Bài 3 Cấp số cộng A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 93 SGK Toán lớp 11 Đại số Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là 1, 3, 7, 11 Từ đó chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp năm số hạng c[.]
Bài 3: Cấp số cộng A Các câu hỏi hoạt động Dạng khai triển cấp số cộng là: −1 17 26 35 44 ; ; ; ; ; 3 3 3 Hoạt động trang 93 SGK Toán lớp 11 Đại số: Biết bốn số hạng đầu Hoạt động trang 94 SGK Toán lớp 11 Đại số: Mai Hùng chơi trò xếp dãy số -1, 3, 7, 11 Từ quy luật viết tiếp năm số hạng dãy que diêm thành hình tháp mặt sân Cách xếp thể Hình 42 theo quy luật Lời giải: Ta có: = -1 + 7=3+4 11 = + Hỏi: Nếu tháp có 100 tầng cần que diêm để xếp tầng đế tháp? Quy luật: kể từ số thứ 2, số hạng số hạng đứng trước cộng với Lời giải: Xây tầng cần que diêm để xếp tầng đế Năm số hạng tiếp dãy theo quy luật là: 15; 19; 23; 27; 31 Hoạt động trang 93 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho (un) cấp số cộng có Xây tầng cần que diêm để xếp tầng đế (4 = + 1.2) sáu số hạng với u1 = − , d = Viết dạng khai triển Xây tầng cần que diêm để xếp tầng đế (6 = + 2.2) Lời giải: Hoạt động trang 96 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cấp số cộng gồm tám số hạng - Ta có: u = u1 + d = −1 +3= 3 17 u3 = u + d = + = 3 u = u3 + d = Xây 100 tầng cần 200 que diêm để xếp tầng đế (200 = + 99.2) 17 26 +3= 3 26 35 u5 = u + d = +3= 3 35 44 u6 = u5 + d = u5 + = + = 3 1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 viết vào bảng sau: -1 11 15 19 23 27 a) Hãy chép lại bảng viết số hạng cấp số vào dịng thứ hai theo thứ tự ngược lại Nêu nhận xét tổng số hạng cột b) Tính tổng số hạng cấp số cộng Lời giải: a) -1 11 15 19 23 27 27 23 19 15 11 -1 Tổng số hạng cột 26 b) Tổng số hạng cấp số cộng là: 26.8 = 104 un+1 – un = 3n+1 – 3n = 3n – 3n = 2.3n Vậy (un) không cấp số cộng Cách khác: un = 3n suy u1 = B Bài tập Giả sử n 1, xét hiệu sau: Bài tập trang 97 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong dãy số (un) sau đây, dãy un+1 – un = 3n+1 – 3n = 3n – 3n = 2.3n số cấp số cộng? Tính số hạng đầu cơng sai un – un-1 = 3n – 3n-1 = 3n-1 = (3 – 1).3n-1 = 2.3n-1 a) un = – 2n Suy u n +1 – u n u n – u n −1 (vì 3n 3n −1 , n ) b) u n = n −1 c) un = 3n d) u n = − 3n Lời giải: Vậy (un) không cấp số cộng d) Ta có: u1 = Với n * ta có: u n +1 − u n = a) Ta có: u1 = – 2.1 = un+1 – un = – 2(n + 1) – + 2n = – 2n – – + 2n = – n * − 3.1 =2 − ( n + 1) − 3n − 3n − − + 3n − = =− 2 2 Suy u n +1 = u n − , n * Suy un+1 = un – Vậy (un) cấp số cộng có u1 = 2, cơng sai d = − Vậy (un) cấp số cộng có u1 = 3, công sai d = – Bài tập trang 97 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Tìm số hạng đầu công sai 1 b) Ta có: u1 = − = − 2 cấp số cộng sau, biết: n +1 n n +1 n u n +1 – u n = − = , n * −1− +1 = 2 2 Suy u n +1 = u n + , n * u − u + u = 10 a) u1 + u = 17 u − u = b) u u = 75 1 Vậy (un) cấp số cộng có u1 = − , công sai d = 2 Lời giải: c) Ta có u3 = u1 + 