Giáo án Giải tích 11 chương 4 bài 1: Giới hạn của dãy số Toán giải tích 11

Giáo án - Giải tích 11 Trần Chiến Cơng - Trường THPT Chu Văn Thịnh Chương IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I MỤC TIÊU BÀI DẠY: 1.Về kiến thức: - Biết khái niệm giới hạn hữu hạn dãy số thơng qua ví dụ nắm vài giới hạn đặc biệt - Biết định lí giới hạn hữu hạn 2.Về kỹ năng: 1 q n = 0, q 1 để tìm giới hạn số dãy số đơn giản - Tìm tổng cấp số nhân lùi vô hạn 3.Về thái độ, tư duy: - Hiểu giới hạn dãy số - Tự giác, tích cực học tập - Tư vấn đề toán học cách logic hệ thống II CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS Giáo viên: + SGK, TLHDGD, Giáo án + Một số câu hỏi, tập áp dụng Học sinh: + SGK, ghi, đồ dùng học tập + Chuẩn bị nhà III TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG: Ổn định tổ chức: 1’ - Nắm tình làm bài, học học sinh nhà Kiểm tra cũ: 5’ 2.1 Câu hỏi: Hãy nêu định lí giới hạn hữu hạn? 2.2 Đáp án: * Định lí giới hạn hữu hạn: a/ lim un = a lim = b lim(un + ) = a + b lim(un − ) = a − b u a lim(un ) = a.b lim n = b≠0 b b/ Nếu un ≥ với n lim un = a a ≥ lim un = a Dạy Hoạt động 1: III Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 10’ Hoạt động GV Hoạt động HS Ghi bảng * Yêu cầu học sinh * Nhắc lại khái niệm cấp * Cấp số nhân vô hạn (un) có cơng bội q, nhắc lại khái niệm cấp số nhân với q< gọi CSN lùi vơ hạn số nhân từ giáo viên * Ghi nhận khái niệm cấp * Cho cấp số nhân lùi vơ hạn (un) có cơng đưa khái niệm cấp số số nhân lùi vô hạn bội q Khi đó, nhân lùi vơ hạn cho * Lấy ví dụ: − qn u S = u + u + u + + u = n n học sinh nêu ví dụ: 1− q * Dẫn dắt đưa tới công * Cùng xây dựng cơng Giáo án - Giải tích 11 Trần Chiến Cơng - Trường THPT Chu Văn Thịnh thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn (un) Cho cấp số nhân lùi vơ hạn (un) có cơng bội q tính tổng Sn ? thức hướng dẫn  u  n u = −  ÷.q giáo viên 1− q 1− q  Sn = u1 + u2 + u3 + + Vì q< nên lim q n = Từ ta có: − qn un = u1 u  u  n u 1− q limSn = lim[ −  ÷.q ] = 1− q 1− q 1− q  u1  u1  n − = ÷.q Giới hạn gọi tổng cấp số 1− q 1− q  nhân lùi vô hạn (un) ký hiệu 2.Vớiq< Vì q< nên lim q n = S = u1 + u2 + u3 + + un + lim q n = ? limSn = lim[ u1 Như vậy: S = (q< 1) Tìm limSn u1 u1  u1  n 1− q − q ] = ÷ − q Ví dụ6: 1− q 1− q  a Tính tổng cấp số nhân lùi vô * Ghi nhận kiến thức hạn sau: (un ) với un = n * Tìm lời giải ví dụ 6: * Hướng dẫn HS giải ví b Tính tổng: dụ 6: a n −1 1 a  1 S = − + − + + − +  ÷  3 Hãy xác định số hạng u1 = , q = 27 3 đầu công bội cấp Giải: 1 1 số nhân cho? + + n a Vì un = nên u1 = , q = Do đó: S = + + Từ tính tổng? 27 3n 3 1 u1 1 1 u = = = S= + + + + n = = = 1− q 1− 27 1− q 1− 3 b b b Các số hạng tổng lập thành Hãy nhận xét Các số hạng tổng số hạng tổng S? lập thành CSN lùi vô CSN lùi vô hạn với u1 = 1, q = − Vậy: Từ tính tổng? n − 1 1 hạn với u1 = 1, q = − S = 1− + − + +  − ÷ +  3 27 u 1 = = = S = 1− + − + 1− q 1+ 27 n −1  1  3 +  − ÷ = + u1 = = 1− q 1+ Hoạt động 2: IV Giới hạn vô cực Định nghĩa 17’ Hoạt động GV Hoạt động HS Ghi bảng Giáo án - Giải tích 11 Yêu cầu HS thực nội dung hoạt động theo nhóm chia Theo dõi điều chỉnh trình làm việc theo nhóm học sinh * Nêu nhận xét: Ta nói dãy số (un ) gọi có giới hạn +∞ n dần vơ * Từ cho học sinh nêu định nghĩa Vấn đáp: lim un = +∞ lim(−un ) = ? * Nêu nhận xét * Cho học sinh tìm hiểu ví dụ SGK un = n lớn số dương kể từ số hạng dó trở un = n > 10000 kể từ số hạng thứ nào? un = n > 1030 kể từ số hạng nào? Hoạt động GV Giáo viên đưa giới hạn đặc biệt Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh Thực hđộng theo nhóm chia: Đáp án: a) Khi n tăng lên vô hạn un tăng lên vơ b) n > 364.1010 Nhận xét kết hoạt động nhóm * Chú ý lắng nghe * Phát biểu định nghĩa Đáp án: lim(−un ) = −∞ Ta nói dãy số (un) có giới hạn +∞ n → +∞, un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: limun = +∞ hay un → +∞ n → +∞ Dãy số (un) gọi có giới hạn -∞ n → +∞ lim(-un) = +∞ Kí hiệu: limun = ∞ hay un → -∞ n → +∞ Nhận xét: limun = +∞ ⇔ lim(-un) = - ∞ Ví dụ 7: (VD6 SGK) * Tìm hiểu ví dụ SGK un = n > 1000000 kể từ số hạng 1001 trở un = n > 1030 kể từ số hạng 1015 + trở Một vài giới hạn đặc biệt 3’ Hoạt động HS Ghi bảng k * Chú ý ghi nhận a/ limn = + ∞ với k nguyên dương b/ limqn = + ∞ q > Định lí 16’ Hoạt động GV Hoạt động HS * Cho học sinh đọc * Đọc định lí định lí SGK SGK ghi nhận kiến thức Ghi bảng un =0 a/ Nếu lim un = a, lim = ±∞ lim b/ Nếu lim un = a > 0, lim = 0, > với n Giáo án - Giải tích 11 Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh un = +∞ lim c/ Nếu lim un = +∞,lim = a,a > limunvn = +∞ * Yêu cầu HS thực theo nhóm (mỗi * Thực ví dụ bàn nhóm) ví theo nhóm: + Tìm lời giải dụ sau: + Đại diện nhóm 2n + 1) Tìm lim n trình bày kết n.3 + Nhận xét lời giải 2n − n 2) Tìm lim n +3 3) Tìm lim( − n + n − 1) Ví dụ 8: 2+ n + 1) lim = lim n n = n n.3 2− 2n − n n lim = lim = +∞ 2) 1 n2 + − n n3   4 3) lim(−n + 2n − 1) = lim  − n (1 − − )  = −∞ n n   Chọn kết (khác nhau) yêu cầu nhóm lại nhận xét * Củng cố : (2’) - Các định nghĩa định lí - Các giới hạn đặc biệt Hướng dẫn học làm tập nhà (1’) - Xem lại lí thuyết: - Làm tập sách giáo khoa trang 121 + 122 * Rút kinh nghiệm: …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… TIẾT 51: §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tiếp theo) I MỤC TIÊU BÀI DẠY: Giáo án - Giải tích 11 Trần Chiến Cơng - Trường THPT Chu Văn Thịnh 1.Về kiến thức: - Nắm vững khái niệm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực dãy số - Nắm định lí giới hạn giới hạn đặc biệt - Nắm vững khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn công thức tính tổng - Biết nhận dạng cấp số nhân lùi vô hạn 2.Về kỹ năng: - Biết vận dụng