Bài giảng Giải tích 11 chương 4 bài 1 Giới hạn của dãy số

Chương IV: GIỚI HẠN

§1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài giảng tại lớp Tiết 49, 50, 51, 52

I/ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

 Câu hỏi 1 > Cho dãy số ( un ) với

 a/ Hãy viết dãy số dưới dạng khai triển :

 b/ Hãy biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số:

 Hãy tính các khoảng cách từ u4 ; u10 ; u100; u2008; …

đến 0

 Em có nhận xét gì về các khoảng cách này khi n trở

nên rất lớn ?

n

u n 1

, 2008

1 , ,

100

1 , ,

10

1 , , 5

1 , 4

1 , 3

1 , 2

1 ,

1

Câu hỏi 2: Bắt đầu từ số hạng thứ bao nhiêu thì

khoảng cách này nhỏ hơn 0,001; nhỏ hơn 0,00001 ?

 Vậy khi n lớn dần đến vô cùng thì khoảng cách

này tiến dần đến 0, hay ta nói rằng un dần đến 0

 Ta ký hiệu: un 0

 ĐỊNH NGHĨA 1: ( SGK )

 VÝ dô 1: Cho d·y sè (un) víi

 Chøng minh r»ng

  2

1

n u

n

n





0



ĐỊNH NGHĨA 2 (SGK)

 Ví dụ 2: Cho dãy số ( u n ) với

 Chứng minh rằng

 Một vài giới hạn đặc biệt:

/q/<1, c - const

2 3

1

6







n

n

un

2 2

3

1

6







n

n

c c

c

q b

n n

a

n

n n

k n

n

























lim )

0 lim

)

0

1 lim

; 0

1 lim )

II* ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

 ĐINH LÝ 1 :

a

a b

a

b a

b a

v a







































n

n n

n n

u lim

vµ

0 a

thi u

lim

vµ n

mäi víi

u NÕu

b)

) 0 b

Õu

lim(

/

lim

µ lim

Õu

0

N

( v

u lim

/

)

lim(

/

) lim(

/

)

: thi b

v a N

)

n n

n n

n n

n n

.v u

v u

b a

v u

u

CÁC VÍ DỤ:

 Tìm

mẫu cho n 2 thì:

2

2

1

3 lim

n

n

n





1 1

1 3

1

3

2 2

2











n

n n

n n

Làm thế nào để tìm được

giới hạn này ?

Em hãy cho biết kết quả tìm được của mình?

3 1

3 1

1 lim

1 3 lim 1

1 1

v 3

2

































































n

n n

n

2

2

3n lim n

Nª

n

1 lim

µ n

1 -3 lim cã

Ta

CÁC VÍ DỤ :

 Ví dụ 4:

 Tìm

n

n

2 1

4

1 lim

2





Có thể tìm được giới hạn

mà không phải dùng phép chia hay không? Nếu được, Hãy trình bày lời giải ?

1 2

2 2

1

4

1 lim

2 1

4

1 lim

2

2



































n n

n n

n

n

2n -1

4n

1 lim

cã

Ta

2

Bài tập vận dụng

 Bài tập 1 : Biết dãy số (un) thoả mãn:

Chứng minh rằng : lim un = 1

Lời giải :

Do đó | Wn| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý kể từ một số

hạng nào đó trở đi (1)

Mặt khác theo giả thiết

Từ (1) và (2) suy ra lim an = 0 Vậy lim un = 1 ( đpcm)

* N n

;  



1

n

u n

0

1 lim ,

1

.

1 1

2

2















n u

n u

n

n

n n

n n

limw v

cã

Ta

w

vµ v

Æt

§

(2) w

vn u n  1  n  w n

Bài tập 2: Tìm n n

n n

2 4

4 5

3 lim





Hướng dẫn học ở nhà:

 1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và định nghĩa 2 về

giới hạn 0 và giới hạn hữu hạn

 2/ Nhớ 3 giới hạn đặc biệt và thuộc các công thức

của định lý về giới hạn hữu hạn

 3/ Làm bài tập 1; bài 3 ( Các câu a, b, d ) trang 121

III/ TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

 1) Khái niệm:

,

2

1 , , 8

1 , 4

1

2 1

: sau sè

cÊp vÒ

xÐt nhËn

u nª H·y

*/ Dãy số là một cấp số nhân Vì sao?

*/ Công bội là q = 1/ 2, q < 1

*/ Dãy số là cấp số nhân vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn

có công bội q với / q / < 1

III/ TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

,

3

1 , ,

27

1 ,

9

1 ,

1



















n

3

1

1,-Dãy số sau đây có phải là cấp số nhân lùi vô hạn không?

Nếu phải hãy chỉ ra công bội của cấp số đó?

Hãy nêu công thức tính tổng S n của cấp số nhân

lùi vô hạn biết u 1 và Công bội q, với /q/ < 1

Tìm giới hạn của tổng S n khi n —> +∞ ?

Lời giải:

0

1 1

1 lim

1 1

*

1

1

1 1

1

1 1

1 2

1









































































n

n

n n

limq

limS

S : d¹ng vÒ

ViÕt

S ã

Do

q

u q

q

u q

u ra

Suy

q q

u q

u

q

q

u u

u u

n n

n n

c Ta

q

u u

u















1

2 1

Tæng S

Các ví dụ :

 Ví dụ 5: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn

(un), sau:

n

3

1



n

u Víi

2

1

, 8

1 , 4

1 , 2

1 , 1

1



























n

Víi 2/

Đáp số: S = 1/ 2 Đáp số: S = 2/ 3

IV/ GIỚI HẠN VÔ CỰC

 Câu hỏi 3: Cho dãy số tự nhiên un= n

 1/ Hãy kể một vài số hạng u2008 ?

 2/ Cho un là một số tự nhiên bất kỳ, có thể chỉ ra

được những số lớn hơn un không?

 3/ Hãy nêu nhận xét về dãy số vừa xét? Khoảng

cách giữa 0 và un như thế nào khi n —> +∞ ?

Định nghĩa về giới hạn vô cực: ( SGK )

Kí hiệu: limu n = +∞ hay u n —>+∞ khi n—>+∞

Limu n =-∞ hay u n —>-∞ khi n—>+∞

Nhận xét: limu n =+∞ <=> lim(-u n ) = -∞

2 Một vài ứng dụng

 2.2) Lim q n = +∞ nếu q>1

 Ví dụ 7:

 Ví dụ 8:

n

n

n.3

5

2n lim

: sau h¹n

giíi

ra suy

nµo thÕ

Lµm

lim3

vµ n

5 2

lim h¹n

giíi c¸c

TÝnh

















 2  5 n 2

n -lim TÝnh

Các định lý về giới hạn hữu hạn có còn đúng khi áp dụng

vào giới hạn vô cực không? Ta xét các ví dụ sau.

3/ Định lý:

































n

v a

c

a b

a

n n

n n

n

n n

n

n n

n

limu thi

limv

vµ limu

NÕu

v

u

lim

thi n

víi limv

vµ limu

NÕu

v

u lim thi

limv

vµ limu

NÕu

a)

0 )

0 0

)

0

Hướng dẫn học ở nhà:

 1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và định nghĩa 2 về

giới hạn 0 và giới hạn hữu hạn, và định nghĩa về giới hạn vô cực

 2/ Nhớ 5 giới hạn đặc biệt và thuộc các công thức

của định lý về giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực.

 3/ Làm bài tập 5,6,7,8 trang 122

 4/ Làm bài tập trong sách bài tập gồm bài 1.9,

1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14