2d ; a) Ta có : u5 = u1 + 4d ; 27 u6 = u1 + 5d 17 Theo đề ta có : u1 − ( u1 + 2d ) + u1 + 4d = 10 u1 − u + u = 10 u + 2d = 10 u = 16 u + u = 17 2u + 5d = 17 u + u + 5d = 17 1 d = −3 Vậy số hạng đầu công sai cấp số cộng u1 = 16, d = -3 Lời giải: cấp số cộng u n − u1 u − u1 + 1;d = n d n −1 Ta có: Sn = n.u1 + u1 = n ( u1 + u n ) n(n − 1) d= 2 2.Sn − n(n − 1).d 2n Hay u1 = Sn − n.u n n Dựa vào cơng thức thấy cần phải biết đại lượng để tìm đại lượng cịn lại b) Dịng đầu: Biết u1= −2; u20 = 55 Tìm d S20 Ta có u20 = u1 + 19d 55 = −2 + 19d d = 20 ( u1 + u 20 ) 20.( −2 + 55 ) = = 530 2 Bài tập trang 97 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong toán cấp số cộng, S20 = ta thường gặp năm đại lượng u1, d, n, un, Sn Dòng 2: Biết d = −4; S15 = 120 , tìm u1 u15 a) Hãy viết hệ thức liên hệ đại lượng Cần phải biết đại lượng để tìm đại lượng lại? u1 -2 d -4 n 55 un 20 15 Ta có S15 = 15u1 + 15.(15 − 1) d 120 = 15.u1 + 105.( −4 ) 15u1 = 540 u1 = 36 b) Lập bảng theo mẫu sau điền số thích hợp vào trống: 72 -205 a) Ta có: un = u1 + (n – 1).d n= b) Ta có: u7 = u1 + 6d u3 = u1 + 2d u2 = u1 + d Do theo đề ta có: u1 + 6d − u1 − 2d = 4d = u − u = ( u1 + d )( u1 + 6d ) = 75 ( u1 + d )( u1 + 6d ) = 75 u u = 75 d = ( u1 + )( u1 + 12 ) = 75 d = d = d = u1 = u + 14u − 51 = u + 14u + 24 = 75 1 1 u = −17 Vậy u1 = 3, công sai d = u1 = -17, công sai d = số hạng đầu công sai 12 -5 Sn Suy u15 = u1 + 14d = 36 + 14.(−4) = −20 120 Dòng 3: Biết u1 = 3; d = Ta có un = u1 + (n − 1)d ; un = Tìm n tính Sn 27 = + ( n − 1) a) Viết cơng thức để tìm độ cao bậc tùy ý so với mặt sân n = 28 27 b) Tính độ cao sàn tầng hai so với mặt sân 28.( 28 − 1) S28 = 28u1 + d = 28.3 + 378 = 140 27 Lời giải: Dòng 4: Biết u12 = 17 S12 = 72 Tìm u1 d Suy n bậc thang cao 0,18n (m) a) Mỗi bậc thang cao 18cm = 0,18m 12 ( u1 + u12 ) 12 ( u1 + 17 ) S12 = 72 = u1 + 17 = 12 u1 = −5 2 Vì mặt sàn cao mặt sân 0,5 m nên công thức tính độ cao bậc tùy ý so với mặt sân : u12 = u1 + 11d 17 = −5 + 11d 22 = 11d d = hn = 0,5 + 0,18n Dòng 5: Biết u1 = 2; d = −5 Sn = −205 Tìm n tính un b) Độ cao sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n = 21 là: n ( n − 1) n ( n − 1) (−5) d −205 = n.2 + Ta có: Sn = nu1 + 2 h21 = 0,5 + 0,18.21 = 4,28 (m) Bài tập trang 98 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ đến 12 trưa, đồng hồ n = 10 −410 = 4n − 5n ( n − 1) 5n − 9n – 410 = 41 n = − ( loai ) đánh tiếng, đánh chuông báo số tiếng chuông số Suy n = 10 Lúc đồng hồ đánh tiếng chuông giờ? Lời giải: Suy u10 = u1 + 9d = + 9.