định lí giới hạn đặc biệt để tìm giới hạn số dãy số đơn giản - Tìm tổng cấp số nhân lùi vô hạn 3.Về thái độ, tư duy: - Hiểu giới hạn dãy số - Tự giác, tích cực học tập - Tư vấn đề toán học cách logic hệ thống II CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS Giáo viên: + SGK, TLHDGD, Giáo án + Một số câu hỏi, tập áp dụng Học sinh: + SGK, ghi, đồ dùng học tập + Chuẩn bị nhà III TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG: Ổn định tổ chức: 1’ - Nắm tình làm bài, học học sinh nhà Kiểm tra cũ: 6’ 2.1 Câu hỏi: Hãy nêu định nghĩa giới hạn hữu hạn công thức xác định tổng cấp số nhân lùi vô hạn? 2.2 Đáp án: * Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn n dần tới dương vô cực, un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở un = hay un → n → +∞ Kí hiệu: lim x →∞ * Định nghĩa 2: Ta nói dãy số (vn) có giới hạn số a (hay dần tới a) n → +∞, lim (vn − a) = x →+∞ = a hay → a n → +∞ Kí hiệu: xlim →+∞ * Tổng cấp số nhân lùi vô hạn (un) với số hạng đầu u1 công bội q: u S= (q< 1) 1− q Dạy Hoạt động 1: Bài tập (SGK-121) 10’ Hoạt động GV Hoạt động HS * Gọi học sinh đọc * Đọc đề tốn Ghi bảng a) Ta có: Giáo án - Giải tích 11 đề tốn * Hướng dẫn HS tìm lời giải: Hãy xác định u1, u2, u3, từ suy cơng thức un ? Trần Chiến Cơng - Trường THPT Chu Văn Thịnh * Tìm lời giải toán hướng dẫn giáo viên Ta có: 1 u1 = , u2 = = , 1 u3 = = , Từ suy ra: u4 = n 2 Để chứng minh dãy số (un) Hãy nêu cách chứng minh dãy số có giới hạn 0? Từ áp dụng vào tốn? ( GV cho HS áp dụng giới hạn đặc biệt vào CM tốn) có giới hạn ta chứng minh |un| nhỏ số dương bất kì, kể từ số hạng Chẳng hạn: 1 un = n = n < 0,000001 2 1 hay un = n < 1000000 với n thoả mãn 2n >100000 hay n > 20 (vì 220 = 1048576) Hoặc: Áp dụng giới hạn đặc biệt lim q n = 0, q < ta có: 1 u1 = , u2 = = , u3 = 1 = , 23 2n B) Áp dụng giới hạn đặc biệt lim q n = 0, q < ta có: Từ suy ra: u4 = n 1 lim un = lim  ÷ = 2 c) un < 10−6 ( g ) = 10−9 (kg ) = 1 < , tức với n 10 n thỏa mãn 2n >109 hay n > 30 (vì 230 = 1073741824) Vậy sau 30 x 24000 = 720000 năm chất phóng xạ khơng độc hại người hay: un = n 1 lim un = lim  ÷ = 2 un < 10−6 ( g ) = 10−9 (kg ) = (kg ) 109 1 < , tức với Chất phóng xạ khơng 2n 109 độc hại đ/v n thỏa mãn 2n >109 hay người nào? Từ n > 30 (vì 230 = 1073741824) tìm giá trị n tương Vậy sau 30 x 24000 = 720000 năm ứng để suy số năm? chất phóng xạ khơng độc hại người hay: un = Hoạt động 2: Bài tập (SGK-121) 6’ Hoạt động GV Hoạt động HS (kg ) 109 Ghi bảng Giáo án - Giải tích 11 * Gọi học sinh đọc đề toán * Hướng dẫn HS tìm lời giải: Hãy nêu cách chứng minh dãy số (un) có giới hạn a? Từ chứng minh lim (un – 1) = ? Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh * Đọc đề tốn * Tìm lời giải toán hướng dẫn giáo viên Để chứng minh dãy số (un) có giới hạn ta chứng minh lim (un – a) = 1 Vì lim = nên n n nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng (1) Mặt khác, ta có 1 un − < = với n (2) n n Từ (1) (2) suy ra: un − nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng Vậy lim (un – 1) = hay lim un = Hoạt động 3: Bài tập (SGK-121) 15’ Hoạt động GV Hoạt động HS * Chia lớp thành nhóm, * Nghe hiểu nhiệm vụ nhóm làm ý * Quan sát việc tìm lời * Thảo luận tìm lời giải giải nhóm, chỉnh toán cách nhanh sửa kịp thời sai lầm (nếu có) * Gọi đại diện nhóm * Cử đại diện nhóm lên trình bày giảng trình bày lời giải * Nhận xét, đánh giá * Chỉnh sửa hoàn thiện * Ghi nhận kết 1 = nên n n nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng (1) Mặt khác, ta có 1 un − < = với n (2) n n Từ (1) (2) suy ra: un − nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng Vậy lim (un – 1) = hay lim un = Vì lim Ghi bảng lim  −  6−  ÷ 6n − n  n a ) lim = lim = 2 3n +  3+ lim  + ÷ n n  = =2 3+ − 2 3n + n − n n b) lim = lim 2n + 2+ n 5  lim  + − ÷ n n   = =   lim  + ÷ n   n 3  ÷ +5 3n + 5.4n c) lim n = lim   n = n +2 1 1+  ÷ 2 Giáo án - Giải tích 11 Trần Chiến Cơng - Trường THPT Chu Văn Thịnh   n  lim   ÷ + ÷   ÷   = =5 = n  1  lim 1 +  ÷ ÷  2 ÷   9n − n + = lim 4n − 2 d ) lim = Hoạt động 4: Bài tập (SGK-122) 4’ Hoạt động GV Hoạt động HS * Hướng dẫn HS nhà làm: * Chú ý lắng nghe: a) Hãy cho biết số đo cạnh * Ghi tóm tắt hướng dẫn hình vng 1, 2, 3, … , n, … ? Từ suy diện tích chúng? b) Áp dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn Vậy xác định u1 q? 1 + n n2 = 4− n 9− 1 + n n2 = 2  lim  − ÷ n  lim − Ghi bảng * Củng cố : (2’) - Các định nghĩa định lí - Các giới hạn đặc biệt Hướng dẫn học làm tập nhà (1’) - Xem lại lí thuyết - Xem lại chữa, chuẩn bị tập 5, 6, 7, sách giáo khoa trang 121 + 122 * Rút kinh nghiệm: …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Giáo án - Giải tích 11 Trần Chiến Cơng - Trường THPT Chu Văn Thịnh TIẾT 52: §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tiếp theo) I MỤC TIÊU BÀI DẠY: 1.Về kiến thức: - Nắm vững khái niệm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực dãy số - Nắm định lí giới hạn giới hạn đặc biệt - Nắm vững khái niệm cấp số nhân lùi vơ hạn cơng thức tính tổng - Biết nhận dạng cấp số nhân lùi vô hạn 2.Về kỹ năng: - Biết vận dụng định lí giới hạn đặc biệt để tìm giới hạn số dãy số đơn giản - Tìm tổng cấp số nhân lùi vô hạn 3.Về thái độ, tư duy: - Hiểu giới hạn dãy số - Tự giác, tích cực học tập - Tư vấn đề toán học cách logic hệ thống II CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS Giáo viên: + SGK, TLHDGD, Giáo án + Một số câu hỏi, tập áp dụng Học sinh: + SGK, ghi, đồ dùng học tập + Chuẩn bị nhà III TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG: Ổn định tổ chức: 1’ - Nắm tình làm bài, học học sinh nhà Kiểm tra cũ: 5’ 2.1 Câu hỏi: Giải tập (SGK – 122) ? 