Giáo án Giải tích 11 chương 4 bài 1: Giới hạn của dãy số Toán giải tích 11

MỤC ĐÍCH YÊU CẦU 1.Kiến thức: - Nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn là 1 số hữu hạn và dãy số có giới hạn là vô cực.. - Nắm được định lý về giới hạn hữu hạn để tính c1c giới hạn thườ

§ 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I MỤC ĐÍCH YÊU CẦU

1.Kiến thức:

- Nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn là 1 số hữu hạn và dãy số có giới hạn là vô cực Ghi nhớ một số giới hạn đặc biệt

- Nắm được định lý về giới hạn hữu hạn để tính c1c giới hạn thường gặp

- Nắm được công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

2.Kỹ năng:

- Tính được giới hạn của các dãy số thường gặp

- Tính được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

3.Tư duy – thái độ:

- Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài

- Cẩn thận, chính xác và linh hoạt

II CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ:

1.Chuẩn bị của Gv:

- Soạn giáo án

- Chuẩn bị một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…

- Bảng phụ: Vẽ hình 4.1 và bảng giá trị của | un | như trong SGK

2.Chuẩn bị của học sinh:

- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp

III PHƯƠNG PHÁP:

Sử dụng phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề kết hợp với giải quyết vấn đề, xen kẻ hoạt động nhóm

IV TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:

1 Ổn định lớp.

Ổn định lớp và kiểm tra sĩ số vắng, vệ sinh của lớp

2 Kiểm tra bài cũ:

Hãy biểu diễn dãy số (un) với un = 1

n lên trục số ( Chia nhóm, mỗi nhóm biểu diễn lên bảng con của nhóm mình)

3 Bài mới:

HĐ1:

GV: Xét dãy số ở phần bài cũ Khoảng cách từ điểm

un đến điểm 0 thay đổi như thế nào khi n đủ lớn?

HS: Nhìn vào hình biểu diễn để nhận xét.

GV: Yêu cầu HS tìm số hạng uk để từ số hạng đó trở

về sau khoảng cách từ nó đến số 0 nhỏ hơn

0.01 ? nhỏ hơn 0.001? (GV hướng dẫn hs thực

hiện)

HS: Thực hiện theo nhóm

GV: Dựa vào việc thực hiện trên đưa ra nhận xét

rằng khoảng cách từ un đến số 0 nhỏ bao nhiêu tùy

ý, miễn là chọn số n đủ lớn

I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1 Định nghĩa dãy số có giới hạn 0:

Xét dãy số(un) với u =n n1 , tức là dãy số

1 1 1 1 1

1, , , , , , ,

2 3 4 5 n Khoảng cách u -0 = un = 1

n n từ điểm un đến điểm 0 trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn

là n đủ lớn

Như vậy mọi số hạng của dãy số đã cho, kể từ

số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước Ta

+Tổng quát hoá đi đến đ\n dãy có giơi hạn 0

nói rằng dãy số 1

n có giới hạn 0 khi n dần tới

dương vô cực

Định nghĩa: SGK

Ví dụ: (làm ví dụ 1 SGK- trang 113) HĐ2:

GV: Đặt vấn đề:Cho dãy số (un) với un=2+1

n -Hãy biểu diễn dãy lên trục số

-Khi n càng lớn thì un càng gần vối số nào?

HS: Làm việc theo nhóm sau đó đưa ra nhận xét un

càng gần đến số 2

GV: Dựa vào nhận xét trên liên hệ với phần 1 để đưa

ra định nghĩa 2

GV: Hướng dẫn hs làm

2 Định nghĩa dãy số có giới hạn là 1 số Định nghĩa 2 (SGK)

Ví dụ : Cho dãy số (vn) với vn =3n+1

n , CMR:

n

n +lim v

  = 3

Giải

n

n +lim (v 3)

   =

n +

3n+1

n

n +

1 lim

n

  = 0 Vậy n +lim vn

  = 3

GV: cho dãy số un= 14

n , vn=

n

2 ( )

5 , wn= 3, hãy biểu diễn lên trục số sau đó dự đoán giới hạn các dãy này,

HS: Làm việc theo nhóm

GV: ghi lên bảng , yêu cầu hs nắm kỹ

3 Một vi giới hạn đặc biệt

a)

n +

1 lim

n

  = 0 ;

n +

1 lim k

n

  = 0 (k  N* );

b).n +lim q  n = 0 nếu q<1 c) Nếu un = c (hằng số) thì nlim u = c+ n

 