(−5) = −43 Lúc đồng hồ đánh tiếng chuông Vậy ta điền bảng sau : u1 d n un Sn -2 55 20 530 36 -20 15 120 28 140 -5 -4 27 17 12 72 -5 -43 10 -205 Bài tập trang 98 SGK Toán lớp 11 Đại số: Mặt sàn tầng một nhà cao mặt sân 0,5 m Cầu thang từ tầng lên tầng hai gồm 21 bậc, bậc cao 18 cm Lúc 12 trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chuông Do đó, từ đến 12 trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là: S = + + + + 12 Đây tổng 12 số hạng cấp số cộng có u1 = 1, u12 = 12 Do áp dụng cơng thức tính tổng cấp số cộng ta có S = Vậy đồng hồ đánh 78 tiếng chuông (1 + 12 ).12 = 78 Bài 4: Cấp số nhân A Các câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 98 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tục truyền nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh bàn cờ Vua lựa chọn phần thưởng tùy theo sở thích Người xin nhà vua thưởng cho số thóc số thóc đặt lên 64 ô bàn cờ sau: Đặt lên ô thứ bàn cờ hạt thóc, tiếp thứ hai hai hạt, … vậy, số hạt thóc sau gấp đơi số hạt thóc ô trước ô cuối Hãy cho biết số hạt thóc từ thứ đến thứ sáu bàn cờ u1 = -2 q = − a) Viết năm số hạng đầu b) So sánh u 22 với tích u1.u3 u 32 với tích u2.u4 Nêu nhận xét tổng quát từ kết Lời giải: a) Ta có u1 = -2 u = u1.q = −2 u = u q = −1 =1 −1 =− 2 −1 u = u 3.q = − = 2 Lời giải: Số hạt thóc từ ô thứ đến thứ sáu là: 1; 2; 4; 8; 16; 32 −1 u = u q = = − Hoạt động trang 99 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy đọc hoạt động cho biết b) Ta có: u 22 = 12 = thứ 11 có hạt thóc? u1.u = −2 Lời giải: Từ câu hỏi ta thấy: u 22 = u1.u −1 =1 Ô thứ có = 20 = 21–1 hạt thóc Ơ thứ có = 21 = 22−1 hạt thóc Ơ thứ có = 22 = 23−1 hạt thóc Ô thứ có = 23 = 24 – hạt thóc Ơ thứ có 16 = 24 = 25−1 hạt thóc 1 Lại có: u 32 = − = 2 Tổng qt: Ơ thứ n có 2n−1 hạt thóc Ơ thứ 11 có: 211−1 = 210 = 1024 hạt thóc Hoạt động trang 101 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân (un) với Do u 2k = u k −1.u k +1 ; k 1 u u = = 4 u 32 = u u Hoạt động trang 101 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính tổng số hạt thóc 11 ô đầu bàn cờ nêu hoạt động Lời giải: Ta có: u1 = u2 = u3 = 22 u11 = 210 Suy S = u1 + u2 + + u10 = + + 22 + + 210 Suy 2S = + 22 + + 210 + 211 Suy 2S – S = (2 + 22 + + 210 + 211) − (1 + + 22 + + 210) Suy S = 211 – = 2047 Cách tổng quát: Ta có: S = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + u7 + u8 + u9 + u10 + u11 = u1 + u1.q + u1.q2 +⋯+ u1.q9 + u1.q10 (1) Suy S.q = u1.q + u1.q2 +⋯+ u1.q9 + u1.q10 + u1.q11 (2) Lấy (1) trừ (2), ta được: (1− q)S = u1(1 − q11) S= u1 (1 − q11 ) 1− q Vậy tổng số hạt thóc 11 ô đầu S = 1(1 − 211 ) n +1 1 − n +1 u1 (1 − q n +1 ) S= = = 1 − 1− q 1− Cách 2: 1 1 Ta có: S = + + + + n 3 3 1 3S = + + + + + n −1 3 3S = + S − 2S = − 3n 1 3 S = − n = 1 − n +1 2 2 B Bài tập 3 Bài tập SGK trang 103 Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh dãy số 2n , 5 = 211 − = 2047 1− Hoạt động trang 102 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính tổng 5 n , 2 1 S = + + + + n 3 Lời giải: n − cấp số nhân + Ta có: u n = 2n Lời giải: Cách 1: Cấp số nhân có u1 = 1, q = 3n S tổng (n + 1) số hạng u1 = 21 = 5 Với n * , ta có: u n +1 = 2n +1 n +1 2 u n +1 2n +1 2n = = n = n = (không đổi) n un 2 2 Vậy dãy số cho cấp số nhân với u1 = + Ta có: u n = u1 = q = , u = Tìm u1 21 c) Biết u1 = 3, q = -2 Hỏi số 192 số hạng thứ mấy? Lời giải: a) Ta có: u6 = u1.q5 486 = 2.q5 q = 243 q = 2n b) Ta có: u4 = u1.q3 5 = 21 Với n * , ta có: u n +1 un b) Biết q = n +1 2n 2n 2n 5 = = n +1 : n = n +1 = n +1 = n = (không đổi) 2 2 2 2n Vậy dãy số cho cấp số nhân với u1 = q = 2 2 = u1 u1 = 21 3 c) Ta có: un = u1.qn-1 192 = 3.