(SKKN HAY NHẤT) sử dụng cấp số cộng và cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy số trong chương trình đại số và giải tích lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ VĂN HƯU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN, ĐỂ TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ, TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 Người thực hiện: Thiều Minh Tiến Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Tốn THANH HĨA, NĂM 2021 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Cơ sở thực tiễn 1.2 Cơ sở khoa học .3 Chương II: NỘI DUNG VẤN ĐỀ 2.1 Phương pháp chung 2.2 Dạng toán cho vấn đề nghiên cứu -ứng dụng 2.3 Bài tốn tìm SHTQ dãy số dựa vào csc csn KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Dãy số toán dãy số sở quan trọng để học sinh nắm kiến thức chương trình giải tích THPT Dãy số có nhiều cách cho khác nhau, toán dãy số đa dạng Nhưng có lẽ biết cơng thức số hạng tổng qt dãy số, có “chiếc chìa khóa” quan trọng giúp ta hình dung tốt dãy số làm sở để giải tốt tốn liên quan tới Đáng tiếc điều không dễ làm Trong chương trình SGK việc tìm SHTQ dãy số đề cập tới, song dừng lại dạng đơn giản thường trực tiếp CSC hay CSN hay dạng yêu cầu chứng minh quy nạp (kết SHTQ rõ) Với hai mục đích quan trọng mơ hình trường chun: ngồi đào tạo kiến thức cho học sinh đáp ứng nhu cầu thi Đại học, phải trang bị cho học sinh kiến thức chuyên sâu môn chuyên để làm tiền đề cho em phát triển tốt sau này, xây dựng hệ thống chuyên đề bổ trợ kiến thức cho học sinh có chuyên đề đặc biệt để bồi dưỡng HSG Trong chun đề tìm cơng thức SHTQ dãy số có lẽ đáp ứng hai u cầu đó, ngồi dạng tốn dãy số, tìm SHTQ dãy số hay xuất thi HSG cấp (một ý riêng rẽ bước quan trọng vấn đề) Tuy nhiên tài liệu viết chuyên đề thường không đầy đủ, rời rạc gây cho học sinh có cảm giác “rất khó” Trên sở chuyên đề giảng dạy năm qua, tơi mạnh dạn tập hợp dạng tốn "Sử dụng cấp số cộng cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát dãy số chương trình đại số giải tích lớp 11” để góp phần giúp khắc phục khó khăn nêu Mong chia sẻ ý kiến với em học sinh dạy quý đồng nghiệp UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nhiệm vụ đề tài Với lý mục đích nêu nhiệm vụ đề tài là: + Củng cố kiến thức dãy số, CSC, CSN, phương pháp chứng minh quy nạp chương trình lớp 11 + Xây dựng phương pháp giải cho lớp tập tìm cơng thức SHTQ dãy số dạng Đối tượng nghiên cứu Các dãy số đề cập chương trình phổ thơng dãy số đặc biệt khác Phạm vi nghiên cứu Nội dung, kiến thức dãy số dành cho đối tượng học sinh bậc THPT phong phú đa dạng Bài viết nhỏ đề cập đến vấn đề nhỏ là: Sử dụng cấp số cộng cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát dãy số chương trình đại số giải tích lớp 11 Phương pháp nghiên cứu Đề tài nghiên cứu sở phân tích tính chất dãy số, liên quan đến q trình tìm cơng thức SHTQ nó, dựa việc nghiên cứu sách giáo khoa nâng cao lớp 11 hành, sách tham khảo ôn luyện thi đại học, qua việc trực tiếp giảng dạy UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com NỘI DUNG Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Cơ sở thực tiễn Dãy số toán dãy số sở quan trọng để học sinh nắm kiến thức chương trình giải tích THPT sở để xây dựng nên khái niệm giới hạn, từ đến khái niệm khác giải tích Việc tìm cơng thức SHTQ vấn đề hay đặt nghiên cứu dãy số Vì đề tài cung cấp số phương pháp tìm cơng thức SHTQ dãy số, nhằm trang bị cho em học sinh kiến thức, phương pháp kỹ cần thiết chuẩn bị tốt cho kì thi Đại học Cụ thể đề tài đề cập đến phương pháp chung để giải toán dạng: + Ứng dụng phép quy nạp tìm cơng thức SHTQ dãy số + Ứng dụng CSC, CSN tìm cơng thức SHTQ số dãy CSC, CSN 1.2 Cơ sở khoa học  Phương pháp quy nạp toán học  Dãy số khái niệm liên quan  Cấp số cộng cấp số nhân  Một số dãy số đặc biệt khác liên quan đến phương pháp sai phân UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương II: NỘI DUNG VẤN ĐỀ 2.1 Phương pháp chung * Bài tốn tổng qt Cho dãy số (un).Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số (un) * Phương pháp + Phương pháp quy nạp toán học + + Đặt dãy số phụ quy dãy số biết cơng thức SHTQ Xét phương trình liên quan đến tìm cơng thức SHTQ dãy số (một số tài liệu gọi tên phương trình đặc trưng dãy số) 2.2 Dạng toán cho vấn đề nghiên cứu -ứng dụng 2.2.1 Khái niệm dãy số a)Dãy số.Mỗi hàm số xác định tập số nguyên dương gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu Người ta thường viết dãy số dạng khai triển thứ b) viết tắt gọi số hạng đầu, số hạng SHTQ dãy số Dãy số tăng, dãy số giảm.Dãy số gọi dãy số tăng ta có với Dãy số gọi dãy số giảm ta có với Chú ý Không phải dãy số tăng giảm Chẳng hạn, dãy số tức dãy c)Dãy số bị chặn Dãy số với không tăng không giảm gọi bị chặn tồn số cho UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com với Dãy số gọi bị chặn tồn số với Dãy số cho gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số cho với 2.2.2 Khái niệm CSC, CSN CSC CSN Số hạng tổng qt Tính chất Cơng thức tổng với với 2.3 Bài tốn tìm SHTQ dãy số dựa vào cấp số cộng số nhân DẠNG 1.Tìm SHTQ dạng đa thức biết số hạng Nhận xét Với 10 số hạng đầu này, để tìm quy luật biểu diễn khó Với cách cho ta thường làm phương pháp sau,đặt Ta lập bảng giá trị đổi dừng lại ,sau kết luận đến hàng có giá trị khơng đa thức bậc 1,2,3, ta tìm đa thức UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 1.1.Cho dãy số có dạng khai triển sau Hãy tìm SHTQ dãy số Lời giải Bảng giá trị ban đầu -1 Ta thấy hàng không đổi nên dãy số dãy giá trị đa thức bậc hai Trong n số thứ tự số hạng dãy Cho n=1,2,3 thay vào cơng thức (*) ta hệ phương trình sau ta tính Ví dụ 1.2 Cho dãy số Hãy tìm SHTQ dãy số Lời giải :Bảng giá trị ban đầu -5 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta thấy hàng không đổi nên dãy số dãy giá trị đa thức bậc ba (**) Cho n=1,2,3,4 thay vào công thức (**) ta hệ phương trình Ta tính , , , Vậy SHTQ dãy Bài tập tương tự Với dãy số sau đây,hãy tìm SHTQ dãy số 1)8,14,20,26,32, 2)1, -2, -2,1,7,16,28,43,61, 3)1,6,17,34,57,86,121, Tiếp theo tìm hiểu tiếp DẠNG Ở dạng cách tìm SHTQ dãy số dựa vào biểu diễn số hạng dãy số để đưa CSC nhân.Từ ta tìm SHTQ tương ứng DẠNG Dạng sở Cho dãy , với biết số thực Lời giải Trường hợp 1.Nếu Nên ,với Trường hợp 2.Nếu Suy CSC với số hạng đầu Do Trường hợp 3.Nếu cơng sai UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy CSN với số hạng đầu công bội Do Trường hợp 4.Nếu Đặt dãy cho (***) Thay cơng thức vào CTTH ta có Suy Khi CSN với số hạng đầu cơng bội Nên Vậy Ví dụ 1.3.Tìm cơng thức SHTQ dãy biết Lời giải Vì sai nên CSC với số hạng đầu công Do Đặt dãy cho Thay vào CTTH ta Nên CSN với số hạng đầu UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com công bội Suy Vậy Bài tập tương tự.Tìm cơng thức SHTQ dãy 1) biết 2) 3) 4) 5) Lời bình.Dạng gọi dạng sở Với trường hợp 1,2 dãy số trở thành dãy đặc biệt là: dãy số hằng,CSC CSN Các dãy số ta tìm cơng thức số hạng tổng quát Trên sở dãy ,để giải trường hợp phương pháp đặt dãy số liên hệ với dãy số dãy số mà biểu thức để đưa dãy số CSN Vấn đề đặt quan hệ dãy biểu thức đưa thành dãy số CSC,CSN trường hợp 4.Qua trình tìm tịi ,tác giả tìm số dạng sau UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LOẠI 2.1: với Lời giải Trường hợp1.Nếu Cách 1.Ta có Cộng vế với vế hệ thức trên, ta Cách Dùng công thức DẠNG (Viết dãy số theo dạng khai triển) Trường hợp 2.Nếu đặt dãy cho thay vào CTTH ta Từ ta có dãy với 10 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi dãy lại có DẠNG Ví dụ 1.4.Tìm SHTQ dãy biết, Lời giải Cách 1.Ta có Cộng vế với vế hệ thức trên, ta hay Cách 2.Ta có dạng khai triển dãy số 5,6,10,17,27,40,56,75, Từ bảng ta suy UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Thay vào ta Vậy Đặt dãy Nên cho Thay vào CTTH dãy CSN với số hạng đầu cơng bội ta Do Vậy Đặt dãy cho Thay vào CTTH dãy Nên Đặt dãy cho xác định Thay vào CTTH dãy Suy ta CSN với số hạng đầu cơng bội Do Vậy Bài tập tương tự.Tìm cơng thức SHTQ dãy 12 ta biết, UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LOẠI 2.2 ,với Lời giải Trường hợp 1.Nếu ta làm phương pháp sau, Cộng vế với vế hệ thức trên, ta Trường hợp 2.Nếu nên đặt dãy cho Thay vào CTTH ta Suy CSN với số hạng đầu cơng bội Khi 13 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường hợp 3.Nếu CTTH dãy Suy ,đặt dãy ,thay vào ta CSC với số hạng đầu Ví dụ 1.5.Cho dãy cơng sai biết ,với Xác định SHTQ dãy số Lời giải Cách Ta có Cộng vế với vế ta Cách 2.