HĐ3

GV: Yêu cầu HS đọc đ lý sgk và ghi lên bảng nội

dung của định lý đó

HĐ 4

II ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN 1.Định lý 1 (SGK)

2 Các ví dụ.

GV: Hướng dẫn hs biến đổi các giới hạn đã cho về

các tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn đặc biệt

HS: Biến đổi theo hướng dẫn của gv sau đó áp dụng

đ lý 1 để tìm giới hạn

Ví dụ 1: Tìm lim

2 2

2n +3 1-3n

Giải

Chia tử và mẫu cho n2

Ta được lim2n +32 2

1-3n = lim

2

2

3 2+

n 1 -3 n

= 2 3



Ví dụ 2: Tìm lim 5n-22

3+4n

Giải

Ta có lim 5n-2 2

3n+4n = lim 2

2 n(5- ) n 3

n ( +4)

n

= lim

2 n(5- ) n 3

n ( +4) n = lim

2 (5- ) n 3 ( +4) n

=5 2

HĐ 5

GV: Yêu cầu hs nhắc lại công thức tính tổng của n

số hạng đầu của cấp số nhân

HS: Đứng tại chổ trả lời

GV: Biến đổi công thức thành S= u1 u1 n

-( ).q 1-q 1-q sau đó yêu cầu học sinh tính giới hạn lim S, từ đó

có được công thức

GV: yêu cầu hs nhận xét các CSN có phải là CSN

lùi vô hạn hay không sau đó yêu cầu hs tính

HS: Làm việc theo nhóm

II TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN.

1 Định nghĩa

CSN vô hạn có công bội q với q<1 gọi là CSN lùi vô hạn

2 Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

u1

1-q

3 Ví dụ

a)Tính tổng các số hạng của CSN lùi vô hạn (un) với un = 1

5n

b) Tính S= 1+1 12 13 14 1n

2 2 2 2  2 

Giải

a)Ta có u1 = 1

5 và q=

1

5 nên CSN đã cho là 1 CSN lùi vô hạn

S=

1 5 1 1 5



= 1 4 b) Các số hạng của tổng tạo thành 1 CSN lùi vô

hạn có u1 = 1 và q= 1

2 nên S =

1 2 1 1 2





HĐ6

GV: Hướng dẫn hs thực hiện h động 2 sgk từ đó dẫn

tới định nghĩa

GV: Cho dãy un = n3, hãy biểu diễn dãy lên trục

số.Khi n càng lớn, có nhận xét gì về các số un?.Từ đó

tổng quát hóa thành các giới hạn ở phần 2

HS: Làm việc theo nhóm, đưa ra nhận xét.

GV: Ghi lên bảng các gh đặc biệt, yêu cầu hs nhớ

GV: Hướng dẫn hs đặt thừa số chung ( hoặc chia tử

và mẫu cho n) để đưa về tổng, hiệu, tích, thương của

các giới hạn đặc biệt,sau đó áp dụng đly 1

HS: Làm sau đó lên bảng giải

III GIỚI HẠN VÔ CỰC

1 Định nghĩa

(SGK)

Nhận xét: lim un = +  lim(- un) = - 

Ví dụ ( Làm ví dụ 6 Sgk)

2 Một vài giới hạn đặc biệt

(sgk)

3 Định lý Định lý 2 ( sgk) Các ví dụ:

a) Tìm lim 7-2nn

(n-3).5

Giải

Ta có lim 7-2nn

(n-3).5 = lim n

7 n( -2) n 3 n(1- ).5 n =lim

n

7 ( -2) n 3 (1- ).5 n = 0

b) Tìm lim (2n2 +3n – 4)

Giải

Ta có lim (2 +3n – 4n2) = lim 2

2

2 3

n ( + - 4)

= limn2 lim( 22 + - 4)3

n n = - 

V.CŨNG CỐ

- Định nghĩa dãy số có giới hạn là 1 số hữu hạn và dãy số có giới hạn là vô cực Ghi nhớ các giới hạn đặc biệt

- Định lý về giới hạn hữu hạn, áp dụng tính các giới hạn thường gặp

- Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

VI.DẶN DÒ

Bài tập về nhà:1,2,3,5,7,8 (tr121,122)