( −2 ) n −1 ( −2 ) n −1 = 64 n – = n = Vậy số 192 số hạng thứ Bài tập SGK trang 103 Toán lớp 11 Đại số: Tìm số hạng cấp số nhân 1 1 + Ta có: u n = − suy u1 = − = − 2 2 (un) có năm số hạng, biết: Với n * , ta có: b) u4 – u2 = 25 u3 – u1 = 50 n n +1 u n +1 un a) u3 = u5 = 27; n 1 1 1 − − − 2 = − (không đổi) = = n n 1 1 − − 2 Vậy dãy số cho cấp số nhân với u1 = −1 −1 q = 2 Bài tập SGK trang 103 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân (un) với công bội q a) Biết u1 = 2, u6 = 486 Tìm q Lời giải: a) Ta có: u q = u = q = q = 3 u = 27 u1.q = 27 1 Với q = ta có: u1 = Ta có cấp số nhân: u1 = , u2 = 1, u3 = 3, u4 = 9, u5 = 27 3 1 Với q = -3 ta có: u1 = Ta có cấp số nhân: u1 = , u2 = -1, u3 = 3, u4 = -9, u5 = 27 3 b) Ta có: u1q ( q − 1) = 25 u1q − u1q = 25 u − u = 25 q.50 = 25 2 u − u1 = 50 u1q − u1 = 50 u1 ( q − 1) = 50 u1 ( q − 1) = 50 Ta có: S5 = u1.(1 − q ) biết tổng năm số hạng đầu 31 tổng năm số hạng sau 62 1− q S5’= u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = u1q + u2q + u3q + u4q + u5q = q.( u1 + u2 + u3 + u4 + u5) = q S5 Mà S5 = 31, S5’= 62 Khi q = S (1 − q ) u1 = =1 − q5 Vậy ta có cấp số nhân 1, 2, 4, 8, 16, 32 Bài tập SGK trang 104 Toán lớp 11 Đại số: Tỉ lệ tăng dân số tỉnh X Lời giải: 1,4% Biết số dân tỉnh 1,8 triệu người Hỏi với mức tăng Giả sử có cấp số nhân: u1, u2, u3, u4, u5, u6 Theo giả thiết ta có: sau năm, 10 năm số dân tỉnh bao nhiêu? u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31 (1) Giả sử số dân tỉnh N Vì tỉ lệ tăng dân số 1,4% nên sau u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 62 (2) năm, số dân tăng thêm 1,4%.N q = q = u1 − 1 = 50 u1 = −200 Ta có năm số hạng cấp số nhân: −200 −100 −50 −25 −25 ; ; ; ; 3 3 Bài tập SGK trang 104 Tốn lớp 11 Đại số: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, Lời giải: Nhân hai vế (1) với q, ta được: Vậy số dân tỉnh vào năm sau u1q + u2q + u3q + u4q + u5q = 31q N + 1,4%.N = 101,4%.N = u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q (3) Từ (2) (3) suy 62 = 31.q Suy q = Ta có S5 = 31 u1 (1 − 25 ) 1− 101,4 N 100 Như số dân tỉnh sau năm lập thành cấp số nhân Hiện tại: u1 = N Sau năm: u = 101,4 N 100 = 31 31u1 = 31 u1 = Vậy ta có cấp số nhân là: 1, 2, 4, 8, 16, 32 Cách khác: 101,4 Sau năm: u = N ; 100 Vậy N = 1,8 triệu người Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát cấp số nhân thì: 101,4 Sau năm số dân tỉnh u = 1,8 1,9 (triệu người) 100 10 101,4 Vậy sau 10 năm số dân tỉnh u11 = 1,8 2,1 (triệu người) 100 Bài tập SGK trang 104 Toán lớp 11 Đại số: Cho hình vng C1 có cạnh Người ta chia cạnh hình vng thành bốn phần nối điểm chia cách thích hợp để có hình vng C2 (h.44) Từ hình vng C2 lại tiếp tục để hình vng