: un  2n  n2 100 b) Chứng minh với n > 2007 số hạng dãy (un) nằm khoảng (1,998;2,001) a) Tìm số n cho un   Dạng Sử dụng giới hạn đặc biệt định lý để giải tốn tìm giới hạn dãy Phương pháp A A   lim   ; lim    lim  n n vn  Ta thường sử dụng: lim  Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số mẫu số chứa luỹ thừa n chia tử mẫu cho nk với k mũ cao bậc mẫu  Nếu biểu thức chứa thức cần nhân lượng liên hiệp để đưa dạng AB lượng liên hiệp là: A  B A B lượng liên hiệp là: A  B A  B lượng liên hiệp là: A  B 3 A B lượng liên hiệp là:  A  B3 A  B2    3  2 A B lượng liên hiệp là:  A  B A  B    Ví dụ Tính lim 3n3  5n2  2n3  6n2  4n  Giải  n n3 lim  lim  2n3  6n2  4n  n    n n n3 3 3n3  5n2  Ví dụ Tính lim 2n2   5n  3n2 Giải lim 2n2   5n  3n2 1 2  n n n  lim  0 3 3 n2 Ví dụ Tính lim  n2   n2     Bài giảng Giải tích 11 Chương IV: Giới hạn hàm số Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Giải n2   n2  lim  n2   n2    lim  lim 0   n2   n2  n2   n2  Ví dụ Tính lim  n2  3n  n2    Giải 3n 3 lim  n2  3n  n2   lim  lim    n2  3n  n2 1  n BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Tính giới hạn sau: a)lim 4n2  n   2n b)lim Tổng quát: Tính giới hạn: lim n2  n    c)lim  n   n 1 2n   m m 1 a0 n  a1n   am 1n  am n  b0 n p  b1n p1   b p1n  b p  Xét p  m Hướng Dẫn:  Xét n  p Chia tử mẫu cho n p ,p bậc cao mẫu  Xét n  p  Tính giới hạn sau: 2  3n   n  1  2n  n2  d) lim e) lim  4n5 2n   n n      Đáp số: a)  b)0 c)   d)  e) 27 Bài Tính giới hạn: 2n4  n2  a)lim 2n2  n  3n2   n2  b)lim ; n ; b) 1 Bài Tính giới hạn sau: Đáp số: a) a)lim  n 1  n  c) lim n  2n2 ; d)lim 2n3  n n2 d) c)0 b)lim  n  3n  n     4n2   2n  e)lim n2  2n  n d)lim  n2  n  n    g) lim  n  n3  n     3n2  14  n c) l im  n3  2n  n    f)lim n  n   n     Hướng dẫn đáp số: Nhân lượng liên hiệp a)0 b) c)  d) e)1 f) g)3 Dạng Sử dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn, tìm giới hạn, biểu thị số thập phân vơ hạn tuần hồn thành phân số Phương pháp: Cấp số nhân lùi vơ hạn cấp số nhân vơ hạn có cơng bội |q|2  3x    Bài Tìm a để hàm số f(x)   x  ax   x  liên tục x  2x2  Bài Xét tính liên tục hàm số sau: f(x)  5 3x   x  x  x  Dạng Xét tính liên tục hàm số khoảng K Phương pháp Để xét tính liên tục xác định giá trị tham số để hàm số liên tục khoảng K, thực theo bước sau:  Bước 1: Xét tính liên tục hàm số khoảng đơn  Bước 2: Xét tính liên tục hàm số điểm giao  Bước 3: Kết luận I Các ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh hàm số sau liên tục R:  xcos x  f(x)   x2  Khi x  0 Giải Hàm số f(x) liên tục với x  Xét tính liên f(x) x=0 Ta có: 1 x.cos  x cos x x x2  1    x  x.cos  x  lim  x.cos   x  x x2   Mặt khác f(0)=0 Do đó, lim f(x)  f(0)  Hàm số liên tục x  x 0 Vậy hàm số liên tục toàn trục số Ví dụ Xét tính liên tục hàm số tồn trục số:  f(x)  x  x ax  x  x  Hướng dẫn Hàm số xác định với x Khi x 1 Hàm số liên tục Khi x =1  a=1: Hàm liên tục x=1 43 Bài giảng Giải tích 11 Chương IV: Giới hạn hàm số Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế  a  : Hàm số gián đoạn x=1 Kết luận:   a=1: Hàm số liên tục tồn trục số a  , hàm số liên tục  ;1 1;   gián đoạn x=1 II Bài tập rèn luyện  1 x  x  Bài Cho hàm số y  f(x)    x  Xét liên tục hàm số  2x nế u x   Hướng dẫn đáp số - Với x1 Hàm số liên tục - Xét x=1: Hàm số liên tục Vậy hàm số liên tục R Bài Xét tính liên tục hàm số sau tập xác đinh chúng:  1 x , x   b) g(x)   x  2   3 x    x2   , x  a) f(x)   x  2 x   Đáp số a) y=f(x) liên tục R b) y=g(x) liên tục  ;2   2;   gián đoạn x=2  x 1  Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số f(x)   x2  x  liên tục  0;  m x   Đáp số: m   Bài x2  x   a) Cho hàm số f(x)   x   x 3  x  -  x  Chứng minh hàm số liên tục khoảng  7;    1 b) Cho hàm số f(x)  ax  b  3 x   x  Tìm a b để hàm số liên tục, vẽ đồ thị hàm số x  Hướng dẫn a) x>2: hàm số liên tục khoảng  2;  -7[...]... lim x 4 3x  x  4 2 x2  1 ; x1 x  1 ; b) lim x2  5 c) lim x5  x  5 2 ; d) lim x 4 1 x  x  4 2 Đáp số 2 a)Ta có: lim  3  x   1  0 và lim  x  4   0 nên lim x 4 x 4 x2  1  ; x 1 x  1 b) lim c)  ; x 4 3x  x  4 2   d)   Ví dụ 4 Tính các giới hạn sau  x 3  b) lim  ; x 9  9x  x 2     3 a) lim x  2   ; x 0  x Đáp số: a)  3; b)  1 ; 54 1 x;...  1 1 x3  x 2  x  1 x 1 x 1 c) lim x x  2x  4 x 0 e)lim x 4  8x2  9 x 1 1  x  lim 3 x2  2x x 1 4 b) 3 c)2 3 Bài 2 Tìm các giới hạn của hàm số sau: a) Đáp số: a) lim x 2 d) lim 4  x2 b) lim x  7 3 x x2 x 5 x 5 e) lim a)  24 Đáp số: x5 1 5 e)  5 x 4  x 4 2 x 2 x5 1 x  3 1 x f) lim x 0 x c) lim x 5 x2  4 x 2 3 4x  1  3 d)  3x  2  2 b) 2 5 c) 1 3 d) 9 8 e) ... Tính giới hạn sau lim  4x2  x  2x  x   Giải: 31 Bài giảng Giải tích 11 Chương IV: Giới hạn hàm số Ths Trần Đình Cư SĐT: 012 343 32133 Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế  4x2  x  2x  4x2  x  2x     x    lim   2 lim  4x  x  2x   lim  x   x  x    4x2  x  2x   4x2  x  2x          1 1  lim  x  4 1  4 2 x II