2.2 Đáp án: Các số hạng tổng lập thành cấp số cộng lùi vô hạn với u1 = -1, q = − Vậy: S = −1 + 1 (−1) n u − + + n −1 + = = 10 10 10 1− q 10 −1 10 =− 11  1 1−  − ÷  10  Dạy Hoạt động 1: Bài tập (SGK-122) 10’ Hoạt động GV Hoạt động HS Ghi bảng * Gọi học sinh đọc đề * Đọc đề toán Ta có: tốn * Tìm lời giải tốn 1,02… = 1+ 0,02 + 0,0002 +… 1 * Hướng dẫn HS tìm lời hướng dẫn giáo viên = 1+ + + + giải: Ta có: 50 5000 500000 Ta phân tích 1,02… 1,02… = 1+ 0,02 + 0,0002 +… Giáo án - Giải tích 11 thành tổng số hạng nào? Hãy nhận xét tổng: 1 + + + có 50 5000 500000 đặc biệt tính tổng Vậy 1,02…= ? Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh = 1+ 1 + + + 50 5000 500000 Ta có: 1 + + + tổng 50 5000 500000 cấp số nhân lùi vô hạn 1 , q= Nên: 50 100 1 u + + + = = 50 5000 500000 1− q = 50 = 99 1− 100 101 Vậy: 1, 02 = + = 99 99 với u1 = Hoạt động 2: Bài tập (SGK-122) 15’ Hoạt động GV Hoạt động HS * Chia lớp thành * Nghe hiểu nhiệm nhóm, nhóm làm vụ ý * Quan sát việc tìm * Thảo luận tìm lời lời giải giải tốn cách nhóm, chỉnh sửa kịp nhanh thời sai lầm (nếu có) * Gọi đại diện * Cử đại diện nhóm nhóm trình bày lên trình bày lời giải giảng * Chỉnh sửa hoàn * Nhận xét, đánh giá thiện * Ghi nhận kết 101 = 99 99 1 + + + Vì 50 5000 500000 = 1+ tổng cấp số nhân lùi vô 1 , q= Nên: 50 100 1 u + + + = = 50 5000 500000 1− q = 50 = 99 1− 100 hạn với u1 = Ghi bảng   1  a) lim ( n + 2n − n + 1) = lim n 1 + − + ÷ n    n n = +∞   Vì lim n = +∞, lim 1 + − + ÷ = > n   n n    b) lim ( −n + 5n − ) = lim  − n 1 − + ÷ = −∞  n n     Vì lim(−n ) = −∞, lim 1 − + ÷ = >  n n     1 c) lim n − n − n = lim  n 1 − ÷ − n ÷  ÷  n           1 = lim  n 1 − ÷ − n ÷ = lim  n  1 − ÷ − 1÷ =  ÷  n    n  ÷       1  =0 Vì lim(n) = +∞, lim  1 − ÷ − ÷ ÷ n        1 d) lim n − n + n = lim  n 1 − ÷ + n ÷  ÷  n   ( ) ( ) Giáo án - Giải tích 11 Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh        1  = lim  n 1 − ÷ + n ÷ = lim  n  1 − ÷ + 1÷ = +∞   n ÷  ÷      n        1    =2>0 Vì lim(n) = +∞, lim  1 − ÷ + ÷ ÷ n Hoạt động 3: Bài tập (SGK-122) 10’ Hoạt động GV Hoạt động HS * Chia lớp thành * Nghe hiểu nhiệm vụ nhóm, hai nhóm làm ý * Thảo luận tìm lời giải * Quan sát việc tìm lời tốn cách nhanh giải nhóm, chỉnh sửa kịp thời sai lầm (nếu có) * Gọi đại diện nhóm * Cử đại diện nhóm lên trình bày giảng trình bày lời giải * Cho nhóm nhận * Chỉnh sửa hoàn thiện xét, đánh giá chéo * GV đánh giá chung * Ghi nhận kết Ghi bảng 3u − lim u n − lim1 3.3 − a) lim n = = =2 u n + lim u n + lim1 +   + lim  + ÷ v +2 v  vn  = b) lim n = lim n = −   1− lim 1 − ÷   = =0   Vì lim = +∞ nên lim  + ÷ =  vn   lim 1 −   ÷=  * Củng cố : (3’) - Các định nghĩa định lí - Các giới hạn đặc biệt Hướng dẫn học làm tập nhà (1’) - Xem lại lí thuyết - Xem lại chữa, chuẩn bị “Giới hạn hàm số” * Rút kinh nghiệm: …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………