C3,… Tiếp tục q trình trên, ta nhận dãy hình vng C1, C2, C3, …,Cn,… Gọi an độ dài cạnh hình vng Cn Chứng minh dãy số (an) cấp số nhân Lời giải: Xét dãy số (an), ta có a1 = Gọi an cạnh hình vng Cn Ta tính cạnh hình vng an+1 sau: Xét tam giác BEF vng B có: 3a a BE = BA = n , BF = BC = n 4 4 2 10 10 3a a a n hay a n +1 = Do EF = BE + BF2 = n + n = an 4 4 Vậy dãy số (an) cấp số nhân với số hạng đầu a1 = công bội q = 10 Ôn tập chương Bài tập trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho hai cấp số cộng có số số hạng Bài tập trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Khi cấp số cộng dãy số tăng, Tổng số hạng tương ứng chúng có lập thành cấp số cộng khơng? Vì sao? dãy số giảm? Cho ví dụ minh họa Lời giải: Lời giải: Xét cấp số cộng (un) với un+1 = un + d, Giả sử có hai cấp số cộng (un) với công sai d1 (vn) với cơng sai d2 Ta có: un+1 - un = d Nếu d > un+1 > un, n * , (un) dãy số tăng u − u n = d1 n +1 +1 − = d Nếu d < un+1 < un, n * , (un) dãy số giảm Xét dãy (an) với an = un + Bài tập trang 107 Tốn lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân có u1 < cơng bội q Ta có: an + – an = (un + + + 1) – (un + vn) Hỏi số hạng khác mang dấu trường hợp sau: = (un+1 – un ) + (vn+1 - vn) a) q > = d1 + d2 = const b) q < Vậy (an) cấp số cộng có số hạng đầu a1 = u1 + v1 cơng sai d1 + d2 Lời giải: Ta có: un = u1.q Ví dụ: n-1 a) Vì u1 < nên với q > un < 0, n * 1, 3, 5, 7, cấp số cộng có u1 = d1 = b) Vì u1 < nên với q < 0: 0, 5, 10, 15, cấp số cộng có v1 = d2 = Xét n > Suy (an): 1, 8, 15, 22, cấp số cộng có Nếu n số chẵn n – số lẻ a1 = + = d = d1 + d2 = + = q n −1 0 Bài tập trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho hai cấp số nhân có số số u1.q n −1 (vì u1 < 0) hạng Tích số hạng tương ứng chúng có lập thành cấp số nhân khơng? Vì un sao? Cho ví dụ minh họa Nếu n số lẻ n – số chẵn q n −1 u1.q n −1 (vì u1 < 0) un Vậy q < 0, u1 < số hạng thứ chẵn dương số hạng thứ lẻ âm Lời giải: Gọi (an) cấp số nhân công bội q1 (bn) cấp số nhân công bội q2 tương ứng Xét (un) với un = an.bn Ta có: un+1 = an+1.bn+1 a) Thay n thành n + Ta un+1 = n+1 n = 3 u = sin Chọn đáp án C Do (un) không tăng không giảm b) Thay n thành 2n (B) Ta có: Ta u2n = 32n = (32)n = 9n un+1 – un = Chọn đáp án B = 5n+1 + − 5n – c) Thay n thành n – = 5n+1 − 5n > Ta u n −1 = 3n −1 = 3−1.3n = 3n Chọn đáp án B (−1)2(n+1)(5n+1 + 1) − (−1)2n(5n + 1) Vậy (un) dãy tăng (C) Ta có: u n +1 = 1 = un n + + n +1 n +1 + n d) Thay n thành 2n – Nên (un) dãy giảm Ta u2n-1 = 32n-1 = 3n.3n-1 (D) Ta có: Chọn đáp án B u n +1 − u n = Bài tập 15 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Hãy cho biết dãy số (un) dãy số tăng, biết công thức số hạng tổng quát un là: (A) ( −1) n +1 sin n (B) (−1)2n(5n + 1) (C) n +1 + n n (D) n +1 Lời giải: (A) Ta có: u1 = sin u = − sin −n − n + n +1 n = 0, n * − 2 (n + 1) + n + n + (n + 1) + 1 ( ) Nên (un) dãy giảm Chọn đáp án B Bài tập 16 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số