Đặt dãy số cho 14 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Thay vào CTTH ta Suy dãy xác định Vậy Ví dụ 1.6 Viết cơng thức SHTQ dãy số với Lời giải Đặt Suy thay vào CTTH dãy CSN có ta công bội Vậy Đặt thay vào CTTH dãy ta 15 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy CSN có cơng bội Vậy Đặt Suy thay vào CTTH dãy CSC có ta cơng sai Vậy Đặt Suy thay vào CTTH dãy CSC có ta cơng sai Nên Vậy LOẠI 2.3 16 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời giải Đặt dãy số cho thay vào CTTH dãy ta Nên Quay DẠNG LOẠI 2.4 Ví dụ 1.7.Tìm cơng thức SHTQ dãy sau biết, Lời giải Đặt dãy cho ,thay vào CTTH ta 17 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dãy CSC có số hạng đầu cơng sai Vậy Đặt dãy Đặt cho , thay vào CTTH ,thay vào CTTH ta ta CSN với số hạng đầu cơng bội Khi Vậy 18 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Qua tơi trình bày, hy vọng phần giúp cho em học sinh nắm vững tốn tìm cơng thức SHTQ dãy số, hệ thống hóa tốn loại, có phương pháp đa dạng tiếp cận loại tốn này, từ giúp em học tập tốt Như biết, thị trường có nhiều tài liệu tham khảo Tuy nhiên, thân em học sinh khó lựa chọn cho tài liệu phù hợp, mang tính hệ thống hóa vấn đề Vì qua ý kiến nhỏ bé cá nhân tơi đúc kết qua q trình nghiên cứu trình giảng dạy thực tiễn, hy vọng phần giúp em học sinh có thêm tài liệu tham khảo vấn đề nêu Qua tài liệu này, tơi mong giúp em xâu chuỗi kiến thức, thấy ứng dụng đặc sắc kiến thức dường đơn giản nhất, tiếp cận tự nghiên cứu, tự sáng tạo học tập mơn Tốn 19 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Các vấn đề trình bày tài liệu ý kiến riêng cá nhân thân tôi, nên không tránh khỏi sai sót hạn chế Vì tơi mong góp ý chân thành quý báu đồng nghiệp,các em học sinh quan tâm vấn đề này, để viết hoàn thiện Kiến nghị Hằng năm, sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo, sáng kiến đổi phương pháp giảng dạy cần tập hợp kỷ yếu khoa học Sở GD& ĐT tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh phụ huynh tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, NXB Quốc Gia Hà Nội [2] Phạm Văn Ga (2016), Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy học giải tập số dạng phương trình sai phân Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Thành Giáp, Phạm Văn Quốc (2003), Một số Bài toán dãy số, Nxb Đà Nẵng [4] Nguyễn Văn Mậu (2008), Chuyên đề chọn lọc dãy số ứng dụng, Nxb Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thị Nhung(2003), Phương pháp lượng giác xác định dãy số tính giới hạn, Nxb Sư phạm Hà Nội [6] Lê Đình Thịnh (2011), Bài tốn phương trình sai phân, Nxb Giáo dục [7] Lê Đình Thịnh (Chủ biên ), Đặng Đình Châu,Lê Đình Định, 20 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, Nxb Giáo dục [8] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định (2005), Các phương pháp sai phân, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng 04 năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Đình Sinh Thiều Minh Tiến 21 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... giảng dạy năm qua, mạnh dạn tập hợp dạng toán "Sử dụng cấp số cộng cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát dãy số chương trình đại số giải tích lớp 11? ?? để góp phần giúp khắc phục khó khăn nêu Mong... cộng cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát dãy số chương trình đại số giải tích lớp 11 Phương pháp nghiên cứu Đề tài nghiên cứu sở phân tích tính chất dãy số, liên quan đến q trình tìm cơng thức... dương gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu Người ta thường viết dãy số dạng khai triển thứ b) viết tắt gọi số hạng đầu, số hạng SHTQ dãy số Dãy số tăng, dãy số giảm .Dãy số gọi dãy số tăng