Bài tập rèn luyện... chặn trên  u1  0  un 1  3 Bài 2 Cho dãy truy hồi  Tìm giới hạn của dãy (n  2)  un  4 Hướng dẫn và đáp số u1  0 1 1 3  1   4 4 2 1 15 u2  1   16 4 n 1 1 un  1    4 u2  1 bằng phương pháp quy nạp chứng minh un  1    4   1 n 1  Vậy lim 1      1 n   4      n 1  u1  2  un 1  1 Bài 3 Cho dãy truy hồi  Chứng minh dãy (un) có giới... 1.2.3 2.3 .4 3 .4. 5 n(n  1) n  2     Hướng dẫn  1 1 1 1     k  k  1 k  2  2  k  k  1  k  1 k  2    1 1 1 1 1 1 Vậy:        1.2.3 2.3 .4 n  n  1 n  2  2  2  n  1 n  2    1   1 1 1 1 1 1 1   lim   Vậy lim       n   1.2.3 2.3 .4 3 .4. 5 n(n  1)  n  2   n 2  2  n  1 n  2   4  Sử dụng:   2  2   2  Ví dụ 4 Tính... sau: x x 1 a) lim x   x 2  x 1 4x2  1 d) lim ; x  3x  1 ; b) lim 3x(2x2  1) x   (5x  1)(x 2 e) lim x   2x) 2 x  3x  2x ; 3x  1 ; c) lim x f) lim x (x  1)2 (7x  2)2 (2x  1 )4 x2  x  2  3x  1 4x2  1  1  x Bài 4 Tính các giới hạn sau: 4x2  2x  1  2  x a) lim x   d) lim x 9x2  3x  2x 3 ; b) lim x  x2  2x  3  4x  1 4x2  1  2  x ; c) lim x x x3... Giải x2  4 0  0 x2 2x  2 4 x 1 3 1 1   ; x3 x  3 3  3 3 a)lim  2  x2  1  2  1  1  3  1; x1   b) lim c) lim Ví dụ 2 Tìm các giới hạn của hàm số sau x2  5 1  sin6 x  5cos6 x a) lim  x2  5  1 ; b) lim x3  5x2  10x  1 ; c) lim ; d) lim 4 4  x2  x 0 x1 x  5  x 1  sin x  cos x   2 Hướng dẫn và đáp số a) 2 b)  1 d) f(x)  c) 1  sin6 x  5cos6 x 4 4 1  sin... lim 5 2 ; x3  9 9x  x  1  4x 2  2x  1 ; x 1 x  2  khi x   : lim x  x  2  3x = 4 x  4x2  1  x  1 e)  ; 2 x  x  2  3x 2  khi x   : lim = x  4x2  1  x  1 3  x7  x  3 x 4  7x 2  x  5 e) lim ; x  3 x  13 x  f)  1 5 x 2  2x  3  4x  1 c) lim x  f) lim 4x2  1  2  x x 2  2x  3 x  3 x3  x  1 Đáp số: a)3; b)  32; c)5 khi x  ;  1 khi x... e)lim x4  8x2  9 Bài 6 Tính các giới hạn sau x3  2 1  a)lim   ; x1  x2  1 x  1  x3  8 ; c) lim x 4  x2  72 x2  2x  3 x3 x1992  x  2 x1 x1990 x2  x2  x 4 d)lim    x1  x2  5x  4 3(x 2  3x  2)     1 3  c) lim   ; x1 1  x 1  x3  Bài 7.Tính các giới hạn sau x  1  x2  x  1 x a) lim x 0 b) lim x 7 x3 2 c) lim 2 x2 x2 x2 49  x2 d) lim  3x  2 x2 4x... 0 x 1  2 3 c)  1 x 1 d) 7 24 e) 7 12 f)  11 12 g)  5 12 h) 3 2 2 Bài 4 Tính các giới hạn sau (x  h)3  x3 ; h0 h 2(x  h)3  2x3 d) lim ; h 0 h a) lim b) lim x3  a3 x  nx  n  1 x a e)lim x1 x2  (a  1)x  a n ; x 4  a4 ; x a x  a c) lim (x  1)2 Bài 5 Tính các giới hạn sau 30 Bài giảng Giải tích 11 Chương IV: Giới hạn hàm số Ths Trần Đình Cư SĐT: 012 343 32133 Luyện thi và gia sư chất