cộng −2, x, 6, y Hãy chọn kết kết sau: (A) x = −6; y = −2 (B) x = 1; y = (C) x = 2; y = (D) x = 2; y = 10 Lời giải: Theo giả thiết: -2, x, 6, y cấp số cộng 2x = (−2) + x = 2.6 = x + y y = 10 Chọn đáp án D Bài tập 17 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân −4, x, −9 Hãy chọn u10 u 30 = ( u1 + 9d )( u1 + 29d ) u1 +19d = u 20 đáp án kết sau: Suy (C) sai (B) x = −6,5 u10 u 30 ( u1 + 9d )( u1 + 29d ) = u1 +19d = u 20 2 (C) x = Suy (D) sai (D) x = −36 Chọn đáp án B Lời giải: Bài tập 19 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Trong dãy số cho cơng thức Ta có: truy hồi sau, chọn dãy số cấp số nhân: −4, x, −9 ba số hạng cấp số nhân nên: u = (A) u n +1 = u n (A) x = 36 x = x2 = (−4).( −9) = 36 x = −6 Chọn đáp án C Bài tập 18 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số cộng (un) Hãy chọn hệ thức hệ thức sau: (A) u10 + u 20 = u + u10 (B) u90 + u210 = 2u150 (C) u10.u30 = u20 (D) u10 u 30 = u 20 u = −1 (B) u n +1 = 3u n u = −3 (C) u n +1 = u n + (D) 7, 77,777,, 777 n chu so7 Lời giải: Ta có: u = u u u n +1 = u n n +1 n +2 + un u n +1 un u n +1 = u n Lời giải: Suy (un) cấp số nhân Giả sử (un) cấp số cộng có cơng sai d Ta có: u = −1 u n +1 = 3n + un u n +1 = 3u n u10 + u 20 u1 + 9d + u1 + 19d u1 + 4d + u1 + 9d + 15d u + u10 15d = = = + u + u10 2 2 Suy (A) sai u90 + u210 = u1 + 89d + u1 + 209d = 2u1 + 298d = 2(u1 + 149d) = 2u150 Suy (B) (un) cấp số nhân với công bội q = 3, u1 = -1 u = −3 + u n +1 = u n + Đây cấp số cộng với u1 = 3; công sai d = + 7; 77; 777;…; 777…77 u u2 777 111 u u = 11 , = = u 77 11 u1 u1 u Suy (un) không cấp số nhân Chọn đán án B Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học A Câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 80 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): “3n < n + 100” Q(n): “2n > n” với n * a) Với n = 1, 2, 3, 4, P(n), Q(n) hay sai? b) Với n * P(n), Q(n) hay sai? Lời giải: a) Với n = P(1): “31 < + 100” đúng, Q(1): “21 > 1” Với n = P(2): “32 < + 100” đúng, Q(2): “22 > 2” Với n = P(3): “33 < + 100” đúng, Q(3): “23 > 3” Với n = P(4): “34 < + 100” đúng, Q(4): “24 > 4” Với n = P(5): “35 < + 100” sai, Q(5): “25 > 5” b) Với P(n): Do với n = P(n) sai nên P(n) không với n * Với Q(n): Quan sát 2n ta thấy 2n tăng nhanh so với n nên 2n > n với n * hay Q(n) với n * Hoạt động trang 81 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh với n * + + + + n = n ( n + 1) Lời giải: Khi n = 1, VT = Suy VP = 1(1 + 1) =1 Giả sử đẳng thức với n = k 1, nghĩa là: Sk = + + + + k = Giả sử bất đẳng thức với n = k , nghĩa là: 3k > 8k k(k + 1) Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, tức là: Ta phải chứng minh đẳng thức với n = k + 1, tức là: Sk +1 = + + + + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: k(k + 1) + 2(k + 1) (k + 1)(k + 2) k(k + 1) Sk +1 = Sk + (k + 1) = = + (k + 1) = 2 Vậy đẳng thức với n * Hoạt động trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai số 3n 8n với n * n a) So sánh với 8n n = 1, 2, 3, 4, b) Dự đoán kết tổng quát chứng minh phương pháp quy nạp 3k+1 > 8(k + 1) Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 3k+1 = 3k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k Với k suy 16k 16.3 = 48 Suy 3k+1 > 8k + = 8(k + 1) Vậy bất đẳng thức với n B Bài tập Bài tập trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh với n * , ta có đẳng thức: a) + + + + 3n − = Lời giải: b) a) 1 1 2n − + + + + n = n 2 n = suy 31 = < = 8.1 n = suy = < 16 = 8.2 n ( 3n + 1) c) 12 + 22 + 32 + + n = n ( n + 1)( 2n + 1) n = suy 33 = 27 > 24 = 8.3 Lời giải: n = suy 34 = 81 > 32 = 8.4 Chứng minh phương pháp quy nạp toán học: n = suy 35 = 243 > 40 = 8.5 b) Dự đoán kết tổng quát: 3n > 8n với n Với n = 3, bất đẳng thức a) + + + + 3n − = n ( 3n + 1) (1) Với n = 1, vế trái có số hạng 2, vế phải 1.(3.1 + 1) = 2 Do hệ thức (1) với n = Sk = Đặt vế trái Sn Giả sử đẳng thức (1) với n = k 1, tức Sk = + + + + 3k − = k(3k + 1) (k + 1) 3(k + 1) + 1 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: k(3k + 1) + 3k + Sk +1 = ( + + + + 3k − 1) + 3(k + 1) − 1 = Sk + 3k + = = = 2k +1 − 2k +1 Sk +1 = = ( 2k − 1) + 1 1 1 2k − 1 + + + + k + k +1 = Sk + k +1 = k + k +1 = 2 2k +1 2 2k +1 − + 2k +1 − = k +1 (điều phải chứng minh) 2k +1 Vậy theo ngun lí quy nạp tốn học, hệ thức (2) với n * c) 12 + 22 + 32 + + n = n ( n + 1)( 2n + 1) (3) 3k + k + 6k + 3k + 7k + (k + 1)(3k + 4) (k + 1)(3k + + 1) = = = 2 2 Với n = vế trái 1, vế phải (k + 1) 3(k + 1) + 1 (điều phải chứng minh) Do hệ thức (3) với n = Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức (1) với n * b) Ta phải chứng minh Sk +1 = Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Ta phải chứng minh (1) với n = k + , nghĩa phải chứng minh Sk +1 = + + + + ( 3k − 1) + 3(k + 1) − 1 = 1 1 2k − + + + + k = k 2 1 1 2n − + + + + n = n (2) 2 Với n = vế trái 1 , vế phải 2 1(1 + 1)(2 + 1) =1 Đặt vế trái Sn Giả sử đẳng thức (3) với n = k 1, tức Sk = 12 + 22 + 32 + + k = k ( k + 1)( 2k + 1) ( k + 1)( k + ) 2 ( k + 1) + 1 Do hệ thức (2) với n = Ta phải chứng minh Sk +1 = Đặt vế trái Sn Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Giả sử đẳng thức (2) với n = k 1, tức Sk+1 = 12 + 22 + 32 + … + k2 + (k + 1)2 = Sk + (k + 1)2 ... 97 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong dãy số (un) sau đây, dãy un+1 – un = 3n+1 – 3n = 3n – 3n = 2.3n số cấp số cộng? Tính số hạng đầu cơng sai un – un-1 = 3n – 3n-1 = 3n-1 = (3 – 1).3n-1 = 2.3n-1 a)... tập chương Bài tập trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho hai cấp số cộng có số số hạng Bài tập trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Khi cấp số cộng dãy số tăng, Tổng số hạng tương ứng chúng có lập thành cấp. .. (B) 3n (C) 3n – (D) 3n – (B) 3n.3n-1 (C) 32 n – (D) 32 (n – 1) b) Số hạng u2n bằng: (A) 2.3n c) Số hạng un-1 bằng: (A) 3n – d) Số hạng u2n-1 bằng: cấp số cộng (A) 32 .3n – Lời giải: Lời giải: a) Thay